波特图的画法

二、 对数频率特性

假设：)

()()(ω?ωωj e j H j H =。对其取对数：

[][]

[])()()()(ln )(ln )(ln )

(ω?ωω?ωωωω?j G j j H e j H j H j +=+==

其虚部正是系统的相频特性，而实部：

[])(ln )(ωωj H G =

称为对数增益，反映了系统幅频特性，单位奈培（Np, Neper ）。 一般情况下不用自然对数，而取常用对数，定义： [])(log 20)(ωωj H G =

单位：分贝(Deci-Bel,dB)。

奈培与分贝的转换关系：1 Np = 8.686 dB

在理论分析中，一般使用Np ；在实际应用中，一般使用dB

用分贝表示增益，解决了信号动态范围与精度之间的矛盾。如果在频率坐标中同样使用对数坐标，则同样可以解决频率的范围与精度之间的矛盾。这样一来就形成了波特图。

? 波特图的横坐标可以用ωlog ，也可以用f log ; ? 在波特图的横坐标上，一般直接标注频率值；

? 波特图的横坐标上只能表示0>ω或者0>f 频率下的系统特性。

图中的二、三象限并非表示频率小于零的部分，而是表示频率小于1（大于零）部分频率特性。

? 根据系统频率特性的共扼对称性,不难得到频率小于零部分的

特性。

? 在波特图的纵坐标上，可以标注系统幅频特性值（如图中红字所

示），也可以标注分贝值。 ? 为了方便参数的判读，实际工程中的波特图中的刻度也不是按照等

间隔设置的，而是按照对数间隔设置。例如下图。

有专用的对数坐标图纸可以用于手工绘制波特图。

波特图的纵坐标上同样也只表示了系统幅频特性中大于零的部分。

图中的三、四象限并非表示系统的幅频特性小于零，而是表示系统的幅频特性小于1（大于零）。

三、 线性系统的波特图

1、一般系统的波特图

???

?

??-==∑

∑==∏∏--=n i i m i i j n i i

m

i i

e p

j z

j H j H 111

10

)(αβωωω

∑∑∑∑====-+=---+==

=n

i pi m

i zi n

i i

m

i i G G H p j z j H j H G 1

1

01

10)

()(log 20log 20log 20log 20)(log 20)(ωωωωωω

所以，不仅系统的相频特性是各个零点或极点的相频特性的叠加，而且系统的幅频特性是各个零点或极点的相频特性的叠加。所以，可以根据各个零点或极点的波特图的叠加得到系统的波特图。

2、一次因式的波特图 1） 单个零点的波特图：

)1(1

)1()(i i

i

i i zi T j T z j

z z j j H ωω

ωω+=

-+-=-=

（1）幅频特性

()[]

2

1log 10log 201log 201

log 20)(log 20)(i i i i

zi zi T T T j T j H j G ωωωω++-=++==

其中第一项是固定的常数，可以暂时不考虑；对第二项，有：

a 、 当1<

01log 102

≈+i T ω

——>低频渐近线； b 、 当1>>i T ω时，

()[]

i i T T log 20log 201log 102

+≈+ωω

——>高频渐近线。

如果频率也取对数，则高频渐近线是一个斜率为20的直线，其

与低频渐近线（横坐标）的交点为i

i

z T ==1ω。

可以用高、低频渐近线近似单个零点的波特图，在适当加以修正。单个零点的波特图高频部分增益每倍频程增加6dB, 每10倍频程衰减20dB

（2）相频特性

同样可以得到相频特性在对数坐标下也可以近似表示为两段折线

2） 单个极点的波特图

单个极点的波特图与单个零点的波特图相似，只不过折线方向相反。

3） 共扼零点或者极点（或称二次因式）的波特图。

幅频特性

其中高频部分增益每倍频程增加12dB, 每10倍频程衰减40dB 。但是其修正方式与单极点不同。

相频特性

详细讨论见P305页。

● 如果在计算中出现了一个0 i A ，则下面各行无法再计算下去。解决

方法有两个：

1） 将原来的D(s)乘以(s+1)，再重新计算。 2） 将0用一个正无穷小量代替，继续计算。

例6－6－2

● 如果在计算中出现了一个全零行，则说明系统在虚轴上有极点，系

统最多是临界稳定的。可以直接认为系统是不稳定的（如果将临界稳定划归于不稳定之列），或者对系统是否临界稳定作出进一步判定，步骤如下：

1） 首先用全零行上面一行的辅助多项式的导数的系数替代全零行，继

续进行计算，判定是否有实部大于零的根；

2） 判断虚轴上的极点的阶数——求解辅助多项式的根——从而判定系

统是否临界稳定。

例6－6－3

§6-7 反馈系统稳定性

1）线性反馈系统：将系统的输出反过来作用在输入端，从而引起输

G(s)：前

向路径；

H(s)：反

馈路径

?这

种

系

统

在

测

统。

?这种反馈系统不仅在电、机械等系统中存在，这种控制理论

可以广泛地扩展到生物、医学、社会等各种领域。由此产生

的“控制论”盛极一时，其代表性的著作就是维纳的《控制

论》。

?研究这种系统的特性，特别是稳定性，对于很或领域都有很

大的参考价值。

2）线性反馈系统稳定性判定法则：

（1）奈奎斯特判据

（2）根轨迹

附：关于LT变换方法的讨论：

在计算机应用技术飞速发展的今天，传统的LT方法在有些地方已

经不合时宜，例如：

1、用流图简化的方法求H(s)不如直接求解线性方程组，

2、由

)

( j

H

画频谱非常方便，使得用极零图分析频响没有必要

3、波特图的快速画法也没有用武之地。

但是LT方法在有些方面仍然有实际意义，如：

1、对数刻度的波特图比线性标度的频率特性更有实用价值；

2、波特图的某些特性在实际工程应用中也依然由其参考价值；

3、极零图对系统综合、系统稳定性分析等有很重要的指导意义。由

此更容易导出一些一般性的结论，例如全通系统和最小相位系统。