样本比例的方差
统计学复习要点
1.统计学是收集、分析、表述和解释数据的科学(不列颠百科全书)2.按照计量层次分: 分类数据、顺序数据、数值型数据3.按收集方法分：观测数据和实验数据4.按时间状况分：截面数据和时间序列数据5.总体：所研究的全部个体(数据) 的集合，其中的每一个个体也称为元素6.样本：从总体中抽取的一部分元素的集合，构成样本的元素的数目称为样本容量或样本量7.参数：描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值，所关心的参数主要有总体均值(?)、标准差(?)、总体比例(?)等8.统计量：用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数，所关心的样本统计量有样本均值(?x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等9.数据的间接来源：系统外部的数据和系统内部的数据10.二手数据的特点：搜集容易，采集成本低、作用广泛、在研究中应优先考虑11.二手数据的可靠性评估：数据是谁搜集的？为什么目的而搜集的？数据是怎样搜集的？什么时候搜集的？12.数据的直接来源：调查数据、实验数据13.概率抽样的特点：按一定的概率以随机原则抽取样本，每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的，当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率14.简单随机抽样：从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的，最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础。
15.分层抽样：将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本16.整群抽样：将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查17.系统抽样：将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位。
先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位18.多阶段抽样：先抽取群，但并不是调查群内的所有单位，而是再进行一步抽样，从选中的群中抽取出若干个单位进行调查19.非概率抽样：相对于概率抽样而言。
样本比例的方差公式
样本比例的方差公式
样本方差与总体方差的关系公式是样本方差等于总体方差除以n，总体方差的计算公
式分母是n，样本方差的计算公式分母是n-1。
先求出总体各单位变量值与其算术平均数
的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。
样本方差用来表示一列数的
变异程度，样本均值又叫样本均数，即为样本的均值。
样本是从总体中抽出的部分个体，样本方差是总体方差中n个中的一个。
区别：
1、定义相同：总体方差就是一组资料中各数值与其算术平均数Matches平方和的平
均数。
样本方差就是样本关于给定点x在直线上散播的数字特征之一，其中的点x称作方
差中心。
样本方差数值上等同于形成样本的随机变量对线性中心x之方差的平方和。
2、准确性：总体方差有有限总体和无限总体，有自己的真实参数，这个均值是实实
在在的真值，在计算总体方差的时候，除以的是n。
样本方差是总体里随机抽出来的部分，用来估计总体（总体一般很难知道），由样本可以得到很多种类的统计量。
3、分母相同：总体方差的分母却是n。
样本方差的分母就是n-1。
样本方差计算解读
样本方差计算解读样本方差是统计学中一种常用的度量统计数据离散程度的指标，它可以用来衡量数据的不稳定程度。
在实际应用中，样本方差可以帮助我们了解数据的波动程度，从而帮助我们进行进一步的分析和决策。
计算样本方差的公式如下：其中，n表示样本容量，x_i表示第i个观测值，x̄表示样本均值。
样本方差的计算过程可以分为以下几个步骤：1.计算样本均值：首先需要计算样本数据的均值，即将所有的观测值相加后除以样本容量n。
均值是样本中心位置的度量。
2.计算偏差平方的和：将每个观测值与样本均值之差的平方相加，得到所有偏差平方的和。
这一步骤计算了每个观测值与样本均值之间的离散程度。
3.计算样本方差：将偏差平方的和除以样本容量n-1，得到样本方差。
n-1是因为样本方差是用来估计总体方差的，而样本方差的计算是建立在样本均值已知的基础上，因此需要减去一个自由度。
样本方差的计算结果是一个正数，它描述了样本数据的分散程度，可以用来衡量数据的离散程度。
较大的样本方差表示数据的离散程度较高，即数据点更加分散；而较小的样本方差表示数据的离散程度较低，即数据点更加集中。
样本方差在实际应用中有着广泛的用途，下面将介绍一些常见的应用场景：1.风险评估：在金融领域，样本方差常被用来衡量投资的风险。
理论上，风险越高，收益也可能越大，但风险大的投资更容易遭受损失。
通过计算历史数据的样本方差，可以对投资的风险进行评估，从而帮助投资者做出决策。
2.质量控制：在生产过程中，样本方差可以用来检验产品的质量。
对于同一批次的产品，如果样本方差较大，说明产品之间的差异较大，质量不稳定；如果样本方差较小，说明产品之间差异较小，质量较为稳定。
通过监控样本方差的变化，可以及时发现生产过程中的异常，以便采取相应的措施。
3.模型评估：在统计建模和机器学习中，样本方差常被用来评估模型的表现。
通过比较模型预测值与实际观测值之间的离散程度，可以判断模型的拟合程度和预测能力。
样本方差越小，说明模型的预测结果与实际观测值之间的差异越小，模型拟合效果越好。
参数估计公式
参数估计计算公式
项目
类别
计算公式
重置抽样
N=Nn
样本均值的方差为总体方的1/n，即
不重复抽样
C
n N
N! n!( N n)!
样本均值的方差为
其中，
为修正系数，对于无限总体
样本均值的抽样分布 进行不重置抽样时，可以按照重置抽样计算，当总体为有限总体，N比较大而n/N≥ （样本均值的均值就 5% 时，修正系数可以简化为1-n/N，当N比较大，而n/N<5%时，修正系数可以近似为
3
统计量的标准误差
x
n
样本比例的标准误差
p
(1 ) n
大样本（n ≥30）情况下，当总体方差 已知时，总 体均值 在1- 置信水平下的置信区间（大样本情况
x z / 2
, n
下，当总体方差未知时可以用样本方差代替）
小样本（n<30）情况下，对总体均值的估计都是建立
4
一个总体均值的区间 在总体服从正态分布的假定前提下。当总体方差已知
在1- 置信水平下，总体比例的置信区间。（总体比例 未知的情况下，可以用样本比例代替）
p z / 2
(1 ) n
估计总体均值时，样本量的确定
6
样本量的确定
估计总体比例时样本量的确定
n z /2 2 2
E2
n z/2 2(1)
E2
体中，抽取样本量为n的随机样本，当n充分大时（通常要求n ≥30），样本均值的
分布近似服从均值为 ,方差为 的正态分布。如果总体不是正态分布，当n为小样本
时（通常n<30）,样本均值的分布则不服从正态分布
重置抽样
样本比例的抽样分布
（当样本容量比较大 不重置抽样
抽样与参数估计
第四章抽样与参数估计推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。
从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statistical inference)。
这个调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的一个过程。
估计(estimation) 是统计推断的重要内容之一。
统计推断的另一个主要内容是本章第二节要介绍的假设检验(hypothesis testing) 。
因此本节内容就是由样本数据对总体参数进行估计，即：学习目标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布与总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计第一节抽样与抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取一部分元素(单位)进行调查,并根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Item unit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Sample size)：样本中所含个体的数量一般将样本单位数不少于三十个的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。
一、抽样方法及抽样分布1、抽样方法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每一个样本都有相同的机会（概率）被抽中。
注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，又可分为重复抽样与不重复抽样。
而且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。
②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每一层内进行抽样③、整群抽样：将一组被调查者（群）作为一个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者（2）非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择一群特定数目、满足特定条件的被调查者2、抽样分布一般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（sampling distribution）。
第三章分层随机抽样作业答案
P111 3.6 样本量应该满足：
在Nh－1≈Nh的条件下，
而其中每层的吃年夜饭的样本比例的方差的估计值为： p 1 p 1 f N n h hn h h hh v p p 1 p h h h n 1 N n 1 hn h h h
则样本比例的方差的估计值为：
6 2 h 6 2 h
p 1 p h h v p W v p W 1 f s t h h n 1 h 1 h 1 h
把相应的数值代入计算可得方差的估计值为v(pst)＝3.9601×10-4，
从而可以得到该估计值的标准差为：s(pst)=0.0199。
（2）样本容量的确定
n2 = 0.2028 × 2568 = 520.7904 ≈ 521
n3 = 0.1625 × 2568 = 417.3000 ≈ 417 n4 = 0.1184 × 2568 = 304.0512 ≈ 304 n5 = 0.1544 × 2568 = 396.4992 ≈ 396 n6 = 0.1529 × 2568 = 392.6472 ≈ 393
P110 3.4 ∵ n0/N=2568/1650000=0.00156＜0.05 ∴ 不需要修正 按内曼分配，样本量 n = 2568
w h
W 1 ph ) hp h(
w1= 0.0540/0.2584 = 0.2090
W p (1 p )
h1 h h h
k
w2= 0.0524/0.2584 = 0.2028
P110 3.5 解：总体总共分为10个层，每个层中的样本均值已经知道， 层权也得到，从而可以计算得到该开发区居民购买冷冻 食品的平均支出的估计值为： y st
方差的计算方法
方差的计算方法方差是描述数据分散程度的统计量，它衡量了每个数据点与数据集平均值之间的差异程度。
在实际应用中，方差的计算方法有多种，下面我们将介绍几种常用的计算方法。
一、样本方差的计算方法。
样本方差是用来估计总体方差的，计算公式如下：\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2}{n-1} \]其中，\( x_i \) 表示第i个数据点，\( \bar{x} \) 表示样本均值，n表示样本容量。
样本方差的计算方法比较简单，只需要计算每个数据点与样本均值的差的平方，然后求和并除以n-1即可得到样本方差。
二、总体方差的计算方法。
总体方差是用来描述整个总体数据分散程度的统计量，计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i \mu)^2}{N} \]其中，\( x_i \) 表示第i个数据点，\( \mu \) 表示总体均值，N表示总体容量。
总体方差的计算方法与样本方差类似，只是分母变为了总体容量N。
三、计算方法的选择。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方差计算方法。
如果我们只有样本数据，而且需要估计总体方差，那么就应该使用样本方差的计算方法。
如果我们已经有了整个总体的数据，那么就可以直接使用总体方差的计算方法。
四、方差计算方法的应用。
方差是统计学中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
比如在财务分析中，方差可以用来衡量资产的风险程度；在生产过程中，方差可以用来衡量生产线的稳定性；在医学研究中，方差可以用来比较不同治疗方法的效果等等。
总之，方差的计算方法虽然简单，但是在实际应用中却有着广泛的用途。
我们需要根据具体情况选择合适的计算方法，并且结合实际问题加以应用，才能更好地理解和利用方差这一统计量。
方差定理公式
方差定理公式方差定理公式是一种用于描述随机变量的离散程度的数学工具，它可以帮助我们分析数据的变化情况，评估统计模型的拟合效果，以及进行假设检验等。
方差定理公式有多种形式，本文将介绍其中的几种，并给出相应的证明和应用。
什么是方差方差是一种衡量随机变量或者一组数据与其均值之间的距离的度量，它反映了数据的波动程度。
方差越大，说明数据越分散，越不稳定；方差越小，说明数据越集中，越稳定。
方差的定义有多种方式，其中最常见的一种是：V ar(X)=E[(X−E(X))2]其中，X是一个随机变量，E(X)是它的期望值，E[(X−E(X))2]是它与期望值之差的平方的期望值。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能的输出值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
另一种常见的定义是：V ar(X)=E(X2)−[E(X)]2这个定义可以通过展开上面的定义得到，也可以记忆为“期望平方内减外”。
这个定义可以理解为：方差等于随机变量的平方的期望值减去随机变量的期望值的平方。
还有一种常见的定义是：V ar(X)=n∑i=1(x i−μ)2f(x i)其中，x i是随机变量X的第i个可能取值，μ=E(X)是它的期望值，f(x i)是它取该值的概率。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能取值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
以上三种定义都是等价的，可以根据不同的情况选择合适的形式来计算或推导方差。
方差定理公式方差定理公式是一些关于方差运算或性质的公式，它们可以帮助我们简化计算或推导过程，也可以帮助我们理解方差背后的含义或规律。
以下介绍几种常用的方差定理公式。
方差线性性质如果X,Y是两个随机变量，a,b是两个常数，则有：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)+2abCov(X,Y)其中，Cov(X,Y)是X,Y之间的协方差，它表示两个随机变量之间的线性相关程度。
如果X,Y相互独立，则协方差为零，上式就简化为：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)这个公式说明了方差具有线性性质，即两个独立随机变量之和或者差的方差等于它们各自方差乘以系数后求和。
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样本比例的方差
样本比例的方差是对样本比例的离散程度进行度量的统计量。
在统计学中，样本比例是指在一个总体中某一特定事件发生的概率。
样本比例的方差可以帮助我们了解样本比例的变异程度，从而对总体比例进行推断。
我们需要理解什么是样本比例。
在统计学中，样本比例是指从总体中随机抽取的一组样本中具有某一特征的样本的比例。
例如，某市有1000个家庭，我们从中随机抽取了100个家庭进行调查，其中有40个家庭拥有汽车。
那么样本比例就是40/100=0.4。
样本比例可以帮助我们估计总体比例的大小。
样本比例的方差是对样本比例的离散程度进行度量的统计量。
方差是统计学中常用的一种衡量变量离散程度的指标。
方差越大，样本比例的离散程度越大，说明样本比例的变异性较大；方差越小，样本比例的离散程度越小，说明样本比例的变异性较小。
样本比例的方差可以通过计算样本比例的标准差平方来得到。
标准差是方差的平方根，它表示样本比例与样本比例均值之间的离散程度。
如果样本比例的标准差较大，说明样本比例的离散程度较大，即样本比例的变异性较大；如果样本比例的标准差较小，说明样本比例的离散程度较小，即样本比例的变异性较小。
样本比例的方差在统计推断中具有重要的作用。
在进行样本调查或
实验时，我们通常无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过对样本比例的方差进行计算和分析，可以帮助我们判断样本比例的可靠性和推断总体比例的大小。
样本比例的方差与样本容量有关。
当样本容量较大时，样本比例的方差较小，样本比例的估计较为准确；当样本容量较小时，样本比例的方差较大，样本比例的估计较为不准确。
因此，在进行样本调查或实验时，我们通常会选择较大的样本容量，以减小样本比例的方差，提高样本比例的估计准确性。
除了样本容量，样本比例的方差还受到样本比例本身的影响。
当样本比例接近0或1时，样本比例的方差较小，样本比例的估计较为准确；当样本比例接近0.5时，样本比例的方差较大，样本比例的估计较为不准确。
因此，在进行样本调查或实验时，我们需要根据样本比例的大小来选择合适的统计方法和样本容量，以提高样本比例的估计准确性。
样本比例的方差是对样本比例的离散程度进行度量的统计量。
样本比例的方差可以帮助我们了解样本比例的变异程度，从而对总体比例进行推断。
在进行样本调查或实验时，我们需要根据样本容量和样本比例的大小来选择合适的统计方法和样本容量，以提高样本比例的估计准确性。