(完整版)函数定义域练习题(含答案),推荐文档
函数定义域、值域经典习题及答案
复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈
⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式
函数定义域的类型和求法
函数定义域的类型和求法 本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得或。③ 由②解得或④ ③和④求交集得且或x>5。 故所求函数的定义域为。 例2 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得③
由②解得④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知的定义域，求的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。 例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。 解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。 （2）已知的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为。 即函数f(x)的定义域是。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R； 当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。 评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。 例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即 无实数 ①当k≠0时，恒成立，解得；
函数定义域几种类型及其求法
函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。 其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。 解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。 其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。 解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。
一函数定义域定义域高考试题汇编[1]
一、定义域问题 1. （陕西文2）函数21lg )(x x f -=的定义域为 （A ）［0，1］ （B ）（-1，1） （C ）［-1，1］ （D ）（-∞，-1）∪（1，+∞） 解析：由1-x 2>0得-1 函数的定义域及其求法（知识点） 一．定义域 定义域、值域、对应法则合称为函数的三要素．本词条主要介绍函数定义域的概念及其求法. 二．函数定义域的概念 函数的定义域就是指自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分．定义域必须是非空数集，且必须写成区间或集合的形式． 例如：一次函数()(0)f x kx b k =+≠的定义域为 (或写成(,)-∞+∞)． 三．函数定义域的求法 在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种． 四．具体函数的定义域 对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．常见情形如下： 1. 若函数()f x 为整式，则其定义域为实数集 ． 例如，二次函数2()1f x x x =++的定义域为． 2. 若函数()f x 是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数的集合. 例如，函数1()1 f x x =-的定义域为{1}x x ≠． 3. 若函数()f x 是偶次根式，则其定义域是使得根号内的式子大于或等于零的全体实数构成的集合. 例如，函数()f x =[1,)-+∞. 4. 若函数()f x 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使是使各部分都有意义的实数的集合， 即交集. 例如，函数1()1 f x x =-[1,1)(1,)-+∞. 5. 若函数0()f x x =，则其定义域是{0}x x ∈≠． 注：除了上述情形，还应注意指数函数和对数函数均需满足底数大于零且不等于1，对数函数的真数必须大于零，以及三角函数的定义域，如正切函数的定义域为ππ,2x x k k ??≠+∈???? 例 ：求下列函数的定义域：①y = 2310x y x x --；③() f x =. 解：①由80,30,x x +??-?≥≥得83x -≤≤．所以原函数的定义域为[]8,3-． ②由220,3100,x x x +???--≠?? ≥解得()() 2250x x x -???+-≠??≥所以2,2,5,x x x -??≠-≠?≥即25x -<<或5x >．所以原函数的定义域为()()2,55,-+∞． 高一的函数定义域的求法 . 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)的定义域为（1，2），求f (2x+5)的定义域： 已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)的定义域为（1，2），求f(x)的定义域： 已知f(x),求f[g(x)],例如已知f(x)=x+1，求f(2x+5)的解析式：已知f[g(x)],求f(x),例如已知f(2x+5)=x+1,求f(x)的解析式： 已知函数y=f(x+1)定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 若函数y=f（x）的定义域为[-2，2]，则求函数y=f（x+1）+f （x-1）的定义域． 若函数y=f(x)的定义域为〔-1，1〕，求函数y=f(x+1/4)·f(x-1/4)的定义域 若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？ 若函数y=f[x]的定义域是【－２，４】，则函数g[x]=f[x]+f[-x]的定义域是多少？ 若函数y=f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(2x)/x-1的定义域是多少？ 1、这类题，就是把g(x)看成一个整体y，f(x)和f(y)的定义域是一样的，得出y的围后再求解x的定义域。 f(x)的定义域是（1，2）,令y=2x+5,则f(2x+5)=f(y) ,y的定义域是（1，2），所以1<2x+5<2 1<2x+5<2 -2 函数的定义域解析与练 习及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 函数的定义域 1、已知函数式求定义域： 例1、求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 解： （1），即；（2），即； （3）且，即． （4）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为． （5）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为 ． 点拨：要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解． 2、求抽象函数的定义域 讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管 “”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围． 例2、已知的定义域为，求，的定义域． 解： ∵的定义域为，∴，∴，即的定义域为， 由，∴，即的定义域为． 点拨：若的定义域为，则的定义域是的解集． 例3、已知的定义域为，求，的定义域． 解： ∵的定义域为，∴即的定义域为． 又∵的定义域为，∴，∴ 即的定义域为． 点拨：已知的定义域，则当时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是的定义域． 例4、已知函数的定义域是[a，b]，其中a<0 解答： ∵函数的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b， 若使有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．∵a<0 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 函数定义域的类型及求法 一、已知解析式型（所有同学一定要会的） 二、含参问题（很重要） 三、抽象函数（复合函数）的定义域 1已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域 其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[] ()f g x 的定义域． 例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ，． 2、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[] 03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤． 令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 3，已知[]()f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的取值范围即为()h x 的取值范围，由()h x 的取值范围即可求出 [()]f h x 的定义域x 的取值范围。 例2 已知函数(1)f x +的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：令1,35u x t x =+=-，则(1)(),(35)()f x f u f x f t +=-=， (),()f u f t 表示的是同一函数，故u 的取值范围与t 相同。 解：()f x 的定义域为[]15-，，即15x ∴-≤≤016x ∴+≤≤。 056x ∴-≤3≤ 【知识要点】 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零. 2(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根 (21,)n k k N *=+∈其中中，x R ∈. 3、指数函数x y a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且. 4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且. 5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠. 6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2 x x k k z π π≠+∈. 7、复合函数的定义域的求法 （1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域. （2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数 ()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域. 8、求函数()()y f x g x =+的定义域 一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B ，则A B 就是所求函数的 定义域. 9、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上 是集合的一种特殊表示形式. 四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法. 五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则. 研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】 【例1】求函数y . 【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域. 【反馈检测1】求函数y =. B ,A B 就是函数 【例2】求函数y =3log cos x 的定义域. 【解析】由题得?? ? ??∈+<<-≤≤-∴???>≥-z k k x k x x x 22225 50cos 0252π πππ ∴}52 3 22235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或 所以函数的定义域为}52 3 22235|{≤<<<--<≤-x x x x ππππ或或 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项 高中数学函数的定义域测试题(含答案) 高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 二. 教学目标： 理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点：函数性质的运用． 四. 教学难点：函数性质的理解。 ［学习过程］ 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的 实际意义。 页 1 第 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） 高考数学函数的定义域和值域复习试题(含 答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题（含答案) 高考数学函数的定义域和值域复习试题及答案解析 一、选择题 1.（2０13 陕西高考）设全集为R，函数f(x)=1－x的定义域为Ｍ，则为( ) A.(－,1) Ｂ．(１，+ ) C.（－,1] D.[1,＋) B [要使f(x）=1-x有意义,须使1-x 0，即ｘ1. M=(-,1]，＝(1，+ ).] ２.函数y=13x-2+lｇ(2x-1)的定义域是（) Ａ.2３，＋B.12,+ Ｃ.２３,+ Ｄ.12，２3 Ｃ[由３x-2 0,２ｘ-1 0得x 23.］ 3.下列图形中可以表示以M={x|０x 1}为定义域,以N＝{y|０y1｝为值域的函数的图象是( ) C [由题意知，自变量的取值范围是[０，1］,函数值的取值范围也是[0,1],故可排除Ａ、B;再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x,N中都有唯一的元素与之对应,故排除D.] 4．（２014长沙模拟)下列函数中，值域是（0，+ )的是( ) A.y=x2－2x+1B．y=ｘ+2ｘ+１（ｘ(0，+ ）) C．y=１x２＋2x+１(x N）D.ｙ=1｜x+１| D ［选项A中y可等于零;选项B中y显然大于1;选项C 中ｘN,值域不是（0，+ );选项D中|x+1｜０,故y 0．] 5.已知等腰△ABＣ周长为10,则底边长ｙ关于腰长x的函数关系为y=10-２x，则函数的定义域为() Ａ.R B.{x|ｘ0} C.｛x|0 ｘ5} D.x｜52 x 5 Ｄ[由题意知ｘ０,10－2x0，2x 1０-２x即52 x ５.] 6.函数y=2ｘ-1的定义域是(-,1) [2,５),则其值域是( ) Ａ．(- ，0) 12,2 Ｂ.(- ，2] Ｃ．- ，12 [2，+ ) Ｄ．(0，＋） Ａ[∵x (- ，1）[２,5)， 故x－1(- ,0) [1，4）, 2x-1 (- ，0)１2,2.］ 7.若函数f（x)=1log3(２x+c)的定义域为12，1(1,+)，则实数c的值等于( ) A.１Ｂ.-1 C．－2 D.-1２ B [由2x+c ０且log3(2x＋c)0， 得ｘ-c２且x １-c2. 又f(ｘ)的定义域为１２,１(1,+), １-c2＝１.c=-1.] 函数定义域的类型及求法 、已知解析式型(所有同学一定要会的) 即给出函数的解析式的定义域求袪，苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域° Jx 1 - 2x - 1^ 例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3 解*要使函数有意5C 则必须满足］ ' - 即J ”工+引―8工0 ［工疋5且工工―11 解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o 二、含参问题(很重要) 例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围° 分析；函数的定文域为R ，表明他：-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立，由厂 项的系數是刖，所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d 解.讨论. ① 当也二0时，函数的定义域为R ; ② 当用=0时，mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式，其对一切实数X 都成立的充 综上可知；0 ￡ m 玉1 ° 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知f(x)的定义域，求f g(x)的定义域 其解法是：若f (x)的定义域为a < x < b ，则在f g(x)中，a < g(x) < b ，从中解得x 的取值范 要条件是. 围即为f g(x)的定义域. 例1 已知函数f(x)的定义域为1,，求f(3x 5)的定义域. 分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f (u)是同一个函数，因此这里是已知 1 < u < 5，即K 3x 5 < 5，求x的取值范围. 4 10 解：Q f(x)的定义域为1,， 1 < 3x 5 < 5，4< x < 10. 3 3 故函数f(3x 5)的定义域为-,10. 3 3 2、已知f g(x)的定义域，求f (x)的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x< n，则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域. 2 例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3，求函数f(x)的定义域. 分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域. 解：由0 < x < 3，得 1 < x2 2x 2 < 5 . 令u x2 2x 2，贝y f (x2 2x 2) f (u)，1< u < 5 . 故f (x)的定义域为1，. 3，已知f g(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x < n，则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x) 的取值范围，由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。 例2 已知函数f(x 1)的定义域为1，，求f(3x 5)的定义域. 分析：令u x 1,t 3x 5，则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t)， f (u), f (t)表示的是同一函数，故u的取值范围与t相同。 解：Q f(x)的定义域为1，，即K x < 5 0 < x 1 < 6。 例1，求下列分式的定义域。 2 求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ） （的定义域 解：（1）依题意可得,须是分母不能为零并且该根式也必须有意义，则 解得 x ≥3或x ＜2 因此函数的定义域为｛X ︱x ≥3或x ＜2｝。 （2） 要使函数有意义，则?????≠+≠-≥-. 03032023x x x ，，所以原函数的定义域为{x|x ≥32，且x ≠32}. 评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑，所求“交集”即为所求的定义域。 例2，求下列关于对数函数的定义域 例1 函数x x y --=312log 2的定义域为 。 分析：对数式的真数大于零。 解：依题意知：0312>--x x 即0)3)(12(>--x x 解之，得321< 一、选择题（共6小题） 1、在函数中，自变量x的取值范围是（） A、x≠0 B、x≤﹣2 C、x≥﹣3且x≠0 D、x≤2且x≠0 2、函数的定义域是（） A、x≠2 B、x≥﹣2 C、x≠﹣2 D、x≠0 3、（2006?黄石）函数y=的自变量x的取值范围是（） A、x≥﹣2 B、x≥﹣2且x≠﹣1 C、x≠﹣1 D、x＞﹣1 4、（2010?苏州）在函数y=中，自变量x取值范围是（） A、x＞1 B、x＜﹣1 C、x≠﹣1 D、x≠1 5、（2008?乐山）函数的自变量x的取值范围为（） A、x≥﹣2 B、x＞﹣2且x≠2 C、x≥0且≠2 D、x≥﹣2且x≠2 6、能使有意义的x的取值范围是（） A、x＞﹣2 B、x≥﹣2 C、x＞0 D、x≥﹣2且x≠0 二、填空题（共6小题） 7、（2011?黑龙江）函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 8、（2007?黄石）函数的自变量取值范围是_________． 9、求使代数式有意义的x的整数值_________． 10、函数y=+（x﹣1）0自变量的取值范围是_________． 11、函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 12、写出一个y关于x的函数关系式，使自变量x的取值范围是x≥2且x≠3，则这个函数关系式可以是_________． 答案与评分标准 一、选择题（共6小题） 1、在函数中，自变量x的取值范围是（） A、x≠0 B、x≤﹣2 C、x≥﹣3且x≠0 D、x≤2且x≠0 考点：函数自变量的取值范围。 专题：常规题型。 分析：根据被开方数x+3大于等于0，分母x不等于0，列式求解即可． 解答：解：根据题意得，， 解得x≥﹣3，且x≠0． 故选C． 点评：本题主要考查了函数自变量的取值范围，被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可，是基础题，比较简单． 2、函数的定义域是（） A、x≠2 B、x≥﹣2 C、x≠﹣2 D、x≠0 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。 专题：计算题。 分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．解答：解：根据题意得：x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选B． 点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 3、（2006?黄石）函数y=的自变量x的取值范围是（） A、x≥﹣2 B、x≥﹣2且x≠﹣1 C、x≠﹣1 D、x＞﹣1 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。 专题：计算题。 分析：立方根的被开方数可以是任意数，不用考虑取值范围，只让分式的分母不为0列式求值即可． 解答：解：由题意得：x+1≠0， 解得x≠﹣1， 故选C． 点评：用到的知识点为：立方根的被开方数可以是任意数；分式有意义，分母不为0． 4、（2010?苏州）在函数y=中，自变量x取值范围是（） A、x＞1 B、x＜﹣1 配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。 f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式 换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。 f(x ＋1)＝x 2 ＋x,函数f(x)的解析式： 复合函数的定义域 复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ， 22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f 复合函数的定义域求法 .已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。函数的定义域及其求法(知识点)(教师版)
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