函数的单调性与最大(小)值(1)
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性)
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
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第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
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第三章 函数的概念与性质
函数的单调性与最大最小值乐乐课堂
函数的单调性与最大最小值乐乐课堂1、单调性：设函数y＝)(x f的定义域为A，区间A M?、如果取区间M上的任意两个值x 1,x 2，改变量12x x x-=?＞0，则当)()(12x f x f y-=?＞0时，就称函数)(x f在区间M上是增函数；)()(12x f x f y-=?＜0时，就称函数)(x f在区间M上是增函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M称为单调区间）．（x?，y?同号，平均变化率2、函数的单调性常应用于如下三类问题：（1）利用函数的单调性比较函数值的大小．（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值．若函数)(x f y=在定义域()b a,上递增，则函数值域为()(a f，)(b f)；若函数)(x f y=在定义域()b a,上递减,则函数值域为()(b f，)(a f)；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递增，则函数值域为[)(a f，)(b f]；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递减，则函数值域为[)(b f，)(a f]；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递增，则函数的最大值为)(b f，最小值为)(a f；若函数)(x f y=在定义域[]b a,上递减，则函数的最大值为)(a f，最小值为)(b f；3、最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，那么，称M是函数y=f(x)的最大值最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，那么，称M是函数y=f(x)的最小值注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．4、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：1、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值；2、利用图象求函数的最大(小)值；3、利用函数单调性判断函数的最大(小)值；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值 文
第二节 函数的单调性与最大小值知识梳理一、函数单调性的定义基础自测1．(2013·珠海二模)下列函数在其定义域上是增函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝－3x C ．y ＝3xD ．y ＝ln |x |1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.会求一些简单函数的值域.4.理解函数的最大值、最小值及其几何意义.解析：y ＝tan x 只在其周期内单调递增，y ＝－3x 在R 上单调递减，y ＝3x 在R 上单调递增，y ＝ln |x |在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．答案：C2．(2013·海淀区一模)已知a ＞0，下列函数中，在区间(0，a )上一定是减函数的是( ) A ．f (x )＝ax ＋b B ．f (x )＝x 2－2ax ＋1 C ．f (x )＝a x D ．f (x )＝log a x解析：a ＞0时，函数f (x )＝ax ＋b ，为增函数；对于函数f (x )＝a x ，当0＜a ＜1时，在R 上为减函数，当a ＞1时，在R 上为增函数；对于f (x )＝log a x,0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a ＞1时在(0，＋∞)上为增函数；对于函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝a ，所以该函数在区间(0，a )上一定是减函数，所以选项B 对. 故选B.答案：B3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为_________________________________________．解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2. 答案：－24．(2012·温州市第一次适应性测试)一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出：①(4，1)，②(8,6)，③(10,8)，④⎝⎛⎭⎫3，12.其中可作为(l ，S )取得的实数对的序号是__________．解析：设矩形一边长为x ，则S ＝(l －2x )x 2＝－x 2＋l2x ＝－⎝⎛⎭⎫x －l 42＋l216⎝⎛⎭⎫0<x <l 2， 检验知，①④满足． 答案：①④二、证明函数单调性的一般方法1．定义法．用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2________________，且x1<x2；(2)作差______________；(3)将差式变形(要注意变形的程度，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负能清楚地判断出)；(4)判断______________(要注意说理的充分性)；(5)根据f(x1)－f(x2)的符号确定其增减性，即下结论．概括为：取值—作差—变形—定号—下结论．2．导数法．设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．三、求函数单调区间的方法定义法、导数法、图象法．四、函数的最大值、最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果∃M∈R，满足：(1)对∀x∈A，恒有f(x)≤M[或f(x)≥M]；(2)∃x0∈A，使得f(x0)＝M，则称M是函数y＝f(x)的___________________________．五、求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，故其类型依解析式的特点可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决)．1．(2013·重庆卷)y ＝(3－a )(a ＋6) (－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92C ．3D.322解析：因为y ＝(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814，所以当a ＝－32时，y ＝(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92. 答案：B2．(2013·大纲全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)解析： f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 答案：D一、f (x 1)＜f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 逐渐上升 逐渐下降 二、1.(1)是给定区间内的任意两个值(2)f (x 1)－f (x 2) (4)f (x 1)－f (x 2)的正负 四、1.复合函数 y ＝f (g (x )) 五、最大值(或最小值)1．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是() A．[1,7] B．[1,6] C．[－1,1] D．[0,6]解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.由f(x)的图象知：－1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m＋n≤7.答案：A2．(2012·宁波期末)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝() A．{x|x≤0或1≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：由题，结合函数性质可得x＞1时，f(x)＞0；x＜0时，f(x)＜0；x＜0或x＞4时，g(x)＜0；0＜x＜4时，g(x)＞0，故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}．故选A.答案：A。
高考数学(文)一轮课件【第5讲】函数的单调性与最值
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第5讲
双 向 固 基 础
函数的单调性与最值
[答案](1)R (3){y|y∈R，y≠0} [－1，1] R
(2)
4ac－b2 ，＋∞ 4a
2 4 ac － b －∞， 4a
(4)(0，＋∞)
(5)R
(6)[－1，1]
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第5讲
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第5讲
双 向 固 基 础
函数的单调性与最值
[答案] (1)×
(2)√
(3)×
[解析] (1)函数的单调区间是函数定义域的子集，定 义域不一定是函数的单调区间． (2)y＝f(x)－g(x)＝ x ＋2x是定义域[0，＋∞)上的增 函数． (3)举反例：设f(x)＝x，g(x)＝x－2都是定义域R上的 增函数，但是f(x)g(x)＝x2－2x不是增函数．
条件
结论
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第5讲
双 向 固 基 础
函数的单调性与最值
—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 当k>0时，函数f(x)＝－kx＋1在R上是 ________函数(填增或减)．
[答案] 减
[解析] 当k>0时，－k<0，所以f(x)在R上是减函数．
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第5讲
双 向 固 基 础
函数的单调性与最值
[答案] [1，10)
[ 解 析 ] 因 为 － 1≤x<4 ， 结 合 函 数 图 像 可 知 ， f(1)≤f(x)<f(4)，所以 1≤f(x)<10.
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第5讲
双 向 固 基 础
函数的单调性与最值
4．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域为________． (2)对于函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 a>0 时，该函 数 的 值 域 为 ________ ； 当 a<0 时 ， 该 函 数 的 值 域 为 ________． k (3)y＝x(k≠0)的值域是________． (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域是________． (5)y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是________． (6)y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝ tan x 的 值 域 分 别 为 ________，________，________．
函数的单调性与最大小值
条件
f(x)≤M；
②存在x0∈A，使得f(x0)＝M.
结论 M为最大值
考基联动
考向导析
限时规范训练
联动思考
想一想：单调区间与函数定义域有何关系？ 答案：单调区间是定义域的子区间． 议一议：若一个函数出现两个或两个以上单调区间时，能否用“∪”来联结？ 1 答案：不能．如函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不能说函数在 x (－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，因为若可以这么说，由于－1＜1，由函数递减知 f (－1)＞f (1)，但f (－1)＝－1，f(1)＝1，f (－1)＜f (1)矛盾，故不能将两个单调区间 并起来．
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 函数单调性判断与证明
2 1 【例1】 试判断函数f (x)＝x － 在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明． x 1 解：解法一：函数f (x)＝x2 － 在(0，＋∞)上是单调增函数，设0＜x1 ＜x2 ， x 1 1 1 2 2 则f (x1 )－f (x2)＝x1 －x 2 － － ＝(x1 －x2 )x1 ＋x2 ＋ x1 x2 x1 x2 1 ∵x2 ＞x1 ＞0，∴x1 －x2 ＜0，x1 ＋x2 ＋ ＞0，∴f (x1 )－f(x2 )＜0，即f(x1 )＜f(x2 )． x1 x2 故f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 1 解法二：f ′(x)＝2x＋ 2 ，当x＞0时，f ′(x)＞0，故f (x)在(0，＋∞)上为增函数． x
反思感悟：善于总结，养成习惯 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法，(1)可以结 合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利 用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
2.2____函数的单调性与最大(小)值
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当x1<x2时,都有
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就 )>f 说函数f 在区间D 说函数f（x）在区间D 上是减函数
定 义
f（x1 ）<f(x2 ) ，那 么就说函数f 么就说函数f(x)在区 间D上是增函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 上升的 ___________
3 , 2 ( x + 1) 3 > 0, a>0, 2 ( x + 1)
求导数得 f ' ( x) = a x ln a +
>1,∴当 ∵a>1,∴当x>-1时，axln
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， ′(x)>0在 +∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 1,+∞）上为增函数. 对于给出具体解析式的函数， 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（ 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解. 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则可以利用导数解之. 数则可以利用导数解之.
金太阳新课标资源网 2 2
ax − a − 2ax − a(1 + x 2 ) = = . 2 2 2 2 ( x − 1) ( x − 1) >0时 1<x 当a>0时，∵-1<x<1,
− a (1 + x 2 ) ∴ 2 < 0, 2 ( x − 1) ′(x)<0,此时 此时f 上为减函数. 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
函数的单调性与最值
定义域内或给定的范围内进行．
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 知识 回扣
研考向 考点
求下列函数的单调区间，并指出其增减性．
探究
提素能 高效
(1)y＝a1－x2(a>0 且 a≠1)；
训练
(2)y＝log1(4x－x2)．
2
解析：(1)令t＝1－x2，则t＝1－x2的递减区间是[0，＋∞)，递增区
为减函数，排除 C；因为 y＝log0.5t 为减函数，t＝x＋1 为增函数，所以 y
＝log0.5(x＋1)为减函数，排除 D；y＝ t和 t＝x＋1 均为增函数，所以 y ＝ x＋1为增函数，故选 A.
答案：A
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
∴y1>y2，
所以函数 y＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数． 答案 (1)C (2)减函数
菜 单 隐藏
抓主干 知识 回扣
研考向
考点 探究
规律方法 (1)图象法
提素能
高效 训练
作图象 → 看升降 → 归纳单调性区间
(2)转化法
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菜 单 隐藏
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
则可由图象的直观性写出它的单调区间．
④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
(2) 若 函 数 f(x) 的 定 义 域 上 ( 或 某 一 区 间 上 ) 是 增 函 数 ， 则
f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式 (或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在
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设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调减 函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
y
判断1：函数f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
(不是)
y x2
o x
（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 x2
O
x
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调增区间.
5 x
看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间, 若有写出其单调区间.
图1
图2 减区间 ,0
图3 没有单调区间
没有单调区间
增区间 0,
探究
y
1 画出函数 y 图象 x (1)这个函数的定义域I是什么?
y 1 x
(2)它在定义域I上的单调性是怎么样的?
,0 0, 函数的定义域为_____________
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3）x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
f(2) f(1) O 1 2x
根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
例1 下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数， 在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
y
3
2 1
-5
-4
-3
-2
-1 O
1 -1 -2
2
3
4
思考:
1.若 y f ( x) 在R上是减函数,且 f (2m) f (1 m) ,求实 数m的取值范围. 2.观察下列函数图象,除了单调性,你还能发现函数 的哪些性质?
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？ 2.判断函数单调性有哪些常用方法？ 3.你学会了哪些数学思想方法？
作业
2、证明函数 f（x）=-x2在 0, 上是 减函数。 1、教材 p39 /1,2,3
1 y 在 ( , 0), (0, ) 为减函数. x
0
x
k 1 y (k 0, x 0) ,则函数的单调性又 思考: 若将 y x 改为 x
如何?
k p 例2.物理学中的玻意耳定律 V (k为正常数)告诉我们,对于
一定量的气体,当其体积减小时,压强 p将增大,试用函数的单调
1 3、证明函数 f（x）= x 在 x
的。(选做)
0,1
上是单调递增
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证明：在区间
,0 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
x2 x1 x1 x2
则
1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1, x2 ,0 ，且 x1 x2 x1 x2 0, x2 x1 0
结论
证明函数单调性的一般步骤:
取值 作差变形
定号
结论
1 1.证明函数在 y x 上 ,0 是减函数.
证明
2.证明函数在y 2 x 1上 , 是减函数.
探究
证明
k (1)反比例函数 y ( x 0) 的单调性？ x (可分k>0,k<0讨论) (2)一次函数 y kx b(k 0) 的单调性又如何?
思考:
2 f ( x ) x 1.函数 在区间 0, 上随着x的增大函 数值也增大,那么在区间 0, 上任意两个不同 的 x1 , x2 ,试问 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 有什么关系? 当 x1 x2 时, f ( x1 ) f ( x2 ) ; 当 x1 x2 时, f ( x1 ) f ( x2 ) .
北京市今年8月8日一天24小时内气温后上升
y
y x 1
y x 1
y x2
o x o x o x
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标 在某一区间内， 关系来说明上升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
2.能推广到一般的函数 y f ( x) 在区间D上随着 x 的增大,相应的 f ( x) 值也增大(或减小),能用数学 语言与符号表示吗?
单调增函数的定义:
y
f(x2) f(x1)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间 D I. 如果对于属于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量的值x1, X2,当x1<x2时,都有f(x1 )< f(x2 )， 那么就说在f(x)这个区间上是单 调增函数,D称为f(x)的单调区间.
性证明之.
则 证明：设 V1 , V2是定义域
0, 上任取两个实数,且V
V2 V1 k V1V2
1
V2
取值
k k p(V1 ) p(V2 ) V1 V2
作差 变形
V1,V2 0, ，且 V1 V2
V2 V1 0,VV 1 2 0
定号
又 k 0 ,于是 p(V1 ) p(V2 ) 0, p(V1 ) p(V2 ) k 所以函数 p , V 0, 在区间 0, 上是减函数. V
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ) 1 所以函数 y 在区间上 ,0 是减函数. x
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证明：在区间
, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
2x1 1 2x2 1
则
f ( x1 ) f ( x2 ) 2x1 1 (2x2 1)
2( x2 x1 )
x1, x2 , ，且 x1 x2 x2 x1 0
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 )
所以函数
y 2x 1在区间上 , 是减函数.
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