半退化型离散哈密顿系统强极限点型的判定

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第4章振动系统的运动微分方程

(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：

哈密顿正则化

矢量力学：以牛顿运动定律为基础研究力学单个质点所受外力以及由此引起的变化分析力学：力→力的功，动量→动能，着眼于作为整体的力学系统分析力学的变分原理：是矢量力学无数分开的运动微分方程的基础，且与坐标系的选择无关。

约束：加在系统上、限制系统运动的条件；约束力：维持这些约束的力；（分析力学一般不需知道约束力的情况，而径直承认这些约束条件，由这些约束出发得到运动方程）约束可以分为：完整约束（/几何约束）（具有完整约束的力学系统称为完整系统）定常约束非定常约束微分约束将系统内的位置和速度联系在一起非完整约束（具有不可积微分约束的系统称为非完整系统）还可以分为：双面约束：系统可能发生的符合约束的所有位移都是可逆的；用等式表示；单面约束：微小的许可位移是不可逆的；用不等式表示。

实位移：在实际运动中系统各质点的位移；可能位移：符合所有完整约束方程和非完整约束方程的各质点的位移；虚位移：在约束许可的条件下，在某时刻t，想象系统中各质点的位置作任意的、无限小的变更，所形成的位移称为虚位移；虚位移仅仅是一种“探测”，没有时间的改变，故遵从同一时刻t的约束；不同于可能约束；虚位移其实就是约束许可下位置的变分；对单面约束，虚位移不全是可逆的；系统的自由度n=3N-(m+m’)：在约束许可下，各质点的坐标中有3N-(m+m’)个可以独立变化的量，表征系统能“自由”运动的程度。

广义坐标：用q1，q2，…qn表示的、决定系统位形的独立参数称为广义坐标；描述整个系统，一般来自由度为n的完整系统就需要n个独立坐标来描述系统的位形；广义速度：广义坐标对时间的微商。

位形点：将n个数q1，q2，…qn看做n维空间的一个点，这样的点称为位形点；动力学问题的解即表示为系统位形随时间的变化，对应着n维空间的位形点沿一定曲线运动，任意给定时刻都对应着一个位形点。

位形空间：整个力学系统的位形与多维空间中的一个位形点对应，该多维空间称为位形空间。

汉密尔顿路径的判断方法

汉密尔顿路径的判断方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊汉密尔顿路径的判断方法。

这汉密尔顿路径啊，就像是个隐藏在数学世界里的小调皮，得好好琢磨才能把它给找出来呢！你想想看，汉密尔顿路径就像是在一个迷宫里找一条特定的路，只不过这个迷宫是由好多好多的节点和边组成的。

那怎么判断有没有汉密尔顿路径呢？咱先得了解汉密尔顿路径的特点呀。

它要求从一个节点出发，不重复地经过其他所有节点，最后再回到起始节点。

这可不简单呐！就好像你要去拜访一群朋友，而且只能每家去一次，最后还得回到自己家。

那怎么找呢？可以从一些简单的情况开始分析呀。

比如说，如果节点很少，那我们可以一个个去尝试，看能不能找到这样的路径。

这就像找钥匙一样，一把把试呗。

要是节点多了呢？那可就有点头疼啦！这时候就得动点小脑筋啦。

可以观察一下节点之间的连接情况，看看有没有一些特殊的规律或者特征。

是不是有的节点连接特别多，有的特别少呀？这就好像一群人里，有的人朋友特别多，有的人就比较孤单。

还可以从一些已经知道的结论或者方法入手呀。

就好像你有了一把万能钥匙，能打开一些特定类型的锁。

比如说，有些特定结构的图，我们可以根据以往的经验来判断有没有汉密尔顿路径。

你说这汉密尔顿路径是不是很神奇？它藏在那些复杂的图形里，等着我们去发现它。

这就好像宝藏一样，得有耐心，有方法，才能找到呢！有时候，判断汉密尔顿路径就像是解开一道谜题。

你得仔细观察，认真思考，才能找到答案。

这过程可不枯燥哦，反而充满了乐趣和挑战。

想象一下，如果我们能轻松地找到汉密尔顿路径，那在解决很多实际问题的时候，不就变得容易多了嘛。

比如在物流配送中，怎么规划路线才能最节省时间和成本，这不就和汉密尔顿路径有点关系嘛。

所以啊，别小看了这汉密尔顿路径的判断方法，它可是有着大用处呢！咱可得好好研究研究，把它给掌握了。

不然，在遇到相关问题的时候，可就只能干瞪眼啦！总之，汉密尔顿路径的判断方法是个很有意思也很重要的东西，值得我们花时间和精力去探索哦！。

最优控制课程课件II-5.HJB方程

Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
4 / 67
回顾：Bellman 方程回顾：Bellman 方程
离散时间最优控制问题
问题 1 (离散时间最优控制问题)
13 / 67
Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
4/4 HJB 方程必要性-取极限
两边同除 ∆t，取 ∆t → 0，即可得对于 t ∈ [t0, tf ] 都有 HJB 方程
∂V −
(x(t),
t)
=
min{g(x(t),
u(t),
t)
+
∂V [
(x(t),
t)]T f (x(t),
u(t),
t)}
∂t
u(t)
∂x
令 t = tf ，得到边界条件
V (x(tf ), tf ) = h(x(tf ), tf ).
(11)
Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
10 / 67
Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
1/4 HJB 方程必要性-最优性原理
将性能指标分成 [t, t + ∆t] 和 [t + ∆t, tf ] 两段

erdoskorado定理

erdoskorado定理【原创实用版】目录1.介绍 erdoskorado 定理2.erdoskorado 定理的证明3.erdoskorado 定理的应用4.总结正文1.介绍 erdoskorado 定理erdoskorado 定理是离散数学中的一个著名定理，它由匈牙利数学家Paul Erds 和印度数学家 Kodaira Kunihiko 于 20 世纪 50 年代独立发现。

这个定理关注的是图论中的一个重要概念——哈密顿回路。

哈密顿回路是指在一个无向图中，经过每条边一次且仅一次的回路。

erdoskorado 定理指出，对于 n 阶无向图，如果它的所有度数（即与每个顶点相连的边的数量）均大于等于 (n-1)/2，则该图一定存在哈密顿回路。

2.erdoskorado 定理的证明erdoskorado 定理的证明过程相对简单。

首先，假设存在一个 n 阶无向图 G，满足所有顶点的度数均大于等于 (n-1)/2，但不存在哈密顿回路。

根据图论的基本概念，我们知道图 G 的顶点可以划分成若干个独立集，即任意两个顶点之间没有边相连。

因为图 G 无向，所以每个顶点的度数等于与该顶点相连的边的数量，设与顶点 i 相连的边的数量为 d_i，那么∑d_i≤n(n-1)/2。

根据鸽笼原理，当 n>2 时，存在一个顶点 i，其度数 d_i>(n-1)/2。

由于假设中不存在哈密顿回路，因此从顶点 i 出发，无法经过每条边一次且仅一次地回到顶点 i。

然而，这意味着存在一个与顶点 i 相邻的顶点 j，使得从顶点 i 到顶点 j 的边未被使用。

根据图论中的收缩定理，我们可以通过从顶点 i 到顶点 j 的边，将图 G 收缩成一个新的图 G"，使得 G"中的所有顶点度数均减少 1。

继续这个过程，我们可以不断地通过收缩边，降低顶点的度数。

最终，我们会得到一个与原图 G 同构的新图 G"，其中所有顶点的度数均不大于(n-1)/2。

哈密顿正则方程

间有干涉。
间没有干涉。
2. 算符的系综平均值：考虑任意厄密算符纯粹系综：混合系综：，其系综平均值为：各间有干涉。各间没有干涉。
统计算符
统计算符对应于经典统计物理里的概率密度函数，其在任意表象中的矩阵形式称为密度矩阵。对混合系综，我们定义统计算符为：交归一的基矢（若为完全正
• 经过相空间的任何一点只能有一条相轨道;
• 如果一条相轨道不能占满相空间的话，由不同初态出发的不同相轨道彼此之间不可能相交。
这对我们如何从（微观量的平均值 ---〉宏观量）有很大影响：仅依赖经典力学规律而且没有随机性介入,做微观量的时间平均可行否？历史上进行过这样的尝试。一个很明显的缺陷是平均只在一条相轨道上, 因此平均值可能依赖于初始点的选取。这样我们还需要额外的假定。历史上波尔兹曼等人曾提出了（强和弱的）各态历经假说：对孤立的保守力学系统，经过足够长时间后，从任一初态出发都将经过能量曲面上的一切微观状态（的邻域）。但在数学上已经证明这不成立！
• 经典统计物理和量子统计物理：粒子遵从经典（量子）力学规律。
9.1 经典和量子统计系综，刘维尔定理
经典力学规律：
一般系统的动力学状态可用系统的广义坐标q和与之共轭的广义动量p来确定。
由 N 个自由度为 r 的全同粒子组成的系统自由度为 f=Nr。在任意时刻，可记：
这里(q,p)是 2f 维的相空间(Γ 空间)的一个代表点，它代表系统的一个微观状态。代表点在相空间的运动反映系统微观状态的演化，其轨迹称为相轨道。系统的运动方程（哈密顿正则方程，H为系统的哈密顿量）：
第九章系综理论
这一章是平衡态统计物理的核心内容，我们的理论是一般性的理论，可应用的对象包括了有相互作用粒子组成的系统

哈密顿算符公式

计算流体在边界层内流动，需要求出运动微分方程中各项的系数，这些系数不仅与流体的物理性质有关，而且还与作用在流体上的力有关。

为此，常用将各种作用力和流体之间的摩擦力看成一个独立因素处理，得到的各项系数，分别表示流体对作用力的抵抗能力，称为哈密顿算符(hb)。

通过分析边界层内流动，可以证明出流体的不稳定性。

当存在边界层的时候，一般认为微分方程中的边界层外项无法表示流体的不稳定性，需要引入新的非线性因素来描述流体的运动状态。

一、概述。

运动学的两类方法：牛顿法(thenewtonian)和拉格朗日法(thelaglian)是工程上常用的两种计算流体运动微分方程的方法，它们都假设流体是连续、均匀、各向同性的，并且已知作用于流体上的力和流体本身所受的力。

两者最大的差别就是拉格朗日法把流体当做弹性介质来处理，从而忽略了流体粘性;而牛顿法则将流体视为固体来处理，忽略了粘性。

因此，前者的变形可以完全解耦，后者则只能部分解耦。

二、离散化方法。

将流体的运动微分方程离散成相互独立的流体质点运动方程。

此方法的优点是计算量小，适用于计算流体边界层内流动。

因此，现代数值计算机技术发展很快，在不断改进算法，降低计算复杂度。

三、离散哈密顿算符公式。

离散哈密顿算符公式，就是将边界层外流体的速度分布采用哈密顿分布，使得由于质点速度的随机变化而引起的各项的频率增加，从而减少了对频率的依赖性。

它用伯努利方程和流函数表示为：四、哈密顿算符公式的应用。

由于在一定条件下能够说明流体边界层稳定性，因此，有效地考虑边界层对流场特性的影响，其实质是求出边界层的哈密顿算符。

哈密顿图

定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。

经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。

具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。

Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。

1857 年，爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton 爵士（他也是第一个给出复数的代数描述的人）制作了一种玩具，它是一个木制的正十二面体，在正十二面体的每个顶点上有一个木栓，并标有世界著名城市的名字。

游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。

这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。

将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。

周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。

其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。

十二面体图是H 图判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质的不同。

目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。

这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。

本节给出一些经典的充分条件和必要条件。

一、必要条件定理4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。

证明：设G = (X, Y ) ，由于G 的边全在X 和Y 之间，因此如果G 有Hamilton 圈C，则G的所有顶点全在C 上，且必定是X 的点和Y 的点交替在C 上出现，因此G 必有偶数个顶点。

证毕。

这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数个顶点，则它必定不是Hamilton 图。

例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。

自动控制原理简答题

自动控制原理简答题自动控制原理简答题47、传递函数：传递函数是指在零初始条件下，系统输出量的拉式变换与系统输入量的拉式变换之比。

48、系统校正：为了使系统达到我们的要求，给系统加入特定的环节，使系统达到我们的要求，这个过程叫系统校正。

49、主导极点：如果系统闭环极点中有一个极点或一对复数极点据虚轴最近且附近没有其他闭环零点，则它在响应中起主导作用称为主导极点。

51、状态转移矩阵：，描述系统从某一初始时刻向任一时刻的转移。

52、峰值时间：系统输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间为峰值时间。

53、动态结构图：把系统中所有环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入输出信号分别以拉氏变换来表示从而得到的传递函数方块图就称为动态结构图。

54、根轨迹的渐近线：当开环极点数n 大于开环零点数m 时，系统有n-m 条根轨迹终止于S 平面的无穷远处，且它们交于实轴上的一点，这n-m 条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线。

55、脉冲传递函数：零初始条件下，输出离散时间信号的z变换与输入离散信号的变换之比，即。

56、Nyquist判据（或奈氏判据）：当ω由-∞变化到+∞时，Nyquist曲线（极坐标图）逆时针包围（-1，j0）点的圈数N，等于系统G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P ，即N=P，则闭环系统稳定；否则（N≠P）闭环系统不稳定，且闭环系统位于s右半平面的极点数Z为：Z=∣P-N∣ 57、程序控制系统: 输入信号是一个已知的函数，系统的控制过程按预定的程序进行，要求被控量能迅速准确地复现输入，这样的自动控制系统称为程序控制系统。

58、稳态误差：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。

59、尼柯尔斯图（Nichocls图）：将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以（度）为线性分度的横轴，以l(ω)=20lgA(ω)（db）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的φ(ω) 曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols图）60、零阶保持器：零阶保持器是将离散信号恢复到相应的连续信号的环节，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。

数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)

第 1 章
时域离散信号和时域离散系统

4．对题1图给出的x(n)要求：
(1) 画出x(－n)的波形；
1 (2) 计算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］，并画出xe(n)波形； 2 1 ［x(n)－x(－n)］，并画出x (n)波形; (3) 计算xo(n)= o 2
(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？
奇数偶数202110863时域离散信号和系统的频域分析ft令nnn202110864时域离散信号和系统的频域分析202110865时域离散信号和系统的频域分析ft令knm202110866时域离散信号和系统的频域分析202110867时域离散信号和系统的频域分析对该式两边求导得到202110868时域离散信号和系统的频域分析ft令n2n202110869时域离散信号和系统的频域分析取偶数202110870时域离散信号和系统的频域分析ft利用5题结果202110871时域离散信号和系统的频域分析202110872时域离散信号和系统的频域分析如果单位脉冲响应hn为实序列试证明输入xnacosnj的稳态响应为202110873时域离散信号和系统的频域分析n系统单位脉冲响应为hn则系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时输出序列仍是复指数序列频率相同但幅度和相位取决于网络传输函数
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.4 习题与上机题解答
1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)

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（）３
【（）＝一Ａ￡２￡，ｔ∈ ［， △ ２ｆ（）（）０＋１，］（）唯一性条件，２，一Ａ（）［ ∞）ｔ在０，ｎｚ为非
２ｈｊｎｄｃｔｎＩｓｔｔ，Ｈｎｚｏ１０２ＺｅａｇＣｉ；．ＺｅａｇＥｕａｏｎｔｕｅａｇｈｕ３０１，ｈｊｎ，ｈｎｉｉｉｉａ３ｈｎｏｇＵｉｒｔａＷｅａ，ｉａ２２９Ｓａｄｎ，ｈｎ）．ＳａｄｎｎｖｓｙｔｉｉＷｅｉ６０，ｈｎｏｇＣｉｅｉｈｈ４ａ
ＡｂｓｒｔｕｉｉｎｏｄｔｎｏｔｏｉｔｐｉｔｃｓｆｓｍｉｄｇｎｒｔｉｃｅｅＨａｌｏａｙｔｍｓｔａｃ：Ｓｆｃｅｔｃｎｉｉｓｆｒｓｒｎｇｌｍｉ－ｏｎａｅｏｅ－ｅｅｅａｅｄｓｒｔｍｉｎｉｎｓｓｅｏｔ
３山东大学威海分校，．山东威海２４０）６２９
摘要：讨论奇异的半退化型离散哈密顿系统，通过算子的谱理论得到该系统为强极限点型的判别准则．关键词：差分算子；极限点型；强极限点型．
中图分类号：７．５Ｏ１５７文献标志码：Ａ文章编号：１０－６（０００－１０Ｏ０７２１２１）２０７－４８
ａｅｏｔｎｄｂｓｇｔｅｓｅｔｌｈｏｆｅ－ｊｉｔｐｒｔｓｎａＨｌｅｐｃ．ｒｂａｅｙｕｉｐｃａｔｅｒｏｌａｏｎｏｅｏｉｒｓａｅｉｎｈｒｙｓｆｄａｒｉｂｔ
Ｋｅｏｄｙｗｒｓ：ｄｆｅｅｃｐｒｔｒｉｔｐｉｔｃｓｉｆｒｎｅｏｅａｏ；ｌｍｉ－ｏｎａｅ；ｓｒｎｉｉｐｉｔｃｓｔｏｇｌｔｏｎａｅｍ —
第１第２期６卷
２１００年４月
上海大学学报（然科学版）自
ＪＵＮＬＯＨＮＨＩＮＶＲＩＹＮＴＲＬＳＩＮＥＯＲＡＦＳＡＧＡＩＥＳ（ＡＵＡＣＥＣ）ＵＴ
Ｖｏ．６Ｎｏ２１１．Ａｐ．２０ｒ０１
ｄｉ１．９９ｊｉｎ１０－８１２１．２０２ｏ：０３６／．ｓ．０７２６．０００．１ｓ
半退化型离散哈密顿系统强极限点型的判定
周美秀，王欣阵綦建刚，
（．１浙江长征职业技术学院，浙江杭州３０１；．１０２２浙江教育学院，浙江杭州３０１；１０２
第２期
周美秀，：等半退化型离散哈密顿系统强极限点型的判定
ｌ１７
分大的Ｉ０＞，
由于Ｗ（）ｔ可能是奇异的，引入下述等价关系：
Ｊ（ｊｆ＝， ∈［，，曰ｆ，）０）（２］
有且仅有解ｊ（）－ ‘ ，ｔ－０：．
，
ＷＡＧＸｎｚｅＱａ —ａｇＮｉ—ｈｎ，１ｉｎｇｎＪ
（．ｈｉｎｈｎｚｅｇＶｃｔｎｌｎｅｈｉｌｏｅｅＨｎｚｏ１０２ＺｅａｇＣｉ；１Ｚ￣ａｇＣａｇｈｎｏａｉａａｄＴｃｎａＣｌｇ，ａｇｈｕ３０１，ｈｊｎ，ｈｎｏｃｌｉａ
＝
Ｙｔ；（）Ｒ为部分右移算子，Ｒ（（）７（ｔ）即Ｙｔ）．Ｙ（＋１，－
ｙ（），（）：（Ｔｔ，ｔ）Ｊ为２Ｗｔ）Ｙｔｙ（）Ｙ（）；ｎ×２ｎ的标
／０
ｎ
；
）＇
式中，表示矩阵的转置共轭．系统满足下述基本该条件：
一Ｉ＼＿
准单矩，．Ｉ０Ｊ（为矩函（）辛位阵即Ｉ；权阵１的所有非平凡解Ｙ都满足，ｗ）
Ｗｔ（数且满足（）＝Ｗｔ０（（）半正定矩）≥ Ｗｔ为
（）确定性条件… ，１即对所有的Ａ∈Ｃ，系统
Ｓｒｎｍｉ— ｉｔＣｒｔｒａｆｒＳｍｉＤｅｅｅａｅＤｉｃｅｅｔｏｇＬｉｔＰｏｎｉｉｏｅ・ｇｎｒｔｓｒｔ－ｅ－
ＨａｉｔｎａＳｓｅｓｍｌｏｉｎｙｔｍ
ＺＨＯＵｉｘｕ。Ｍｅ．ｉ
奇异离散哈密顿系统
．（）＝［Ｗ（）＋Ｑ（）Ｒ（（），，ｔＡｔｔ］ｙｔ）
ｔ∈ ［，＋∞ ）ｎＺ，０（）１式中，为向前差分算子，ａｔ △ 即ｙ（）＝Ｙ（ｔ＋１）一
ｗ（（（，㈤＝ｔ＼ｔ）／Ｗ１
阵）Ｑ（）势矩阵函数且满足Ｑｔ；ｔ为（）＝Ｑ（）分ｔ．
别记
∑足Ｊ（（Ｒ（＞．（）￡ｆ（）￡０，）））
（）２
容易证明，确定性条件等价于控制性条件，即对于充
收稿日期：０９０－０２０－７１基金项目：山东省自然科学基金资助项目（２０Ａ２Ｙ０８０）通信作者：周美秀微分方程．Ｅｍｉｚｙ５１０１３ｃｍ１６，副研－ａｌｗ９０２＠６．ｏ：