(word完整版)南京理工大学高等数学历年期末试卷

2009级（下）A 卷

一：填空与选择题(每空3分，共30分)

1. 一动点到(1,0,0)的距离为到平面4x =的距离的一半, 则动点的轨迹方程是___________________。

2. ),(y x z z =由方程

ln x z z y =所确定，则y

z

∂∂=______________ 。 3. 改变积分顺序

=⎰⎰

-1

22)d (d y y

x y x,f y _________ _。

4. 若级数

1

()1

n n n

u n ∞

=+

+∑收敛，则n n u ∞→lim = ______________。

5 L 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x , 则积分

2

22()d L

x

y s +⎰=_______。

6 方程(2)0x y dx xdy ++=的通解是_________________。

7 设2

2

2

:1x y z Ω++≤，则

3

(2)x dxdydz Ω

+⎰⎰⎰= ( )

A 0

B 443π+

C 843π+

D 83

π 8. 下列级数中收敛的是( )

A 23

112n n n n ∞

=+-∑ B ∑∞=1sin n n π C ∑∞=+1123n n D ∑∞

=+1

12cos n n n π

9. 设∑是半球面2

222a z y x =++(0z ≥)，则

⎰⎰

∑

++S z y x d 222的值为( )

A 3

4a π B 3

2a π C 3

2a -π D 3

4a π- 10. 设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为：,1x y =,e 2x

x y +=

x x y e 13++=，则该微分方程的通解可表达为( )

A x C x C x x +++e e 21

B x x

C x C x x +++++)e 1()e (21 C x C C x x +++)e 1(e 21

D x x x C x C e )e 1(21++++

二： （9分） 求过点)2,1,3(-M 且通过直线1

2354z

y x =+=

-的平面方程。 三： （8分）设(,)f u v 的二阶偏导连续, (,)y

y

z f x x

=,求2z x y ∂∂∂。

四： （9分） 求微分方程2

2(3)x y y e x x '''-=+-的通解。

五：（9分）计算σd y x y

D

⎰⎰-22, 其中D 是由直线0,1,===y x x y 围成的闭区域。.

六：（9分）计算2(sin 5)(cos )x x L

e y y dx e y x dy ++-⎰

，其中L 是从)0,3(-O 到)0,3(A 的

上半圆周。

七：（８分）将函数1

()41

f x x =

-，展开为(1)x +的幂级数并给出收敛域． 八：（9分）在平面xoy 上求一点，使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三条直线的距离平

方之和为最小。

九：（9分）设曲面为抛物面)10(12

2

≤≤--=z y x z ，取上侧, 计算

33

2x dydz y dzdx dxdy ∑

++⎰⎰．

2008级（下）A 卷

一：填空题)7293('=⨯'

1 曲面3

3

z x xy y =++在(1,1,3)处的切平面方程是___ ____。

2 曲线L ：⎩⎨⎧==0

z x y 绕x 轴旋转所形成的旋转曲面的方程为 。

3 函数),(y x z z =由方程z e xy z

-=所确定,则dz = 。 4

累次积分011

(,)x I dx f x y dy --=

⎰

交换积分次序后，I = 。

5 设L 是2

y x =上从1x =-,到1x =的一段弧, 则

22L

y dx x dy -=⎰

______ __。

6 微分方程x

xe y y y 265=+'-''的特解形式是___ ______。

7 幂级数

∑∞

=--1

1

3)

1(n n

n n n

x 的收敛区间是 8 直线L ：

34273

x y z

++==--与平面π：4223x y z --=的关系是 。 A 平行； B 垂直相交； C L 在π上； D 相交但不垂直。 9 下列级数中，发散的是 。

A 21ln n n

n

∞

=∑； B ∑∞

=+1

1

2tan

n n n π

； C

∑∞

=-1

)cos 1(n n π

； D ∑

∞

=++1

1

1n n n ；

二：)6(' 设)(t f z =，),(2

2

y x xy t +=ϕ，其中f 有二阶连续导数,ϕ有二阶连续偏导数，