3的倍数特征证明过程
《探索活动：3的倍数的特征》教案
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些同学在表达自己的观点时，语言表达能力较弱。为了提高学生的表达能力，我计划在课后组织一些口语表达训练，鼓励他们多发言，提高自己的语言组织能力。
2.提升学生的数据分析能力，使其能够运用3的倍数特征解决实际问题，培养学以致用的思维习惯。
3.增强学生的逻辑推理能力和数学表达能力，通过小组合作、交流分享，提升数学素养和团队协作能力。
具体体现在：
-学生能够通过自主探索、合作交流，发现并总结3的倍数的特征。
-学生能够运用所学知识，解决实际生活中的问题，如判断一个数是否为3的倍数。
-学生在表达和分享过程中，提高逻辑推理和语言表达能力，培养数学思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握3的倍数的定义：即一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（2）学会运用3的倍数特征，判断一个数是否为3的倍数。
（3）解决实际问题，如找出100以内3的倍数，以及在生活中哪些地方会用到3的倍数。
举例：
-举例说明3的倍数的定义，如18（1+8=9，9是3的倍数）。
-学生通过练习，如找出10-100之间的3的倍数，巩固重点知识。
2.教学难点
（1）理解3的倍数特征背后的数学原理，即为什么一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（2）对于较大的数，如何快速判断其是否为3的倍数。
（3）在实际问题中，如何灵活运用3的倍数特征解决问题。
五、教学反思
3的倍数特征
3的倍数的特征
李彦宁
教材分析：
《3的倍数的特征》是人教版小学数学五年级下册的内容，属于“数与代数”领域，从知识体系上分析，它是在因数和倍数的基础上进行教学的，是求最大公因数、最小公倍数的重要基础，也是学习约分和通分的必要前提。
因此，使学生熟练地掌握2、5、3的倍数的特征，具有十分重要的意义。
学情分析：
学生在学习本课之前，已经学习了2、5的倍数的特征，后再学3的倍数的特征。
因为2、5的倍数的特征仅仅体现在个位上的数，比较明显，容易理解。
而3的倍数的特征，学生较难发现，并且易受2、5的倍数特征的影响，给教学带来一定的难度。
教材先安排找出3的倍数，再引导学生观察、猜想、验证，逐步归纳概括出3的倍数的特征。
教学目标：
1.让学生自主探索、发现并掌握3的倍数的特征，体会归纳思想。
2、能判断一个数是不是3的倍数。
3、培养学生观察、发现、分析、猜测、归纳的能力和数学表达的能力。
教学重点：
掌握3的倍数的特征，正确判断一个数是否是3的倍数。
教学难点：
探索3的倍数特征。
教学过程：。
《2 3 5 9 11的倍数特点及证明》 Microsoft Word 文档
《2n与5n的倍数特点及证明》对于倍数的特点我们早在小学五年级就学了一些。
比如：2，3，5，9的倍数特点。
上高中之后我慢慢的对数学感兴趣了。
于是对自己提问：我们只学了这几个数的倍数特点，其他的数的倍数又有什么特点？这几个数的倍数的特点是怎么知道的呢？有什么理由说它们一定都是这样的呢？记得一个数学老师曾经说过：“要说这个命题是对的，就要给出证明;如果要说这个命题是错的，只需要例举一个反例”！所以它们都得有个证明才行呀？于是我开始对它们亲密起来。
想方法去证明它们。
现在我们先来看看几个数的倍数特点，2的倍数特点：尾数是0，2，4，6，8的数。
3的倍数特点：组成这个数的各位数字之和是3的倍数。
5的倍数特点：尾数是0或5。
9的倍数特点：组成这个数的各位数之和是9的倍数11的倍数特点：这个数的奇位上数字之和与偶位上数字之和的差能被11整除。
其他的一些数的倍数有什么特点呢？我最先开始对它们的倍数进行观察。
先来看看4的倍数的尾数有什么特点：04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，…我们发现：前面是偶数后面就是0，４，８。
前面是奇数后面就是２，６。
所以我当时就来了一句顺词：前奇为２，６。
前偶0，４，８。
发现这个规律是一九九八年冬。
过后我在另一本书上看到是末尾两位数能被4整除这个数就能被4整除。
当时我马上就把4 和2联系起来了，也许是考虑的量多了的好处。
量变到质变嘛！我是这样想的：2的倍数特点：末尾一位数能被2整除。
4的倍数特点：末尾两位数能被4整除。
我马上就猜想到：8的倍数特点：末尾三位数能被8整除。
（8=23）16的倍数特点：末尾四位数能被16整除。
（16=24）32的倍数特点：末尾五位数能被32整除。
（32=25）2n 的倍数特点：末尾n位数能被2n整除。
对于这个猜想是笔者在一九九九年春发现的。
但还是检验了很了，是对的。
当时我很高兴，但并不知道怎么去证明它，一直困饶着我。
3的倍数的特征
《3的倍数的特征》教学设计察哈尔小学郭景慧一、教学内容新人教版《义务教育课程教科书数学》五年级(下册)第10页。
二、教学目标1.使学生掌握3的倍数的特征,能够正确地判断一个数是不是3的倍数。
2.让学生经历科学的探究过程,激发学生探索新知的兴趣,培养学生的自主学习能力。
3.结合知识的教学,培养学生的观察、猜想、分析、比较、归纳等思维能力。
4.让学生获得探索成功的体验,增强学好数学的自信心,培养学生的数学兴趣。
三、课前准备计数器、课件四、教学过程(一)复习旧知,引出新知1.复习旧知出示:(1)如果将这些钱平均分给2所学校,每所学校得到的钱数是整元数吗?你是怎么知道的?有几种不同的方法可以判断?哪种方法比较好?(2)如果将这些钱平均分给5所学校,每所学校得到的钱数是整元数吗?你又是怎么知道的?有几种不同的方法可以判断?哪种方法比较好?2.引出新知如果将这些钱平均分给3所学校,每个学校分到的钱是整元数吗?你是怎么知道的?能不用计算3860÷3的方法判断吗?⒊导入新课同学们,3的倍数有特征吗?有什么特征呢?今天我们就来研究3的倍数的特征。
教学意图:一方面通过复习帮助学生回忆2、5倍数的特点,巩固前一节学习的知识,另一方面引出本节课要研究的知识――3的倍数的特征,自然过渡到新知教学。
(二)猜想验证,制造悬念1.请同学们猜一猜3的倍数的特征可能是什么?[学生最有可能猜想:个位上是0、3、6、9的数是3的倍数]2.这只是个猜想,到底对不对呢?还需要我们干什么?你们打算怎样验证呢?3.请同学们举出个位上是0、3、6、9是3的倍数的数?学生举例,如30、33、36、39……都是3的倍数。
4.个位上是0、3、6、9的数都是3的倍数吗?举例说明。
学生举例,如:10、13、16、19……都不是3的倍数。
5.个位上不是3、6、9的数都不是3的倍数吗?请举出个位上是1、2、4、5、7、8、的数是3的倍数的例子,再举出个位上是1、2、4、5、7、8、0的数但不是3的倍数的例子。
3的倍数的特征教案
3的倍数的特征教学内容：教科书第33~34页例5和“练一练”，练习五第8~9题。
教学目标：1、使学生在探索3的倍数的特征过程中，知道3的倍数的特征，能根据上述特征判断一个数是不是3的倍数。
2、使学生在探索3的倍数的特征的过程中，进一步培养观察、猜想、验证和归纳的能力，感受一些简单的数学思想方法。
3、初步了解特征的算理，体会算理之间的联系。
教学过程：一、复习导入1、谈话：前面我们已经研究过了2和5的倍数的特征，它们分别是什么？回忆一下我们是怎么研究的？结合学生的回答，板书：观察、猜想、验证、总结。
2、指出：今天这节课，我们用同样的方法一起研究3的倍数的特征。
（板书课题）。
引导：你能猜一猜3的倍数有什么特征吗？追问：这些猜想是否正确呢？我们还是先找出一些3的倍数进行研究吧！二、探索发现1、筛选数据，在困惑中逐步形成新的探索思路。
提出要求：请同学们，拿出作业纸，圈出其中3的倍数。
（先圈好的同学可以先观察他们有什么特点？）学生汇报。
提问：为了便于研究，我们省去其它的数。
观察这些3的倍数，想一想刚才这个猜想正确吗？你能结合这些数说明你自己的想法吗？谈话：看来只看个位是找不出3的倍数的特征了，就需要调整思考角度了。
2、仔细观察，初步发现谈话：仔细观察这些数，他们是怎么排列的呢？谈话：既然斜排成了一条直线，说明他们也是有规律的。
仔细观察每斜排的数，你有什么发现？（第一个斜排的和为3）谈话：是吗？我们验证一下。
其它斜排呢？（课件逐一出示各斜排的和）谈话：观察每个斜排的和，你又有什么发现？生（3的倍数）谈话：（真棒！）现在你能猜想一下3的倍数的特征了吗？看来我们的研究已经有了一些进展。
3、拓展研究、深入认识谈话：有了前面的研究，你是否认为我们得出的结论对所有3的倍数都适用呢？提示：刚才我们只研究了两位数，对于一些更大的3的倍数是不是也有同样的特征呢？请同学们小组合作，找一些较大的3的倍数，看看是否也具有这样的特征？提示：为了找到一个较大的3的倍数，我们可以先找一个较大的数，再把它×3，这样得出的数一定是3的倍数。
数学五年级下册3的倍数特征
65( 1,4或7)
12( 2，5或8 )1
各有几种填法。
四、课堂小结 通过这节课的学习，你有什么收获？
五、课外作业
8.下面说法正确吗？说一说你的理由。 （1）个位上是3,6,9的数，都是3的倍数。
答：举例证明：如13的个位数是3，但是 13不是3的倍数；所以是错的。
（2）个位上是1,3,5,7,9的数，都是奇数。
10.从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。
奇数（
）
偶数（
）
奇数：435,543,453,305,405,403,345,503,
偶数：304,340,350,354,430,450,504,530,534,540
2的倍数（
） 5的倍数(
)
3的倍数（
） 既是2的倍数，又是3的倍（ ）
2的倍数：304,340,350,354,430,450,540,530,534,540
数学五年级 下册
3的倍数特征
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3的倍数的特征说课稿5篇
3的倍数的特征说课稿5篇3的倍数的特征说课稿1一、教材分析：这部分内容是在学生掌握了倍数概念的基础上进行教学的。
它是学好找因数、求最大公约数和最小公倍数的重要基础，还有利于学习约分、通分知识。
因此，知道2、5、3的倍数的特征，对于本单元的内容具有十分重要的意义。
这部分内容主要涉及了集合思想，掌握集合思想可使数学问题更容易理解和记忆，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意义。
本课我极大地发挥了学生的主体作用，让学生自主完成百数表的勾画，通过数据的分析对比，找出特征，最后加以验证得出结论。
并将这一过程在整堂课中多次应用，充分地锻炼了学生自主学习意识和分析、总结的能力。
二、学情分析：学生已经初步掌握了因数与倍数的概念，有一定的单双数的生活体验，所以学生对此部分知识有兴趣而且困难较少。
学生通过这部分内容的学习，可以掌握2、5、3的倍数的特征。
另一方面，有助于发展他们的抽象思维，提高学生自主获得新知识的自豪感。
五年级是小学阶段的一个转折点，五年级学生的身心成长、个性特点都对教学效果有很深的影响。
通过分析学生可以为学生“量身定做”一堂优质课。
我发现学生学习热情较高，但注意力不集中；讨论兴趣浓，但不善于合作；求知欲望强，但目的性较差。
于是我在教学中设计贴近学生生活的鲜活材料来作为吸引学生的关注点，引导学生以目标为导向，实现精准合作。
根据学生分析，本节课我主要采用“自主探究，合作交流，汇报验证”等教学方法。
通过创设生动的教学情景，激发学生的求知欲。
学生在观察中发现，在探究中交流，在合作中归纳解决问题。
让学生经历了解目标、合作探讨、制定方案、分析判断、验证思考、总结归纳这一系列的过程。
培养探索精神和合作意识体会分类的数学思想。
三、学习目标：本节内容属于《数学课程标准》“数与代数”领域的内容。
《课标》在此领域的具体目标中明确提出了“知道2，3，5的倍数的特征”。
1.3(3)能被3,4,6,9整除的数的特征教案
课题：1。
3能被3，4,6，9整除的数的特征(第3课时)一、 教学目标1. 经历观察与思考，概括出能被3,4，6整除的数的特征；2. 并会运用判断一个正整数能否被3,4,6整除；二、教学重、难点:能被3、4,6整除的数的特征三、教学过程1。
游戏导入：能被3整除的数的特征游戏1：请按照座位顺序(从前至后U 型弯）依次报数,遇到3的倍数请拍手,不要报出声.其他不是3的倍数的同学请直接报数。
归纳能被3整除的数的特征:各个位数之和能被3整除例题:以432为例说明结论的正确性解：因为432400302=++41003102=⨯+⨯+4(991)3(91)2=⨯++⨯++49943932=⨯++⨯++ 49939432=⨯+⨯+++练习1：判断下列各数能否被3整除：84,123，437，111 114,707052等练习2：请尝试用例题的方法说明432不仅能被3整除，而且还能被9整除。
拓展游戏2：猜数字游戏（能被9整除的数的特征）游戏规则：心里想好一个多位数，然后把这个数减去它的各位数字之和，然后再所得的差中留下任何一个数字,但不能留0，把其余各位数字以任意顺序告诉老师，老师能立即猜到你留下的这个数字是几?如心里想8764 按游戏规则8764—（8+7+6+4）=8739 如心里藏8，那么则告诉老师7,3,9(7,3，9可以任意顺序排）老师能猜出数字是8吗？为什么? 解：假设任意数字为()100010010()(9991)(991)(91)()999999()999999abcd a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c a b c d a b c d a b c -+++=+++-+++=++++++-+++=++++++-+++=++ 所以按游戏规则，心里得到的数一定是9的倍数，能被9整除的数的特征是：各个位数之和能被9整除。
判断:432能不能被9整除.3. 能被4整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4整除，那么这个数能被4整除。
被三整除的数的特征
被三整除的数的特征被三整除的数是指能够被三整除的自然数，也就是说，这些数能够被三整除，余数为零。
在数学中，被三整除的数有很多特征和规律，下面我们来一一探讨。
被三整除的数的个位数必须是0、3、6、9中的一个。
这是因为一个数的个位数是多少，就代表着这个数除以10的余数是多少。
而当一个数除以3时，余数只有可能是0、1、2中的一个。
因此，如果一个数的个位数是0、3、6、9中的一个，那么这个数除以3的余数就是0，也就是说，这个数能够被三整除。
被三整除的数的各位数字之和也必须是3的倍数。
例如，27、123、999都是被三整除的数，因为它们的各位数字之和分别是9、6、27，都是3的倍数。
这个规律可以通过数位分解来证明。
例如，对于一个三位数abc，它可以表示为100a+10b+c。
当这个数除以3时，余数为0，即100a+10b+c能够被3整除。
而100a+10b+c的各位数字之和为a+b+c，因此，a+b+c也必须是3的倍数。
被三整除的数的平方也一定能被3整除。
这个规律可以通过数学归纳法来证明。
首先，当n=3时，3的平方是9，能够被3整除。
假设当n=k时，k的平方能够被3整除，那么当n=k+1时，(k+1)的平方可以表示为k的平方+2k+1。
由于k的平方能够被3整除，2k 也能够被3整除，因此2k+1除以3的余数只能是1。
而1的平方是1，也能够被3整除。
因此，(k+1)的平方能够被3整除。
被三整除的数有很多特征和规律，包括个位数为0、3、6、9，各位数字之和为3的倍数，以及平方能够被3整除等。
这些规律不仅有助于我们判断一个数是否能够被三整除，还能够帮助我们解决一些数学问题。
3的倍数的特征
探索3的倍数的特征
3的倍数的数
1 2 3 4 5 6 7 ……
×3
3 6 9 12 15 18 21 ……
1+2=3 1+5=6 ……
12个位上的数不是3的倍数，但 1 + 2 = 3，3是3的倍数。 15个位上的数不是3的倍数， 但1 + 5 = 6，6是3的倍数。
3的倍数的数
1 2 3 4 5 6 7 ……
×3
3 6 9 12 15 18 21 ……
提示：
把3的倍数的各位上的数 相加，看看你有什么发现。
探索3的倍数的特征
我们把刚才得到的3的那些倍数各个数位上的数字加起来， 看看他们都是些什么数？
1+2=3 1+5=6 1+8=9 2+1=3
想一想
这些数有什么特点，你看出来了吗？
探索3的倍数的特征
刚才的那些数各数位上的数加起来的和还是3的倍数。 1+2=3 1+5=6 1+8=9 2+1=3 3,6,9都是3的倍数。 因此，一个数如果各个数位上的数字之和是3的倍数，这个 数就是3的倍数。 小精灵的话你听懂了吗？它说得对吗？ 我们用小精灵讲的方法检验一下吧： 354是3的倍数吗？ 3+5+4=12,12是3的倍数，因此354就是3的倍数。 检验一下：354÷3=118 同学们再试试看呢
探索3的倍数的特征
用刚刚的方法判断以下数是否是3的倍数： 789 93 527 1050
7+8+9=24, 24是3的倍数，所以789是3的倍数。 （789÷3=263） 9+3=12, 12是3的倍数，所以93是3的倍数。 （93÷3=31） 5+2+7=14,14不是3的倍数，所以527不是3的倍数。 （527÷3=175…2) 1+0+5+0=6,6是3的倍数，所以1050也是3的倍数。 （1050÷3=350） 用刚刚的方法判断出的结果正确吗？ 你能用自己的话说一说3的倍数的特征了吗？
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3的倍数特征证明过程
假设有一个任意的整数n，可以表示为n=10a+b，其中a和b是整数，且b可以表示为b=3c+d，其中c和d是整数。
将b的表达式代入n的表达式中得到n=10a+3c+d。
现在考虑n能否被3整除，即n%3=0。
将上式对3取余得到
n%3=(10a+3c+d)%3=(1a+0c+1d)%3。
因为3是一个质数，所以根据模运算的性质，如果a、c、d中有一个数能被3整除，那么n%3就一定能被3整除。
现在我们分别考虑a、c、d的特性：
1. 如果a、c、d都能被3整除，则n%3=0，即n能被3整除。
2. 如果a、c、d都不能被3整除，则n%3=1d%3，即n的模数与d的模数相同。
3. 如果a、c、d中只有一个数能被3整除，假设这个数为x，则n%3=(10x+3c+d)%3=(1x+0c+1d)%3=1x%3+1d%3=0+1x%3，即n%3的模数为x的模数。
综上所述，只有当a、c、d中被3整除的数的个数是偶数时，n 才能被3整除。
因此，n能被3整除的充分必要条件是n的各位数字之和能被3整除。
这就是3的倍数特征的证明过程。
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