复变函数论总结
复变函数总结
n
复数数列收敛等价于 u 和 v 分别收敛 级数绝对收敛比值法 a=|zn+1/zn|,a<1 收 a>1 发 幂级数 收敛圆 Abel 第一定理
lim k ck 1 0 ck
(4)高阶导数公式
f (n) ( z) n! 2 i
(3)有界 Cauchy 积分公式
m 1
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( )d s 是？ ck k! 2i s ( z0 )k 1
bk
1 f ( )d 2i ( z 0 ) k 1 s
(8)留数 res f(z0)
b1 1 2 i
(9)留数定理
s
f ( z )dz
(7) Laurent 级数 R1<|z-z0|<R2
f ( z)
k
唯一性
b (z z
k
0
)k
唯一性 s 是？
收敛半径 R 1/ (12)极点 res f(z0)
1 d ( z z0 )m f ( z ) z z0 (m 1)! dz m 1 lim
m
f ( x)eipx dx 2 i res[ f ( z )eipz ]z z k
k 1
0
m
(1) 由 CR 条件和 Green 公式推得。对于任意解析区域都适用。 另一种方法,由于围道内没有奇点, 所以(9)式的右边为 0。 z z 积分与路径无关：定积分 F ( z )z0 f ( )d cz0 f ( )d F ( z )F ( z0 ). (2)复连通区域可划成单连通区域, 即得 (3) l 可化为绕 z 的无穷小围道,这时 f(ζ )趋于常数 f(z),提到积分外, 剩下部分的积分部分正好为 2πi 另一种方法，将 f(ζ )在 z 附近 Taylor 展开，f(z)正好是－1 次 项系数，而积分后其他幂次项为 0. (4) 将(3)式两边对 z 求导即得 (5) (3)式在无穷远点留数为 0 即得 (6) 对(3)式的 1/(ζ -z)用幂级数展开,结合(4)即得 它是(7)的 f(z)在 R1 内不含奇点的情形 S 是圆域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (7) 对(3)式的 1/(ζ -z)在 R2 用幂级数展开，得正幂次项部分,在 R1 展开对 k 做替换得负幂次项部分,最后对它们的系数用(2)归 纳便可得到该结论 S 是圆环域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (8) 令(7)的 k= -1 得 (9) (8)和(2)结合即得 (10) 这是定义 (11) 将(9)代入(10)即得 (12) 把 f(z)的 Laurent 展开式写出经式中的运算,结果正好是 b-1 (13) 用 1/z 替换(10)中的 z, 然后求 z=0 的留数即可,
【最新】《复变函数》总结
【最新】《复变函数》总结复变函数是指把一个复变量的变量表示为函数的过程，也是复变量和复函数之间的等价关系，它有着重要的数学意义和重要的实际应用。
复变函数通常由实数域和虚数域组成，用公式来描述，它是一种在复平面上根据定义域及值域定义复函数的方法。
它把定义域上的复变量转换成在值域上定义的复函数，从而可以求解复变量的取值，具体来说，复变函数由两个函数f(z) = u (z) + iv (z) 组成，其中，u(z)是定义域上的一个实函数，v(z)是定义域上的一个虚函数。
可以知道，复变函数既可以是实函数，也可以是虚函数，这要取决于其定义域以及值域中所包含的复变量的表达式。
复变函数的求法有三种：一是复变量方法，二是参数方法，三是Laplace变换方法。
1. 复变量方法就是把复变量z表示为对应的复数f(z)=p (x, y)+qi(x, y)，其中x, y表示实数部分和虚数部分，p(x, y)是实函数，q(x, y)是虚函数，并求出复变函数f(z)的极值；2. 参数方法则是把复变量z表示成参数形式z=a+bi，其中a, b均为实数，把f(z)用a, b来表示，用参数求极值，求得f(z)；3. Laplace变换方法就是把复变函数f(z)用局部Laplace变换求解，利用计算机软件计算出来。
复变函数在数学思维中具有广泛的应用，它不仅常用于线性系统，还应用在微分方程、概率论、信号处理、最优控制、网络控制等领域。
例如，在机器学习中，复变函数可以用来描述模型的行为，对系统的性能进行优化和分析；在仿生学中，复变函数也可以用来模拟动物思维；在信号处理中，复变函数可以用来求解幅度、相位、频率等特性；在最优控制中，复变函数可以把控制问题转换成数学形式，来求解最优全局策略；在网络控制中，复变函数可以把网络的复杂性转换为可求解的数学问题，用以搜索网络中的最佳状态。
总之，复变函数是一种独特的函数，在数学思考和实际应用中都具有重要的意义。
《复变函数论》课件
复数的定义
复平面上的点表示复数，实轴表示实数，虚轴表示虚数。
复数的几何意义
加法、减法、乘法、除法等。
复数的运算
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
复数与复变函数
总结词
复数可以用几何图形表示，其实部和虚部可以分别表示为直角坐标系中的x轴和y轴。
详细描述
复数平面上，每一个复数z=a+bi可以对应到一个点(a,b)，实部a对应x轴上的坐标，虚部b对应y轴上的坐标。这种表示方法称为复平面或直角坐标系。
泰勒级数的应用场景
泰勒级数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如近似计算、误差估计、信号处理等。
泰勒级数的误差分析
在使用泰勒级数进行近似计算时，需要进行误差分析，以确保近似结果的精度和可靠性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
留数定理与辐角原理
总结词：留数定理是复变函数论中的重要定理之一，它提供了计算复平面上的积分的一种有效方法。
详细描述
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
解析函数与全纯函数
解析函数的定义
如果一个复函数在某区域内的全纯函数，则称该函数在该区域内解析。
全局性质
解析函数在全纯函数的零点处具有留数。
局部性质
在某区域内解析的函数在该区域内具有无限次可微性。
局部性质
在某区域内全纯的函数在该区域内具有无限次可微性。
详细描述
复变函数的积分是指函数在某个曲线段上的累积值，其定义方式与实数函数的积分类似，采用极限和累加的方式进行计算。在计算过程中，需要考虑复数域的特性，如虚部的存在和运算规则的特殊性。
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§ 1.留数1. （定理6.1柯西留数定理）：dz = 2 mJc£=i2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,事（町（…尸’其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,Re^f(z),a) = <p(a)4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点® ⑴=（Z-A）V（«）则5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6. 无穷远点的留数:RES（F（R「8）=霜/严f(z)dz=- j即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。
注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有Z畑⑴°,但是，如果点为f（z）的可去奇点（或解析点），则血昭⑵妙）可以不为零。
8. 计算留数的另一公式:(昭詞§ 2•用留数定理计算实积分Q R(cos^,sin&)M型和分—引入注：注意偶函数1. (引理6.1大弧引理)：»上limzf(z)= X则limH'J-M B2. (定理6.7) 设f(-器梯理分式，其中P(z) = e o z m + 耳厂，+ + c m(c0丰 0)QCz) = b Q x n + %0勺 + * + 丰 0)为互质多项式，且符合条件：(1)n-m >2;(2)Q(z股有实零点于是有f(x)dx — 2ui工Res(f(z)t au}Jrtiajt >0注：以fg可记为PM广；«x)dx丿；黔厂心型积分3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走上连续，且lim鸟⑵=0在「里上一致成立。
则lim f幻(胡叫E = o■ rn4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:(1) Q 的次数比P 高;(2) Q 无实数解；(3) m>0特别的，上式可拆分成:及四. 计算积分路径上有奇点的积分5. (引理6.3小弧引理)：S m 询lim(z-a)f (2)=X r-+D于5'r 上一致成立，则有limf /wdz=i (02-五. 杂例六. 应用多值函数的积分§ 3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数 f'M2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n 阶零点，贝U a 必为函数 的一阶极点，并且(2)设b 为f(z)的m 阶极点，贝U b 必为函数的一阶极点，并且Res 2ni1 X) Res{ff (2je in ^f a^则有1.对数留数:3. (定理6.9对数留数定理)：设C 是一条周线，f(z)满足条件：(1) f(z)在 C 的内部是亚纯的；(2) f(z)在 C 上解析且不为零。
复变函数 部分内容的总结与习题
复变函数部分内容的总结与习题复变函数是数学中重要的概念之一，是实数域上函数的推广。
复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复数域上，定义了加法、减法、乘法和除法运算，因此复数域上的函数具有更丰富的性质和结构。
复变函数的重要性主要体现在以下几个方面：1.解析性：复变函数多数情况下是解析的，即具有无限可导的性质。
这使得复变函数具有很好的性质和结构，能够通过解析方法得到精确解。
2.全纯函数：全纯函数是最重要的复变函数类别之一，它是复变函数的一种特殊情况，也称为解析函数。
全纯函数具有很多重要的性质，如无奇点、可微性等。
3.复数积分：复变函数理论为计算复数积分提供了强有力的工具。
复数积分在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
4.亚纯函数与调和函数：亚纯函数是复变函数的另一种重要类别，它具有有限个极点，但在有限区域内是解析的。
调和函数是亚纯函数与全纯函数的和，具有很多应用。
在学习复变函数的过程中，我们需要掌握一些基本的概念和性质，如复数的定义和运算规则、复函数的连续性、极限、导数等。
此外，还要学习复函数的级数展开、洛朗级数、柯西-黎曼方程等高级概念和技巧。
下面我们来做一些与复变函数相关的习题，以加深对复变函数的理解。
习题1：计算函数$f(z)=\log{(1+z)}$在$z=1$处的洛朗展开式。
解答：根据洛朗展开的定义，我们需要找到$f(z)$在$z=1$处的主部和全纯部分。
首先，我们有$f(z)=\log{(1+z)}=\log{|1+z|}+i\arg{(1+z)}$，其中$\arg{(1+z)}$为辐角。
当$z\to1$时，$|1+z|\to 2$，$\arg{(1+z)}$是连续的，当$z$在单位圆内部绕一周时，$\arg{(1+z)}$改变$2\pi$。
因此，$\log{|1+z|}$是在$z=1$处有限的。
而$\arg{(1+z)}$在$z=1$处是不连续的。
所以，在$z=1$附近的一个小邻域内，$f(z)=\log{(1+z)}=\log{|1+z|}+i\arg{(1+z)}$的全纯部分是$\log{|1+z|}$。
复变函数论
复变函数论内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。
利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。
关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
微分函数论中用几何方法去表明、解决问题的内容，通常叫作几何函数论，微分函数可以通过共形贾启允理论为它的性质提供更多几何表明。
导数时时不是零的解析函数所同时实现的蓝光就都就是共菱形贾启允，共形蓝光也叫作保与角变换。
共形贾启允在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都获得了广为的应用领域。
留数理论就是微分函数论中一个关键的理论。
留数也叫作残数，它的定义比较复杂。
应用领域留数理论对于微分函数分数的排序较之线分数排序便利。
排序数学分析函数的定分数，可以化成微分函数沿闭电路曲线的分数后，再用留数基本定理化成被分数函数在滑动电路曲线内部边缘化奇点力促留数的排序，当奇点就是极点的时候，排序更加简约。
把单值解析函数的一些条件适度地发生改变和补足，以满足用户实际研究工作的须要，这种经过发生改变的解析函数叫作广义解析函数。
广义解析函数所代表的几何图形的变化叫作拟将保与角变换。
解析函数的一些基本性质，只要稍加发生改变后，同样适用于于广义解析函数。
在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为式一的一类数，其中α，b是实数。
式二在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解。
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结本文主要介绍复变函数与积分变换的相关知识点，包括基本概念、公式、定理及其应用。
复变函数是数学中重要的一门学科，它涉及到多种数学领域，如数学分析、微积分、拓扑学、数论等，具有广泛的应用价值和重要性。
一、复变函数和复数复变函数是指将复数作为自变量和函数值的函数，也就是输出值为复数的函数。
在复平面上，复数可以表示为 x+yi 的形式，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。
从图形上看，复数可以看成是在平面坐标系上的点，其中实部 x 对应水平方向，虚部 y 对应垂直方向。
二、重要公式和定理1. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ欧拉公式是复数理论中非常重要的公式，它表明了复数极坐标形式和直角坐标形式之间的关系。
欧拉公式常常被用来化简复数幂、求解复数方程等等。
2. 柯西-黎曼条件柯西-黎曼条件是指函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在某一点处可导的充分必要条件。
它包括两个部分：一是实部和虚部的偏导数存在且相等；二是实部和虚部的偏导数在该点处连续。
3. 洛朗级数洛朗级数是指将复变函数在一个环域上展开成为一定形式的级数，它可以看成是泰勒级数的一种推广形式。
洛朗级数可以用来处理复变函数的奇点、留数及边界值等问题。
4. 度量定理度量定理是指一个可积函数的形式化定义，它对于研究函数的特殊性质和进行积分变换有很重要的作用。
度量定理是复变函数理论中的一个基本定理，它可用来刻画单复变函数的局部和全局性质。
三、应用及例子复变函数和积分变换广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
其中，最为著名的应用包括热传导方程、电动力学、量子力学等等。
下面列举一些具体的例子：1. 应用于调制技术调制技术是指将信息信号通过某种方式转换成为载波信号，以达到传输信号的目的。
而在调制过程中，使用的正交变换中的基函数，就是一种特殊的复变函数。
2. 应用于信号处理信号处理是指对信号进行数字化、滤波、噪声抑制等一系列工作，以提高信号的质量和准确度。
复变函数总结
复变函数总结在数学领域中，复变函数是一种特殊的函数，其定义域和值域都是复数集。
它有许多独特的性质和应用，深受数学家和物理学家的喜爱和重视。
在本文中，我们将对复变函数的几个重要概念和应用进行总结和讨论。
第一部分：复数和复平面复变函数的基础是复数的概念。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
虚数单位i满足i^2=-1，使得复数集在数轴上获得了垂直的“第二个维度”。
复数还可以用极坐标形式r(cosθ+isinθ)表示，其中r是模长，θ是辐角。
复平面是将复数集映射到一个二维平面上的方法。
实部和虚部可以分别看作在坐标轴上的x轴和y轴坐标，使得复数的加减乘除运算可以在平面上直观地表示。
第二部分：复变函数的定义复数的加减乘除等运算都可以直接应用到复变函数中。
一般地，复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v是实函数，x 和y是复平面上的坐标。
如果f(z)满足柯西-黎曼方程u_x=v_y,u_y=-v_x，那么我们称这个函数为全纯函数。
全纯函数是复变函数的重要类别之一，有着许多重要的性质和应用。
第三部分：解析函数和调和函数解析函数是一个更严格的概念，它要求函数在其定义区域内处处可导。
而全纯函数只要求满足柯西-黎曼方程即可。
解析函数在数学和物理中有广泛的应用，如调和函数、特殊函数等。
调和函数是解析函数的一种特殊情况，它在某个区域内满足拉普拉斯方程△u=0。
调和函数在电势场、热传导等领域有着重要的物理意义。
第四部分：留数定理和复积分留数定理是复变函数理论中的一大亮点。
该定理通过计算函数在奇点处的留数，从而计算出复积分的值。
留数定理在数学分析和物理计算中有着重要的应用，如计算辐射场、傅里叶变换等。
复积分是沿着曲线路径对函数进行积分的一种方法，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
第五部分：解析延拓和边界值问题解析延拓是复变函数中的一个重要概念，它指的是将函数在某个已知区域的解析性质推广到更大区域的过程。
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（w ＝ f(z)＼）定义在＼（z_0\）的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数＼（＼epsilon\），总存在正数＼（＼delta\），使得当＼（ 0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（ A\）为＼（ f(z)＼）当＼（ z\）趋于＼（ z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼toz_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处连续。
如果＼（ f(z)＼）在区域＼（ D\）内处处连续，则称＼（ f(z)＼）在＼（ D\）内连续。
三、例题解析例 1：求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（ z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（ z^2 2z ＋ 2\）得：＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼所以＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2) ＝ 0\）例 2：判断函数＼（ f(z) ＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼）在＼（ z ＝1\）处的连续性。
解：先对函数进行化简：＼＼begin{align}f(z)＆＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼＼＆＝＼frac{（z 1)（z ＋ 1)｝｛z 1}＼＼＆＝ z ＋ 1＼end{align}当＼（ z ＼to 1\）时，＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝ 2\），而＼（ f(1)＼）不存在，所以函数＼（ f(z)＼）在＼（ z ＝ 1\）处不连续。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数complex function第二章复变函数的积分complex function integral第三章幂级数展开power series expansion第四章留数定理residual theorem第五章傅立叶变换Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角(ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
§1.2复变函数(一)复变函数的定义若在复数平面上存在一个点集Ｅ,对于Ｅ的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称的函数—复变函数，ｚ称为的宗量，定义域为Ｅ，记作，ｚＥ(二)区域的概念领域：以复数ｚ为圆心，以任意小正数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为ｚ的领域内点：若ｚ及其领域均属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的内点外点：若ｚ及其领域均不属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的外点境界点：若在ｚ的每个领域内，既有属于Ｅ的点，也有不属于Ｅ的点，则称ｚ为该点集的境界点，它既不是Ｅ的内点，也不是Ｅ的外点，境界点的全体成为境界线区域是指满足下列两个条件的点集1.全由内点组成2.具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全部属于改点集闭区域：区域及其境界线所组成的点集(三)复变函数例周期为周期为周期为（ｓ为复数) 周期为注意：复变函数在点连续的定义是：当ｚ时，§1.3 导数(一)导数的定义设函数是在区域Ｂ上定义的单值函数，即对于Ｂ上的每一个ｚ值，有且只有一个值与之相对应，若在Ｂ上的基点ｚ，极限存在，并且与的方式无关，则称函数点可导，复变函数的导数定义，形式上跟实变函数的导数定义一样。
现在让我们比较沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两种情形1.先看沿平行于实轴方向逼近零，这是而，于是2.再看沿平行于虚轴方向逼近零，这是而，于是则有，即这两个方程叫做柯西黎曼方程，是复变函数可导的必要条件(二)极坐标系中的柯西黎曼方程§1.4 解析函数(一)解析函数定义若函数在点及其领域上处处可导，则称在点解析。
又若在区域Ｂ上每一点都解析，则称是区域Ｂ上的解析函数。
函数在一点可导与解析是不等价的，但函数若在某一区域Ｂ上解析，意味着函数在区域Ｂ上处处可导，因此函数在某区域上可导与解析是等价的(二)解析函数性质1.若函数在区域Ｂ上解析，则ｕ（ｘ，ｙ) ，ｖ（ｘ，ｙ) 是Ｂ上的两组正交曲线族2.若函数在区域Ｂ上解析，则ｕ，ｖ均为Ｂ上的调和函数，即(三)求解析函数的方法1.曲线积分法：全微分的积分与路径无关，故可选取特殊积分路径2.凑全微分显示法3.不定积分法第二章复变函数的积分§2.1 复变函数的积分§2.2 柯西定理§2.3 不定积分§2.4 柯西公式§2.1 复变函数的积分(一)复变函数路积分定义复变函数路积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是路积分的实部和虚部ｕ（ｘ，ｙ)ｄｘｖ（ｘ，ｙ)ｄｘｕ（ｘ，ｙ)ｄｙ(二)复变函数路积分性质1.常数因子可以移到积分号外2.函数的和的积分等于各个函数的积分之和3.反转积分路径，积分变号4.全路径上的积分等于各段上积分之和5.积分的模小于等于模的积分注意：复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，还与积分路径有关§2.2 柯西定理(一)单通区域的情形所谓单通区域是这样的区域，在其中做任何简单的闭合围线，围线内的店都是属于该区域内的点单通区域柯西定理：如果函数在闭单通区域上解析，则沿上任意分段光滑闭合曲线ｌ，有(二)复通区域的情形在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复通区域，对于区域的境界线，外境界线是逆时针方向为正，内境界线是顺时针方向为正复通区域柯西定理：如果是闭复通区域上的单值解析函数，则，式中为区域外境界线，诸为区域内境界线，积分均沿境界线正方向进行(三)总结柯西定理1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和§2.3 不定积分当积分起点固定时，这个不定积分就定义了一个单值函数，记作就是说路积分的值等于原函数的改变量注意：须记住下面重要结果的结果是§2.4 柯西公式(一)单通区域柯西公式：设在单通区域D内解析，为D的内点，则D的边界线，又可写为(二)复通区域的柯西公式:设在复通区域D内解析，为D的内点，则（积分沿的边界线１的正方向）第三章幂级数展开§3.1 复数项级数§3.2 幂级数§3.3 泰勒级数展开§3.4 解析延拓§3.5洛朗级数展开§3.6 孤立奇点的分类§3.1 复数项级数(一)定义：设有复数项的无穷级数，它的每一项都可分为实部和虚部，那么，从而，这样复数项无穷级数的收敛性问题就归结为两个实数项级数的收敛问题，柯西收敛判据成立。
(二)绝对收敛如果复数项级数各项的模组成的级数收敛，就把复数项级数叫做绝对收敛注意：绝对收敛级数各项先后次序可以改变，两个绝对收敛的复数项级数的乘积也会收敛于原来函数的乘积(三)一致收敛复变项级数，它的各项是ｚ的函数，如果在某个区域上所有的点级数都收敛，就叫作在此区域上收敛。
复变项级数在区域上收敛的充分必要条件是，在区域上各点ｚ，对于给定任意小正数，必有Ｎ存在，使得ｎＮ时｜｜，式中ｐ为任意正整数，如果Ｎ与ｚ无关，就把复变项级数叫做在此区域上一致收敛，一致收敛具有连续性、可积性、解析性。
§3.2 幂级数定义：叫做为中心的幂级数，为圆心做一个半径为Ｒ的圆周，由于幂级数在圆的内部绝对收敛，在圆外发散，这个圆因而叫做幂级数的收敛圆，半径则叫做收敛半径。
｜或注意：函数在区域内解析的充要条件是，函数在此区域内任意一点的领域内都可展成幂级数§3.3 泰勒级数展开任意阶导数都存在的实变函数可以展为泰勒级数定理：设在以为圆心的圆内解析，则对圆内任意ｚ点，可展为幂级数，其中具体步骤：先确定展开中心，再确定系数，最后将系数代回，写出泰勒级数方法：直接发和间接法注意：若在以点解析，则1.在以某一领域内可导2.在以某一领域内有连续的偏导数并满足柯西黎曼方程3.沿所有内外境界线正方向积分和为零4.可化为幂级数泰勒展开§3.4 解析延拓简单的说，解析延拓就是解析函数定义域的扩大，而且解析延拓是唯一的。
§3.5 洛朗级数展开(一)定理：设在环形区域的内部单值解析，则对环域上任意ｚ点，可展为幂级数，其中，积分路径Ｃ为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线(二)具体步骤：先求的奇点，然后以为展开中心，奇点为分隔点，找出到无穷远使解析的环域(三)洛朗级数和泰勒级数的区别1. 从形式上看，洛朗级数有幂次为负数的项，而泰勒级数没有。
2. 但这只是表面现象，这两者本质上的不同在于，洛朗级数是在孤立奇点的邻域的级数展开，它的定义域是一个环状的区域3. 洛朗级数的正则部分（也就是幂次非负的部分）是在|z|<=R有效的，而主要部分（也就是幂次为负的部分）是在r<=|z|处有效的，两者都有定义的部分就是那个环状区域。
4. 实际上，泰勒级数是更基本的。
洛朗级数的正则部分就是这个孤立奇点附近的关于z的泰勒级数，而其主要部分则是无穷远点附近的关于1/z的泰勒级数。
也就是说洛朗级数是两个泰勒级数的和。
§3.6 孤立奇点的分类(一)定义：若在以点不可导，而在的任意小领域内处外处处可导，便称为的孤立奇点(二)孤立奇点的分类在挖去孤立奇点而形成的环域上的解析函数的洛朗级数或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，在这三种情况下，我们分别把的可去奇点，极点或本性奇点第四章留数定理§4.1 留数定理§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分§4.1 留数定理(一)留数的概念：洛朗级数的项的系数叫做函数在以点的留数通常记作Ｒｅｓ，这样(二)留数定理：设函数在回路ｌ所围区域Ｂ上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域Ｂ上处外连续，则留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上个奇点的留数之和(三)留数的求法：1.非零的有限值，即若可以表示为的特殊形式，其中都在点解析，是的一阶零点，，从而是的一阶极点，则2.若是的ｍ阶极点，则有(四)求回路积分：1.确定孤立奇点2.看是否在积分范围内3.求留数4.代回回路积分§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分(一)方法：1.变量代换2.解析延拓(二)具体类型：1.类型1 ：，被积函数是三角函数的有理式，积分区间，作自然代换ｚ，则有，，，于是原积分化为Ｉ(2.类型2：，积分区间是；复变函数在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当ｚ在上半平面和在实轴上时，ｚ一致地。
如果是有理分式，上述条件意味着没有实的零点，的次数至少高于两次，则有3.类型3：，，积分区间；偶函数在实轴上没有奇点，在上半平面处有限个奇点外是解析的；当ｚ在上半平面实轴上时，一致地，则有第五章傅立叶变换§5.1 傅立叶级数§5.2 傅立叶积分与傅立叶变换§5.3 函数§5.1 傅立叶级数(一)周期函数的傅立叶展开若函数以2ｌ为周期，即，则可将展开为级数其中(二)狄里希利定理若函数满足条件：1.处处连续。