样本比例的标准差
样本统计量和总体参数的概念
样本统计量和总体参数的概念样本统计量和总体参数是统计学中的两个重要概念，用于描述样本和总体的特征和属性。
在理解这两个概念之前，我们首先需要了解什么是样本和总体。
样本是从总体中抽取的一部分个体或观测值的集合。
样本通常是从总体中随机选择的，以便具有代表性。
样本是利用统计方法研究总体特征的一种方式，因为研究整个总体往往是不可行的，或者代价太高。
总体是我们要研究的所有个体或观测值的集合。
总体可以是任何人群、物体、事件等的集合。
例如，如果我们想研究某个国家的人口平均年龄，那么该国的所有人就是总体。
总体是我们要进行统计分析的对象。
样本统计量是用来度量样本的某种特征或属性的数值统计量。
它是基于样本数据计算得出的。
样本统计量是从样本得出的，用来估计总体参数。
样本统计量是样本的函数，可以是样本均值、样本方差、样本比例等。
常见的样本统计量有：1. 样本均值（x̄）：将样本各个观测值的取值加总后除以样本数量。
样本均值是用来估计总体均值的，因为样本均值通常与总体均值相当接近。
2. 样本方差（s²）：用来描述样本数据离散程度的统计量，其计算方法是将各个观测值与样本均值的差的平方加总后除以样本数量减一。
3. 样本标准差（s）：是样本方差的平方根。
它用来衡量数据的离散程度，即数据的变异程度。
样本标准差是样本数据集中的观测值与样本均值之间的平均偏差。
4. 样本比例（p）：用来估计总体比例的统计量。
它描述了样本中具有某种特征的个体或观测值的比例。
5. 样本中位数（Med）：将样本数据从小到大排序，找出中间位置的数值作为样本中位数。
它可以用来表示样本的中心位置，对于有偏的数据分布，中位数可以更好地代表数据的集中趋势。
总体参数是用来描述总体特征或属性的数值参数。
总体参数是从总体中得出的，因此通常是未知的。
我们根据样本统计量的计算结果来估计总体参数的值。
总体参数通常是用于评估总体的某种特征或属性，例如总体均值、总体方差、总体比例等。
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
统计学公式
3
xi x 4 n(n 1) 3(n 1) 2 ( ) . s (n 1)(n 2)(n 3) (n 2)(n 3)
2
统计学公式
二、概率分布
一、度量事件发生的可能性：
1.事件 A 发生的概率： P ( A) 二、随机变量的概率分布：
统计学公式
一、用统计量描述数据
一、水平的度量：
x x2 x3 1.简单平均数: x 1 n
xn
X
i 1
n
i
n
.
k
M f M 2 f2 M k fk 2.加权平均数： x 1 1 f1 f 2 f k
M
i 1
i i
f
n
.（如果原始数据被分成 k 组，各
2
E2
.
四、假设检验
一、一个总体参数的检验
1.大样本的检验
(1)在大样本的情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其抽样标准差为 /
2
n.
采用正态分布的检验统计量.设假设的总体均值为 0 ,当总体方差 已知时,总体均值检验 的统计量为： z
x 0
/ n
.
(2)当总体方差 未知时,可以采用样本方差 s 来代替,此时总体均值检验的统计量为：
组的组中值分别用 M1，M 2， ，M k 表示，各组的频数分别用 f1，f 2， ，f k 表示，则得到 样本平均数计算公式）
x n 1 2 3.中位数（ M e ） ： Me 1 x n x n 1 2 2 2
n
p ；
(1 )
统计期末试题题库附答案
第一章1、指出下面的变量那一个属于分类变量( D )A.年龄B.工资C.汽车产量D.购置商品时的支付方式(现金、信用卡、支票)2指出下面的变量那一个属于顺序变量〔D 〕A.年龄B.工资C.汽车产量D.员工对企业某项改革措施的态度〔赞成、中立、反对〕3、指出下面的变量那一的属于数值型变量〔A 〕A.年龄B.性别C.企业类型D。
员工对企业某项改革措施的态度〔赞成、中立、反对〕4.某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭，推断该城市所有职工家庭的年人均收入。
这项研究的总体是〔B 〕A 2000个家庭B 200万个家庭C 2000个家庭的人均收入D 200万个家庭的总收入5.某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭，推断该城市所有职工家庭的年人均收入。
这项研究的样本是〔A 〕A2000个家庭B200万个家庭C2000个家庭的总收入D200万个家庭的人均收入6.某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭，推断该城市所有职工家庭的年人均收入。
这项研究的参数是〔D 〕A2000个家庭B200万个家庭C2000个家庭的人均收入D200万个家庭的人均收入7.某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭，推断该城市所有职工家庭的年人均收入。
这项研究的统计量是〔C 〕A2000个家庭B200万个家庭C2000个家庭的人均收入D200万个家庭的人均收入8一项研究机构从IT从业者中抽取500人作为样本进展调查，其中60%答复他们的月收入在5000元以上，50%答复他们的消费支付方式是用信用卡。
这里的总体是〔A 〕AIT业的全部从业者B500个IT从业者CIT从业者的总收入DIT从业者的消费支付方式9以下不属于描述统计问题的是〔A 〕A根据样本信息对总体进展的推断B了解数据分布的特征C分析感兴趣的总体特征D利用图、表或其他数据汇总工具分析数据10某大学的一位研究人员希望估计该大学本科生平均每月的生活费支出，为此，他调查了200名学生，发现他们平均每月生活费支出是500元。
统计学常用公式
公式一1. 众数【MODE 】（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算未分组数据或单变量值分组数据的众数就就是出现次数最多的变量值。
（2） 组距分组数据众数的计算对于组距分组数据,先找出出现次数最多的变量值所在组,即为众数所在组,再根据下面的公式计算计算众数的近似值。
下限公式: 1012M =L++i ∆⨯∆∆ 式中:0M 表示众数;L 表示众数的下线;1∆表示众数组次数与上一组次数之差;2∆表示众数组次数与下一组次数之差;i 表示众数组的组距。
上限公式:2012M =U-+i ∆⨯∆∆ 式中:U 表示众数组的上限。
2.中位数【MEDIAN 】(1)未分组数据中中位数的计算根据未分组数据计算中位数时,要先对数据进行排序,然后确定中位数的位置。
设一组数据按从小到大排序后为12N X X X ，，…，,中位数e M ,为则有:e N+M =X1（）2当N 为奇数e N N +1221M =X +X 2⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 当N 为偶数(2)分组数据中位数的计算分组数据中位数的计算时,要先根据公式N / 2 确定中位数的位置,并确定中位数所在的组,然后采用下面的公式计算中位数的近似值:N=1m-1e m-S 2M =L+ii fd f ⨯∑式中:e M 表示中位数;L 表示中位数所在组的下限;m-1S 表示中位数所在组以下各组的累计次数;m f 表示中位数所在组的次数;d 表示中位数所在组的组距。
3.均值的计算【A VERAGE 】(1)未经分组均值的计算未经分组数据均值的计算公式为: 112n ++==nii x x x x x n n=∑…(2)分组数据均值计算分组数据均值的计算公式为: 11221121+++==+ki ik k i k kii x f x f xf x f x ff f f==+∑∑+4.几何平均数【GEOMEAN 】几何平均数就是N 个变量值乘积的N 次方根,计算公式为:式中:G 表示几何平均数;∏表示连乘符号。
8-抽样分布
样本方差的抽样分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有 可能取值形成的相对频数分布 2. 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值
(n 1) s 2
的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即
2
(n 1) s 2 ~ (n 1) 2
2
2分布(图示)
不同容量样本的抽样分布
统计量
抽样分布
抽样分布 ( sampling distribution) 抽样误差
抽样分布
一、抽样分布的概念 二、样本均值抽样分布的形式 三、样本均值抽样分布的特征
三种不同性质的分布
总体分布
样本分布
抽样分布
总体分布(population distribution)
1. 2. 3.
M为样本数目
比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总 体均值。 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n。
总体分布
.3 P(x)
抽样分布
.3 .2 .1 0 1 2 3 4
.2 .1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
= 2.5
σ2 =1.25
x 2.5 2 x 0.625
2.
3.
称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为
U n1 F V n2
F ~ F (n1 , n2 )
例： (X1,X2,…,X5)为取自正态总体X~(0,σ2)的样本，
2 3( X 12 X 2 ) 求统计量 2 2( X 32 X 4 X 52 )
的分布
Xi
解
X i ~ N (0, 2 )
(完整word版)统计学常用公式
公式一1. 众数【MODE 】（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。
（2） 组距分组数据众数的计算对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。
下限公式： 1012M =L++i ∆⨯∆∆ 式中：0M 表示众数；L 表示众数的下线；1∆表示众数组次数与上一组次数之差；2∆表示众数组次数与下一组次数之差；i 表示众数组的组距。
上限公式：2012M =U-+i ∆⨯∆∆ 式中：U 表示众数组的上限。
2．中位数【MEDIAN 】（1）未分组数据中中位数的计算根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。
设一组数据按从小到大排序后为12N X X X ，，…，，中位数e M ，为则有：e N+M =X1（）2当N 为奇数e N N +1221M =X +X 2⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 当N 为偶数（2）分组数据中位数的计算分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：N=1m-1e m-S 2M =L+ii fd f ⨯∑式中：e M 表示中位数；L 表示中位数所在组的下限；m-1S 表示中位数所在组以下各组的累计次数；m f 表示中位数所在组的次数；d 表示中位数所在组的组距。
3．均值的计算【A VERAGE 】（1）未经分组均值的计算未经分组数据均值的计算公式为： 112n ++==nii x x x x x n n=∑…（2）分组数据均值计算分组数据均值的计算公式为： 11221121+++==+ki ik k i k kii x f x f x f x f x f f f f==+∑∑+4．几何平均数【GEOMEAN 】几何平均数是N 个变量值乘积的N 次方根，计算公式为：式中：G 表示几何平均数；∏表示连乘符号。
Excel求置信区间的方法excel置信区间
应用Excel求置信区间一、总体均值的区间估计（一）总体方差未知例：为研究某种汽车轮胎的磨损情况，随机选取16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止。
记录所行驶的里程（以公里计）如下：4125 87 3897 41 0假设汽车轮胎的行驶里程服从正态分布，均值、方差未知。
试求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。
步骤：1.在单元格A1中输入“样本数据”，在单元格B4中输入“指标名称”，在单元格C4中输入“指标数值”，并在单元格A2：A17中输入样本数据。
2.在单元格B5中输入“样本容量”，在单元格C5中输入“16”。
3.计算样本平均行驶里程。
在单元格B6中输入“样本均值”，在单元格C6中输入公式：“=AVERAGE（A2，A17）”，回车后得到的结果为41116.875。
4.计算样本标准差。
在单元格B7中输入“样本标准差”，在单元格C7中输入公式：“＝STDEV(A2，A17)”，回车后得到的结果为1346.842771。
5.计算抽样平均误差。
在单元格B8中输入“抽样平均误差”，在单元格C8中输入公式：“＝C7/SQRT(C5)” ，回车后得到的结果为336.7106928。
6.在单元格B9中输入“置信度”，在单元格C9中输入“0.95”。
7.在单元格B10中输入“自由度”，在单元格C10中输入“15”。
8.在单元格B11中输入“t分布的双侧分位数”，在单元格C11中输入公式：“ ＝TINV(1-C9，C10)”，回车后得到α＝0.05的t分布的双侧分位数t＝2.1315。
9.计算允许误差。
在单元格B12中输入“允许误差”，在单元格C12中输入公式：“＝C11*C8”，回车后得到的结果为717.6822943。
10.计算置信区间下限。
在单元格B13中输入“置信下限”，在单元格C13中输入置信区间下限公式：“＝C6－C12”，回车后得到的结果为40399.19271。
11.计算置信区间上限。
在单元格B14中输入“置信上限”，在单元格C14中输入置信区间上限公式：“＝C6＋C12”，回车后得到的结果为41834.55729。
5种随机抽样的标准差
5种随机抽样的标准差样本量相同时，置信水平越高，置信区间也越宽，置信水平相同时，样本量越大，置信区间越窄。
随机抽样适用于总体范围大，单位数目多，无需全面调查；某些调查总体为无限总体，像资源类；非无限总体无法进行全面调查，适用于消耗性检验。
与全面调查统计资料的质量进行检查与修正，确认普查的误差。
简单随机抽样是每个可能的样本被抽取的概率相等，样本不放回。
若样本放回，则是非常简单随机抽样，有重复。
有以下几种方法，抽签法，编号、写签，摇至均匀，抽够n个。
随机数表法，用摇码器或计算机逐个摇出或生成一定数目的号码，编成表。
编号，任意规定抽样起点、顺序，抽取号码至数量满为止。
分层随机抽样，是类型或分类抽样，将总体单位按一定标准（属性、特征等）分组，在各类中用纯随机抽样法或其他方式抽取样本单位，不在总体中抽。
各层次间有明确分界线，划分不易混淆；明晰各层的单位数目、比例；分层数目不宜太多；比简单随机抽样的代表性要高，抽样误差小。
类内方差小于类间方差，差异程度大的各单位划分进属性相近的类别，使样本单位分布接近总体分布，减小误差。
等比例分层抽样是按各层单位数目占总体单位数的比例分配各层样本数量；不等比例分层抽样是分层最佳抽样法，据各层标准差的大小调查各样本数。
考虑到各层所占比重、标准差的差异程度，有助于减少各层差异，增加样本可信度。
分群随机抽样是整群随机抽样，将市场调查的总数按一定标准（地区、单位等）分为若干群，然后在其中随机抽取部分群体单位。
样本抽取较集中，省时省力。
但只能集中在若干群，用于推断总体的准确性较差，适用于群内差别性较大，群际差别性较小。
在抽取样本的方式上，分层抽样是每层抽一定数目，分群抽样是总样本中分群；在群际差异上，分层抽样各层明显，群内差异小，分群抽样群内差异大。
如微博用户抽样，分层抽样抽取青少年、中年、老年群体，分群抽样抽取北京、上海、武汉等地区用户。
等距随机抽样是将整体各单位按某标志顺序排列，编序号，抽样间隔=总体单位数除以样本单位数，在第一个抽样间隔内随机抽一个单位作样本单位，按抽样间隔至抽满n个。
统计学常用公式 (1)
公式二
1．均值估计
（1）样本均值的标准差
样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。
样本均值的抽样平均误差计算公式为：
重复抽样方式：
不重复抽样方式：
通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：
（1）样本比例的抽样平均误差
样本比例的抽样平均误差为：
重复抽样下：
上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替。
不重复抽样下：
（2）样本比例的抽样极限误差
（3）总体比率的区间估计
总体比例P的置信度为（ ）的置信区间为：
即
3．总体均值检验
（1）单一总体均值检验
正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验
式中：
SSB的计算公式为：
式中：
误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：
（2）计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：
（3）检验统计量F
公式四
1．拟合优度的检验统计量：
式中： 表示类别i的观察频数； 表示假设 为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数。
注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的 分布。
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样本比例的标准差
样本比例的标准差：
样本（specimen）是观测或调查的一部分个体，总体是研究对象的全部。
标准差表示的就是样本数据的离散程度。
标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的，通常用M±SD来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。
样本编辑播报
样本（specimen）是观测或调查的一部分个体，总体是研究对象的全部。
总体中抽取的所要考查的元素总称，样本中个体的多少叫样本容量。
如作水质检验时从井水或河水中采的水样，临床化验中从病人身上采的血液或其它活体组织标本，是样本；而整个一口井或一条河的某一段所有的水，某病人全身所有的血液或某个组织器官，则是总体。
这类总体是具体存在的，但另有些总体却是假想的，只是理论上存在的一个范围。
例如试验某一治疗流感新药的疗效，最初接受治疗的一批流感患者，不论数量多少，都只是一个样本。
若该药疗效得到肯定，从而加以推广，那么此后凡在相同条件下接受该药治疗的所有流感患者，都属于这个总体。
可是当初试用时，这个总体还并不存在，是假想的。
总体包含的观察单位通常是大量的甚至是无限的，在实际工作中，一般不可能或不必要对每个观察单位逐一进行研究。
我们只能从中抽取一部分观察单位加以实际观察或调查研究，根据对这一部分观察单位的观察研究结果，再去推论和估计总体情况。
如上述某新药治疗流感例子，试验治疗的只是少数有限的病人，而结论却要推广到全体，得出一个该药对所有流感患者之疗效的规律性的认识。
所以说，观察样本的目的在于推论总体，这就是样本与总体的辩证关系。
标准差编辑播报
标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。
它反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准差表示的就是样本数据的离散程度。
标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的，通常用M±SD来表示，表示样本某个数据观察值相距平均值有多远。
从这里可以看到，标准差受到极值的影响。
标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。
标准差的大小因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准差大，表示学生分数的离散程度大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个测验测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。
标准差与正态分布有密切联系：在正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。
这在测验分数等值上有重要作用。
[。