高一数学-高一数学第五章(第2课时)向量的加法与减法(1) 精品
6.2.2 向量的减法运算(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
3
向量的减法运算 创设情境 问题2：类比实数x的减法，你认为向量的减法该怎样定义?
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
4
向量的减法运算 向量的减法
向量的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)
问题3：任意两个非零向量a与b，根据减法的定义如何作图得到a-b？
解：因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以C→D＝A→E＝c， B→C＝A→C－A→B＝b－a， 故B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
14
3:6
向量的减法运算 方法小结
用向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则 和三角形法则. (2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是 否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有 共同起点的向量的终点？ (3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.
（2）试探索不同情况下|a-b|，|a|，|b|之间的关系.
7
向量的减法运算 例练结合 例1 如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a−b，c−d．
a
b
d
c
b
d
a
c
O
8
向量的减法运算 例练结合
变式：如图，已知向量 a，b，c不共线，求作向量a b c .
法一：如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，再作O→C＝c， 则C→B＝a＋b－c.
4.如图所示，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 c，d 表示E→C.
高一数学下学期向量加法减法习题精选 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高一数学下学期向量加法减法习题精选一、选择题1．以下各式正确的选项是〔〕A．假设a、b同向，那么B．与表示的意义是一样的C．假设a、b不一共线，那么D．永远成立2．等于〔〕A．B．0 C．D．3．假设a、b、a＋b均为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，那么〔〕A．B．C．D．以上都不对①假设a与b的方向一样或者相反，那么的方向必与a、b之一的方向一样。
②△ABC中，必有0。
③假设0，那么A、B、C为一个三角形的三个顶点。
④假设a、b均为非零向量，那么与一定相等。
〕A．0B．1C．2D．35．一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，那么向量等于〔〕A．B．C．D．6．如图，在四边形ABCD中，设，那么等于〔〕A．B．C．D．7．设b是a的相反向量，那么以下说法错误的选项是〔〕A．a与b的长度必相等B．C．a与b一定不相等D．a是b的相反向量8．可以写成：①；②；③；④，其中正确的选项是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④〕①是的必要不充分条件；②任一非零向量的方向都是惟一的；③；④假设，那么0；⑤A、B、C是平面上的任意三点，那么0。
A．1B．2C．3D．410．某人先位移向量a：“向东走3km〞，接着再位移向量b：“向北走3km〞，那么〔〕A．向东南走kmB．向东北走kmC．向东南走kmD．向东北走km11．假设，那么的取值范围是〔〕A．B．〔3，8〕C．D．〔3，13〕二、填空题12．假设三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，那么＝。
13．设ABCDEF为一正六边形，，那么14．化简：15．如下列图，用两根绳子把重10kg的物体W吊在程度杆子AB上，，那么A和B处所受力的大小〔绳子的重量忽略不计〕分别是。
三、解答题16．如下列图，在ABCD中，，用a、b表示向量、。
17．如下列图，在矩形ABCD中，，设。
试求。
18．如下列图，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点。
高一数学_向量减法与几何意义_教学课件
o·
三角形法则
把任意两个非零向量平 移到同一个起点，连接 终点，箭头指向被减向 量。
B b
o·
a
A
同起点、连终点、指向被减
一.共线向量的减法 求作:a - b
A
C
B B
a b
C
A
练习 1.已知 a, b, 作出 a b.
(1) a
( 2)
a b
a b
b
例题讲解：
例题1、如图：已知向量a ， b， c， d, 求作： a c 、 b d.
规定：零向量的相反向量还是零向量。
思
– a – b b =____, 1、若 a , b 是互为相反向量,那么 a =____, a + b =____ 0 2、 – （ – a ) =
考
a
a + b 的相反向量是 – ( a + b )
a加上b的相反向量叫做a与b的差， 即：a+(-b)=a-b。
（a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？ （不可能，∵对角线方向不同）
练习： 判断下列命题的真假：
√ 2、相反向量就是方向相反的向量。× 3、AB＝OA－OB。 × 4、a + b > a - b ×
1、AB+BA=0 。
相反向量的概念，及其应用； 向量减法的定义，及其运算法则；
内在 联系
a
b
aHale Waihona Puke a b a ( b )
作
1、思考：
业
证明：对于任意的两个 向量
a ,b
都有
a b ab a b
a b c 与 a b c 相等吗？ 思考 r 2：
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
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(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
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自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
人教B版高中数学必修第二册6-1-2向量的加法6-1-3向量的减法课件
+
PM
+
NM
=
NM
+
NM
=2
NM
,故D不正确.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形,所以
AC
=
AB
+
BC
,
DB
=
DC
+
CB
=
AB -
BC
,所以
AB
=
1
(
AC
+
2
DB ), BC
=
1
(
AC
-
DB
),因为M为BC的中点,所以
BM
=
1
BC
,
2
2
故
AM
=
AB + BM
=
AB
+
1
BC =
1
( AC
+
DB
)+
1
AB+
BC
=
AC
.
简记:首尾接,首尾连.
当a与b不共线时,求它们的和可用图(1)表示,此种求两向量和的作图方法称为向量加法
的三角形法则;当a与b共线时,求它们的和可用图(2)和图(3)表示,其中
AB
=a,
BC=b,
AC=a+b.
由上可看出,向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
(
AC - DB )=
3
AC
+
1
DB .
2
2
4
4
4
所以
AM
=
3
向量数乘运算及其几何意义课件高一下学期数学人教
a
B
•例 如图, ABCD
的两条对角线相交于
且 AB=a, AD b,你能用a,b表示MA、MB、MC和MD
解：在 ABCD中
D
C
AC AB AD a b
b
M
DB AB AD a - b A
a
B
平行四边形的两条对角线互相平分
MA 1 AC 1 a + b 1 a 1 b
3b
a 2b a b b
B
AC OC OA
a 3b a b 2b
AC 2AB a
所以,A、B、C三点共线
2b
A
b b
a
O
共线定理小练习
•1）点C在线段AB上,且AC︰CB = 2︰3
2
•则AC 5
AB
BC
-
3 5
AB
•2）判断下列各小题中的向量a与b是否共线
1a 2e,b 2e;
2a
结论: 2a+2b=2(a+b)
设a,b为任意向量，λ•,μ为任意实数，则
有：
①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意的向量a、b, 以及任意实、数1、2，
恒有 (1a 2b)=1a 2b
探究与发现:
a=-b，所以a,b共线
2a e1 e2, b 2e1 2e2.
a=-2b， 所以a,b共线
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
例4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
高一数学-6.2.1-2向量加减法运算及其几何意义
B
a b BA
B OA
一般地 a
O A
b
b
三、几何意义
ab
B
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
练习：
(1) AB AD DB (2) BA BC CA
(3) BC BA AC (4) OD OA AD (5) OA OB AB (6) AO BO AB
(2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)
0 ＝(A→C＋B→A)－(O→C－O→B)＝B→C－B→C＝0.
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a, b表示 AC, DB 吗？ b
AC a b DB a b
A
aB
变式一 本例中当 a,满b足什么条件时，
2 怎样表示向量？
用有向线段表示向量 A
B 记作 AB
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向 表示向量的方向
3 什么是相等向量？
大小相等且方向相同的向量叫做相等向量
同向且等长的有向线段表示 相等的向量
高一数学
引入
问题：
向量具有大小和方向两个要素， 两个向量相加是不是等于它们的 大小相加？
向量的加法怎么定义？
二、向量的减法：a b a (b)
高一数学
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设 AB b, AC a
B ab
AE a (b) a b
又 b BC a 所以 BC a b
bAa
C
ab
b
D
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
高一数学向量减法运算及其几何意义PPT教学课件 (2)
考 2 、 – （ – a ) = __a______
？3
a + b 的相反向量是– _(_a__+__b___)_______
4 a +（– b） 的相反向量是–[ a+（ – b ） ]
________________
向量减法
向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a
与b 的差，即a - b = a + (- b )
C
b
A
a
B
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？ （|a| = |b|）
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？ （a, b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？ （不可能，∵对角线方向不同）
相反向量的概念，及其应用； 向量减法的定义，及其运算法则；
（向量减法的平行四边形法则，三角形法则）；
向终起 被点点 减、、
诀 ：
特殊情况：
若是平行向量又怎样？
1.共线同向
a
b
ab
AC
B
2.共线反向
a
b
ab
B
AC
例 1 、 如 图 ， 已 知 向 量 a ,b ,c ,求 作 向 量
a b ,c d .
D B
bc
A
b cC
a
d
a
d
O
注意：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必
须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以 减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母 为终点。即减向量的终点指向被减向量的终点
同起点、连终点、指向被减
解决向量加法,减法问题,数形结合必不可少.
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点导语：高中数学中的向量是一门重要的数学分支，具有广泛的应用。
作为高一学生，学好高中数学向量知识点对于未来学习数学以及相关学科都具有重要意义。
本文将围绕高一数学向量知识点展开介绍。
一、向量的基本概念向量是具有大小和方向的量，在数学中常用有方向的线段表示。
向量的大小称为模，用绝对值表示，向量的方向可以用箭头表示。
向量的加法是按照三角形法则进行的，即将两个向量首尾相接，然后连接首尾形成的向量即为两个向量的和向量。
二、向量的线性运算1. 向量的数乘：向量与一个实数相乘，结果是一个与原向量同方向（或反方向）的向量，其大小为原向量的模与该实数的乘积。
2. 向量的加法与减法：向量的加法满足交换律和结合律，即无论向量的加法顺序如何，最终结果不变。
向量的减法可以通过对减向量取负再进行加法运算得到。
三、向量的坐标表示向量在直角坐标系中可以使用坐标表示。
设向量A的终点坐标为(x1, y1)，起点坐标为(0,0)，则向量A的坐标表示为(x1, y1)。
通过向量的坐标表示，可以进行向量的运算与计算。
四、向量的数量积1. 向量的数量积定义：设向量A与向量B的夹角为θ，则向量A与向量B的数量积为A·B = |A|·|B|·cosθ。
其中A·B表示向量A 与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
2. 作用：向量的数量积可以用来判断两个向量的相对方向以及判断两个向量是否垂直。
五、向量的向量积1. 向量的向量积定义：设向量A与向量B的夹角为θ，则向量A与向量B的向量积为A×B = |A|·|B|·sinθ·n。
其中A×B表示向量A与向量B的向量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ为向量之间的夹角，n为单位法向量，并满足右手螺旋定则。
2. 作用：向量的向量积常用于计算平行四边形的面积、判断三个向量是否共面等。
8.0.2 向量的加减法(含答案)
【课堂例题】课堂练习1.分别作向量,,,a b b c a c a b c +++++2.a 表示“向东4千米”，b 表示“向南8千米”，那么下列向量分别表示什么？(文字叙述)(1) a a +(2) a b +(3) a b a ++3.正六边形中，若,AB a AF b ==试用向量,a b 将向量,,AC AD AE 表示出来.abcabcD【知识再现】1.向量a 与向量b 的和记作 ；它也是一个 .2.已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==，则a b += ， 这种求向量和的方法叫做向量加法的 ； 规定0a += ＝ .3.已知不共线的向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,O A a O B b ==，再以,OA OB 为邻边作OACB ，则a b += ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .4.向量加法满足交换律：a b += ； 向量加法也满足结合律：()a b c ++= . 【基础训练】1.已知下列各组向量,a b ，求作a b +： (1)(2)(3)(4)2.设a 表示“向东走2千米”，b 表示“向西走1千米”，c 表示“向南走2千米”，d 表示“向北走1千米”，说明下列向量的意义. (1)a a + ； (2)a c + ； (3)b a d ++ ； (4)c b d ++ .3.已知||||||OA OB OC ==且,,OA OB OC 两两夹角都是120， 则OA4.(1)a b += c d += a b ++= c d + .(2)如图，梯形ABCD ，//AB CD ，且12AB DC =， 记,AB a AD b ==，则BC = . (用,a b 表示)5.一架飞机向南飞行90千米，然后向西飞行90千米， 求飞机飞行的路程及两次位移的和.a b aba ba bbacgf6.在三角形ABC 中，已知,,AB a BC b CA c ===，求证：0a b c ++=.7.已知,OA a OB b ==，若||12,||4,60OA OB AOB ==∠=，求a b +的模.【巩固提高】 8.化简：(1)AB BC CA ++= ; (2)OA OC BO CO +++= ; (3)()AB MB BO OM +++= ； (4)()()NQ MN PM QP +++= .9.如图，质点O 受两个力1OF 和2OF 的作用，若121120,||6N FOF OF ∠==，2||4N OF =,求合力OF 的大小及其与力1OF 的夹角的度数.(精确到0.01)(选做)10.对于非零实数,a b ，有这样的结论： 当0ab >时，成立||||||a b a b +=+； 当0ab <时，成立||||||||a b a b +=-.那么对于非零向量,a b ，向量a b +的模||a b +与||||a b +或者与||||||a b - 有类似的结论吗？请作图说明.【温故知新】11.三角形ABC 内有一点O 满足：0OA OB OC ++=，则O 一定是三角形ABC 的( )A.内心；B.外心；C.垂心；D.重心.12F【课堂练习答案】1.,,,b c b a a b c a c +++++2.(1)向东8千米；(2)沿南偏东约26.57︒，行约8.94千米； (3)沿南偏东45︒行约11.31千米.3.AC a a b =++；AD a b a b =+++；AE a b b =++ 【知识再现答案】 1.a b +，向量；2.OB ，三角形法则，0,a a +；3.OC ,平行四边形法则；4.b a +，()a b c ++ 【习题答案】 1. 2.(1)向东4千米；(2)向东南(3)(4).3.04.(1),,,c f f g ；(2)a b +5.路程为180千米，位移为“西南方向，902千米”6.证：()0a b c AB BC CA AB BC CA AC CA AA ++=++=++=+== 证毕7.提示：解三角形，a b +所在边所对角为120.8. (1)0;(2)BA ;(3)AB ;(4)09.5.29N,40.89︒10.当,a b 不共线时：||||||||||||a b a b a b -<+<+ 当,a b 同向时：||||||a b a b +=+ 当,a b 反向时：||||||||a b a b +=- 11.Da b cbacaba b abb。
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课 题：向量的加法与减法（1）
教学目的：
⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算
教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.
教学难点：向量的加法和减法的定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是
只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来
表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
7.对向量概念的理解
AB
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个
要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要
素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可
以相乘.
向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与
起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有
起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有
向线段
二、讲解新课：
1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的
三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不
适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，
当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
如图，已知向量a、b在平面内任取一点A，作aAB，bBC，则向
量AC叫做a与b的和，记作ba，即 ACBCABba
特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAA
a
a
b
b
ba
ba
AABB
CC
)2(
)3(
对于零向量与任一向量a，有 aaa00
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|,当
a
与b反向时，若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|;若
|a|<|b|,则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，
可以推广到n个向量连加
2．向量加法的交换律：a+b=b+a
3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
证：如图：使aAB, bBC, cCD
则(a+b) +c=ADCDAC
a+ (b+c
) =ADBDAB
∴(a+b) +c=a+ (b+c)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
三、讲解范例：
例1如图，一艘船从A点出发以hkm/32的速度向垂直于对岸的方向行
驶，同时河水的流速为hkm/2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流
速间的夹角表示).
解：设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的
速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船的
实际航行的速度.
在ABCRt中，2||AB，32|BC|
所以4|BC||AB||AC|22
因为23tanCAB3CAB602
答：船的实际航行的速度的大小为h/km4，方向与水流速间的夹角为60
四、课堂练习：
1、一艘船从A点出发以hkm/32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的
实际航行的速度的大小为hkm/4，求水流的速度
2、一艘船距对岸43km，以hkm/32的速度向垂直于对岸的方向行驶，
到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速
3、一艘船从A点出发以1v的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的
流速为2v，船的实际航行的速度的大小为hkm/4，方向与水流间的夹角是60，
求1v和2v
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际
航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
五、小结 1向量加法的几何法则；2交换律和结合律；
3注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号
六、课后作业：2、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F
与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小
3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
七、板书设计（略）
八、课后记：