高中必修2立体几何二面角的经典求法

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

人教A版高中数学必修2二面角教案

◆教案二面角教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2 【教学目标】 1、知识目标： (1)使学生理解“二面角”以及“二面角平面角”的概念，能根据定义正确地作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题。 (2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。 2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力、空间想象的能力、类比猜想的能力从而培养学生创新的能力。 3、过程与方法目标：引导学生探索和研究“二面角”及“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，以培养学生的空间想象能力、动手能力和类比、化归、直觉、猜想等探索性思维方法。 4、情感、态度、价值观目标： (1) 使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。 (2) 通过揭示概念的形成、发展、应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观点。 (3) 培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，体验数学中转化思想的意义和价值； (4) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。【教学重点与难点】重点：“二面角”及“二面角的平面角”的概念和作法。难点：“二面角的平面角”概念的形成过程以及如何根据条件用定义作出二面角的平面角。

【教学方法与手段】 (1)教学方法：采用引导发现法、启发式探索讨论相结的教学方法。 (2)教学手段：借助实物模型，和利用多媒体制作课件来辅助教学。通过上述方法与手段，再现知识的产生过程，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍,激发学生学习兴趣，发挥学生的主体作用；同时通过学生参与动手操作，亲身体验,促进了学生思维能力的发展,使教学活动真正体现“以学生发展为本”的思想。【学法指导】通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。【教学流程】【教学过程】

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E

∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2

高中历史必修二第一单元知识点总结

高中历史必修二第一单元知识点总结第 1 课发达的古代农业形成条件： ①铁犁牛耕技术的出现和普及 ②封建土地所有制的确立形成时间：春秋战国时期 ① 分散性和封闭性：以家庭为生产、生活的基本单位，农业与家庭手工业相结合，男耕女织，自给自足的自然经济特点 ②先进性与落后性并存：精耕细作，技术先进，但无革命性突破 ③脆弱性：规模小，易受天灾、苛政和土地兼并的影响 ①农民拥有一定的生产资料和能支配一部分劳动产品，具有生产积极性 ②小农经济规模小，促使农民努力提高耕作技术，实行精耕细作 ③小农经济封建政府主要财源，统治者大都采取重农政策 ④随着农民战争爆发和王朝更替，部分田地回到农民手中，小农经济又开始了一个新的轮回 ①灾荒瘟疫 ② 封建政府沉重赋税、徭役 ③社会的动荡与土地兼并地位和影响：小农经济是我国封建社会农业生产的基本模式，精耕细作使中国古代农业发达，这是两千多年中国封建社会生存和发展的经济基础，是中国文明的萌发和发展的经济基础。在整个中国古代社会，自然经济始终在中国封建经济中占主导地位。自然经济无法扩大再生产，它的牢固存在，严重地阻碍了新的生产力和生产关系的发展，是中国封建社会发展缓慢和长期延续的重要原因，成为中国近代落后挨打的根源之一小农经济有利因素不利因艰难成长

经营形态演变发展过程及成就夏商西周官营手工业春秋战国汉武以后中国古代手工业产生并由官府垄断继续发展盐铁及铸钱等官办经营方式政府直接经营、集中、大作坊生产生产目的性质和特点发展概况春秋战国秦汉魏晋南北朝隋唐出现发展受摧残恢复和发展民间私人经营元朝黄道婆推广先进的棉纺织技术明中叶后民营超过官营手工业占主导地位使用花楼机出现资本主义萌芽（雇佣关系），清继续发展农户体产，作为副业供军队和官府贵族生活使用，不在市场流通供民间消费，作为商品在市场流通供家庭消费和交纳赋税，剩余部分出卖国家垄断性质；它凭借国家权力，征调优秀工匠，控制最好的原料，生产不计成本，产品精美，取得诸多成就，世界领先，享誉全球美，商品生产性质；在重本抑末的社会环境下发展艰难，但后来居上属于自然经济组成部分；受小农经济的束缚发展艰难，在自然经济时代，占有相当的比重。是中国古代社会稳定的重要因素地域分布广、生产部门不断增加、生产规模不断扩大、分工越来越细、技术先进② 官营手工业、私营手工业、家庭手工业三种经营形态长期并存③ 官营手工业在中国手工业经济中长期占主导地位，产品精美，品种繁多，享誉世界。民营手工业艰难发展，明中后期逐渐占主导地位，某些部门已出现资本主义萌芽。但重农抑商政策制约了手工业的发展，始终没有进入工场手工业时代。家庭手工业是农户的一种副业，产品主要供自己消费和交赋税，剩余部分才拿到市场出售，家庭手工业是中国古代社会稳定的重要因素 ④经济重心南移与手工业生产布局成相应变化⑤历史悠久，源远流长，长期领先于世界，享誉全球⑥ 与农业发展密切结合，受农业制约 ①地美，原因：社会生产力的发展（农业、手工业发展）和商品经济发展条件：商人资金充足，自由劳动力增加标志—时间：地区：发展状况： —明朝中后期的棉纺织业出现了手工工场（带有雇佣性质的生产关系）明中后期江南地区期后中朝明资本主义萌芽的产生与发发期清展有朝所前 ①在丝织业中心的苏州和杭州，机户雇佣机工。即“机户出资，机工出力”，他们之间形成雇佣与被雇佣关系. 生产者成为资本家②在棉纺织业中心的松江，包买商雇佣居民生产暑袜。这些包买商直接支配生产，就实质而言，属于商业资本控制生产，商人成为资本家 ③广东罗定的冶铁和佛山铁器制造业也出现雇佣关系原因：a、清代农业、手工业、商业继续发展，为资本主义萌芽继续发展提供了基础，特别是手工业分工更细，促进了区域分工和专业城镇的发展b、清初统治者放宽了对手工业的限制表现：手工工场规模进一步扩大；分工更细；雇工数量更多；具有资本主义萌芽的部门和地区增多实质：就是资本主义性质的雇佣关系（机户雇佣机工、店主雇佣居民），这种雇佣关系的实质就是商品货币关系特点：发展缓慢，只出现在少数地区的少数行业当中，是稀疏而又微弱的1、在全国范围仍居主导地位自给自足小农经济束缚着新的生产力发展。其一是农民受到残酷的封建剥削，极端贫困，购买力小，无力从市场上购买商品（市场小）。其特二是地主和商人将赚来的钱盖房买田，严重影响手工业的扩大再生产。（资本少）封建政府实行重农抑商等政策和实行闭关政策（妨碍市场扩大和资本积累）传统文化以孔孟之道、纲常名教为核心，斥科学技术为奇技淫巧，排斥西学等行会制度对手工业、商业竞争的限制货币制度的落后与混乱阻碍商品经济的发展根本原因：明清社会生产力虽已为资本主义萌芽的出现提供了历史前提，但还不足以瓦解封建的自然经济和腐朽的封建制度原因 2 、 3、 4、 5、 6、 1、是中国封建社会内部出现的新事物，代表了中国社会进步发展的总趋势 ------------------------------------------------------------------------------------ 中国开始由农业文明向工业文明演进地位影响2 、发展缓慢，只出现在少数地区的少数行业当中，是稀疏而又微弱的，始终处于萌芽状态，在全国范围内自给自足的封建经济仍占主导地位，使中国逐步落后于世界发展 3、资本主义萌芽是封建制度渐趋衰落在经济上的体现，为早期的民主启蒙思想的产生奠定了基础

必修二立体几何初步知识点整理.

必修二立体几何初步知识点整理一、基础知识（理解去记）（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①????????→??????? →???? ? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等 ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】2 22211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么2 2 2 cos cos cos 1αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则 222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

高中数学最全二面角的知识汇编

二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小. PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F

三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3 39 2，求二面角βα--l 的大小. 四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。 P β α l C B A

二面角的求法(教师版)

五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G

必修二数学知识点总结

- 0 - / 8 第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 2 22r rl S ππ+= D C B A α

必修二立体几何证明题

C B A D C 1 A 1 必修二立体几何经典证明试题 1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点 (Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ， ∴1DC BC ⊥, 由题设知0 1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥, 又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132 +???=1 2，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1， ∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点且1 2 DF AB = ，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD = 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB . 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH AD ⊥。因为AB AD A =I ，所以PH ⊥平面ABCD 。（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。因为E 是PB 的中点，所以//EG PH 。因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD 。则1122EG PH = =， 111 332 E BC F BCF V S E G FC AD EG -?=?=????=2。（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。因为E 是PB 的中点，所以1 // 2ME AB =。因为1 // 2DF AB =，所以//ME DF = ，所以四边形MEDF 是平行四边形，所以//EF MD 。因为PD AD =，所以MD PA ⊥。因为AB ⊥平面PAD ，所以MD AB ⊥。因为PA AB A =I ，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB 。 3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．

高中数学二面角求法及经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习 1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求（1）二面角11A B C A --的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1

(完整word版)人教版高中历史必修二笔记

人教版高中历史必修二笔记（一）前几天分享的必修一的知识点，大家学习的如何？知道期末将至，现在记忆有点晚了，但历史君还是觉得，大家应该通读一遍，做到心理有数。第1课发达的古代农业一、早期农业生产的出现 1、起源中国是世界农业起源地之一，农业起源最早可追溯到距今一万年左右。距今七八千年时，中国原始农业已相当发达。 2、表现河姆渡氏族公社遗址发现稻谷神农氏被尊奉为中国农业的始祖 3、地位中国是世界上最早培植水稻和粟的国家。 4、概况（1）原始农业主要生产工具：石刀石斧石犁耒耜主要耕作方法：刀耕火种作物种类：水稻和粟生活方式：为了寻找肥沃的土地，人们不得不经常迁徙。（2）商周农业主要生产工具：出现了青铜农具，但在农业生产中很少使用。木制的耒耜和石锄、石犁，仍是人们进行农业生产的重要工具。耕作技术：开沟排水，除草培土，沤制肥料，治虫灭害

作物种类：农作物种类更加丰富，有粟、稻、黍、稷、麦、桑、麻等，后世的主要农作物多已具备。生活方式：人们的生活从频繁迁徙开始走向定居。 5、农业发展特点独立发展，自成体系，奠定了中国古代农业社会的基础。二、精耕细作的传统农业 1、铁犁牛耕的发展（1）春秋战国时期：人们开始使用铁农具和牛耕并将其逐渐推广。（2）汉朝：西汉赵过推广的耦犁，要用两头牛牵引，三个人驾驭。后来又出现犁壁，使铁犁可以朝着同一个方向翻土。使用耦犁的牛耕方法，到东汉时已推广到珠江流域。汉朝以后，铁犁牛耕成为我国传统农业的主要耕作方式。（3）隋唐：江东地区出现曲辕犁。这种犁安装了犁评，可以调节犁耕的深浅，既简便．又轻巧，能适应各种土壤和不同田块的耕作要求。 2、耕作技术的不断进步（1）耕作方法： ①垄作法（春秋战国） ②代田法（西汉）（2）耕作技术： ①西汉发明播种用的耧车 ②魏晋南北朝采用耕耙耱技术（北方旱地）和耕耙技术（南方水田）（3）耕作制度： ①两汉的耕作制度是以一年一熟为主。 ②宋朝以后，江南逐渐形成了稳定的稻麦轮作的一年两熟制，有些地方形成一年三熟制。（3）水利灌溉的发展： ①水利工程：都江堰（战国时期）；漕渠、白渠、龙首渠（汉朝）

必修二立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成90 角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5 、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角, 则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为90

必修二立体几何习题及答案

必修二立体几何高一未命名一、单选题 1．设,m n 为两条不同的直线，γβα，，为三个不重合平面，则下列结论正确的是 ( ) A ．若m αP ，n α∥，则m n ∥ B ．若m α⊥， ,αβ⊥则β∥m C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβP D ．若m α⊥，m n ∥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 A 选项，若m αP ，n α∥，则,m n 可能平行、相交或异面；故A 错； B 选项，若m α⊥， αβ⊥，则β∥m 或m β?，故B 错； C 选项，若αγ⊥，βγ⊥，因为γβα，，为三个不重合平面，所以αβP 或αβ⊥，故C 错； D 选项，若m α⊥，m n ∥，则n α⊥，故D 正确；故选D 【点睛】本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果. 2．下列说法正确的是（） A ．任意三点确定一个平面 B ．梯形一定是平面图形 C ．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点 D ．一条直线和一个点确定一个平面【答案】B 【解析】【分析】根据平面性质中的公理及其推论逐个验证即可．

A选项，不共线的三点确定一个平面，A错． C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错． D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面． B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，故选：B．【点睛】本题考查了平面性质中的公理及其推论，属于基础题．注意公理1的作用是判断直线在面中，公理2的作用是判断点共线或线共点，公理3及其推论的作用是判断平面的存在性与唯一性. 3．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1?BB1D1D的体积为（） A．√2 3B．1 3 C．√2 6 D．1 4 【答案】B 【解析】【分析】先确定锥体的高，再根据锥体体积公式得结果. 【详解】由正方体性质得A1C1⊥平面BB1D1D，所以四棱锥A1?BB1D1D的体积为1 3×A1C1 2 ×S BB 1D1D =1 3 ×√2 2 ×1×√2=1 3 ，选B. 【点睛】本题考查锥体体积，考查基本求解能力，属基础题. 4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（） A．16 3πB．32 3 πC．64 3 πD．256 3 π 【答案】B

高中数学：《二面角》教案

高中数学：《二面角》教案一、目的要求 1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念,并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。 2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养,从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。 3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系,进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念,不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。三、教学过程：（一）、二面角 1、提示问题产生的背景：问题情境1、在修筑水库的拦水坝时,为了牢固耐用而又经济,必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念）,接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？通过这二个问题,打开了学生的原有认知结构,为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到,二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要,从而明确新课题研究的必要性,触发学生积极思维活动的展开。 2、展现概念形成过程。问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？创设这个问题情境,为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示,引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。

问题情境4、通过类比,同学们能给出二面角的概念吗？引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程,通过类比,迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上,从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果,给予积极的评价,强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。由教师出示预先准备好的二面角的模型,要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图,为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角,教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力）,通过实际运用,可以促使学生更加深刻地理解概念。（二）、二面角的平面角 1、揭示概念产生背景。问题情境5、观察教师预先准备好的几个图形,它们有什么异同？引导学生观察发现二面角的倾斜程度不同,即大小不一样。

二面角的几种求法

二面角的几种求法河北省武安市第一中学李春杰056300 摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。关键词：二面角平面角三垂线定理空间向量在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。一：二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥, 1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=a ，对角线AC=a ,BD=.求二面角 A-BD-C 的大小。解: 取BD 的中点为O ，分别连接AO 、CO

2220 0,,,,2 ,,, 9090AB AD BC CD AO BD CO BD AOC A BD C AB AD a BD AO BC CD a BD OC OA AC a OA OC AC AOC A BD C ==∴⊥⊥∴∠--===∴====∴===+=∴∠=-- 为二面角的平面角在AOC 中，即二面角为的二面角 2.三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中//AD BC ，,90?=∠ABC 平面⊥PA ABC ， 32,2,4===AB AD PA ,BC =6。 (Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面；(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小；解：（Ⅰ）PA ⊥平面A B C D ，BD ?平面A B C D ．BD PA ∴⊥．又tan AD ABD AB = = tan BC BAC AB == 30ABD ∴= ∠，60BAC = ∠，90AEB ∴= ∠，即BD AC ⊥．又PA AC A = ．BD ∴⊥平面PAC ．（Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ． DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角．又9030DAC BAC =-= ∠∠， sin 1DE AD DAC ∴==， sin AE AB ABE == 又AC = EC ∴=8PC =． A E D P C B F