高三文科数学暑假作业3

高三文科数学暑假作业（3） 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词

1．(2012·辽宁高考)已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则非p 是( ) A ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0

2．(2014·唐山模拟)已知命题p ：?x ∈R ，sin x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2＋1＜0，则下列结论正确的是( )

A ．p 是假命题

B ．非p 是假命题

C ．q 是真命题

D ．非q 是假命题 3．下列命题既是全称命题，又是真命题的个数是( ) (1)对数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)对于任意的无理数x ，x 2是无理数； (4)存在一整数x ，使得log 2x ＞0.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 4．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( ) A ．?x 0∈R ，e x 0≤0 B ．?x ∈R,2x >x 2

C ．a ＋b ＝0的充要条件是a

b

＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件

5．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )

A ．p ∧q

B ．非p ∧q

C ．p ∧非q

D ．非p ∧非q

6．(2014·吉林模拟)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 1满足关于x 的方程2ax ＋b

＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

A ．?x 0∈R ，f (x 0)≤f (x 1)

B ．?x 0∈R ，f (x 0)≥f (x 1)

C ．?x ∈R ，f (x )≤f (x 1)

D ．?x ∈R ，f (x )≥f (x 1) 二、填空题

7．命题：“对任意k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是________．

8．(2014·邯郸市馆陶一中模拟)若命题“?x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．

9．已知命题p ：?m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．

三、解答题

10．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数解，命题q ：关于x 的不等式x 2＋ax ＋a ＞0的解集为R ，若(非p )∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．

11．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x

为减函数．命题q ：?x ∈????

??12，2，x ＋1x ＞c .如果

p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数c 的取值范围．

简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词答案

1.【解析】 非p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0. 【答案】 C

2.【解析】 p 是真命题，如取x ＝π2，则sin π

2

＝1，从而非p 是假命题，q 是假命题，因

为?x ∈R ，x 2

＋1≥1，从而非q 是真命题．结合四个选项可知B 正确．

3.【解析】 (1)既是全称命题又为真命题；(2)是特称命题；(3)对于任意的无理数x ，x 2

是无理数，是假命题；(4)存在一整数x ，使得log 2x ＞0是特称命题．所以满足题意的命题个数为1.故选A.

4.【解析】 对于?x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选

项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a

b

无意义，

故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．

5.【解析】 当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x ＜3x ，∴p ：?x ∈R,2x ＜3x 是假命题．

如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解， ∴q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除A. ∴非p 为真命题，∴非p ∧q 是真命题，选B.

6.【解析】 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，知f ′(x )＝2ax ＋b .

依题意f ′(x 1)＝0，又a ＞0，所以f (x )在x ＝x 1处取得极小值． 因此，对?x ∈R ，f (x )≥f (x 1)，C 为假命题．

7.【解析】 全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0无实根”．

8.【解析】 由题意可知，ax 2－ax －2≤0，对?x ∈R 恒成立． (1)当a ＝0时，－2≤0合题意．

(2)当a ≠0时，只需?

????

a ＜0，

Δ＝a 2

＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0， 由(1)(2)可知，实数a 的取值范围是[－8,0]．

9.【解析】 命题p 为真命题，若命题q 为真命题，则Δ＝m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.

当p ∧q 为真命题时，有?

????

m ＋1≤0，

－2＜m ＜2，∴－2＜m ≤－1.

∴p ∧q 为假命题时，实数m 的取值范围为{m |m ≤－2或m ＞－1}． 10.【解】 因为(非p )∧q 是真命题．

所以非p 和q 都为真命题， 即p 为假命题且q 为真命题．

①若p 为假命题，则Δ1＝4－4a ＜0，即a ＞1. ②若q 为真命题，则Δ2＝a 2－4a ＜0，所以0＜a ＜4. 由①②知，实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜4}． 11.【解】 若命题p 为真，则0＜c ＜1.

若命题q 为真，则c ＜????x ＋1

x min ， 又当x ∈????12，2时，2≤x ＋1x ≤5

2， 则必须且只需2＞c ，即c ＜2.

因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 所以p 、q 必有一真一假．

当p 为真，q 为假时，?????

0＜c ＜1，

c ≥2，无解；

当p 为假，q 为真时，????

?

c ≥1，c ＜2，

所以1≤c ＜2.

综上，c 的取值范围为[1,2)．

1.简单的逻辑联结词

(1)命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．

(2)命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．：

2.命题的否定与否命题不同，命题的否定是将全称量词改为特称量词，或将特称量词改为全称量词，再否定结论即可.

3． 常见词语的否定如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 词语的否定

或

一个也没有

至多有n -1个

至少有两个

存在一个x 不成立