深圳外国语学校高三数学月考试题及答案(理科)
深圳外国语学校2008—2009学年高三年级第一次月考
理科数学试题及答案 第一部分 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合P ＝{ 0，m }，Q ＝{x │Z x x x ∈<-,0522}，若P ∩Q ≠Φ，则m 等于 （ D ）
(A) 1 (B) 2 (C) 1或2
5
(D)1或2
2．下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（ C ）
A ．y=x 2
－2
B ．y=
x
3 C ．y=x --21 D ．2
)2(+-=x y
3. ()()6411x x +- 的展开式中含3
x 的项的系数是（ C ）
A. 15
B. 4-
C. 8-
D. 60-
4．函数x
e x
f x
1
)(-
=的零点所在的区间是（ B ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)2
3,1( D ．)2,23
(
5．若)(),()(1
2
x f N n x x f n n
则∈=++是（ A ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．奇函数或偶函数
D ．非奇非偶函数 6. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足：)
(1
)2(x f x f -
=+，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（ D ）
A ．5.5
B ．－5.5
C ．－2.5
D ．2.5
7．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),2
1
(log 8
f a =b= f (7.5)，c= f (－5)，则a 、b 、c 的大小关系是（ A ） A ．a >b>c B ．a > c > b C ．b>a > c
D ．c> a >b
8．已知函数?????-+-=a a x x
x f 3)(2
22
))
0,((2)),0[(-∞∈++∞∈x x 在区间),(+∞-∞是增函数，则常数a 的取值范围是 （ A ） A ．1≤a ≤2
B ．a ≤1或a ≥2
C ．1 D ．a <1或a >2 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷题中横 线上） 9．函数2log log 21x y x =++的值域是 ),3[]1,(+∞?--∞ 。 10．某科研小组进行某项科学实验的成功率为 3 2 。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是____ 81 32 ___。 11． 从7个同学中选出3人参加校代会，其中甲、乙两人至少选一人参加，不同选法有 25 种 12．若函数)2,3()(log )(3 2 1---=在ax x x f 上单调递减，则实数a 的取值范围是 [9，12] 。 13．已知234=++z y x ，则2 2 2 z y x ++的最小值为 13 2 。 14．如果f '(x)是二次函数, 且 f '(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,－3), 那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 [0, π2)∪[2π 3 , π)。 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 15.．（本题满分12分） 布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分ξ的概率分布和数学期望。 解 （1） ------------------------------------------------------------------------------------------------8分 （2） 52 7 -------------------------------------------------------------------------------12分 16．（本题满分12分） 已知函数为反比例函数为正比例函数)(,)(21x f x f ，点)2,1(P 为它们的交点。 （1）求)()(21x f x f 、的解析式； （2）若）（）（）（x f x f x g 21-=，当[]3,2∈x 时求）（x g 的最值； （3）若） （）（）（x f x f x h 21+=，当[]3,2∈x 时求）（x h 的最值； 解（1）. x x f x x f 2 )(2)(21==、 ------------------------------------4分 ； （2）需先说明函数递增?? ? ???316, 3 -------------------------------------- 8分 （3）需先证明函数递增，?? ? ???320,5--------------------------------------12分 1７. （本题满分14分） 已知函数)10,1)(lg()(<<>-=b a b a x f x x ， （1）求)(x f 的定义域； （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x 轴？； （3）当a 、b 满足什么条件时)(x f 恰在),1(+∞取正值. 解（1）1)()0(0>?>>?>-x x x x x b a b a b a Θ， 又0,1101>∴>????<<>x b a b a Θ，故函数的定义域是),0(+∞.------4分 （2）①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好. （解一）求导得：),ln ln (lg )(b b a a b a e x f x x x x --= '???<<>1 01b a Θ， ?? ?<>∴0 ln 0ln b a ，0,0lg ,0ln ln >->>-∴x x x x b a e b b a a 而， )(,0)(x f x f >'∴在定义域内单调递增，故不存在所述两点；---------10分 （解二）任取012>>x x ，则11 2 2lg )()(12x x x x b a b a x f x f --=-， 1010111221 12212 12>--?>->-??????<>????<<>∴x x x x x x x x x x x x b a b a b a b a b b a a b a ， ),()(12x f x f >∴即)(x f 在定义域内单调递增； （3）)(x f Θ在），∞+1(单调递增，∴命题等价于：0)1(=f ，1=-∴b a ---14分 1８．（本题满分14分） 某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置. 现将工人分成两组同时开始．．．．加工，每组分别加工一种装置。设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为)(x g ，其余工人加工完H 型装置所需时间为)(x h （单位：小时，可以不是整数）. （Ⅰ）写出)(),(x h x g 解析式；（Ⅱ）比较)(x g 与)(x h 的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间)(x f 的解析式；（Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 解：（Ⅰ）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人， x -216人. .3 )216(3000)(,64000)(?-==∴x x h x x g 即*).,2160(2161000 )(,32000)(N x x x x h x x g ∈<<-== ……4分 （Ⅱ）.) 216(3)5432(1000216100032000)()(x x x x x x h x g --?=--=- .0216,2160>-∴< 当h(x)g(x)0,h(x)-g(x)0,5x -,432860>>>≤<时x ； 当h(x).g(x)0,h(x)-g(x)0,5x -,43221687<<<<≤ 时x ……6分 =∴)(x f ?????? ?∈<≤-∈≤<.*,21687,2161000*;,860,32000 N x x x N x x x ……9分 （Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求)(x f 的最小值. 当860≤ )(x f 递减，,129 100086 32000)86()(=?=≥∴f x f ),86()(min f x f =∴此时,130216=-x 当21687<≤x 时，)(x f 递增，……10分 ,129 1000872162000)86()(=-= ≥∴f x f ), 87()(min f x f =∴此时,129216=-x ,129 1000)87()86()(min = ==∴f f x f ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87， 129。------------------------------------------------------------14分 19. （本题满分14分） 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解: (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R )， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0， 则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立， 所以f(x)是奇函数．--------------------------------------6分 (2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，-------------------------------------------------------8分 又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， ∴ k ·3x ＜-3x +9x +2，3 2x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．----------10分 令t=3x ＞0，问题等价于t 2 -(1+k)t+2＞0 对任意t ＞0恒成立． R 恒成立．----------------------14分 20．（本题满分14分） 设函数)0(1)(2>-+= a ax x x f ， （I ）求证：当且仅当a ≥1时，f (x )在),0[+∞内为单调函数； （II ）求a 的取值范围，使函数f (x )在区间),1[+∞上是增函数. 解（I ）a x x x f -+= '1 )(2 Θ， ①当上单调递减在时),0[)(,11 ||1 ,1 2 2 +∞∴≤<+≤ +≥x f a x x x x a Θ--4分 ②当0 2 a a x x a x -< ≤?+<≤ 由f ′(x )>0得;112 2 a a x x a x -> ?+> ∴当0 ,)1, 0[2 2 +∞--a a a a 而在为减函数，为增函数， ∴当0 212212,00]2)1[(11a a x x a x a x ax x -==?=--?+=+?