初等函数的幂级数展开
函数的幂级数展开式及其应用
函数的幂级数展开式及其应用通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。
而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。
为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。
由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。
得：，，………………………………………………，………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a 处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。
此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。
(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c 在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。
函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数e x2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT
函数展开成幂级数的间接展开法一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法，求展开式。
∙基本公式：).,( ,)!12()1(sin ).,( , !).1,1( 1101200+∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞=x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x=由于令注意到解 . ln , ln a x u ea a x x ==).,( ,!1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n nx 代入上式得将 ln a x u =++-+-+-=+)!12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n ,),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得+-+-+-=)!2()1(!41!211cos 242n x x x x n n.11)( )1(:x x f +='解例3、.的幂级数展开成将下列函数x ∑⎰⎰∞=-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则).1,1( ,1)1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0-∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书, 1 , 1 1)1( 10发散在收敛在由于级数-==+-+∞=∑x x x n n n n故处连续在且函数 , 1 )1ln()(=+=x x x f ,)1(3121)1ln(132 +-+-+-=+-n x x x x x nn ].1,1(-∈x 板书⎰+=xtdt x 021arctan ,12)1(51311253 ++-+-+-=+n x x x x n n ]1,1[-∈x 由逐项求积得同 , )1( )2(板书三、其它函数展开成幂级数例4、. 1 41)( 处展开成泰勒级数在将=--=x x x x f 311131)1(3141:--⋅=--=-x x x 解])31()31(311[312 +-++-+-+=n x x x .31<-x ,3)1(3)1(3)1(311322 +-++-+-+=+n nx x x 板书四、小结：常用已知和函数的幂级数;11)1(0x x n n -=∑∞=;11)1()2(202x x n n n +=-∑∞=;!)3(0x n ne n x =∑∞=).1ln(1)1()5(01x n x n n n +=+-∑∞=+;sin )!12()1()4(012x n x n n n =+-∑∞=+。
泰勒Taylor级数展开
z0=0点展开成泰勒级数。
1 ∵ f ( z) 2 有一个奇点z=-1 (1 z )
∴R=|0-(-1)|=1 由
1 1 z z 2 z 3 ... z n ... 1 z | z | 1
可知：
1 1 1 z 1 ( z ) 1 z z 2 z 3 ... (1) n z n ... | z | 1
且
z z0 1 z0
z z0 1 1 ( z z0 ) /( z0 ) k 0 z0
k
( z z0 ) k 1 z k 0 ( z0 ) k 1
代入柯西公式，逐项积分
f ( z ) ( z z0 ) k
§3.3
泰勒(Taylor)级数展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数 的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。 现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一 个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不 但有理论意义，而且很有实用价值。 实变函数可展开为泰勒级数的条件是存在任意阶 导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导 数，因此解析函数可展开为复变项的泰勒级数。
1 n a ( z a ) 表示成形如 n z b n 0
的
则当 z a 1时，有
ba 2 n 1 za za za 1 ... ... za ba ba ba 1 ba
1 1 1 1 2 ( z a ) ( z a ) z b b a (b a) 2 (b a)3 1 n 1 ... ( z a ) ... n (b a)
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
第六节 函数的幂级数展开式的应用
提示: 这个幂级数收敛速度较慢 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.
ln 1 1
x x
ln(1
x) ln(1
x)
2(x
1 3
x3
1 5
x5
)
(1 x 1)
.
ln
1 x 1 x
ln(1 x) ln(1 x)
2(x
1 3
x3
1 5
x5
)
(1
x 1)
.
以
x
1 3
代入得
.
例4
计算
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
精 确 到10 4 .
解 展开被积函数 有
sin x 1 x2 x4 x6 ( x ) .
x
3! 5! 7!
在区间[0 1]上逐项积分 得
收敛的交错级数
1sin xdx 1 1 1 1 .
0x
33! 55! 7 7!
因为第四项
1 1 7 7! 30000
(1 x)
1 x ( 1) x 2 ( 1) ( n 1) x n
2!
n!
x (1,1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn (1,1) 1 x
arctan x
(1)n
x 2 n1 ,
n0
2n 1
x [1,1]
ln(1 x)
(1)n
x n1 ,
2!
(2n)!
cos x
i( x 1 x3 (1)n x2n1 )
1 5
1 1111 11 53535 77 3377
)
0
..66993311.
《幂级数函数的展开与应用》开题报告
学 生（签字） _________________ 指 导 教 师（签字）_________________ 系 主 任（签字）_________________
毕业论文进度安排：
1．选题 2．开题报告 2013年06月11日——2013年09月02日 2013年09月03日——2013年09月15日
3．收集资料及实施研究 2013年09月16日——2013年10月15日 4．完成初稿 5．完成修改稿 6．完成定稿 7．答辩 2013年10月16日——2013年11月03日 2013年11月04日——2013年11月25日 2013年11月26日——2013年12月06日 2013年12月07日——2013年12月22日
理论意义：幂级数是数学分析中一个很 重要的内容，且应用非常广泛。通过学习幂级 数的概念以及一些基本知识和泰勒中值定理 , 从而得出几种常用初等函数幂级数的展开式， 有助于探讨函数幂级数在三角级数的求和、组 合问题和线性递归数列等方面的应用问题。
实践意义：幂级数是数学分析中一个很 重要的内容，且应用非常广泛。通过学习 幂级数的概念以及一些基本知识和泰勒中 值定理,从而得出几种常用初等函数幂级数 的展开式，有助于探讨函数幂级数在三角 级数的求和、组合问题和线性递归数列等 方面的应用问题。
•
主要研究内容及提纲 及其敛散性，幂级数的运算，函数展开 成幂级数，简单函数的泰勒展开式，泰 勒公式，泰勒级数，，初等函数的幂级 数展开，幂级数在近似计算上的应用， 泰勒展开式的一般应用。
本文提纲： • 1 幂级数的基础知识 1.1幂级数的性质 1.2幂级数的收敛区间 • 2幂级数的和函数 • 3幂级数展开式的应用 3.1 利用幂级数求极限 3.2 幂级数在不等式 证明中的应用 3.3 幂级数在组合恒等式中的 应用 3.4 应用幂级数求高阶导数 3.5 应用幂 级数展开式推导欧拉公式 3.6 利用幂级数求 数项级数的和 3.7幂级数在微分方程中的应 用 • 4 结束语
函数的幂级数展开
教案函 数 的 幂 级 数 展 开复 旦 大 学 陈纪修 金路1． 教学内容函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。
通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。
2．指导思想（1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。
通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。
（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。
3. 教学安排首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x ) 在x 0 的Taylor 级数：（*） ).,(,)(!)()(0000)(r x O x x x n x f x f n n n ∈-=∑∞=另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n n n x!!3!2132n x x x x n++++=+ …, x ∈(-∞, +∞)。
(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn )!12()1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n+ …, x ∈(-∞, + ∞)。
幂级数展开
wk (z) w1(z) w2 (z) wk (z)
k 0
的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个 确定值，复变项级数变成一个复数项级数。 复变函数项级数有一个定义域 B 。
收敛-复变函数项级数在其定义域 B 中每一点都收 敛，则称在 B 中收敛。
6
柯西收敛判据 (复变项级数收敛的充分必要条件)：
|
z
z0
|
|
z
z0 R
|
,
引入记号 R lim ak
a k k 1
若 | z z0 | 1 R
| z z0 | R
(3.2.3) (3.2.4)
则实幂级数 (3.2.2)收敛，复幂级数 (3.2.1)绝对收敛
若 | z z0 | R 则(3.2.2)发散
12
故当 z z0 R ，绝对收敛
当 z z0 R ，发散
R：收敛半径 CR: 收敛圆
R
CR
z0
收敛 发散
2、根式判别法：
lim k
k
| ak
|| z z0 |k
| z z0 lim 1
|
| z z0 | R
k k | ak |
R lim 1 k k |ak |
13
3、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛
作 CR1 (R1 R) ，在 | z z0 | R1
k 0
k 1
➢绝对收敛级数改变各项先后次序，和不变. ➢两个绝对收敛级数逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛 的，级数的和为两级数和之积.
pk A,
k 0
qk B,
k 0
pk qk pkql cn AB
k 0
k 0
k0 l0
§11.5 函数幂级数展开式的应用
e 11 1 1 2! 3!
1 8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
20 20 6 20
r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
一、主要内容
函数项级数 幂级数
收敛半径R 收敛域
Taylor级数 Rn( x) 0
Taylor展开式
１．幂级数
(1) 定义
形如 an ( x x0 )n 的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时,
an xn 其中an 为幂级数系数.
n0
(2) 收敛性
Abel 定理 对 an xn 总存在正数Ｒ使得
则 un , vn 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛.
n1
n1
三个基本展开式
ex 1 x x2 xn ,
2!
n!
( x )
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 , ( x )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n , ( x )
x
3! 5! 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
0x
3 3! 5 5!
三、Euler公式
函数展开成幂级数11-4
§ 11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数1． 函数)(x f 展开成幂级数的概念给定)(x f 能否在某区间内展开成幂级数，即是否找到一幂级数，它在某区间内收敛且和等于)(x f ．若能，就称)(x f 在该区间内能展开成幂级数。
泰勒公式()()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)()()()()()1100(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-(2)如果()f x 在点0x 的某邻域内具有各阶导数,设想(2)的项数趋向无穷而成为幂级数()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+(3)称为)(x f 的泰勒级数定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域()0U x 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零.即 ()()()0lim 0n x R x x U x →∞=∈.证略。
2. )(x f 的马克劳林级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x n '''=+++++注（1）若)(x f 能展开成x 的幂级数，则该展开式是唯一的，它与)(x f 的麦克劳林级数一致。
（2）反之，若)(x f 的麦克劳林级数在点0x =0的某邻域内收敛，却不一定收敛于)(x f .因此，若)(x f 在0x =0处具有各阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数虽能作出来，但该级数是否能在某个区间内收敛、是否收敛于)(x f 需进一步考察。
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 1 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 2 1+ x 1 2 n 解: 因为 = 1+ x + x +L+ x +L ( −1 < x < 1 ) 1− x 把 x 换成− x 2 , 得 1 2 4 n 2n = 1 − x + x + L + ( − 1 ) x +L 2 1+ x ( −1 < x < 1 ) 1 2 n ( ) ( ) ( ) = 1 + ϕ x + ϕ x + L + ϕ x + 1 − ϕ (x) ϕ (x) < 1
π )] = 1 [ cos( x − π ) + sin( x − 4 4 2 1 − 1 (x − π )2 + 1 ( x − π )4 − L 1 = 2 2! 4 4! 4
1 π 3 1 π 5 π − ( x − ) + ( x − ) − L + ( x − ) 3! 4 5! 4 4 1 π 1 π 2 1 π 3 = 1 + ( x − ) − ( x − ) − ( x − ) + L 2 4 2! 4 3! 4 ( − ∞ < x < +∞ )
13
1 ,−1 , − 对应 m = 1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1⋅ 3 3 1⋅ 3 ⋅ 5 4 x + 1+ x =1+ x − x − x +L 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 ( − 1 ≤ x ≤ 1) 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 4 1 1 x − x + x −L =1 − x + 2⋅ 4 2 2⋅4⋅6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8 1+ x ( − 1 < x ≤ 1) 1 n n 2 3 + L + ( − 1 ) x +L − x + x − x =1 1+ x ( − 1 < x < 1) 1 = 1 + x + x2 + L + xn + L 1− x ( −1 < x < 1)
m −1 (m − 1) L ( m − n + 1) n −1 F ′( L+ x +L] 1 (n − 1) ! (1 + x) F ′( x) = mF ( x ), F (0) = 1 推导 x F ′( x) x m ∫0 F ( x) d x = ∫0 1 + x d x ln F ( x ) − ln F (0) = m ln(1 + x) F ( x) = (1 + x)
4
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 U ( x0 )内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) = 0 .
f ( n ) ( x0 ) n ( x − x0 ) , x ∈ U ( x0 ) 证明: f ( x) = ∑ n! n=0
第五章 第四节 初等函数的幂级数展开
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 三、函数幂级数展开式的应用
1
两类问题:
∞
在收敛域内
幂级数 ∑ an x
n=0
n
求和 展开
和函数 S ( x )
2
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 该邻域内有 :
′ ′ f f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x0 ) ( x − x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n +L+ ( x − x0 ) + Rn ( x) n! 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中 Rn ( x) = f (ξ ) ( x − x0 ) n +1 ( ξ 在 x 与 x0 之间) (n + 1) !
3
( n +1)
称为拉格朗日余项 .
若函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 f ′′( x0 ) 2 ′ ( x − x0 ) f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + 2! f ( n ) ( x0 ) n +L+ ( x − x0 ) + L n! 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
令 S n +1 ( x) =
k =0
∞
n→∞
∑
n
f
(k )
( x0 ) ( x − x0 ) k k!
f ( x) = S n +1 ( x) + Rn ( x)
n →∞
lim Rn ( x) = lim [ f ( x) − S n +1 ( x)] = 0 ,
n →∞
x ∈ U ( x0 )
5
n +1 n 1 n n + f (x ) = − ( ∑ ( −1) x ∑ 2 x ) n =0 3 n =0
∞
∞
=∑
n =0
∞
( −1)
n +1
−2
n +1
3
x
n
1 1 − <x< 2 2
18
1 展成 x－1 的幂级数. 例7. 将 2 x + 4x + 3 1 1 1 1 解: 2 = = − x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3) 2(1 + x) 2(3 + x) 1 1 − = ( x −1 < 2 ) x −1 ) x − 1 8 ( 1 + 4 (1 + 2 ) 4
∴f
(n)
0, n = 2k (0) = (−1) k , n = 2 k + 1
( k = 0 , 1, 2 , L )
2 n −1 1 x 3+ 1 x 5 − L + (−1) n −1 1 x x + L − 得级数: ( 2 n −1) ! 3! 5!
其收敛半径为 R = +∞, 对任何有限数 x , 其余项满足
f ′( x) = a1 + 2a2 x + L + nan x n −1 + L ;
1 f ′′(0) f ′′( x) = 2!a2 + L + n(n − 1) an x n − 2 + L ; a 2 = 2 ! LL L 1 f ( n ) ( 0) an = n f ( n ) ( x ) = n !a n + L ; ! LL L 显然结论成立 .
x ∈ (−∞ , + ∞ )
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例3. 将函数 f ( x) = (1 + x) m 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 f (0) = 1, f ′(0) = m, f ′′(0) = m(m − 1) ,
(0) = m(m − 1)(m − 2) L (m − n + 1) , L m(m − 1) 2 x +L 于是得 级数 1 + mx + 2! m(m − 1) L ( m − n + 1) n + x +L n! an n +1 由于 R = lim =1 = lim n →∞ an +1 n →∞ m − n f
Rn ( x) =
sin(ξ + (n + 1) π ) 2 (n + 1) !
x
n +1
x n→∞ 0 < (n + 1) !
n +1
∴ sin x = x − 1 x 3 + 1 x 5 − L + (−1) n −1 1 x 2n −1 + L 3! 5! ( 2n −1) ! x ∈ (−∞ , + ∞ )
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1 3 1 5 1 n −1 sin x = x − x + x − L + ( −1) x 2n −1 + L 5! 3! (2n − 1) ! x ∈ (−∞ , + ∞ )
类似可推出:
1 2 1 4 n −1 1 cos x = 1 − x + x − L + ( −1) x 2n + L 4! 2! ( 2n ) !
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1 将 f ( x) = 2 展成x的幂级数 例6 2x + x −1 1 1 2 ) + 解 : f ( x) = − ( 3 1+ x 1− 2 x ∞ 1 n n 而 = ∑ (−1) x − 1 < x < 1 1 + x n =0 ∞ 1 1 n n = ∑2 x ∴ x< 1 − 2 x n =0 2
n ∞ n 1∞ 1 ( x − 1 ) n ( x − 1 ) n = − (−1) ∑ ∑ ( − 1 ) n 4 n =0 8 n =0 2n 4
n →∞
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展开方法
直接展开法 — 利用泰勒公式