2017届高考数学(文)一轮对点训练：16-2参数方程.doc

1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t －
1t
y ＝t ＋1
t
(t 为参数)，l 与C 相
交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
答案 2 5
解析 因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ－3ρcos θ＝0，所以y －3x ＝0，即y ＝3x .由
⎩⎨⎧
x ＝t －1
t ，y ＝t ＋1t
，消去t 得y 2
－x 2
＝4.由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝3x ，
y 2－x 2
＝4，解得⎩⎨
⎧
x ＝22，
y ＝322，
或⎩⎨
⎧
x ＝－22，
y ＝－322
，
不妨令A ⎝⎛⎭⎫22，
322，B ⎝⎛⎭⎫
－22
，－322，由两点间的距离公式得 |AB |＝
⎝⎛⎭⎫22
＋222＋⎝⎛⎭⎫322＋3222＝2 5. 2．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t y ＝3t 3 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．
答案 (3，1)
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，y ＝3t 3，消去t ，得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝3
3x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝33x x ≥0 ，x 2＋y 2＝4，
解得⎩⎨⎧
x ＝3，y ＝1.故曲线C 1，C 2交点的直角坐标为(3，1)．
3.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－
23x ＝0.
联立⎩⎨⎧ x 2
＋y 2
－2y ＝0，
x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧
x ＝32，
y ＝3
2.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛
⎭
⎫32，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．
所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π
6
时，|AB |取得最大值，最大值为4.
4.已知直线l ：⎩⎨⎧
x ＝5＋32t
y ＝3＋1
2
t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①
将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②
(2)将⎩⎨⎧
x ＝5＋32t ，
y ＝3＋1
2
t ，代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，
t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3＋12
t ，
y ＝3
2t ，
(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝
23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.
(2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，3
2t ，又C (0，3)，
则|PC |＝
⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭
⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．
6．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋3cos t
y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标
系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝m (m ∈R )． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0. 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即
|1－ －2 ＋m |
2
＝2，解得m ＝－3±2 2.
7．已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
解 (1)曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ
y ＝3sin θ(θ为参数)，
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝
5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝
d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为225
5，
当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为25
5
.
8．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解 (1)C 的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝1(0≤y ≤1)可得C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos t
y ＝sin t (t 为参
数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，∴sin t cos t ＝tan t ＝3，∴t ＝π
3，故D 的直
角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭
⎫32，3
2. 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1－22t y ＝2＋2
2
t (t 为参数)，直
线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
解 将直线l
的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝1－22t ，
y ＝2＋2
2
t ，代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝
⎛⎭
⎫2＋
22t 2
＝4⎝
⎛⎭
⎫
1－
22t ，解之得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.。