高三高考数学国步分项分类题及析答案一四
高三高考数学国步分项分类题及析答案一六
高三高考数学国步分项分类题及析答案一六4-1角的概念的推广与任意角的三角函数地基加固加固1.(文)(2021绵阳二诊)已知角a同时满足sina>0且tana<0，则角a的终边一定落在()a、第一象限C.第三象限[答案]B[解析]由sina>0且tana<0可知，cosa<0，所以角a的终边一定落在第二象限．选b.cosα（科学）（2022广西天阳中学月考）如果sinαtanα<0，且<0，则角度αtanα是()a、第一象限角C第三三角形极限角[answer]C[解析]根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可．由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角．cosα由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．tanα综上可知，α为第三象限角．2π2π?? 2.（文本）（2022杭州模拟）已知角度αA点PSIN，cos？，然后33?b．第二象限d．第四象限b、第二象限角D.第四象限角角α的最小正值为()五a.π62c.π311b。
π65d。
π3[答案]b2ππ3[分析]根据条件，cosα＝sin＝sin＝sin3322ππ1sinα＝cos＝cos＝cos332∴角α为第四象限角，π11π∴ α＝2π-=，所以选择B66已知锐角α最终边上点P的坐标为（4sin3，-4cos3），然后α等于（）a．3πc、 3－2[答案]cπ[解析]∵<32π－cos3sin?3－2??π?∴tanα＝tan？3－?，sin3π?2?余弦？3－? 2π? π? π?? ∵3－∈0，，∴ α＝ 3－.2? 2.二3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于() a、 5B。
2C。
3D。
4[答]B12【分析】假设扇形半径为r，中心角为α，则有2R+rα＝rα2144即2+α＝rαr=2+，因为≠ 0,2ααb．－3πd、－32∴r≠2.sinα＋cosα4．已知点p(－3,4)在角α的终边上，则的值为()3sinα＋2cosα1a.－67c.18[答案]b四[解析]由条件知tanα＝－，3sinα＋cosαtanα＋11∴＝＝.3sinα+2cosα3tanα+265．(文)设0≤θ<2π，如果sinθ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是()3πa．043πc.[分析]∵ 0≤ θ<2π，sinθ>0∴0又由cos2θ>0得，2kπ－<2θ<2kπ＋，22ππ即kπ－44π3π∴θ的取值范围是044(理)(2021海口模拟)已知点p(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()ππa.（，）425πb．(π，)4π3πb．044d。
高三高考数学国步分项分类题及析答案二五
高三高考数学国步分项分类题及析答案二五5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011·广西六校联考、北京石景山检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →[答案] A[解析] ∵OB →＋OC →＝2OD →， ∴2OA →＋2OD →＝0，∴AO →＝OD →.(理)(2012·珠海调研)已知△ABC 及其平面内点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] 解法1：由已知条件MB →＋MC →＝－MA →.如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E ，延长CM 交AB 于F ，则E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.解法2：∵AB →＋AC →＝MB →－MA →＋MC →－MA →＝MB →＋MC →－2MA →＝mAM →，∴MB →＋MC →＝(m －2)AM →，∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴(m －2)AM →＝AM →，∴m ＝3.2．(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，即AB ＝CD ，AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形． 又(AB →－AD →)·AC →＝0，∴DB →·AC →＝0，即AC ⊥BD ， 因此四边形ABCD 是菱形，故选B.3．(文)如图所示，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b [答案] B[解析] ∵AE →＝3ED →，∴ED →＝14AD →， ∵BD →＝12DC →，∴BD →＝13BC →，∴BE →＝BD →－ED →＝BD →－14AD →＝BD →－14(AB →＋BD →) ＝34BD →－14AB →＝14BC →－14AB → ＝14AC →－12AB →＝14b －12a .(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.13a ＋23bC.12a ＋14bD.23a ＋13b[答案] D[解析] 由条件易知，DF →＝13DC →，∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D. 4．(2011·广东文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2[答案] B[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a ＋λb )∥c ，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝12.5．(文)(2011·惠州模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →，则μλ的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.13 [答案] C[解析] CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2.(理)(2011·厦门模拟)已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋12OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．0 B.13 C.12 D.16[答案] D[解析] ∵x ＋12＋13＝1，∴x ＝16.6．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP | |P B |＝4，如图所示，则OP →＝( )A.15e 1－25e 2B.25e 1＋15e 2C.15e 1＋45e 2D.25e 1－15e 2 [答案] C[解析] AP →＝4PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝5PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－15AB →＝OB →－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋45e 2. 7．(文)(2011·山东济南市调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．[答案] 311[解析] (如图)因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB →＋k (14AC →－AB →) ＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311.(理)(2011·聊城模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中， λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] 43 [解析]如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC中点．∴AC →＝AD →＋AB → ＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)， ∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.8．(文)(2011·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.[答案] 13[解析] ∵OC →＝23OA →＋13OB →，23＋13＝1， ∴A 、B 、C 三点共线，∵AC →＝OC →－OA →＝13OB →－13OA →＝13AB →， ∴|AC →||AB →|＝13. (理)(2012·四川文)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[答案] D[解析] 对于A ，|a |＝|b |，且a ∥b ，可知a 与b 共线，若反向，则不能满足结论a |a |＝b|b |，对于B 选项，两向量反向，而C 选项a ∥b ，同样若反向不能满足．而D 项显然满足，故选D.[点评] 注意到a |a |是与a 同向的单位向量，b|b |是与b 同向的单位向量，故a |a |＝b|b |⇔a 与b 同向．9．(2012·东北三省四市联考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →＝－1，若AO →＝x 1AB →＋x 2AC →(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．[答案] 136[解析] O 为△ABC 的外心，AO →＝x 1AB →＋x 2AC →，AO →·AB →＝x 1AB →·AB →＋x 2AC →·AB →，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →＝12|AB →|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →，∴－x 1＋x 2＝12，② 联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝136.10．(文)如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →、AD →.[解析] 解法一：AD →＝AM →－DM →＝c －12AB →，① AB →＝AN →－BN →＝d －12AD →，② 由①②得AB →＝23(2d －c )， AD →＝23(2c －d )．解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M 、N 分别为CD 、BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．(理)如图，在△ABC 中，AM AB ＝1 3，AN AC ＝1 4，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.[分析] 由已知条件可求AM →、AN →，∵BN 与CM 相交于点P ，∴B 、P 、N 共线，C 、P 、M 共线，因此，可以设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，利用同一向量的两种a ，b 的线性表示及a 、b 不共线求解；也可以设BP →＝λBN →，用a 、b ，λ来表示CP →与CM →，利用CP →与CM →共线及a 、b 不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．[解析] 由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb . ∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ， AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb ，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb ，而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .能力拓展提升11.(2011·山东青岛质检)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2010OB →，三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于( )A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012[答案] A[解析] 由题意知，a 1＋a 2010＝1， 又数列{a n }为等差数列，所以S 2010＝a 1＋a 20102×2010＝1005，故选A. 12．(文)(2011·安徽安庆模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3P A →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△P AC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S [答案] C [分析]由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3(P A →＋PB →)＋2(PB →＋PC →)＝0，故可先构造出P A →＋PB →与PB →＋PC →，假设P 为P ′点，取AB 、BC 中点M 、N ，则PM →＝12(P A →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，条件式即转化为PM →与PN →的关系．[解析] 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ， 则PM →＝12(P A →＋PB →)， PN →＝12(PB →＋PC →)， ∵3P A →＋5PB →＋2PC →＝0， ∴3(P A →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)，∴3PM →＝－2PN →，即点P 在中位线MN 上， ∴△P AC 的面积为△ABC 面积的一半，故选C.(理)(2011·东北三校联考)在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为( )A.12B.23C.34D.45[答案] C[解析] ∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点，如图所示． ∵A ，M ，Q 三点共线， ∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA → ＝x 2CB →＋(x －1)AC →(0<x <1)，∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋(x 2－1)AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋(x2－1)AC →＝t (－AC →＋13AB →)， ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34，故选C.13．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－2(1－y )，解得x ＝－2，y ＝－1.14．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 如图，∵D 是BC 中点，将△ABC 补成平行四边形ABQC ，则Q 在AD 的延长线上，且|AQ |＝2|AD |＝2|DP |，∵P A →＋BP →＋CP →＝BA →＋CP →＝0，∴BA →＝PC →，又BA →＝QC →，∴P 与Q 重合， 又∵AP →＝λPD →＝－2PD →，∴λ＝－2.15．(文)已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )． (1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？[解析] (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )． ∵AB →∥CD →，∴x 2－4＝0，即x ＝±2. (2)当x ＝±2时，AB →∥CD →.当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)， ∴AB →∥BC →.此时A 、B 、C 三点共线，从而，当x ＝－2时，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上．但x ＝2时，A 、B 、C 、D 四点不共线．(理)(2011·济南模拟)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．[解析] 依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP →－OA →＝λ(a ＋b )， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ， 则AP →＝λAD →，∴A 、P 、D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点(或△ABC 的重心)．16．已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)． (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，⇒⎩⎨⎧x ＝13，y ∈R .(2)由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.①由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝73.∴xy ＝－1或xy ＝359.1．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形[答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．2．(2011·银川模拟)已知a 、b 是两个不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴存在t ∈R ，使AB →＝tAC →， ∴λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，即λμ＝1.3．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.4．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由；(4)求点P 的轨迹方程．[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )， ∴P (1＋3t,2＋3t )．(1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )． 若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3，而上述方程组无解， ∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )，设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t ， ∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．。
高三高考数学国步分项分类题及析答案五六
高三高考数学国步分项分类题及析答案五六五8-4椭圆 基础巩固强化1.(文)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34 [答案] A[解析] 由椭圆的定义，d 1＋d 2＝2a ，又由题意得d 1＋d 2＝4c ，∴2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.(理)(2011·浙江五校联考)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.2．(2011·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21[答案] C[解析] 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k＝45，解得k ＝21.3．(2012·新课标，4)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34 D.45[答案] C[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法．设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则由条件知，∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a ，c 所满足的数量关系，从而确定离心率的值．4．(文)(2011·抚顺六校检测)椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3[答案] B[分析] 条件MF 1→·MF 2→＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．[解析] 解法1：椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆得x24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x |＝263，此即点M 到y 轴的距离．解法2：由MF 1→·MF 2→＝0知，MF 1⊥MF 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |MF 1|＋|MF 2|＝4，|MF 1|2＋|MF 2|2＝4×(4－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＝2＋2，|MF 2|＝2－2，由|MF 1|2＝t ·|F 1F 2|得t ＝3＋263，∴M 到y 轴的距离为t －3＝263. 解法3：设M (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1，∴y 20＝1－x 24，①∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1⊥MF 2， ∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝12， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴(x 0＋3)2＋y 20＋(x 0－3)2＋y 20＝12，将①代入解得x 0＝±263， ∴M 到y 轴的距离为263.[点评] 满足MA →·MB →＝0(其中A ，B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段AB 为直径的圆．(理)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( )A.165 B ．3 C.163 D.253[答案] A[解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°. 设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165. 即点P 到y 轴的距离是165.5．(文)(2011·山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1[答案] D[解析] 2a ＝12，∴a ＝6，∵e ＝c a ＝13， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选D.(理)(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1[答案] A[解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0得，(x －1)2＋y 2＝16， ∴r ＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故选A.6．(2011·银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 等于( )A.32B.133C.53D.13[答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a ·b ＝6，又因为a >b ，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以椭圆的半焦距为c ＝5，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选C.7．(2011·南京模拟)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为________．[答案] 53[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2， 在Rt △PF 1F 2中，tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴x ＝2a3， ∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴x 2＋4x 2＝4c 2， ∴209a 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝53.8．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆， ∴概率P ＝12.(理)已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率是________．[答案] 32[解析] ∵m >0，n >0 ∴1＝1m ＋2n ≥22mn ，∴mn ≥8，当且仅当1m ＝2n ，即n ＝2m 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4. 即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8， ∴离心率e ＝n 2－m 2n＝32. 9．(2011·湖南长沙一中月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．[答案]2[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63，∴|AB |＝1＋1|63－(－63)|＝433， ∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×62＝ 2.10．(2011·北京文，19)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63， 解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4， y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x 2＋12x ＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB |＝32，此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.能力拓展提升11.(2011·河北唐山市二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2[答案] D[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.12．(文)(2011·福建文，11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t (t >0)， 若Γ为椭圆，则离心率为e ＝3t 6t ＝12， 若Γ为双曲线，则离心率为3t 2t ＝32.(理)(2011·许昌月考)已知双曲线x 2a 21－y 2b 2＝1与椭圆x 2a 22＋y 2b 2＝1的离心率互为倒数，其中a 1>0，a 2>b >0，那么以a 1、a 2、b 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] B[解析] 12＝e 21e 22＝c 21a 21·c 22a 22＝a 21＋b 2a 21·a 22－b 2a 22，则a 21a 22＝a 21a 22＋(a 22－a 21)b 2－b 4，所以a 22－a 21＝b 2，则以a 1、a 2、b 为边长的三角形是以a 2为斜边的直角三角形，故选B.13．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为________．[答案] 463[解析] 由题意可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝2， 又∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|， ∴|BC →|＝2|AC →|.∴|OC →|＝|AC →|.又∵AC →·BC →＝0，∴AC →⊥BC →.∴|OC →|＝|AC →|＝ 2.如图，在Rt △AOC 中， 易求得C (1，－1)，代入椭圆方程得124＋(－1)2b 2＝1⇒b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83.∴c ＝263，2c ＝463.15．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．[解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1， 即b 2＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0 整理得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得， k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1，②综合①②，解得⎩⎨⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎨⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.(理)(2012·山西四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．[解析] (1)由题意知：e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.又∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线x －y ＋2＝0相切， ∴b ＝1，∴a 2＝2，故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则其方程为：y ＝k (x －2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，∴k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2).∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2t 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，即(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，解得：k 2>14，∴14<k 2<12.又16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2， ∴83<t 2<4，∴－2<t <－263或263<t <2.故实数t 的取值范围是(－2，－263)∪(263，2)．16．(文)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．[解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得， (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0，所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (理)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c ，又b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程为x 24c 2＋y23c 2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)，∴44c 2＋93c 2＝1， 解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， 直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|， ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )， 即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k . 则直线AM 方程y －3＝k (x －2)． 由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0. 设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k ，y2－3＝k (x 0＋22－2)，解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称， ∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正， ∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0. 法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)， ∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．1．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．2．若直线mx ＋ny ＝4和圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点(m ，n )在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n )在椭圆内，故过点(m ，n )的直线与椭圆有两个交点．3．(2012·沈阳市二模)已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y23＝1(y ≠0)[答案] C[解析] 椭圆C ：x 24＋y 23＝1中，a 2＝4，b 2＝3， ∴c 2＝a 2－b 2＝1，∴焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设G (x ，y )，P (x 1，y 1)，则⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋x 13y ＝y13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3xy 1＝3y，∵P 在椭圆C 上，∴(3x )24＋(3y )23＝1，∴9x 24＋3y 2＝1. 当y ＝0时，点G 在x 轴上，三点P 、F 1、F 2构不成三角形， ∴y ≠0，∴点G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1.(y ≠0)．4．(2012·河南商丘二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.33[答案] C[解析] M (－a,0)，N (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋a ，k 2＝y 0x 0－a，∴k 1k 2＝y 20x 20－a2，由P 在椭圆上知，x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2y 20b 2＝a 2－x 20，∴k 1k 2＝－b 2a 2，|k 1k 2|＝b 2a 2为定值，∴|k 1|＋|k 2|≥2|k 1k 2|＝2b a ，∴2ba ＝1，∴a ＝2b ，∴a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，∴e 2＝34，∴e ＝32.5．(2011·江西理，14)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[答案] x 25＋y 24＝1[解析] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条切线的方程为y ＝m (x －1)＋12， 由|－m ＋12|1＋m 2＝1得m ＝－34，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1. [点评] 直接设另一条切线的切点为(m ，n )，解得切点坐标(35，45)更简便．6．(2012·新疆维吾尔自治区模拟)已知椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，点D (0,4)，若AC →·BC →＝－3，|BD →|＝2 5.(1)求椭圆G 的方程；(2)过点D 的直线l 交椭圆G 于M ，N 两点，若∠NMO ＝90°，求|MN |的长．[解析] (1)∵A (－a,0)、B (a,0)、D (0,4)、C (0，b )， AC →·BC →＝－3，|BD →|＝25，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ，b )·(－a ，b )＝－3a 2＋42＝25，∴a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆G 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧ x 21＋4y 21＝4，y 1－4x 1·y 1x 1＝－1.⇒x 1＝±253，y 1＝23，∴直线l 的斜率k ＝±5则直线l 的方程为y ＝±5x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝±5x ＋4x 2＋4y 2＝4⇒21x 2±325x ＋60＝0，∴x 1＋x 2＝±32521，x 1x 2＝6021.∴|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43021.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案二七
高三高考数学国步分项分类题及析答案二七5-3平面向量的数量积基础巩固强化1.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c [答案] B[解析] a ·b ＝0⇒a ⊥b ，故A 错；a 2＝b 2⇔|a |＝|b |，得不出a ＝±b ，不要与实数x 、y 满足|x |＝|y |⇔x ＝±y 混淆，故C 错；a ·b ＝a ·c ⇔a ·(b －c )＝0，同A 知D 错，故选B.2．(文)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．23 B.32 C.33 D. 3[答案] D[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋3BD →)·AD →＝AB →·AD →＋3BD →·AD →，又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝3BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.(理)(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2上三点，且OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →等于( )A ．0 B.12 C.32 D ．－32[答案] A[解析] ∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝r (r >0)， ∵OA →＋OB →＝OC →，∴AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝|OB →|2－|OA →|2＝0，故选A.3．(文)(2012·山西大同调研)设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° [答案] B[解析] 设|a |＝m (m >0)，a ，b 的夹角为θ，由题设知(a ＋b )2＝c 2，即2m 2＋2m 2cos θ＝m 2，得cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b 的夹角为120°，故选B.(理)(2011·郑州一测)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a 、b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a ·b ＝1＋a ·b ＝32，∴a ·b ＝12，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，故选C.4．(文)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的射影数量是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 向量b 在a 上的射影数量为l ＝b·a|a|＝|b|·cos60°＝1.(理)(2011·天津宝坻质量调查)已知点A 、B 、C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →＋AB →＋AC →＝0(其中O 为坐标原点)，又|AB →|＝|OA →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影数量为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12 [答案] C[解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0得，OB →＝－OC →，即O 、B 、C 三点共线．又|AB →|＝|OA →|＝1，故向量BA →在向量BC →方向上的射影数量为|BA →|cos π3＝12.5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a 、b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是( )A.π4B.π2 C.3π4 D ．π[答案] A[解析] 由题意知(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∴θ＝π4，故选A.6．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m ⊥n ，则∠A 的大小为( )A.2π3B.π3C.π2D.π4[答案] B[解析] m ·n ＝b (b －c )＋c 2－a 2 ＝c 2＋b 2－a 2－bc ＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(理)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 的夹角为60°，直线x cos α－y sin α＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．随α，β值的变化而变化[答案] B[解析] |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)， ∵〈a ，b 〉＝60°， ∴cos60°＝a ·b |a |·|b |，∴cos(α－β)＝12，圆心(cos β，－sin β)到直线x cos α－y cos α＝0的距离d ＝|cos βcos α＋sin βsin α|cos 2α＋sin 2α＝|cos(α－β)|＝12<22， ∴直线与圆相交．7．(2011·新课全国文)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.[答案] 1[解析] 由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2－ab ＋k a ·b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a ·b ＋1)＝0，若a ·b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾，∴k －1＝0，∴k ＝1.8．(2011·江西文)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.[答案] －6[解析] ∵〈e 1，e 2〉＝π3，|e 1|＝1，|e 2|＝1，∴b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 1|2＝3－2cos π3－8＝－6.9．(2012·东北三校二模)已知M 、N 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0.内的两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN →·a 的最大值是________．[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a ＝(1,3)，直线AB ：3x －y －6＝0，显见a 是直线AB 的一个方向向量，由于M 、N 是△ABC 围成区域内的任意两个点，故当M 、N 分别为A 、B 点时，MN →·a 取最大值，求得A (0，－6)，B (4,6)，∴MN →＝AB →＝(4,12)，∴MN →·a ＝40.10．(文)设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．[解析](1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(14＋34)＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23a·b＋|b|2＝|a|2－23a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则(－12)×cosα＋32×sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.(理)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1，0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．[分析](1)由向量坐标运算定义可求b＋c，由模的定义得到关于α的三角函数关系式，化为一个角的一个三角函数，即可求得最值，或依据向量模的三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|求解．(2)∵α＝π4，∴a已知，由a⊥(b＋c)⇔a·(b＋c)＝0可得到关于cosβ的方程，解方程即可．[解析](1)解法1：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为解法2：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2， 当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2. 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)， a·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α ＝cos(α－β)－cos α.∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0， 即cos(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.解法2：若α＝π4，则a ＝(22，22)． 又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22.∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求.能力拓展提升11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A (1,0)为，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB ，(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2[答案] C[解析] 由条件知，OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，OC →＝(λ－2，3λ)， ∵∠AOC ＝120°，cos ∠AOC ＝OA →·OC→|OA →|·|OC →|＝λ－2(λ－2)2＋3λ2， ∴λ－2(λ－2)2＋3λ2＝－12，解之得λ＝1，故选C. 12．(文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案] B[解析] 设A 1A 2中点为P ，A 3A 4中点为Q ，则MA 1→＋MA 2→＝2MP →，MA 3→＋MA 4→＝2MQ →，∴2MP →＋2MQ →＝0，即MP →＝－MQ →，∴M 为PQ 中点， 所以有且只有一个点适合条件．(理)(2011·河北冀州期末)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x[答案] B[解析] 如图，△ABC 为直角三角形，由抛物线定义及条件知，|AC |＝|AF |＝|FB |＝12|AB |，∴∠ABC ＝π6，设|AC |＝t ，则|AB |＝2t ，∴|BC |＝3t ，∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos ∠ABC ＝2t ·3t ·cos π6＝3t 2＝48， ∴t ＝4，∴p ＝|DF |＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x ，故选B.13．(2011·日照二模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32[答案] D[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝|AB →|·|AC →|·|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →|·|AC →|＝32. 14．(文)(2011·菏泽模拟)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________.[答案] －23[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∴－2(4－k )－(－7)·(－2k )＝0，∴k ＝－23.(理)若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________. [答案] －2[解析] 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设M 点的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)，又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝(－32，－52)，可得M (－32，12)，所以MA →·MB →＝－2. 15．(2011·宁波十校联考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α的值． [解析] (1)由|a －b |＝255得，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2a ·b ＝45， ∴a ·b ＝35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝a ·b ＝35. (2)由0<α<π2，－π2<β<0得0<α－β<π，∴sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213， sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.16．(文)(2011·山东青岛二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，已知向量m ＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin A )，n ＝(sin A －sin C ，sin B )，且m ⊥n .(1)求角C 的大小；(2)若向量s ＝(0，－1)，t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2B 2，试求|s ＋t |的取值范围．[解析] (1)由题意得m ·n ＝(sin 2A －sin 2C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0，即sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为s ＋t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2B 2－1＝(cos A ，cos B )， 所以|s ＋t |2＝cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝1＋cos2A2＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A 2＝14cos2A －34sin2A ＋1＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋1.因为0<A <2π3，所以－π6<2A －π6<7π6，则－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6≤1， 所以－12≤－12sin(2A －π6)<14， 所以12≤|s ＋t |2<54，故22≤|s ＋t |<52.(理)(2012·东北三校联考)已知向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin A2，cos(B ＋C ))，A 、B 、C 为△ABC 的内角，其所对的边分别为a 、b 、c .(1)当m ·n 取得最大值时，求角A 的大小；(2)在(1)的条件下，当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． [解析] (1)m ·n ＝2sin A 2－cos(B ＋C )＝－2sin 2A 2＋2sin A 2＋1＝－2(sin A 2－12)2＋32，∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴当sin A 2＝12， 即A ＝π3时，m ·n 取得最大值．(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2得，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∵C ＝π－A －B ＝2π3－B ，∴b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝4＋2sin(2B －π6)， ∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6， ∴－12<sin(2B －π6)≤1，∴3<b 2＋c 2≤6， ∴b 2＋c 2的取值范围为(3,6]．1．已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，有两个点：A (－1，1)，B (3,3)，那么使向量P A →与PB →夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是( )A ．－1<a <2B ．0<a <1C ．－22<a <22 D ．0<a <2[答案] B[解析] 由题意设P (a,2a )，由数量积的性质知，两向量的夹角为钝角的充要条件为：P A →·PB →＝(－1－a,1－2a )·(3－a,3－2a )＝5a 2－10a <0，且除去P ，A ，B 三点共线这种特殊情况，解得0<a <2且a ≠1.分析四个选项中a 的取值范围使得满足条件a 的取值构成的集合只需真包含在集合{a |0<a <2且a ≠1}中即可，只有B 选项符合．2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 [答案] B[解析] 设AB 中点为P ， ∵|AB |＝3， ∴|AP |＝32，又|OA |＝1，∴∠AOP ＝π3， ∴∠AOB ＝2π3， ∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|· cos 2π3＝－12.3．(2011·安徽知名省级示范高中联考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列命题不正确．．．的是( ) A ．e 1在e 2方向上的射影数量为cos θB ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1 [答案] D[解析] ∵|e 1|＝1，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝θ， ∴e 1在e 2方向上的射影数量为|e 1|·cos θ＝cos θ，∴A 正确；又e 21＝e 22＝1，∴B 正确； ∵(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0，∴(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，∴C 正确； e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 不成立．4．(2011·海南三亚一中月考)已知两点M (－2,0)，N (2， 0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] B[解析] |MN →|·|MP →|＋MN →·NP → ＝|MN →|·|MP →|＋|MN →|·|NP →|cos θ ＝|MN →|·(|MP →|＋|NP →|·cos θ) ＝0(θ为MN →与NP →的夹角)， ∵|MN →|≠0，∴|MP →|＋|NP →|·cos θ＝0， ∴|MP →|＝|NP →|·cos(π－θ)，∴|MP →|＝|PK →|，如下图，又∵|MO |＝2，∴方程为y 2＝－8x ，选B.5．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.[解析](1)由a与b－2c垂直．a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32，∴|b＋c|的最大值为4 2.(3)由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案二八
高三高考数学国步分项分类题及析答案二八5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(2012·沈阳市二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足xAB →＋yAD →＋P A →＝0(x ，y ∈R )，则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为( )A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1[答案] D[解析] ∵xAB →＋yAD →＋P A →＝0，∴AP →＝xAB →＋yAD →，∵AD ＝2AB ，∠BAD ＝60°，∴BD ＝3AB ，∴|AP →|＝33|BD →|＝|AB →|，∴|AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝x 2|AB →|2＋y 2|AD →|2＋2xy ·AB →·AD →＝x 2|AB →|2＋4y 2|AB →|2＋2xy ·|AB →|·|AD →|·cos60°＝(x 2＋4y 2＋2xy )|AB →|2，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1，故选D.2．(2012·河北郑口中学模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 如图，PB →＋PC →＝PE →＝2PD →，∵PB →＋PC →＋2P A →＝0，∴P A →＋PD →＝0，∴P 为AD 的中点，∴所求概率为P ＝S △PBC S △ABC ＝12.3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由条件知|AC →|2＝(BC →＋BA →)·(BC →－BA →) ＝|BC →|2－|BA →|2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴△ABC 为直角三角形．4．(2012·郑州六校质检)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝14时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＝4t 2＋4t cos θ＋1＝4(t ＋cos θ2)2＋1－cos 2θ.又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.5．(文)(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.(理)设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 [答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120° ＝2×2×(－12)＝－2.6．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝()A ．6B ．－6C ．8D ．－8 [答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA → ＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8. 7.(文)(2011·佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 1[解析] 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．由题设条件得A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， ∴AE →·BD →＝1. (理)(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] －32[解析] AE →·BD →＝(AD →＋12DC →)·(BA →＋BC →)＝AD →·BA →＋AD →·BC →＋12DC →·BA →＋12DC →·BC →＝－32.8．(2011·河北玉田一中质检)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围为________．[答案] t ≥5[解析] 由题意知，f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则f ′(x )≥0在(－1，1)上恒成立⇔t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立，令g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13、开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，必有t ≥g (－1)成立，即t ≥5成立．故使f (x )在(－1,1)上是增函数的t 的取值范围是t ≥5.9.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x ×(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x －32)2－92，所以(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－92.10．已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝3，|b |＝1，x 为正实数．(1)若a ＋2b 与a －4b 垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求|x a －b |的最小值及对应的x 值，并指出向量a 与x a －b 的位置关系．[解析] (1)由题意得，(a ＋2b )·(a －4b )＝0.即a 2－2a ·b －8b 2＝0，得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 得cos θ＝16，又θ∈(0，π)，故θ∈(0，π2)， 因此，sin θ＝1－cos 2θ＝1－(16)2＝356，tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)|x a －b |＝(x a －b )2＝x 2a 2－2x a ·b ＋b 2 ＝9x 2－2x ×3×1×cos π6＋1＝9(x －36)2＋14，故当x ＝36时，|x a －b |取得最小值12，此时，a ·(x a －b )＝x a 2－a ·b ＝36×9－3×1×cos π6＝0，故向量a与x a －b 垂直.能力拓展提升11.(文)已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案] A[解析] 由P A →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A. (理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 由题意F (1,0)，设A (y 24，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)， ∵OA →·AF →＝－4，∴y 204(1－y 24)－y 20＝－4，解得y 0＝2或y 0＝－2.∴当y 0＝2时，x 0＝y 204＝1； 当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)．故选B.12．(2011·北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6 B.712π C.76π D.73π[答案] C[解析] 由图可知，T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2. ∵M (π12，1)在图象上， ∴sin(2×π12＋φ)＝1，∵|φ|＝π2，∴φ＝π3，∴y ＝A sin(2x ＋π3)，又∵M (π12，A )，N (7π12，－A )，OM →·ON →＝0， ∴π12×7π12－A 2＝0，∴A ＝712π， ∴A ·ω＝2×712π＝76π，故选C.13．(文)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，向量CA →在CB →方向上的投影为( )A ．－3B ．－ 3 C. 3 D ．3[答案] C[解析] ∵OA →＋AB →＋AC →＝0， ∴OB →＝CA →，∴|OB →|＝|CA →|，又|OA →|＝|AB →|，∴如图，AB ＝AC ＝OA ＝OB ＝OC ＝2，∠ACB ＝30°，∴CA →在CB →方向上的投影为|CA →|·cos30°＝2×32＝ 3.(理)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1， MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135°＝22×1×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－12，∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B.14．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．[答案]102[解析] ∵PF 与圆x 2＋y 2＝a 24相切，∴OE ⊥PF ，且OE ＝a2，∵OE→＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|PF 2|＝2|OE |＝a ，由双曲线定义知，|PF |＝|PF 2|＋2a ＝3a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF |2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴a 2＋9a 2＝4c 2，∴e 2＝52，∵e >1，∴e ＝102. 15.(文)点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，求证：AD ⊥BC .[分析] 要证明AD ⊥BC ，则只需要证明AD →·BC →＝0，可设AD →＝m ，AB →＝c ，AC →＝b ，将BC →用m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明] 设AB →＝c ，AC →＝b ，AD →＝m ，则BD →＝AD →－AB →＝m －c ，CD →＝AD →－AC →＝m －b . ∵AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2， ∴c 2＋(m －b )2＝b 2＋(m －c )2，即 c 2＋m 2－2m ·b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m ·c ＋c 2， ∴m ·(c －b )＝0，即AD →·(AB →－AC →)＝0， ∴AD →·CB →＝0，∴AD ⊥BC .(理)已知四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F .求证：AF ＝AE .[证明]如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则A (－1,1)，B (0,1)，设E (x ，y )，则BE →＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)，又AC →∥BE →，∴x ·(－1)－1×(y －1)＝0，∴x ＋y －1＝0 ①.又|CE →|＝|AC →|，∴x 2＋y 2－2＝0 ②.由①②得⎩⎨⎧x ＝1＋32y ＝1－32或⎩⎨⎧x ＝1－32y ＝1＋32(舍去)，即E (1＋32，1－32)．设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝(1＋32，1－32)共线得1－32x ′－1＋32＝0，解得x ′＝－2－3，∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)，AE →＝(3＋32，－1＋32)， ∴|AE →|＝(3＋32)2＋(－1＋32)2＝1＋3＝|AF →|，∴AF ＝AE .16．(文)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)．(理)(2011·山东潍坊质检)已知椭圆x 28＋y 22＝1的两个焦点分别为F 1和F 2，点P 为椭圆上的动点，则当∠F 1PF 2为锐角时，求点P 的纵坐标y 0的取值范围．[分析] ∠F 1PF 2可视为PF 1→与PF 2→的夹角，因此可通过PF 1→·PF 2→>0建立关于y 0的不等式求得y 0的取值范围．[解析] 设P (x 0，y 0)，由于P 点在椭圆上，所以x 208＋y 202＝1，∵PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2，若∠F 1PF 2为锐角，则cos ∠F 1PF 2>0， 故PF 1→·PF 2→>0，而F 1(－6，0)，F 2(6，0)， PF 1→＝(－6－x 0，－y 0)，PF 2→＝(6－x 0，－y 0)， 所以PF 1→·PF 2→＝x 20－6＋y 20>0，又x 20＝8－4y 20，因此8－4y 20＋y 20－6>0，解得－63<y 0<63，但由于当y 0＝0时，点P 与椭圆长轴重合，∠F 1PF 2不是锐角，所以y 0的取值范围是－63<y 0<0或0<y 0<63.[点评] 利用平面向量的数量积可以解决角的范围问题，如果∠APB 为锐角(钝角)时，可通过P A →·PB →>0(P A →·PB →<0)来求解，但要注意其中A 、P 、B 三点共线的情况．本题中很容易忽视y 0≠0这一限制条件．1．(2011·江南十校素质测试)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|k a ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)[答案] C[解析] 根据|k a ＋b ＋c |>1可得|k a ＋b ＋c |2>1， ∴k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2c ·b >1， ∴k 2－2k >0，k <0或k >2.2．(2011·浙江理)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．[答案] [π6，5π6][解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12， ∵|α|≤1，|β|≤1，∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]．3．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在动摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？[分析] 力F 作用下物体位移s 所做的功W ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉．[解析] 设木块的位移为s ，则F ·s ＝|F ||s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)， F 在竖直方向上的分力的大小为 |F |sin30°＝50×12＝25(N)． 所以，摩擦力f 的大小为 |f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 所以f ·s ＝|f ||s |cos180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J. 4．求证：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．[分析] 联想到向量模的坐标表示式，可将a 2＋b 2与c 2＋d 2分别视作向量α＝(a ，b )，β＝(c ，d )的模，于是ac ＋bd ＝α·β，因此可以运用向量知识探求证明方法．[证明] 设OA →＝(a ，b )，OB →＝(c ，d )．当OA →、OB →至少有一个为零向量时，所证不等式成立； 当OA →、OB →均不是零向量时，设其夹角为α，则有cos α＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|＝ac ＋bda 2＋b 2·c 2＋d2， ∵|cos α|≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd a 2＋b 2·c 2＋d 2≤1，即(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．[点评]待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向量方法去试着解决．本例中a2＋b2，c2＋d2与向量的模有联系，而ac＋bd与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示．。
高三高考数学国步分项分类题及析答案五七
高三高考数学国步分项分类题及析答案五七8-5双曲线 基础巩固强化1.(文)(2011·烟台调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1[答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝(2＋3)2＋1－(2－3)2＋1 ＝8＋43－8－43＝22， ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.(理)已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1 [答案] A[解析] 由题意知(1＋k )(1－k )>0， ∴－1<k <1.2．(2011·湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.3．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线y 2m －x 22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 2 [答案] A[解析] 由条件知m ＋2＝4，∴m ＝2， ∴离心率e ＝22＝ 2.(理)(2011·浙江金华十校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.54 B.52 C.32 D.54 [答案] B[解析] 因为椭圆的离心率e ＝32，即c a ＝32，也即a 2－b 2a 2＝34，所以b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54，即a 2＋b 2a 2＝54，则双曲线离心率e ′＝c ′a ＝52，故选B. 4．(文)(2011·山东理，8)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案] A[解析] 依题意：⊙C 方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心C (3,0)，半径r ＝2，∴双曲线的右焦点F 2为(3,0)，即c ＝3.又双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，∴|3b |a 2＋b2＝2，即b ＝2，∴a 2＝9－4＝5，故选A. (理)过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 [答案] B[解析] 过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB |＝4；若l 经过顶点，此时|AB |＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB |＝4的直线有两条，故选B.5．(文)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 [答案] D[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k <－1.(理)(2011·南昌一模)设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||FA |的值为( )A.25B.52C.54D.45[答案] D[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)，|FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |，所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||FA |＝810＝45，选D. 6．(2011·新泰一中模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上的一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF 2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切[答案] A[解析] 取PF 2的中点M ，则2|OM |＝|F 1P |，且O 、M 为两圆圆心，OM 为圆心距．由双曲线定义可知|PF 2|－|PF 1|＝2a ， 即2|MF 2|－2|OM |＝2a ，∴|OM |＝|MF 2|－a ， 即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．7．(2011·辽宁大连模拟)若双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，则a 的值为________．[答案] 2[解析] ∵焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±3a x ，又一条渐近线方程为y ＝32x ，∴a ＝2.8．(文)(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．[答案] 2[解析]由条件知，⎩⎨⎧4a 2－9b2＝1，a 2＋b 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3.∴a ＝1，c ＝2，∴e ＝ca＝2.(理)(2011·长沙二模)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．[答案] x 216－y 29＝1[解析] 由已知得在椭圆中a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，由此知道在双曲线中a ＝4，c ＝5，故双曲线中b ＝3，双曲线方程为x 216－y 29＝1. 9．(2011·宁波二模)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点．若以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的渐近线y ＝bax 交于点A (不同于O 点)，则△OAF 的面积为________．[答案] ab[解析] 因为右焦点F (c,0)到渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0的距离为|bc |a 2＋b2＝b ，所以|OA |＝2a ，故△OAF 的面积为12×2a ×b ＝ab .10．(文)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得0<a <2且a ≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2，∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960， ∵a >0，∴a ＝1713(理)(2012·湖南师大附中第七次月考)已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，其渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为74的直线l ，交双曲线左支于A ，B 两点，交y 轴于点C ，且满足|PA |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设点M 为双曲线上一动点，点N 为圆x 2＋(y －2)2＝14上一动点，求|MN |的取值范围．[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ， 因为渐近线与圆(x －5)2＋y 2＝5相切， 则|5k |k 2＋1＝5，即k ＝±12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .设双曲线方程为x 2－4y 2＝m ，将y ＝74(x ＋4)代入双曲线方程中整理得，3x 2＋56x ＋112＋4m ＝0.所以x A ＋x B ＝－563，x A x B ＝112＋4m 3.因为|PA |·|PB |＝|PC |2，点P 、A 、B 、C 共线，且点P 在线段AB 上，则(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16.所以4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0.于是4·(－563)＋112＋4m3＋32＝0，解得m ＝4.故双曲线方程是x 2－4y 2＝4，即x24－y 2＝1.(2)设点M (x ，y )，圆x 2＋(y －2)2＝14的圆心为D ，则x 2－4y 2＝4，点D (0,2)．所以|MD |2＝x 2＋(y －2)2＝4y 2＋4＋(y －2)2 ＝5y 2－4y ＋8＝5(y －25)2＋365≥365.所以|MD |≥655，从而|MN |≥|MD |－12≥125－510故|MN |的取值范围是[125－510，＋∞).能力拓展提升11.(文)(2011·皖南八校联考)已知抛物线x 2＝43y 的准线过双曲线x 2m2－y 2＝－1的一个焦点，则双曲线的离心率为( ) A.324B.3104C. 3D.33[答案] C[解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0，3)，其准线方程为y ＝－3，∵双曲线x 2m 2－y 2＝－1的焦点坐标为(0，±m 2＋1)，∴m 2＋1＝3＝c 2，∴c ＝3， ∴双曲线的离心率为e ＝ca＝ 3.(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B.3＋1C.2＋1D.22＋12[答案] C[解析] 由AF ⊥x 轴知点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，代入双曲线方程中得，p 24a 2－p 2b 2＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同， ∴c ＝p2，即p ＝2c ，又b 2＝c 2－a 2，∴4c 24a 2－4c2c 2－a 2＝1，由e ＝ca 代入整理得，e 4－6e 2＋1＝0，∵e >1，∴e 2＝3＋22，∴e ＝2＋1.12．(文)(2011·浙江文，9)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3， ∴|OP |＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a 15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1.①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝112b 2＝12.故选C.(理)(2011·江西南昌调研)设圆C 的圆心在双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：x －3y ＝0截得的弦长等于2，则a ＝( )A.14B. 6C. 2 D ．2[答案] C[解析] 由条件知，圆心C (a 2＋2，0)，C 到渐近线y ＝2ax 的距离为d ＝2(a 2＋2)2＋a 2＝2为⊙C 的半径，又截得弦长为2，∴圆心C 到直线l ：x －3y ＝0的距离a 2＋221，∴a 2＝2，∵a >0，∴a ＝ 2.13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] 由题意知双曲线方程可设为m 2x 2－y 2＝1，从而e ＝m 2＋1>3⇒m >22，故所求概率是79，故填79.14．(2012·辽宁文，15)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[答案] 2 3[解析] 本题考查了双曲线的概念．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，∴2mn ＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.[点评] 充分利用PF 1⊥PF 2, 将||PF 1|－|PF 2||＝2a ，转化到|PF 1|＋|PF 2|是解决本题的关键，也可以设|PF 2|＝x ，利用定义及PF 1⊥PF 2建立x 的方程求解．15．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)在(2)中求△F 1MF 2的面积． [解析] (1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， 所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3. 故k MF 1·k MF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2. 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝6.16．(文)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x为C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)，当PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，且λ1＋λ2＝－83时，求Q 点的坐标．[解析] (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3. ∴双曲线C 的方程为x 2－y23＝1.(2)如图所示，由题意知，直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程为y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 Q (－4k，0)．∵PQ →＝λ1QA →，∴(－4k ，－4)＝λ1(x 1＋4k ，y 1)．∴⎩⎨⎧－4k ＝λ1(x 1＋4k ，－4＝λ1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－41－4k ，y 1＝－4λ1.∵A (x 1，y 1)在双曲线C 上， ∴16k 2(1＋λ1λ1)2－163λ211＝0. ∴16＋32λ1＋16λ21－163k 2－k 2λ21＝0. ∴(16－k 2)λ21＋32λ1＋16－163k 2＝0.同理有(16－k2)λ22＋32λ2＋16－163k 2＝0.若16－k 2＝0，则直线l 过顶点，不合题意． ∴16－k 2≠0.∴λ1、λ2是二次方程(16－k 2)x 2＋32x ＋16－1632＝0的两根．∴λ1＋λ2＝32k 2－16＝－83.∴k 2＝4.此时Δ>0，∴k ＝±2. ∴所求点Q 的坐标为(±2,0)．(理)(2011·临沂模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝1，故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2 由OA →·OB →>2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3②由①②得13<k 2<1，∴33<k <1或－1<k <－33.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.1．(2012·河南郑口中学模拟)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则以线段PF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] B[解析] 设双曲线左焦点为F 1，PF 的中点为C ，则由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF |＝2a ，∵C 、O 分别为PF 、F 1F 的中点，∴|PF 1|＝2|CO |，|PF |＝2|PC |，∴|CO |－|PC |＝a ，即|PC |＋a ＝|CO |，∴两圆外切．2．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52 D. 5[答案] C[解析] 由题意得b a ＝12，∴b 2a 2＝14，∴c 2－a 2a 2＝14，∴e 2＝54，∵e >1，∴e ＝52.3．(2012·浙江文，8)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 2[答案] B[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e 的求法．设椭圆长轴长为2a ，则双曲线实半轴长为2a 4＝a2，因为椭圆与双曲线有公共焦点， 所以离心率的比值e 1e 2＝c a 2ca＝2.4．若椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －a B.12(m －a ) C ．m 2－a 2D.12(m 2－a 2) [答案] C[解析] (|PF 1|＋|PF 2|)2＝4m 2，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2， ∴|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.∴选C.5．(2011·新课标全国理，7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 依题意：|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2·2a ，即b 2a2＝2，∴e ＝1＋b 2a 2＝3，选B.6．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34yD ．y ＝±34x[答案] D[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n |2|m |＝±34.方程为y ＝±34x .7．(2011·浙江杭州月考)双曲线x 2－y 2b2＝1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．[答案]5[解析] 双曲线x 2－y2b2＝1的右焦点F (c,0)到渐近线bx ＋y ＝0的距离：|bc |b 2＋1＝b ＝2，又a ＝1. ∴c 2＝a 2＋b 2＝5，c ＝ 5.∴双曲线的离心率e ＝ca ＝ 5.10．(2011·北京海淀期末)如图，已知|AB |＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A ，B 为焦点的双曲线，若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别记为e M 、e N 、e P ，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．[答案] e M <e P <e N[解析] 由图知|AB |＝10，经过M ，N ，P 的双曲线的半焦距均为5，由|MB |－|MA |＝7知过点M 的双曲线实半轴长为72，同理可知过N ，P 的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知e N >e P >e M .。
高三高考数学国步分项分类题及析答案六
高三高考数学国步分项分类题及析答案六2-4指数与指数函数 基础巩固强化1.函数f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |< 2 D ．1<|a |< 2[答案] D[解析] 由题意知，0<a 2－1<1， ∴1<a 2<2，∴1<|a |< 2.2．(文)若指数函数y ＝a x 的反函数的图象经过点(2，－1)，则a 等于( )A.12 B ．2 C ．3 D ．10 [答案] A[解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝a x 过点(－1,2)，故选A.(理)(2011·山东文，3)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33 C ．1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x 图象上知3a ＝9， 即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3.3．(2012·北京文，5)函数f (x )＝x 12 －(12)x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 函数f (x )＝x 12 －(12)x 的零点个数即为方程x 12 ＝(12)x 的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 12 和y ＝(12)x 的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象． 4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C[解析] y ＝2x ＋1的图象关于y 轴对称的曲线对应函数为y ＝21－x ，故选C.(理)(2011·聊城模拟)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤1[答案] A[解析] ∵|1－x |∈[0，＋∞)，∴2|1－x |∈[1，＋∞)， 欲使函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，应有m ≤－1. 5．(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <1，x －1， x ≥1，且f (a )>1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，2a >1，得0<a <1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a －1>1，得a >2，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)[答案] C[解析] 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.6．f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≥4，f (x ＋1) x <4.则f (2＋log 23)的值为( )A.13B.16C.112D.124[答案] D[解析] ∵1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)7．(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a <b )，b (a ≥b )，则函数f (x )＝3x *3－x 的值域是________．[答案] (0,1][解析] 由a *b 的定义知，f (x )取y ＝3x 与y ＝3－x 的值中的较小的，∴0<f (x )≤1.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于________．[答案] 9[解析] 由程序框图可知，h (x )的值取f (x )与g (x )的值中较大的，∵f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9,9>8，∴h (3)＝9.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0.则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图． |f (x )|≥13⇒f (x )≥13 或f (x )≤－13.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13或1x ≤－13 ∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．9．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x1＋4x，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1 x ∈(－1，0)，0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1)，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．(理)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． [分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))；(2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性； (3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1].能力拓展提升11.(文)(2012·四川文)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[答案] C[解析] 根据函数y ＝a x －a 过定点(1,0)，排除A 、B 、D 选项，得C 项正确．(理)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系内的图象大致是( )[分析] 函数f (x )＝1＋log 2x 的图象可由函数y ＝log 2x 的图象变换得到；函数y ＝2－x ＋1可由函数y ＝(12)x 的图象变换得到．[答案] C[解析] f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象向上平移一个单位长度得到的；g (x )＝2－x ＋1＝(12)x －1的图象可由y ＝(12)x的图象向右平移一个单位长度得到．[点评] 幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )A ．有极大值B ．有极小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] C[解析] 设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝ex 2＋1ex 2－ex 1－1ex 1＝(ex 2－ex 1)－ex 2－ex 1ex 2ex 1＝(ex 2－ex 1)(1－1ex 2ex 1)>0，所以函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3) B ．(94，3) C ．(2,3) D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵{a n }是递增数列， ∴f (n )为单调增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a >0，a 8－6>(3－a )×7－3，∴2<a <3.13．(2011·陕西师大附中一模)设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.[答案]10[解析] ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.14．(文)(2011·南通六校联考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．[答案] m <n[解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)，∴y ＝a x 是减函数， 故a m >a n ⇒m <n .(理)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13 [解析]T 7＝C 69(2x )3·⎝⎛⎭⎪⎫－226＝212×8x＝214，∴3x ＝－1，∴x ＝－13.15．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数． ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )为R 上增函数．(3)令y ＝2x －12x ＋1，则2x＝－1－y y －1，∵2x>0，∴－1－yy －1>0，∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(理)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立．所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立．∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ， ∴－4·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，设2x＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝(t 2－t 1)(4t 1t 2－1)t 1t 2>0 p (t 1)－p (t 2)＝(t 1－t 2)(2t 1t 2＋1)t 1t2<0 所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增， h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5,1]．1．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，12)[答案] D[解析] 若a >1，如图(1)为y ＝|a x －1|的图象，与y ＝2a 显然没有两个交点；当0<a <1时，如图(2)，要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，应有2a <1，∴0<a <12.2．设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a ，|2b －1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以有a ＋b ＝1，选A.[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b >a ≥0，从而避免了对a 、b 的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a 、b 的方程组求解．3．(2011·石家庄一中模拟)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC.12x D．x2 [答案] B[解析]函数y＝a x的反函数是f(x)＝log a x，∵其图象经过点(a，a)，∴a＝log a a，∴a＝12，∴f(x)＝log12x.4．已知所有的点A n(n，a n)(n∈N*)都在函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象上，则a3＋a7与2a5的大小关系是()A．a3＋a7>2a5B．a3＋a7<2a5C．a3＋a7＝2a5D．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关[答案] A[解析]因为所有的点A n(n，a n)(n∈N*)都在函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象上，所以有a n＝a n，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得：a3＋a7>2a3·a7＝2a10＝2a5，∴a3＋a7>2a5(因为a>0，a≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.5．(2011·山东济南一模)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是()A．0<t≤2 B．0<t≤4C．2<t≤4 D．t≥4[答案] C[解析]由4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，得(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)．即t2－2·2x＋y＝2t，t2－2t＝2·2x＋y.又由2x ＋2y ≥22x ＋y，得2x ＋y≤14(2x ＋2y )2，即2x ＋y≤14t 2.所以0<t 2－2t ≤12t 2.解得2<t ≤4. 6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≤1，log 2(x －1) x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得， ⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12，x ≤1，或⎩⎨⎧log 2(x －1)≤12，x >1，∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．7．(2011·潍坊模拟)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x －1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．[答案] f (23)<f (32)<f (13)[解析] 由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )为单调增函数，则x ≤1时，f (x )为单调减函数．又f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，13<12<23， ∴f (23)<f (32)<f (13)．8．已知函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0，a ≠1)，若f (－1)＝3，则f (0)＋f (2)的值为________．[答案] 9[解析] 由f (－1)＝3得a ＋1a ＝3， 于是f (2)＝a 2＋1a 2＝(a ＋1a )2－2＝32－2＝7. 又∵f (0)＝1＋1＝2，∴f (0)＋f (2)＝9.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于()A ．2 3B ．2－ 3C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x;(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析]f (x )d x ＝sin 5x d x ＋1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B. 2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( ) A.2＋π4 B.12C ．1D.32 [答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案五八
高三高考数学国步分项分类题及析答案五八8-6抛物线 基础巩固强化1.(2011·东北三校联考)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B.3 C.33 D.36[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)到双曲线x 212y 24＝1的渐近线y ＝±33x 的距离d ＝1.2．过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] D[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D. 3．(文)(2011·茂名一模)直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72[答案] A[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y 2＝4x 可得A (9,6)，B (1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP |＝10，|QB |＝2，|PQ |＝8，故S 梯形APQB ＝12(|AP |＋|QB |)·|PQ |＝48，故选A.(理)(2011·石家庄模拟)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16 B.116 C ．4 D.14[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，y A ＝14，y D ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)． ∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 4．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8C.17－1D.5＋2[答案] C[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.5．(文)(2012·山西四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x[答案] B[解析] 设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF |＝5得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝5n 2＝8m ，由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝49a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，选B.(理)(2012·辽宁文，12)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8[答案] C[解析] 本题考查了导数的几何意义． 由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)． ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝8，y 2＝2.∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x .∴过点P 的切线斜率为k 1＝4， 切线方程为y ＝4x －8，又∵过点Q 的切线斜率为k 2＝－2， ∴过点Q 的切线为y ＝－2x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A 的纵坐标为－4.[点评] 注意对抛物线方程的整理，化为二次函数形式，然后利用导数求切线方程．6．(2011·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3[答案] C[解析] 由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x 轴对称，所以过抛物线焦点F 作斜率为33(或斜率为－33)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x 轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．7．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.8．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 242，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．9．(文)(2011·湖南六校联考)AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离为________．[答案] 94[解析] 由题可知|AB |＝4，所以A 、B 两点分别到准线x ＝－14的距离之和为4，所以AB 的中点到准线x ＝－14的距离为2，所以AB的中点到直线x ＝－12的距离为2＋14＝94.(理)(2011·黑龙江哈六中期末)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则AB 的长为________．[答案] 10[解析] 2p ＝8，∴p2＝2，∴E 到抛物线准线的距离为5，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2×5＝10.10．(文)(2011·福建文，18)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4x －4b ＝0(*) ∵直线l 与抛物线相切， ∴△＝(－4)2－4×(－4b )＝0， ∴b ＝－1.(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A (2,1)． ∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切， ∴r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(理)(2011·韶关月考)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .[解析] (1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y . (2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .能力拓展提升11.(文)(2011·山东文，9)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程y ＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r >4.又因为点M (x 0，y 0)为抛物线x 2＝8y 上一点，所以有x 20＝8y 0.又点M (x 0，y 0)在圆x 2＋(y －2)2＝r 2上．所以x 20＋(y 0－2)2＝r 2>16，所以8y 0＋(y 0－2)2>16，即有y 20＋4y 0－12>0，解得y 0>2或y 0<－6(舍)，∴y 0>2.故选C.(理)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p2， ∵k AB ＝1，∴p ＝2，∴y 2＝4x ， ∴准线方程为：x ＝－1，故选B.12．(2012·安徽理，9)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322 D ．2 2[答案] C[解析] 设∠AFx ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ；由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cos θ，∴cos θ＝13，又m ＝2－m cos θ⇔m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322.故选C. [点评] 也可以先由定义和|AF |＝3求得A 点坐标得出AF 的方程，再解方程组求得AF 与抛物线的另一交点B ，然后求面积．13．(2011·台州二检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ [答案] A[解析] 因为|PF |＝|MF |＝|NF |，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误；令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．14．(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水位下降1m 后，水面宽________m.[答案] 2 6[解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用． 如图建立坐标系设方程x 2＝－2py (p >0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽26m.[点评] 抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．15．(文)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8，化简得x 2＝2y .(2)证明：将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中得，x 2＝2(x ＋2)．整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，∴y 1·y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.∴k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1， ∴OC ⊥OD .(理)(2011·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．[解析] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x 中得，y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点．16．已知OA →＝(0，－2)，OB →＝(0,2)，直线l ：y ＝－2，动点P 到直线l 的距离为d ，且d ＝|PB →|.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线m ：y ＝kx ＋1(k >0)与点P 的轨迹交于M ，N 两点，当AM →·AN →≥17时，求直线m 的倾斜角α的取值范围；(3)设直线h 与点P 的轨迹交于C ，D 两点，写出命题“如果直线h 过点B ，那么OC →·OD →＝－12”的逆命题，并判断该逆命题的真假，请说明理由．[解析] (1)由题意知，动点P 到直线l 的距离与P 到定点B 的距离相等，所以P 的轨迹是以B 为焦点，l 为准线的抛物线，点P 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝8y ， 消去y 并整理得x 2－8kx －8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为k >0，所以Δ＝64k ＋32>0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8.所以y 1＋y 2＝kx 1＋1＋kx 2＋1＝k (x 1＋x 2)＋2＝8k ＋2，y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝kx 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－8k ＋k ·8k ＋1＝1，所以AM →·AN →＝(x 1，y 1＋2)·(x 2，y 2＋2)＝x 1x 2＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝x 1x 2＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝－8＋1＋2(8k ＋2)＋4＝16k ＋1.而AM →·AN →≥17，所以16k ＋1≥17，所以k ≥1，即tan α≥1，又0≤α<π，所以π4≤α<π2，即直线m 的倾斜角α的取值范围是[π4，π2)． (3)逆命题：若OC →·OD →＝－12，则直线h 过点B .为假命题． 设h ：y ＝nx ＋b ，代入x 2＝8y ，消去y 得x 2－8nx －8b ＝0. 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝8n ，x 3·x 4＝－8b ，所以OC →·OD →＝x 3x 4＋y 3y 4＝x 3x 4＋(nx 3＋b )(nx 4＋b )＝－8b ＋n 2(－8b )＋bn ·8n ＋b 2＝b 2－8b .令b 2－8b ＝－12，解得b ＝2或b ＝6.此时直线h 过点(0,2)或(0,6)，故逆命题为假命题．1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16[答案] B[解析]解法1：如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即P 点的纵坐标为43，∴(43)2＝8x ，∴x ＝6，∴|PA |＝8，∴|PF |＝8，故选B.解法2：设A (－2，y )，∵F (2,0)，∴k AF ＝y －4＝－3， ∴y ＝43，∴y p ＝43，∵P 在抛物线上，∴y 2p ＝8x p ，∴x p ＝y 2p 8＝6， 由抛物线定义可得|PF |＝|PA |＝x p －x A ＝6－(－2)＝8，故选B.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 1的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A. 3．(2011·大连一模)已知抛物线x 2＝4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点A (3,2)，则|PA |＋|PM |的最小值为________．[答案] 10－1[解析] 设d 为点P 到准线y ＝－1的距离，F 为抛物线的焦点，由抛物线定义及数形结合得，|PA |＋|PM |＝d －1＋|PA |＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝10－1.4．(2011·南京调研)已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．[答案] 4[解析] 由M 向抛物线的准线作垂线，垂足为B ，则|MF |＝|MB |，圆心C (4,1)，显然当B 、M 、A 、C 在同一条直线上时，|MA |＋|MF |取最小值，且(|MA |＋|MF |)min ＝|BC |－1＝5－1＝4.5．(2011·德州模拟)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是________．[答案] 5[解析] 两圆的圆心A (－4,0)，B (4,0)恰好为双曲线的焦点，由双曲线的定义知，||PA |－|PB ||＝2，∴|PM |－|PN |≤||PA |－|PB ||＋2＋1＝5.6．(2011·中山模拟)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ， ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2， 当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五
高三高考数学国步分项分类题及析答案一五3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4， ∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C [解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] f (x )d x ＝sin 5x d x ＋1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( ) A.2＋π4 B.12C ．1D.32 [答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40 [解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
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高三高考数学国步分项分类题及析答案一四 3-3导数的实际应用 基础巩固强化 1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A.3V B.32V C.34V D．23V [答案] C
[解析] 设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝34a2h，∴
h＝4V3a2，表面积S＝32a2＋3ah＝32a2＋43Va， 由S′＝3a－43Va2＝0，得a＝34V，故选C. (理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )
A.R2和32R B.55R和455R C.45R和75R D．以上都不对 [答案] B [解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为
2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2 (0＜x＜R)， l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x＝55R. 当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0. 所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R，455R.
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 [答案] C
[解析] ∵y＝－13x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C. [点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定． 3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( ) A.ab B.a2b C.ba D.b2a [答案] C [解析]
如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h. 设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·VπR2＝2πaR2＋2bVR，
∴y′＝4πaR－2bVR2. 令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，2Rh＝ba. (理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )
A.S3π B.3πS
C.6πS6π D．3π·6πS [答案] C [解析] 设圆柱底面半径为r，高为h， ∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝S－2πr22πr， 又V＝πr2h＝rS－2πr32，则V′＝S－6πr22，令V′＝0， 得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝6πS6π. 4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝
400x－12x2，0≤x≤400，
80000， x＞400.则总利润最大时，每年生产的产品是
( ) A．100 B．150 C．200 D．300 [答案] D [解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R
－C＝ 300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x＞400，
P′＝ 300－x，0≤x≤400，－100，x＞400. 令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大． 5．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A．R B．2R
C.43R D.34R [答案] C [解析] 设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2， ∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3， V′＝43πRh－πh2，令V′＝0得h＝43R.
(理)要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )
A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm [答案] D [解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，
其体积为V＝13πx(400－x2) (0＜x＜20)， V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝2033. 当0＜x＜2033时，V′＞0；当2033＜x＜20时，V′＜0， 所以当x＝2033时，V取最大值． 6．(2012·保定模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f ′(x)>12，则满足2f(x)A．{x|－1C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1} [答案] B [解析] 令g(x)＝2f(x)－x－1，
∵f ′(x)>12，∴g′(x)＝2f ′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0， ∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)7．(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________． [答案] 3m3
[解析] 设长方体的宽为x，则长为2x，高为92－3x (0
故体积为V＝2x292－3x＝－6x3＋9x2， V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1， ∵0∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3. (理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________． [答案] 1.2m [解析] 设容器的短边长为xm， 则另一边长为(x＋0.5)m， 高为14.8－4x－4x＋0.54＝3.2－2x. 由3.2－2x>0和x>0，得0设容器的容积为ym3， 则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x， ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6， 令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－415(不合题意，舍去)， ∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8. 8．(文)(2011·北京模拟)若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________． [答案] (－1，＋∞) [分析] 函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f ′(x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f ′(x)<0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．
[解析] 解法1：f ′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f ′(x)<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1－1. 解法2：f ′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx， 由题意可知f ′(x)<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)内有实数解． 即a>1x2－2x在(0，＋∞)内有实数解． ∵x∈(0，＋∞)时，1x2－2x＝(1x－1)2－1≥－1，∴a>－1. (理)(2011～2012·黄冈市期末)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y＝f(x)的导数，f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)
＝13x3－12x2＋3x－512，请你根据这一发现，求：
(1)函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为________； (2)计算f(12014)＋f(22014)＋f(32014)＋f(42014)＋…＋f(20132014)＝________. [答案] (1)(12，1) (2)2013 [解析] (1)f ′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝12，f(12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(12，1)． (2)∴f(k2014)＋f(1－k2014)＝f(k2014)＋f(2014－k2014)＝2(k＝1，2，…，1007)， ∴f(12014)＋f(22014)＋…＋f(20132014)＝[f(12014)＋f(20132014)]＋[f(22014)＋f(20122014)]＋…＋[f(10062014)＋f(10082014)]＋f(10072014)＝2×1006＋1＝2013. 9．有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？ [分析] 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小．问题转化为V一定求总造价y的最小值，选取恰当变量(圆柱高h或底半径r)来表示y即变为函数极值问题． [解析] 设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)． 由于V＝πr2h，得h＝Vπr2，所以y＝4mπr2＋2mVr (r>0)． 所以，y′＝8mπr－2mVr2. 令y′＝0，得r＝V4π13，此时，h＝Vπr2＝4V4π13. 该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零