可化为整式方程的分式方程的解法
(完整)分式方程概念及解法
分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程;②含有分母；③分母里含有未知量。
2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程.要点二：分式方程的解法1。
解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解.2．解分式方程的一般方法和步骤(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
（2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时,无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.规律方法指导1．一般地，解分式方程时,去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中,是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三:【变式】方程中,x为未知量,a，b为已知数，且，则这个方程是( ）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值,写出一个关于的形如的分式方程,使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________。
可化为整式方程的分式方程的解法
一、分式方程的一般解法步骤为：
(1)去分母; (2)解整式方程；(3)验根； (4)写出原分式方程的解．
二、对于字母系数的分式方程的解法，完全可以 类似于上述步骤，只是要注意系数化为1时对系
数的分类讨论．
三、要会灵活运用不同方法解分式方程，具体问
题具体分析，比如有时先通分会使计算简单．
a 1 a 1 2a 2 4a ( 1)( 1) a 1 a 1 a 1 a 1 (a 1) 2
当 a 0 时，上式为零即最简公分母为零，
a 1 因此当 a 0 时， x 1 是增根． a 1 所以当 a 0 时，原方程无解，
当 a 1 且 a 0 时，原方程有唯一解x
7 4 6 例1. 解方程 x 2 x x 2 x x 2 1 ． 7 4 6 解： x( x 1) x( x 1) ( x 1)( x 1)
方程两边同乘以 x( x 1)( x 1)，得：
ห้องสมุดไป่ตู้
7( x 1) 4( x 1) 6 x 3 x ． 解得： 5 3 x 是原方程的解． 经检验， 5 3 所以原方程的解是 x ． 5
注意此处不需 要再要求
1 m 1 2
3x 4 A B 例4. 已知： ，求A、B的值． ( x 2)( x 3) x 2 x 3
[分析]：从已知我们知道，对于所有能使方程有意义的x 的值，方程都成立．这就告诉我们A、B的求法了．
解：方程两边同乘以 ( x 2)( x 3) ，得：
6 y 12 y2 4 y2 例2. 解方程 y 2 4 y 4 y 2 4 y 4 y 2 4 0 ． 6( y 2) ( y 2)( y 2) y2 0 解： 2 2 ( y 2) ( y 2) ( y 2)( y 2) 6 y2 y2 0 即： y 2 y 2 ( y 2)( y 2)
分式方程的几种解法
分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。
一、 去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。
例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。
把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。
∴原方程的根为6=x 。
二、 换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。
例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。
∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、 通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是指含有分数的方程，其形式可以表示为两个多项式的商等于另一个多项式。
解分式方程时，我们需要确定未知数的取值范围，并通过一系列步骤将方程化简为等价的形式，进而求得方程的解。
下面，我们将介绍两种常见的分式方程解法：通分法和消元法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
其基本思路是通过相同的公分母，将分式方程中的分式转化为整式方程。
下面以一个简单的例子来说明通分法的具体步骤。
例题1：求解方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1步骤1：找到方程的最小公倍数作为公分母。
本例中，最小公倍数为 (x+1)(x-1)。
步骤2：将方程中的每一项通分，并结合同类项。
通分后的方程变为 [(x-1) + 2(x+1)] / [(x+1)(x-1)] = 1。
步骤3：化简方程，消去分母。
将分子展开并结合同类项，得到 (3x + 1) / [(x+1)(x-1)] = 1。
步骤4：通过消去分母的方式解方程。
将方程中的分母乘到分子上，得到 3x + 1 = (x+1)(x-1)。
步骤5：将方程化简为标准形式，并解方程。
将右侧的乘法展开，并结合同类项，得到 3x + 1 = x^2 - 1。
步骤6：整理方程，将方程移到一侧，得到 x^2 - 3x - 2 = 0。
步骤7：使用因式分解法或求根公式等方法，解出方程的根。
解得x = -1 或 x = 2。
所以，方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1 的解为 x = -1 或 x = 2。
二、消元法消元法是另一种解决分式方程的常用方法。
其基本思路是通过去除方程中的分母，并将方程转化为整式方程。
下面以一个示例来说明消元法的具体步骤。
例题2：求解方程 (2/x) - (3/(x+1)) = 1/2步骤1：寻找方程中的最小公倍数，并将方程中的每一项通分。
本例中，最小公倍数为 2x(x+1)。
步骤2：将方程中的分式乘以相应的倍数，使得分母相同。
高中数学中的分式方程的解法
高中数学中的分式方程的解法在高中数学中，分式方程是一个重要的内容，它是由含有分式的方程组成的。
解决分式方程需要一些特定的技巧和方法。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指方程中只含有一次分式的方程。
解决一次分式方程的关键是将方程化简为一个整式方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过通分的方式消去分母，得到 $x(x-2) + 2(x+1) = 3(x+1)$。
然后，我们将方程化简为一个整式方程 $x^2 - 2x + 2x + 2 = 3x + 3$，进一步简化为 $x^2 - 3x - 1 = 0$。
最后，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指方程中含有二次分式的方程。
解决二次分式方程需要将方程化简为一个二次方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 9}$，我们可以先找到方程中的公共分母 $(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$。
然后，我们将方程中的每一项乘以相应的公共分母，得到 $(x^2 - 4)(x^2 - 9) + (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 2(x^2 - 1)(x^2 - 4)$。
进一步化简得 $x^4 - 13x^2 + 36 + x^4 - 10x^2 + 9 = 2x^4 - 6x^2$。
最后，我们将方程化简为一个二次方程 $2x^4 - 3x^2 - 45 = 0$，并使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
三、分式方程的约束条件在解决分式方程时，有时需要考虑方程的约束条件。
约束条件是指方程中的变量需要满足的条件。
例如，对于方程 $\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过观察发现，当 $x=-1$、$x=1$、$x=2$、$x=3$时，方程的左边或右边的分式将无定义。
数学知识点分式方程的解法和应用
数学知识点分式方程的解法和应用数学知识点：分式方程的解法和应用分式方程是指方程中含有分式的数学等式。
解分式方程需要运用一些特定的方法和策略，以找到变量的值满足方程的条件。
本文将介绍分式方程的解法和应用。
首先，我们将讨论如何解一元分式方程。
一元分式方程的解法解一元分式方程的方法主要分为两个步骤：首先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程得到变量的值。
步骤一：转化为整式方程为了将分式方程转化为整式方程，我们可以通过两种方法：通分或消去分母。
例子 1：解方程： 5/x - 2/(3x) = 1/4通分即可得到：15/(3x) - 2/(3x) = 3/(12x)化简为：13/(3x) = 3/(12x)例子 2：解方程： (2x - 1)/3 - (x + 1)/(2x) = 2/3将所有分式通分得到：2(2x - 1)/(6x) - 3(x + 1)/(6x) = 4/6整理化简为：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6步骤二：求解整式方程得到整式方程后，我们可以使用常规的方程求解方法，将变量的值计算出来。
例子 1的继续：13/(3x) = 3/(12x)通过交叉相乘可得：39x = 36x整理化简为：x = 0例子 2的继续：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6化简为：x - 5 = 2/6继续整理可得：x = 3到此为止，我们已经学习了解一元分式方程的方法。
接下来，我们将探讨分式方程的应用。
分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍两个常见的应用场景：比例问题和物体混合问题。
应用一：比例问题比例问题是指涉及到数量比例关系的问题。
通过设立分式方程，我们可以解决这类问题。
例子 3：甲、乙、丙三个人的年龄比例为5:3:2。
如果乙的年龄比甲大9岁，而丙的年龄比乙大8岁，求三个人的年龄。
设甲的年龄为5x岁，则乙的年龄为3x岁，丙的年龄为2x岁。
乙的年龄比甲大9岁，可以设立方程：3x = 5x - 9通过解方程可得：x = 4因此，甲的年龄为20岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为8岁。
第10课时 可化为整式方程的分式方程
整式方程是
(2)换元法 用换元法解分式方程，也就是把 适当的分式换成新的未知数，求出 新的未知数后求出原来的未知数．
例1．（2008· 沈阳）解分式方程：
1 x 2 x3 3 x
例2．（09广东）解方程
2 1 2 x 1 x 1
x x2 1 4 2 例3．（2004· 广东）解方程 x 1 3x 3 时．设 y x ，则原方程化为y的 x2 1
第10课时 可化为整式方程 的分式方程
1．分式方程的解法 (1)去分母法 用去分母法解分式方程的一般步骤是： （1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分 母，化成整式方程； (2)解这个整式方程； (3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果 是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的 根，使最简简公分母.
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是数学中常见的一种方程形式，它在实际问题求解中有着广泛的应用。
解决分式方程可以通过一系列的步骤来进行，本文将介绍几种常用的解法。
一、通分法通分法是解决一般分式方程的常用方法。
其基本思想是通过对方程两边进行通分，将方程转化为含有整式的方程，然后再求解。
例如，考虑如下分式方程：$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x+2}$$首先，可以将方程两边的分式通过公倍数通分，得到：$$\frac{x(x+1)}{x(x+1)}+\frac{2x(x+1)}{x(x+1)}=\frac{5x(x+1)}{x(x +1)}$$整理方程得：$$x(x+1)+2x(x+1)=5x(x+1)$$继续化简得：$$x^2+x+2x^2+2x=5x^2+5x$$合并同类项得：$$3x^2+3x=5x^2+5x$$移项得：$$5x^2+2x^2=3x+5x$$合并同类项得：$$7x^2=8x$$最后，将方程转化为标准形式：$$7x^2-8x=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。
二、代换法代换法是解决分式方程的另一种有效方法。
其基本思想是通过进行适当的代换，将分式方程转化为含有整式的方程，然后求解。
例如，考虑如下分式方程：$$\frac{x-1}{x+2}-\frac{2x-3}{x-1}=1$$首先，可以假设一个新的变量$t=x-1$，通过代换得到：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2(t+2)}{t}=1$$继续整理得：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2t+4}{t}=1$$通分得：$$\frac{t-t(t+3)}{t(t+3)}=\frac{t}{t+3}-2$$进一步化简得：$$\frac{-t^2-3t}{t(t+3)}=\frac{t-2(t+3)}{t+3}$$消去分母得：$$-t^2-3t=t-2(t+3)$$继续整理得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$合并同类项得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$移项得：$$-t^2-5t+6=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。
可化为整式方程的分式方程
寻找公因式
检查方程中的各项，找出它们共同的因子。
简化方程
通过提取公因式，简化方程的形式，便于进 一步求解。
公式法求解
一元二次方程求根
公式
对于形式为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 进行求解。
完全平方公式
混淆去分母与去括号顺序
在解分式方程时，去分母和去括号的 顺序很重要。若混淆这两者的顺序， 可能会导致计算错误。
例如，对于方程 $frac{2x}{x+1} + frac{x2}{x+1} = 1$，正确的解法是先去分母，得到 $2x + x - 2 = x + 1$，再解得 $x=1.5$。若先 去括号再去分母，则会得到错误的解。
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与整式方程区别
未知数位置不同
整式方程未知数在分子或分母中，而分式方程未知数在分母中。
解的范围不同
整式方程的解是一切实数，而分式方程的解需要满足分母不为零的 条件，因此解的范围受到限制。
求解方法不同
整式方程通常通过移项、合并同类项等方法求解，而分式方程则需 要通过去分母、换元等方法转化为整式方程进行求解。
可化为整式方程的分式方程
contents
目录
• 分式方程基本概念 • 化为整式方程方法 • 整式方程求解技巧 • 分式方程应用举例 • 误区警示与易错点剖析 • 总结回顾与拓展延伸
01 分式方程基本概念
定义与特点
分式方程定义
分母里含有未知数的方程叫做分式方 程。
分式方程特点
分式方程和整式方程的运算方法
分式方程和整式方程的运算方法数学是一门非常重要的学科，我们在日常生活中处处可见它的应用。
在学习数学的过程中，方程是一个非常重要的知识点。
方程是指由等号连接的左右两个式子，其中至少有一个未知数。
方程有很多种类型，例如整式方程和分式方程。
本文将主要讲解分式方程和整式方程的运算方法。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的形式，方程通常形如a/b=c/d，其中a、b、c、d均为式子，其中b和d不为0。
分式方程的求解过程，需要将分母约分，把分式方程化为整式方程。
1. 分式方程的基本性质分式方程有一些基本的性质，我们在运算的过程中需要注意以下几点：(1)如果两个分式式子的分母相等，则可以把分母去掉，同时保留分子，合并成一个式子。
(2)如果两边同时乘以同一个数或同一个式子，分式方程仍然成立。
(3)如果两边同时除以同一个数或同一个式子，分式方程仍然成立。
(4)在分式方程中，不能将一个分数直接移到另一边，需要通过乘除法等变形方法进行处理。
2. 分式方程的运算方法分式方程的运算方法主要分为以下两种。
(1)通分法。
如果分式方程中的分母不相同，则需要通过通分的方法，将分母变成相同的数，然后再进行求解。
其中，通分的方法与普通的通分方法相同。
例如：3/x+1/2x=7/2首先对2x和x求最小公倍数，得到2x。
然后将分子和分母乘以合适的系数，使分母变为2x。
然后将分式方程化简为整式方程即可。
经过上述处理，得到6+3=x*7，化简后得到x=3。
(2)交叉乘法法。
如果分式的分母相同，则可以使用交叉乘法将分式方程化为整式方程。
其中，交叉乘法的方法同分数的通分方法。
例如：2/x+1/2=5/4将分式进行交叉乘法得到：2*2+1*x=1*x*5然后将方程化简得到x=4/3。
二、整式方程整式方程是指方程中的未知数只带有整数幂。
例如，x+3=6，x^2+3x+2=0等是整式方程。
整式方程和分式方程都是方程的一种，但它们的运算方法是不同的。
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a 1 a 1 2a 2 4a ( 1)( 1) a 1 a 1 a 1 a 1 (a 1) 2
当 a 0 时，上式为零即最简公分母为零， 因此当 a 0 时， a 1 1 是增根． x a 1 所以当 a 0 时，原方程无解， 当 a 1 且 a 0 时，原方程有唯一解x
方程两边同乘以 ( x 1)( x 7) ，得：
( x 3)( x 7) ( x 5)( x 1) ( x 1)( x 7) ( x 2 2)
解得： 7 ． x 4 经检验： 7 是原方程的解． x 4 7 所以原方程的解是 x ． 4
6 y 12 y2 4 y2 例2. 解方程 y 2 4 y 4 y 2 4 y 4 y 2 4 0 ． 6( y 2) ( y 2)( y 2) y2 0 解： 2 2 ( y 2) ( y 2) ( y 2)( y 2) 6 y2 y2 0 即： y 2 y 2 ( y 2)( y 2)
a 1 ． a 1
(2)当(a 1)2 0 即 a 1 时，
x可以取不等于1的任何数．
综上所述， 当 a 0 时，原方程无解， 当 a 1 且 a 0 时，原方程有唯一解 x
a 1 ． a 1
当 a 1 时，原方程的解为不等于1 的任何数．
注意：在分类讨论时，一定要做到不重不漏，逻辑
3x 4 A( x 3) B( x 2)
即： x 4 ( A B) x 3 A 2B 3
A B 3 A 2 则： ，解得： ． 3 A 2 B 4 B 1
答： A、B的值分别为2和1．
4ax x a 2 x a 2 2a 2 2 2 例5. 解关于x的方程 2 ． x 1 x 1 x 1 x 1
一、分式方程的一般解法步骤为：
(1)去分母; (2)解整式方程；(3)验根； (4)写出原分式方程的解．
二、对于字母系数的分式方程的解法，完全可以 类似于上述步骤，只是要注意系数化为1时对系
数的分类讨论．
三、要会灵活运用不同方法解分式方程，具体问
题具体分析，比如有时先通分会使计算简单．
方程两边同乘以 ( y 2)( y 2)，得：
y 6( y 2) ( y 2) 2 y 2 0 解得： 8 ． y 经检验， 8 是原方程的解．
所以原方程的解是 y 8 ．
例3. 当m为何值时，关于x的方程：
m x x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 2
注意要会灵 活运用常规 方法和特殊 方法．
整理得：x 4)( x 7) ( x 3)( x 6) ， ( 解得： 5 ． x 经检验： 5 是原方程的解． x
所以原方程的解是 x 5 ．
3 x 5 x x2 2 练习2. 解方程： ． 1 2 1 x 7 x x 8x 7 x 3 x 5 x2 2 解： 1 x 1 x 7 1)( x 2) ，得：
m x( x 2) ( x 1)( x 1)
1 m ． 2 因为解为正数且增根只可能是x 1或 x 2 ． x 解得：
1 m 2 0 所以： ， 解得： 1 且 m 3 ． m 1 m 2 2
(1)有增根？
(2)它的解是正数？
不需要进 行化简！
解：(1)方程两边同乘以 ( x 1)( x 2) ，得： 注意此处
m x( x 2) ( x 1)( x 1)
因为增根只可能是 x 1 或 x 2 ．
分别把 x 1 、x 2 代入上面的整式方程 得：m 3 、 3 ． m 所以 m 3 或 3 ．
可化为整式方程的分 式方程的解法
初三数学
主讲教师：张华云
教学目的：让学生充分掌握可化为整式方程的分 式方程的解法，并会用此法来解含有字母系数的 分式方程．
分式方程的定义和解法：
定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程． 解法：解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式 方程，其一般步骤为： (1)去分母，在方程的两边同乘以各分母的最简公分母; (2)解整式方程，得出整式方程的解； (3)验根，把整式方程的解代入最简公分母中，若其结果 为零，它就是原分式方程的增根； (4)写出原分式方程的解．
严密，并且在最后要对分类作一下总结．
练习1. 解方程：
1 1 1 1 ． x4 x7 x3 x6
[分析]：此题按常规方法解是比较麻烦的．观察一下 方程两边式子的特点，通分做会更简单一些． 解：方程两边分别通分得：
( x 7) ( x 4) ( x 6) ( x 3) ( x 4)( x 7) ( x 3)( x 6)
[分析]：此为含有字母系数的分式方程，解法与解一般 的分式方程类似，只不过最后系数化为1时要注意讨论． 解：方程两边同乘以 ( x 1)( x 1) ，得：
4ax ( x a 2 )( x 1) ( x a 2 )( x 1) (2a 2 2)
整理得： a 1) 2 x (a 1)(a 1) ， ( a 1 2 x (1)当 (a 1) 0 即 a 1时， ， a 1 代入最简公分母 ( x 1)( x 1) 中检验，得：
注意此处不需 要再要求
1 m 1 2
3x 4 A B 例4. 已知： ，求A、B的值． ( x 2)( x 3) x 2 x 3
[分析]：从已知我们知道，对于所有能使方程有意义的x 的值，方程都成立．这就告诉我们A、B的求法了．
解：方程两边同乘以 ( x 2)( x 3) ，得：
7 4 6 例1. 解方程 x 2 x x 2 x x 2 1 ． 7 4 6 解： x( x 1) x( x 1) ( x 1)( x 1)
方程两边同乘以 x( x 1)( x 1)，得：
7( x 1) 4( x 1) 6 x 3 x 解得： ． 5 3 x 经检验， 是原方程的解． 5 3 ． 所以原方程的解是 x 5