大学物理 第5章 刚体力学基础1

Li ri mi vi ri mi
2
J mi ri2
i
所以刚体绕此轴（对转轴）的角动量为： 刚体对该轴
L Li ( mi ri2 )
i i
的转动惯量
矢量： L J 刚体对固定转动轴的角动量,等于它对该轴的转动 2015-7-3 17 惯量和角速度的乘积。
T2=118N.
§5.2.4 刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律
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2. 转动定律的内容：
（1）转动刚体第一定律： 一个可绕定轴转动的刚体，当合外力矩为零时，将 保持原有转动状态不变。即： 0(当M外 0时） （2）转动刚体第二定律： 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚 体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获 得的角加速度的乘积。
L J
§5.2.3 刚体定轴转动定律
1. 转动定律的推导：
由 Lz J
dLz 刚体定轴转动的动力学方程 M z dt d J
Mz 得：
dJ dω 当 0 时， M z = J J dt dt 定轴转动，可不写角标z，
dt
则有：
M ＝J
即 刚体定轴转动的转动定律。
J 1 mR2 2
T1 ´
T0
(m2 m1 ) (m2 m1 ) a g g a T1 1 m2 m1 1 m m2 m1 J2 2 R m1 ( 2m2 1 m ) m1g 2 T1 m1 ( g a ) g m1 m2 1 m 2 1
T2 m 2 ( g a )
roi Fi roi Fiz ri Fi riz Fi
对Z轴无贡献
Oi
ri
riz
O
ri
Fi
i
大小：M iz ri Fi sin i ri Fi 方向：沿 z 轴，满足 Miz ri Fi 2015-7-3
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Miz ri Fi
刚体
z ,
v
O
rθ
P
参 考 方 向
定 轴
演示定轴转动
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2. 角量的描述 角坐标：θ = θ（t） 角位移：Δθ
角速度： d
转动平面
dt 2 d d 角加速度： 2 dt dt
刚体匀角加速转动的运动学规律
at r 2 an r
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(x,y,z)
O x s
O
i=3
y
i=2
i=1
6
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刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。需9个变量。 但三个点的间距确定，实际上只需6个变量。 z 刚体最大自由度＝6。 当刚体受到某些限制 ——自由度减少
§5.1.2 刚体运动的基本形式
x
O i=6
y
1. 刚体的平动 刚体运动时，其内任意两点的连线始终保持方向不 变，这种运动称为刚体的平动。 平动是刚体的基本运动形式之一。 刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来 代表整体的运动。 （刚体平动最大自由度＝3）
cos2 cos2 cos2 1 2个自由度
绕轴转过的角度
1个自由度
（本章重点讨论定轴转动）
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§5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述 1. 定轴转动的特点
（1）轴固定不动； （2）所有质点均绕轴作圆周运动， 任一质点圆周运动的平面叫转动平 面，它垂直于转轴; （3）各点的矢径在相同的时间内转 过的角度相同。
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2. 刚体的转动（对点、对轴） ▲ 定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心 都在同一条固定的直线（转轴）上。 （自由度＝1） 绕轴转过的角度 1个自由度 ▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个 刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 （自由度＝3） 轴:为确定其方位,有α,β,γ三个方位角,但
T1′
m1 g T1 m1a (1)
m3
m3
r

T2′
r
T2 m2 g m2a (2) 1 T1r T2 r M f m3 r 2 (3) 2 a r (4) T1=156N.
解得： a=2m/s2.
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a
T1 m1 m2g m1g
24
T2 m2 a
ˆ 125.6 ˆ ˆ ( A) v 94.2i j 157.0k ˆ 18.8 ˆ ( B) v 25.1i j ˆ 18.8 ˆ (C ) v 25.1i j
ˆ ( D) v 31.4k
ˆ ωω =60rev/min=1rev/s =2πrad/s 2 πk 分析： ˆ 4ˆ ˆ r 3i j 5k
There’s no end to learning.
学无止境
Many smalls make a great.
积少成多
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第5章 刚体力学基础
刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面 内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?
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第5章 刚体力学基础
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） §5.1 §5.2 §5.3 §5.4 刚体的运动及描述 刚体的定轴转动 转动惯量的计算 定轴转动中的功能关系
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第5章 刚体力学基础
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） §5.1 刚体的运动及描述 §5.1.1 刚体的自由度 §5.1.2 刚体运动的基本形式 §5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
§5.2.1 §5.2.2 §5.2.3 §5.2.4 外力矩及对转轴的分量 定轴转动刚体的角动量 刚体定轴转动定律 刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律
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§5.2 刚体的定轴转动
§5.2.1 外力矩及对转轴的分量
质元mi 受外力 Fi ， 对轴上O点
z
Fiz
Fi
Mi roi Fi
v r

0 t 2 1 0 0 t t
2( 0 )
2 2 0
10
2
3. 角速度矢量 θ、△θ、、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴 的方位不变，故只有沿轴的正、负两个方向，可以用标 量代替。 d z 大小：
5
§5.1 刚体的运动及描述
§5.1.1 刚体的自由度(degree of freedom)
某一物体的自由度，就是确定该物体在空间的位置 所需要的独立坐标数，用 i 表示。 一个自由质点: 3个自由度 (x,y,z) 一个在曲面上运动的质点: f(x,y,z)=C 2个自由度 f1 ( x, y, z ) C1 一个在曲线上运动的质点: 1个自由度 f 2 ( x , y, z ) C2 z
d M外 J J dt d v F ma m （比较：“牛二律”： 外 dt
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）
m 反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。
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3. 刚体定轴转动定律的应用
例2. 一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 忽略轴处摩擦，求物体m由静止下 落高度h时的速度和此时滑轮的角 速度。 解：对M：M TR J 对m : mg T ma

方向：与转向成右手螺旋关系
dt
ω
d d 2
2
v dt 大小： d dt 方向：β为正，与 同向；β为负，与 反向。
dt
选定正方向后，可将矢量运算简化为代数运算。
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演示角速度矢量
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例 1 (P24 17) . 一刚体以每分钟 60 转绕 z 轴做匀速转动 ( 沿Z轴正方向)。设某时刻刚体上一点P的位置矢量 ˆ , 其单位为“10-2m”，若以“10-2m•sˆ 4ˆ j 5k 为 r 3i 1”为速度单位，则该时刻P点的速度为：
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m ：T2R - T1R J (顺时针为正) m1g
牛顿第三定律： T1 T1,
a2 a
（绳不能伸长）
a2 m2g
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T2 T2
④方程组的解为：
T1 m1 g m1a m2 g T2 m2a T2 R - T1 R J
a R
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1 2 （ 2） t 1 2 由1 t N 1 2 48( rev ) 2 2 2
2 2 1 1 由 2 N 或： 1 1 2 4
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第5章 刚体力学基础
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） §5.1 刚体的运动及描述 §5.2 刚体的定轴转动
∴选（B ）
ˆ 4ˆ ∴P点在转动平面内对圆心 o′的矢径为: R 3i j ˆ (3i ˆ 4ˆ 该时刻P点的速度为: v ω R 2πk j) ˆ 18.8 ˆ ˆ 25.1i j 6πˆ j 8πi
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例2.一匀质圆盘由静止开始以恒角加速度绕过中心且⊥盘 面的轴转动。某时刻转速为10rev/s,再转60圈，转速变为 15rev/s.则由静止达到10rev/s所需时间t= .由静止 (1rev=2π rad) 到10rev/s时圆盘所转圈数N=