热传导方程的差分格式

一维抛物方程的初边值问题

分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题： 在0.05,0.10.2t =和时刻的数值解，并与解析解2

(,)sin()t u x t e x ππ-=进行比较。

1差分格式形式

设空间步长1/h N =, 时间步长0τ>，T M τ=，网比2/r h τ=.

（1）向前差分格式

该问题是第二类初边值问题（混合问题），我们要求出所需次数的偏微商的函数

(,)u x t ，满足方程22,01,u u a x t x

??=<

及边值条件(0,)(1,)0,0u t u t t ==>。

已知sin x π在相应区域光滑，并且在0,x l =与边值相容，使问题有唯一充分光滑的

解。 取空间步长1/h N =，和时间步长/T M τ=，其中,N M 都是正整数。用两族平行直

线

(0,1,j

x x j h j N =

==和

(0,1,

,)

k t t k k M τ===将矩形域

{01,0}G x t =≤≤≥分割成矩形网络，网络格节点为(,)j k x t 。以h G 表示网格内点集合，

即位于矩形G 的网点集合；h G 表示闭矩形G 的网格集合；h h G G -=Γh 是网格界点的集合。

向前差分格式，即

i k

j k j k j k j

k j f h

u u u a

u u ++-=--++2

1

112τ

（1）

)(i i x f f =，

其中，.1,,2,1,1,,2,1-=-=M k N j 以2

/h a r τ=表示网比。（1）式可改写成如下： 此格式为显格式。

其矩阵表达式如下：

（2）向后差分格式

向后差分格式，即

,22

1

1

11k 11j k j k j j k j

k j f h

u u u a

u u ++-=-+-++++τ

（2）

其中.1,,2,1,1,,2,1-=-=M k N j （2）式可改写成 此种差分格式被称为隐格式。

其矩阵表达式如下：

（3）六点对称格式

六点差分格式：

j k

j k j k j k j k j k j k j

k j f h u u u h u u u a u u ++-++-=--++-++++]22[22

112111111τ

（3） 将（3）式改写成

其矩阵表达式如下:

???????

? ?????????? ??----=???????? ??????????

??+--+-+--+-++-++j N j

N j j j N j N j j u u u u r r r r r r r r r u u u u r r r r r r r r r 1211111211212/2/12/12/2/1212/12/12/2/1

2利用MATLAB 求解问题的过程

对每种差分格式依次取40.N =，=1/1600τ，=1/3200τ，=1/6400τ，用

MATLAB

求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的2L 误差。 向前差分格式：

=1/1600τ： 3200/1=τ: 6400/1=τ: 3600/1=τ: 1600/1=τ: 3200/1=τ: 6400/1=τ:

向后差分格式： 六点差分格式：

2L 误差：