高考数学复习点拨约会型几何概型问题

高考数学复习点拨约会型几何概型问题第一篇：高考数学复习点拨约会型几何概型问题谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。

请看以下几例：例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|x-y|≤15，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A602-4527=因此，两人见面的概率P(A)=16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|x-y|≤15，于是，结论也就顺其自然的产生了。

例2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间两列火车必须等待，则|x-y|≤10，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 602-50211=因此，这两列火车必须等待的概率是P(A)= 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y 表示，结论很快产生。

例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心爱心专心⎧6≤x≤7⎪所以，由⎨6.5≤y≤7.5⎪y>x⎩1602-⨯30272得P(A)=，=86027即小强能见到小明的概率是。

8点评：与前两例很相似，但又有很大不同；两人的出发时间不同，如何将“相见”转化为数学式子？深入分析会发现6≤x≤7是小强到的时间，6.5<y<7.5是小明离家时间，要相见必须y>x，于是产生了一个不等式组，结合图形，分析面积产生结论。

例4、水池的容积是20m，向水池注水的水龙头A和水龙头B水的流速都是1m/小时，它们在一昼夜内随机开0~24小时，求水池不溢出水的概率。

解：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，当然，33x≥0,y≥0，水池不溢出水，则x+y≤20记“水池不溢出水”为事件A，则A所占区域面积为1⨯20⨯20=200，整个区域的面积为24⨯24=576 2200≈0.35 由几何概型的概率公式，得P(A)=576即水池不溢出水的概率约为0.91。

点评：由两个龙头引出两个变量x、y，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开0~24小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解。

例5、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率。

解：设横轴表示23路车的到站时间，纵轴表示 8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23 路车”为事件A，则A所占区域面积为8⨯10+7⨯8=136整个区域的面积为10⨯15=150136≈0.91 150即这位同学等车不超过8分钟的概率约为0.91。

那么，等车不超过8分钟的概率P(A)=点评：本题两路公共汽车的到站时间恰好是两个变量，再抓住两车的的到站时间间隔，即可以转化为“约会型”概率，再仿照“约会型”概率进行求解。

例6、在一条长为2的线段上，（1）任取两点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；（2）任取三点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；解：（1）设线段上两点到线段中点的距离分别为|x|,|y|，记“它们到中点距离平方和用心爱心专心小于1”为事件A，则事件A：(x,y)|x2+y2<1，由于|x|≤1,|y|≤1{}π12⋅ππ=因此P(A)=，即到中点距离平方和小于1的概率为 2442（2）设线段上三点到线段中点的距离分别为|x|,|y|,|z|，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件B，则事件B：(x,y,z)|x2+y2+z2<1，由于|x|≤1,|y|≤1,|z|≤1{}4π3⋅1ππ3因此，P(B)=，即到中点距离平方和小于1的概率为=3662点评：第一小问涉及的问题有一定的难度，首先引入两个变量，再将两个变量“横、纵”化有一定的技巧，当“横、纵”化以后，“约会型”的样子就见到了。

当然也就可以借助于“约会型”概率问题进行求解。

第二小问是第一问类比产生的，有了第一小问的求解，第二小问也就很自然了。

用心爱心专心第二篇：几何概型《几何概型（第1课时）》教学设计青海省民和县高级中学刘永宏一、教学内容解析本节课是人教版普通高中课程标准试验教科书数学（必修3）第三章第三节几何概型（第一课时）。

概率这章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成科学的态度，辩证的思想，随机的观念去观察分析研究客观世界的态度寻求并获取认识世界的初步知识和科学方法。

本节课是第1课时，注重几何概型概念的建构，是一节概念新授课，也是为更广泛的满足随机模拟的统计思想需要而新增加的内容，同时也为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。

由于概率统计的应用性强，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然，是学生已掌握一般型随机事件及概率的统计定义，以及古典概型的基础上的进一步发展，是等可能事件从有限向无限的延伸。

对学生去全面系统的掌握概率知识以及辨证思想的进一步形成具有良好的作用。

二、教学目标设置由于本节内容极能体现新课程理念，可以成为“知识与技能、过程与方法及情感态度价值观”三个目标有机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。

根据上述分析，我确定本节课的三维教学目标如下：（一）知识与技能：（1）体会几何概型的意义。

（2）了解几何概型的基本特点与古典概型的异同点、会进行简单的几何概型计算。

（二）过程与方法：学生通过自主探究，讨论交流，经历概念产生与发展的过程，进一步培养学生观察、分析、类比等逻辑推理能力，通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。

（三）情感、态度与价值观：本节课选材取例均来源于生活，学生积极参与探究，进一步树立数学是来源于生活而又服务于生活的意识，让学生感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题。

为了达到上面的教学目标和根据课程标准的要求，因此把学生能够正确区分几何概型及古典概型两者的区别和学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题作为教学重点。

教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

三、学生学情分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与古典概型的特点，计算方法等方面进行类比因此两者有联系这是积极因素，应因势利导，但是几何概型的计算方法与古典概型有本质的区别，这对学生的思维是一个突破。

几何概型的关键是建立合理的几何模型解决相关概率问题，通过建立基本事件与相应元素的对应，达到求解相关概率问题的目的，体现了数形结合的数学思想，是概率问题与几何问题的一种完美结合，学生前面已掌握了一般性的随机事件及概率的统计定义的基础上又学习了古典概型，在古典概型向几何概型的过渡和实际背景如何转化为相应区域的长度、面积、体积是会有一些困难，为了调动学生学习的兴趣，加深对知识的理解和应用，问题情境和例题，习题的选择都与日常生活息息相关。

四、教学策略分析高一的学生知识经验已较为丰富，具备了一定的自主探究能力和概括归纳能力，利用自主探索与合作交流的方式，由个别到一般，进行归纳的思路学习本节知识，教师在引导中唤醒学生的主体意识，发挥学生的主体能力及作用，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新，真正成为课堂的主体。

因此采用“学生为主体，教师为主导”的“问题——探究”学习模式。

将几何概型的教学利用以旧引新、对比迁移、知识运用等方式，让学生感受数学知识形成的过程，让学生经历概念数学化的过程，从而让学生的思维从感性上升到理性，感知用图形解决概率问题的方法。

在教学过程利用不同的问题将概念形成的过程教学层层递进，促进学生的学习方式的转变，将学习的主动权较完整地交还给学生。

对于基础差和课前准备不充分的学生课堂上教师应指导和帮助，必要时课后做有针对的训练和辅导，学生才能逐渐地掌握方法和知识。

五、教学过程分析（一）复习问题一：古典概型的两个基本特点是什么？计算公式如何？m和n指什么？目的是复习古典概型的特点及计算公式为问题二作铺垫。

问题二：(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？设计的目的是检查学生对古典概型的公式计算的掌握情况，从生活中的实例出发，自然顺利的提出对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?（二）创设情境，引入新课，板书课题问题情境一：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。

规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。

在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？问题情境二：射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?问题情境三：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.问题情境中的转盘和射箭问题、取水问题因为这三个问题比较贴近实际生活，本着由易到难的原则，容易接受，让学生明白这三个问题的基本事件，同时也复习一下频率的计算方法。

用概率的统计定义是学生知道做试验计算频率这是研究概率所常用的方法。

然后让学生直观感知，此类问题与古典概型的区别和联系，进一步提出了三个问题为形成概念做准备。

（三）合作交流，探究概念学生讨论问题四：1、这三个概率问题与古典概型有什么区别？2、有没有和古典概型相同的地方呢？3、这三个例题的概率与什么有关？设计学生讨论交流活动的目的自己总结出古典概型与的几何概型区别与联系。