Ch 4 导数与微分
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(00='=x f x f ，试求极限 xx x f x ∆+∆→∆)(lim00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f 在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p xy ==7、求下列函数的导函数：⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f x x f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数）， 试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导；（3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何R x x ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
13、证明：若)(0x f '存在，则 )(2)()(lim0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆14、证明：若函数f 在[a,b]上连续，而且f(a)=f(b)=K ，0)()(>''-+b f a f ，则在(a,b)内至少有一点ξ，使K f =)(ξ。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。
关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的．一、全微分、偏导数和连续三者之间的关系定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在．定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分．读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微．偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续．二、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立．例1：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x∆→∂∆-=∂∆ 01,0,lim 1,0,x x x x x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩故z =(0,0)处对x 的偏导数不存在，同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在，由定理1z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在．但z =(0,0)处沿任意方向的方向导数为0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ→∂-=∂0lim 1ρρρ→==即任意方向上的方向导数存在．三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如：例2： 2222422,0,0,0,xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩它在任意方向上的方向导数为：0(0,0)(cos ,cos )(0,0)lim z z z l ρραρβρ→∂-=∂222240cos ,cos 0,cos cos lim cos cos cos 0,cos 0,ρβααβααρβα→⎧≠⎪==⎨+⎪=⎩ 这一结果表明2222422,00,0xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在．但是222001lim (0,0)2y x x x z z x x ++→→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在．证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为： 0000000(,)(,)(,)lim x y z x x y y z x y z l ρρ→+∆+∆-∂=∂ 当0y ∆=时，该方向导数即为函数在点00(,)x y 的偏导数，即偏导数存在且为：000000000(,)(,)(,)(,)lim x x y x y z x x y z x y z z x l ρ∆→+∆-∂∂==∂∂ 同理0000(,)(,)x y x y z z y l ∂∂=∂∂存在． 该定理还有两个结论：结论１：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数存在，但在该点沿任意方向上的方向导数不一定存在．例3：函数2222222,0,()0,0,xy x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处对,x y 的偏导数存在，但在该点处沿任意方向的方向导数不存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim 0x z z x z x x∆→∂∆-==∂∆ 同理，(0,0)0zy ∂=∂存在但该函数沿任意方向上的方向导数：0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ→∂-=∂ 240cos sin lim ρρθρθρ→=20sin 21lim 2ρθρ→=不存在． 结论２：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数不存在，但在该点沿任意方向上的方向导数可能存在．例4：函数z =在点(0,0)处对,x y 的偏导数不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在．证明：函数z =(0,0)处对,x y 的偏导数为：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x∆→∂∆-=∂∆ 01,0,lim 1,0,x x xx x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩ 故函数在点(0,0)处对x 的偏导数不存在，同理函数在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由上面的例2知道函数在点(0,0)处沿任意方向的方向导数存在．定理5：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处沿任意方向的方向导数必存在．证明：由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分．又由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处沿任意方向的方向导数必存在．综合以上分析知，上述研究问题的手段即是我们今后教学中研究多元(2)n ≥函数性质值得借鉴的基本方法，更为广大同学的学习提供了一种讨论类似数学问题的基本思路．参考文献：１．同济大学数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．２．华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．３．常庚哲，史济怀．数学分析教程［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，１９９８．。
§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用
8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。
下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。
导数与微分练习题及习题详细解答
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
高数上册归纳公式篇(完整)
精心整理公式篇目录一、函数与极限1.常用双曲函数2.常用等价无穷小3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式2.n阶导数公式3.4.参数方程求导公式5.微分近似计算三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理2.高阶中值定理3.部分函数使用麦克劳林公式展开4.曲率四、定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、不定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数3.牛顿-4.三角相关定积分5.6.1.2.3.七、微分方程1.可降阶方程2.变系数线性微分方程3.常系数齐次线性方程的通解4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式5.特殊形式方程(选)一、函数与极限1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))2.常用等价无穷小(x→0时)3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式(凡是“余”求导都带负号)2.n 阶导数公式特别地,若n =λ3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身4.参数方程求导公式5.微分近似计算(x ∆很小时)(注意与拉格朗日中值定理比较)常用:(三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导)罗尔定理(端点值相等()(f a f =拉格朗日中值定理柯西中值定理(0)('≠x g ≠0)2.)n R 为余项(ξ在x 和0x 之间)令00=x ,得到麦克劳林公式3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)4.曲率四、不定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数推广得3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理(1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)(2)积分中值定理函数)a上可积[bf在],(x,a上的平均值f在][b(xf称为))(ξ4.三角相关定积分三角函数系的正交性5.典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分推论1(2)瑕积分(无界函数的反常积分)推论2Convergence:收敛,Divergence:发散6.Γ函数(选)(1)递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)六、定积分的应用1.平面图形面积(1)直角坐标:由曲线0ax==,y及x)(≥=xf(2)极坐标:ρ=有曲线(φ2.体积(1)绕x(2)平行截面(与x轴垂直)面积为)(xA3.弧微分公式(1)直角坐标:(2)极坐标:七、微分方程1.可降阶方程(1))()(x f y n =型n 次积分得(2))',("y x f y =型作换元'y p =得),('p x f p =得通解),(1C x p ϕ=则21),(C dx C x y +=⎰ϕ(3))',("y y f y =型作换元'y p =,),(,"p y f dxdp p dx dp p dx dp y ===得通解dx dy C y p ==),(1ϕ 则21),(C x C y dy +=⎰ϕ 2.变系数线性微分方程(1)一阶线性微分方程:)()('x Q y x P y =+对应齐次方程:0)('=+y x P y 原方程)()('x Q y x P y =+的通解为(2)0)(')(1=+++-y x P y x P n n若(),(21x y x y n 个线性无关解)()()(22x y C x y C x n n +++若)(*x y 为非齐次方程的一个特解则非齐次方程的通解为)(*)(x y x Y y +=3.常系数齐次线性方程的通解(1)二阶方程0"=++q py y特征方程为02=++q pr r①0>∆,两个不等实根a b r a b r 2,221∆+-=∆--=通解为x r x r e C e C y 2121+=②0=∆,两个相等实根221p r r -== 通解为x r e x C C y 1)(21+=③0<∆,一对共轭复根2,2,,21∆-=-=-=+=βαβαβαp i r i r通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=(2)高阶方程0'1)1(1)(=++++--y p y p y p y n n n n 特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r 对于其中的根r 的对应项①实根r一个单实根:rx Ce一个k 重实根:rx k k C x C C (121-+++②复根i r βα±=2,1一对单复根:cos (21C x C e x βα+一对k 重复根]sin )(cos )1211x x D x D D x x C k k k k ββ--+++++ 4.)的特解形式 '"qy py y =++02=++q pr r (1))()(x P e x f m x λ=)(x P m 为x 的m 次多项式 特解形式为x m k e x Q x y λ)(*=)(x Q m 是x 的m 次多项式(2)]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=)(),()2()1(x P x P n l 分别为x 的n l ,次多项式 特解形式为x m m k e x x R x x Q x y λωω]sin )(cos )([*+= },max{n l m =,)(),(x R x Q m m 为x 的m 次多项式记i z ωλ+=5.特殊形式方程(选)(1)伯努利方程n y x Q y x P dxdy )()(=+(1,0≠n ) 令n y z -=1,dxdy y n dx dz n--=)1( 得通解),(C x z ϕ=(2)欧拉方程作变换t e x =或x t ln =,记dtd D = 将上各式代入原方程得到此为常系数线性微分方程 可得通解),,,,(21n C C C t y ϕ= 即可得原方程通解),,,,(21n C C C x y Φ=。
导数和对数
导数和对数摘要：1.导数与微分2.对数与指数3.导数与对数的关系4.实际应用正文：1.导数与微分导数是微积分学中的一个重要概念，用于表示函数在某一点处的变化率。
简单来说，导数就是一个数，表示函数在某一点的切线斜率。
在数学符号中，导数通常用f"(x) 表示。
导数的求解需要用到微分，微分是导数的基础。
微分用来度量一个变量在某一点的变化量，可以用以下公式表示：Δy = f"(x) * Δx。
其中，Δy 表示y 的变化量，Δx 表示x 的变化量，f"(x) 表示函数f(x) 在x 点的导数。
2.对数与指数对数是数学中另一个重要概念，它与指数密切相关。
对数表示一个数以某个基数为底数的幂次，通常用log_a(b) 表示。
其中，a 表示底数，b 表示幂，log_a(b) 表示以a 为底b 的对数。
对数与指数的关系可以用换底公式表示：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
其中，c 表示另一个底数。
3.导数与对数的关系导数与对数之间有着密切的关系。
在微积分学中，对数函数的导数可以通过求导对数函数的底数得到。
具体来说，如果y = log_a(x)，那么y 的导数就是1/(xlna)。
此外，对数函数还可以用来求解某些复杂函数的导数。
例如，如果f(x) = a^x，那么f(x) 的导数就是a^x * ln(a)。
这里，ln(a) 表示以e 为底的对数。
4.实际应用导数和对数在实际应用中具有重要意义。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域，导数常用来表示物体在某一时刻的速度、加速度等物理量。
而在对数函数中，对数常用来表示指数增长或减小的速率。
此外，在金融领域，对数函数也常用来表示资产的收益率。
总之，导数和对数是微积分学中的两个重要概念，它们在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
2021考研-高数0基础课-第2章导数与微分-第4节隐函数及参数方程求导
求摆线在
处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
现以每秒
给容器中加水.试求
秒时水面上升的速率.
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :
适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式 2）等式两端对 t 求导
作业 P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参 数方程确定的函数的导数
主讲 武忠祥 教授
一、隐函数的导数 显函数： 隐函数：
一般的 例1 求由方程
确定的隐函数
的导数.
例2 设
由
所确定，求
例3 设
求.
例4 设
求.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设
在
上可导，
，则
若
二阶可导，则
例5 设
求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
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第 4 章 导数和微分
4.1 复习笔记
一、微分和导数
1．微分的定义
（1）对函数
定义域中的一点 ,若存在一个只与 有关。而与 无关的数
，使得当△x→0 恒成立关系式
则称 f（x）在 处的微分存在，或称 f（x）在 处可微。 若函数 y=f（x）在某一区间上的每一点都可微，则称 f'（x）在该区间上可微。 （2）若函数 f（x）在 x 处是可微的，那么当△x→0 时必有△y→0,即 f（x）在 x 处连
（3）多重复合函数的链式法则
（4）形如
的函数称为幂指函数，对于幂指函数的求导，常采用
的方法叫对数求导法，计算时，先对两边取对数，令
再分别求
导。
2．一阶微分的形式不变性
复合函数的微分公式为
由于
，代入上式就得到它的等价表示形式
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台
它与以 u 为自变量的函数 y=f（u）的微分式
一模一样。即不论 u 自变量还是中间变量，函数 y=f（u）的微分形式是相同的，这被称 为“一阶微分的形式不变性”。
3．隐函数求导与求微分 对于隐函数的求导与求微分问题，可以利用复合函数的求导法则或一阶微分的形式不 变性来求得，而无须从隐函数解出显函数。
这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况：
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②莱布尼茨公式 设 f（x）和 g（x）都是 n 阶可导函数，则它们的积函数也 n 阶可导，且成立公式
这里 2．高阶微分
是组合系数。
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第二篇 单变量函数微积分学 第一部分单变量函数微分学 Ch 4 导数与微分 计划课时： 18 课时 P120—173 2004．11．13.
Ch 4 导数与微分 §1 导数的概念 一、导数的背景与定义： 1．背景：速度、曲线的切线.
2．导数的定义: 定义的各种形式. )(0xf′)0(f′的定义. 导数的记法.
有限增量公式: .0 ),( )(0→ΔΔ+Δ′=ΔxxxxfyD 例1． 求 ,)(2xxf=). 1 (f
′
例2 设函数在点可导, 求极限 )(xf0x.)3()(lim000hhxfxfh−−→ 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例 3 . )(xxf= 考查在点的可导情况. )(xf0=x
二．导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.
例4 求曲线在点处的切线与法线方程. 2)(xxfy==) 1 , 1 (
三．可导与连续的关系: 四．导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.
.)()(lim)(0xxfxxfxfxΔ−Δ+=′→Δ
注意:等具体函数的导函数不能记为(xsin,nsix′ 应记为.)(sin′x
Ex P125 2，3，4，5，6，7；
[4]P128—133 6，9，10，23，53—57.
（初等函数导数计算的算术化） § 2 简单函数的导数 一．几种基本初等函数的导数: 常函数、三角函数、对数函数、幂函数的求导。 二．导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“×”和“÷”)
例1 求 .395)(23+−+=xxxxf).(xf
′
例2 求 ( .lncosxxy=.|π=′xy). 1π− 例3 .122xxy+−= 求.dx
dy
例4 证明: ( 用商的求导公式证明 ). . ,) (1+−−−∈−=′Znnxxnn例5 证明: .csc) ( ,sec) (22xctgxxtgx−=′=′例6 证明: .secsecxtgxxdxd=. 例7 求曲线1212++=xxy在点处的切线方程. ) 1 , 2(−
三. 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.
例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) 例8 证明指数函数的求导公式. 初等函数导数表
Ex P141
四. 复合函数求导法 —— 链导公式： 例9 设α为实数，求幂函数的导数. )0( ≥=xxyα
解 ().1lnln−=⋅=⋅=′=′αααααααxxxxeeyxx 例 10 ,1)(2+=xxf 求 和 )0(f′). 1 (f
′
例 11 ),1ln(2++=xxy 求 .y
′
例 12 ,12xtgy= 求 .y′ 五． 参数方程所给函数求导公式：
设函数)( ),(tytxψϕ==可导且 ,0)(⇒≠′tϕ.)()(ttdxdyϕψ′′= 证 （ 法一 ） 用定义证明. （ 法二 ） 由 ,0)(⇒≠′tϕ恒有0)(>′tϕ或.0)(<′tϕ)( tϕ⇒严格单调. ( 这些事
实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(tϕ有反函数, 设反函数为), 有 xt(1−=ϕ 39 (),)()(1xty−==ϕψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有
.)()(t
t
dtdxdt
dy
dxdtdtdydxdyϕψ
′′
==⋅=
例 13 求.sin ,costbytax==.dxdy 六． 取对数求导法:
例14 .)4)(3(
)2()1(
45
32
xxxx
y
−+
−−= 求 .y
′
例15 求 ().sinlnxxy=.y
′
例16 求 ,xxey=.y
′
七．抽象函数求导: 例17 求和.)12(32xxf=+)12(2+′xf). 5 (f′
例18 可导, f(),)(22xxefexF−= 求 )(xF′.
Ex P146、158
§ 3 微分 一. 微分概念: 1. 微分问题的提出: 从求的近似值入手, 引出微分问题. D31sin
(几个数据: 0175 . 0180=π, ,8660.0236cos==π
.5151.00151.05000.031sin=+≈D ( 查表得 ) .515038.031sin=D2． 微分的定义: 3． 微分的计算和几何意义: Th ( 可微与可导的关系 ).
例1 求 ()xd3sin2 和 .darctgx
二. 微分运算法则: 法则1—4 .
一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.
例2 求和 ,cosln22xxxy+=dy.y
′
例3 求和 ,)sin(baxey+=dy.y
′
40 三．微分的应用: 1．建立近似公式: 原理: ,dyy≈Δ 即 ).)(()()(000xxxfxfxf−′+≈
特别当时, 有近似公式 00=x.)0()0()(xffxf′+≈
具体的近似公式如:
xexnxxxxn+≈+≈+≈1 ,111 ,sin
等.
2. 作近似计算: 原理: .)()()(00.0xxfxfxxfΔ′+=Δ+例4 求 97.0 和 3127的近似值. 例5 求 的近似值. ( 参阅[1]P138 E4 ) D29sin
3． 估计误差： 绝对误差估计： ,)(0xxfyΔ′≈Δ
相对误差估计： ),(lnln ),0( )(⇒=>=xfyxfy
.)(lnxfdydyy
y=≈Δ
例6设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝对误差不超过. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. cm43cm2.0
4. 求速度: 原理: .)( ,)( ),(dtdxxfdtdydxxfdyxfy′=′== 例7 球半径R以sec2.0cm的速度匀速增大. 求cmR4=时, 球体积增大的 速度. Ex P151
§ 4 高阶导数 一. 高阶导数:
定义: .)()(lim)(0000xxfxxfxfxΔ′−Δ+′=′′→Δ ()(.)()( ,)()()1()()′=′′=′′−xfxfxfxfnn 注意区分符号)(0xf′′和 ().)(
0
′′xf
以函数为例介绍高阶导数计算方法. 7523sin)(232−++++=xxxexxfx高阶导数的记法. 二. 几个特殊函数的高阶导数: 1． 多项式: 多项式的高阶导数.
例1 ()(,1223)(18152−−=xxxQ) 求 和 . ) 0 ()48(Q)235.0()49(−Q
41 2. 正弦和余弦函数: 计算、、())(sinnx())(cosnx())(sinnkx、())(cosnkx的公式. 3． 和的高阶导数： xekxe
4．x1的高阶导数：
5．))((1bxax++的高阶导数：
6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数 求⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−≥=.0 ,,0 ,
)(2
2
xxxx
xf)(xf
′′
为例.
三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则 )(xu)(xv
n
1． ()).()()()(xkuxkunn=
2． ()).()()()()()()(xvxuxvxunnn±=±
3．乘积高阶导数的Leibniz公式： 约定 ).()()0(xuxu= () （ 介绍证法.） ∑
=−=nkkknknnxvxuCxvxu0)()()(
).()()()(
例2 求 ,cosxeyx=.)5(y解 ⇒====== .10 ,5 ,1352545155505CCCCCC).cos(sin4)sincos5sin10cos10sin5(cos)5(xxexxxxxxeyxx−=−++−−= 例3 求 ,sin2xxy=.)80(y解 ;0)()( ,2)( ,2)()(2222===′′′=′′=′nxxxxx"
.sin)(sin ,cos)(sin ,sin)(sin)78()79()80(xxxxxx−=−== )sin(227980)cos(280sin)sin(2)80(2)80(xxxxxxxy−⋅+−⋅+== .cos160sin)6320(2xxxx−−=
例4 其中二阶可导. 求 ),(arctgxfy=)(xf.22dxyd 例5 验证函数满足微分方程 xyarcsin=
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