第22章 第24课时 实际问题与二次函数(1)
人教版九年级上册 第二十二章 二次函数解决实际问题归纳和练习
二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。
（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？练习1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。
人教版九年级数学上册第22章《 二次函数》
当二次项系数是待定字母时，求出字母的 值必须满足二次项系数不为0这一条件．
第二十二章 二次函数
1.若函数y＝(m－1)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则 ( B) A．m≠－1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠－2
2.若y＝(m－2)xm2-2是二次函数，则m的值是( B )
A．2
B．－2 C．2或－2 D．4
第二十二章 二次函数
1.根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历以下几 个步骤： (1)确定自变量与函数代表的实际意义； (2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关 系列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
2.易错警示：一般情况下，二次函数中自变量的取值范 围是全体实数，但对实际问题的自变量的取值范围必 须使实际问题有意义．
两年后的产量 y＝20(1＋x)2，
即y＝20x2＋40x＋20.
第二十二章 二次函数
二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常 数，a≠0)的函数，叫做二次函数 (quadratic function)．其中，x是自变量，a， b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次 项系数和常数项．
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2；
(4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)；(6)y＝x2＋
1 x2
.
分析：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将其 化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二 次项系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)中 自变量的最高次数是3，所以不是二次函数；(4)中 x－2不是整式，所以不是二次函数；把(5)整理得到 y＝3x2－21x＋30，是二次函数，二次项系数为3， 一次项系数为－21，常数项为30；(6)中，因为是 个分式，所以不是二次函数．
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
实际问题与二次函数第1课时
实际问题与二次函数
学习目标
1、懂得商品经济问题中的等量关系的寻找方法；
2、会应用二次函数的性质解决实际问题。
学法指导
一、复习
1、求下列函数的最大值或最小值：
（1）
322-+-=x x y ； （2）x x y 42+=
2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每周的利润为多少？
二、问题探究
探究：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括哪几种情况？
1、涨价
解：设每件涨价x 元，利润为y 元，则
因此， =y
自变量取值范围为：
所以，当x = ________时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________.
2、降价
解：设每件降价a元，利润为b元，则
b（）
因此，
所以，当a = ________时，b最大，也就是说，在降价的情况下，降价____元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________.
∴综合以上两种情况，定价为元时，可获得最大利润为元. 牛刀小试：
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
小结：谈谈你的收获
自己的收获：
对同伴的建议：
自己的疑惑：。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数1 二次函数
【题型四】根据实际问题列二次函数
例4 已知一块矩形绿地的长为x m，面积为y ㎡.
（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为_____m，y与x之间的关
>
=
系式为___________，自变量x的取值范围是__________；
( − )
（2）若该矩形绿地的长比宽多6 m，则宽为__________m，y与x之间
−
=
>
的关系式为___________，自变量x的取值范围是________.
例5 王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本
息自动转存为又一个一年定期(年利率不变).设一年定期的存款年
利率为x，两年后王先生得本息和y万元，写出y与x之间的关系式.
解：y=2(1+x)²
二次函数
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
y=ax2；
特殊形式
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
【教材习题】完成课本29页练习1,2题.
【作业本作业】完成 对应练习.
【实践性作业】找一张自己喜欢的照片，量一量它的长和宽，假
设要在这张照片的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设
(一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于
x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说
y 是x的函数)
2.我们学过哪些函数?它们的关系式是怎样的?
(一次函数：y=kx+b(k≠0);正比例函数：y=kx(k≠0)
已知长方形窗户的周长为6 m，窗户面积为y ㎡，窗户
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
26.3实际问题与二次函数(1)
补充练习： 1.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡 场，没靠墙的篱笆长度为 xm. (1)要使鸡场的面积最大，鸡场的应为多少 米? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆 隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为 多少米? (3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论? 2.某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）• 与产 品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数． （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2） 要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？ • 此时每日销售利润是多少元？ 四、小结归纳 1.利用二次函数解决实际问题中最值问题的一般步骤. 2.学完本节课你有什么疑惑? 五、作业设计 复习巩固作业和综合运用为全体学生必做； 拓广探索为成绩中上等学生必做； 学有余力的学生， 要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复 练习. 补充作业： 1.已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B＝30°，若 边长 AB＝x(cm). (1)写出□ABCD 的面积 y 与 x 的函数关系式,并求自变量 x 的取值范 围. (2)当 x 取什么值时,y 的值最大?并求最大值. (3)求二次函数的函数关系式. 2.某超市购进一批 20 元/千克的绿色食品， 如果以 30•元/千克销售，那么每天可售出 400 千克．由销 售经验知，每天销售量 y（千克）•与销售单价 x （元） （x≥30）存在如图所示的一次函数关系式． （1）试求出 y 与 x 的函数关系式； （2）设超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值 时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，•现 该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿 色食品销售单价 x 的范围（•直接写出答案） ． 学生独立完成，教师巡视 使学生巩固提 指导，了解学生掌握情况， 高， 并集中订正. 了解学生掌握情 况
人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》教学说课研讨课件复习(拱桥问题)
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。
A组
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即：y=-18x2+60x+6000.
例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
6000
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。
（3）单件利润=售价-进价.
例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）
销售量（件）
第二十二章 二次函数
前 言
学习目标
1.根据实际问题，找出变量之间存在的关系，列出函数关系式并确定自变量的取值范围。2.通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。
重点难点
重点：列出二次函数关系式，并确定自变量的取值范围。难点：通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。
如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
22.3二次函数与实际问题
4.体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。
课时重难点
教学重点；
用二次函数做最值来解决实际应用问题。
教学难点：
将实际问题转化为实际问题，并用二次函数性质进行决策。
设计思路
本节课的难点在于学生不能用数学思维去理解生活问题，不能很快根据生活问题找出相关关系式，因此教师在教学过程中，应该很好引导学生去探究实际问题的等量关系，解决问题，并归纳建立数学模型的方法步骤。
在此过程中运用合作探究的方法，生生合作、师生合作以及讲练结合的方法及时运用新知、巩固新知，从而能够较为熟练地掌握待定系数法。
教学方法：
合作探究法、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
温故知新
运用PPT展示图表，学生通过填表进一步熟悉
图像及其性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、最值）
2.二次函数 ，y=2x2-8x+5分别有最大值还是最小值？当x为何值时，y的值最小（大）？
学生通过PPT展示的表格分别回顾以上函数的基本性质和特征。（本题较为简单，可让中等生口答。）
通过练习使学生熟练掌握二次函数的图像性质，为新课的学习扫清障碍。
提出问题，导入新课
引入：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随矩形一边长 的变化而变化，当 是多少时，场地的面积S 最大？
通过情境问题直接导入新课，引发学生思考，同时提示学生本节课的主要内容。
直接提问能激发学生学习兴趣，同பைடு நூலகம்也点明了本节课的主旨，方便学生抓住重点。
新课探究