Lecture 3-01

yt 1 0.5 yt 1 t
1.8 ____ y 1.6 - - - - Mean Series y Mean 1.302106 Median 1.265548 Maximum1.702138 Minimum 0.866587 Std. Dev. 0.234691 Skewness -0.203005 Kurtosis 2.205343 Observations 29
1.4
1.2
1.0
yt 1 0.5 yt 1 t
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
0.8
3.2.4
AR（1）过程的自协方差
与自相关函数
j E[ yt ][ yt j ]
E[ t t 1 t 2 L ][ t j t j 1 t j 2 L ]
图3-4 AR（1）模拟生成的 序列图与相关统计量
7 6 5 4 3 2 1 0 250 500 750 1000 ____ y ---- Mean
series y Mean 3.262315 Median 3.286064 Maximum 6.170433 Minimum 0.254820 Std. Dev 0.973348 Skewness -0.003795 Kurtosis 2.758862 Observations 999
金融计量学
张成思
第三章 平稳金融时间序列：AR模型
3.1
3.2 3.3 3.4基本 Nhomakorabea念一阶自回归模型（AR（1）process） 二阶自回归模型（AR（2）process） p阶自回归模型（AR（p）process）
2
3.1 基本概念 3.1.1 随机过程与数据生成过程 随机过程： 从随机概率论的概念出发，随机过 程是一系列或一组随机变量的集合，用 来描绘随机现象在接连不断地观测过程 中的实现结果。对于每一次观测，得到 一个观测到的随机变量。
自相关函数，即 yt 与 yt- j 的自相关 函数定义为：
j
Cov( yt , yt- j ) Var ( yt ) Var ( yt- j ) , j 0, 1, 2,L
一般将 j相对于滞后期数j绘制出的 图示称为自相关图。
3.1.3 弱平稳与严平稳的定义 弱平稳（weakly stationary） 有时也叫协方差平稳（covariancestationary） 或二阶平稳（ secondorder stationary）。
0, j 0
如果一个白噪音过程还满足正态分 布的条件，即服从正态分布，这样的 过程称为高斯白噪音过程。例如： 2 y1, y2 ,L , yT , yt : N (0, ) 就是一个典型的样本为T的白噪音过程。
3.2 一阶自回归模型（AR（1）process） 3.2.1 AR（1）过程的基本定义和性质 AR（1）模型可以写成：
ALPHA=-0.9
0.5 0.0 -0.5 -1.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
基于 AR(1)的模拟序列
3 2 1 0 -1 -2 -3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ALPHA=0
3 2 1 0 -1 -2 -3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ALPHA=0.6
yt c yt 1 t
t : iid (0, )
2
c是常数项或截距项。
用无限阶移动平均来表示AR（1）移动平均 过程： 如果， 1 c 2 yt t t 1 t 2 L 1 因此, AR（1）实际上是一个无穷阶移动平均 过程 。
2 2
E[ ]
j j 2 t j 2
j 2 4
E[
2 t j 1 2
]
j 4
E[
2 t j 2
] L
(1 L )
2 j 2 1
j j j 0
所以，1 ，而对于 ，其取值越 靠近于1，则暗示 yt 序列相邻观测值之间 的相关性越强。很明显，平稳AR（1）过 程的自相关函数图应该是随着滞后期数的 增加而呈现逐渐衰减的态势。
弱平稳的定义： 对于随机时间序列 yt ，如果其期 望值、方差以及自协方差均不随时间t 变化而变化，则称 yt 为弱平稳随机变 y 量，即对于所有时间t， t 必须满足以下 条件： (i) E ( yt ) 为不变的常数； Var ( yt ) 2 为不变的常数； (ii) (iii) j E yt yt- j , j 0, 1, 2,L
平稳还暗示着：
j j , j 1, 2,L
对于一个弱平稳过程 yt ，自相关函数
j j , j 0, 1, 2, L Var ( yt ) Var ( yt- j ) 0
Cov ( yt , yt- j )
并且：
0 0 1 0 j j
4 0 -4 -8 -12
3.1.2 自协方差与自相关函数 假定 yt 是一个随机变量，自协方差 定义的是 yt 与其自身滞后期之间的协方 差，即“自身的协方差”。常见的协方 差的基本定义是：
Cov( X , Y ) E X E ( X ) Y E (Y )
y E 其中：[ ] 表示期望。从而可以知道， t 与其自身滞后j期 yt j 之间的协方差定义 为：j E yt E ( yt ) yt- j E ( yt- j ) , j 0, 1, 2,L
数据生成过程: 利用下面的回归模型来说明，即：
2 0
yt 0 xt t , t : i.i.d.(0, ), t 1,2,L , T
假设模型中所有系数已知或者是已 经设立了的，那么给定解释变量 xt 的一 组观测值，回归模型就可以生成对应的 一组 yt 值，则模型就是一个数据生成过 程。
DGP适用于理论上的问题与真实世 界的事例之间的比较。 例如:中国国际股票指数和随机游走 过程看上去相似吗？股票的收益率序列 符合白噪音过程吗？
160 120 80 40 0 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
DGP: Y(t)=Y(t-1)+e China International Stock Price
8 4 0 -4 -8
ALPHA=0.9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
8 ALPHA=1.0 4 0 -4 -8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
对于均值保持不变的随机过程来说，
j E yt yt- j , j 0, 1, 2,L
j 0 时，即为方差：
0 Var( yt ) E yt yt-0
随机变量x和y的相关系数模型为：

Cov( x, y) Var ( x) Var ( y)
3.2.5
一阶自回归系数 的影响
下面利用实际例子进一步演示自 回归系数 取值不同对自相关系数 以及 yt 序列动态走势的影响。
ACF的图示说明
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
ALPHA=0.5 ALPHA=0.9
1.0
3.2.2 平稳AR（1）的均值
c c E[ yt ] 0 0 L 1 1
3.2.3 AR（1）过程的方差
0 E[ yt ] E[ t t 1 t 2 L ]
2 2 2 t 2 2 t 1 6 4 2 t 2 6
2
3.1.4白噪音过程（white noise process） 一个随机过程如被称为白噪音过程， 则组成该过程的所有随机序列彼此互相独 立，并且均值为0，方差为恒定不变值。 y 即对于所有时间t， t 如果满足下列条件 (i) E( yt ) 0 (ii) Cov( yt , yt j ) 0, j 0 2 (iii) Var ( yt ) 0 则 yt 是白噪音过程。
如果使用数学语言来定义随机函 数，给定一个时间域T，对于T中每一 个参数t，都有一个取值于确定集合W 的随机变量Yt (s) ，其中s属于一个特定 的样本区间。所以对于一个给定的t， Yt ( s) 是一个随机变量。对于一个确定的 Yt 样本s，( s) 就是在s上的一组实现值,而 { 集合 Yt ( s), t T } 就是一个随机过程。
严平稳的定义：
如果对于任何 j1, j2 ,L , jk ，随机变 量的集合 ( yt , yt j1 , yt j2 ,L ,t jk ) 只依赖 于不同期之间的间隔距离 ( j1 , j2 ,L , jk ) 而不依赖于时间t，那么这样的集合称 为严格平稳过程或简称为严平稳过程， 对应的随机变量称为严平稳随机变量。
E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] L
2 t 3
(1 L )
2 4
2
2 1
2
平稳序列的观测值表现出一种向其 均值水平回复的特征，这种特征在金融 时间序列分析中称“均值回复”，对应 的英文名词是“mean-reverting”。
图3-3 白噪音过程的 自相关图
1.0 ACF 0.5
0.0
-0.5
-1.0 4 8 12 j
对于白噪音过程，总有如下等式成立： 2 , j 0 j 0, j 0 1, j 0 以及 j 白噪音过程中的观测值彼此之间互相 独立，白噪音过程不能由其以前的信息 来预测，至少从线性角度看是这样的。