2.5圆锥曲线的统一定义
2.5 圆锥曲线的统一定义
1.(2010·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由圆锥曲线的共同性质得MF d ＝e ＝42＝2，d 为点M 到右准线x ＝1的距离，则d＝2，所以MF ＝4.答案：42.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条准线为x ＝32，则c ＝________，双曲线的离心率为________．解析：由a 2c ＝32，b ＝1得c ＝2，a ＝3，∴e ＝23＝233.答案：22333.椭圆x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1的准线垂直于y 轴，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意(m －1)2>m 2，m ≠1且m ≠0解得m <12且m ≠0.答案：m <12且m ≠04.已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线距离为8，则此椭圆的长轴长为________．解析：由题意得2c ＝2a 3，a 2c－c ＝8，解得a ＝3，∴2a ＝6.答案：65.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线方程为________．解析：由题意得c a ＝3，a 2c ＝1，得a ＝3，c ＝3，则b 2＝6，所以此双曲线方程为x 23－y 26＝1.答案：x 23－y 26＝1[A 级 基础达标]1.点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝________．解析：设A 点到右焦点的距离为r ，A 点到该双曲线右准线的距离为d ，由已知得a ＝2，c ＝6，rd ＝e ⇒r ＝3d ，所以2x 0＝3(x 0－a 2c )⇒x 0＝2.答案：22.已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离为________．解析：设F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，PF 2d 2＝c a ＝35，解得PF 2＝6，又PF 1＋PF 2＝2a ＝10，解得PF 1＝4，故P 到它的左焦点距离为4.答案：43.如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．解析：由双曲线方程可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，e ＝62，设F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，设P 点坐标为(x ，y )，由已知条件知P 点在右支上，且PF 2＝ex －a ＝2，解得x ＝463.答案：4634.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．解析：由MN ≤2F 1F 2，得a 2c ≤2c ，即a 2≤2c 2，则e 2≥12，解得22≤e <1.答案：[22，1)5.设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c为半焦距)的点，且F 1F 2＝F 2P ，则椭圆的离心率是________．解析：如图有P (a 2c ，3c )，设右准线交x 轴于H 点，∵F 2P ＝F 1F 2＝2c ，且PH ＝3c ，故∠PF 2H ＝60°；∴F 2H ＝c ，OH ＝a 2c ＝2c ⇒e 2＝12⇒e ＝22.答案：226.求下列曲线的焦点坐标与准线方程： (1)x 2＋2y 2＝4；(2)2y 2－x 2＝4；(3)x 2＋y ＝0.解：(1)方程即为x 24＋y 22＝1，焦点在x 轴上，a ＝2，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝2，a 2c＝2 2.所以焦点坐标为(2，0)，(－2，0)，准线方程为x ＝±a 2c＝±22；(2)方程可化为y 22－x 24＝1知焦点在y 轴上，a ＝2，b ＝2，c ＝a 2＋b 2＝6，a 2c ＝26＝63.所以焦点坐标为(0，6)，(0，－6)，准线方程为y ＝±a 2c ＝±63； (3)方程可化为x 2＝－y 可知抛物线焦点在y 负半轴上，∴－2p ＝－1⇒p ＝12，所以焦点坐标为(0，－14)，准线方程为y ＝14.7.在椭圆x 225＋y29＝1上求一点P ，使它到左焦点F 1的距离是它到右焦点F 2距离的2倍，试求点P 的坐标．解：由题意可设P 点坐标为(x 0，y 0)，由椭圆的方程x 225＋y 29＝1，可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，离心率e ＝45.所以PF 1＝a ＋ex 0＝5＋45x 0，PF 2＝a －ex 0＝5－45x 0.又PF 1＝2PF 2，解得x 0＝2512，代入椭圆方程得y 0＝±1194，故点P 的坐标为(2512，±1194)．[B 级 能力提升]8.已知椭圆x 225＋y216＝1外一点A (5，6)，l 为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P 到l的距离为d ，则P A ＋35d 的最小值为________．解析：如图，设F 为椭圆的左焦点，可知其坐标为F (－3，0)，根据圆锥曲线的统一定义有：PF d ＝e ＝35，即PF ＝35d ，所以P A ＋35d ＝P A ＋PF ，可知当P ，F ，A 三点共线且P 在线段AF 上时，P A ＋PF 最小，最小值AF ＝10.故P A ＋35d 的最小值为10.答案：109.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．解析：如图，BF ＝b 2＋c 2＝a ，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23，所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2，由圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c 22a；又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c2a，整理得3c 2＝a 2.解得e ＝－33(舍去)或e ＝33.答案：3310.已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆右焦点，若AF 2＋BF 2＝85a ，AB的中点M 到椭圆的左准线的距离为32，试确定椭圆的方程．解：由椭圆的方程可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为52a ，设A ，B 两点到右准线的距离分别是d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45，∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝85a ，∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是M 到左准线的距离为52a －a ＝32，解得a ＝1，故椭圆方程为x 2＋25y29＝1.11.(创新题)设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．解：设M 为弦AB 的中点(即以AB 为直径的圆的圆心)，A 1，B 1，M 1分别是A 、B 、M 在准线l 上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB ＝AF ＋BF ＝e (AA 1＋BB 1)＝2eMM 1.∵0<e <1，∴AB <2MM 1，即AB2<MM 1.∴以AB 为直径的圆与左准线相离．。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
第9讲：圆锥曲线的统一定义
第9讲：圆锥曲线的统一定义【知识整合】1. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线。
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点定直线l 是圆锥曲线的准线。
2. 椭圆的第二定义（1）焦点与准线的对应关系 对于方程)0(12222>>=+b a by ax ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为cax 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为cax 2=；对于方程)0(12222>>=+b a bx ay ，上焦点),0(1c F 对应的准线cay 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为cay 2-=。
（2）椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
3. 双曲线第二定义（1）焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程cax 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程cax 2=。
（2）双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax若),(11y x P 在左支上，1211,ex a PF ex a PF -=--=；若),(11y x P 在右支上，1211,ex a PF ex a PF +-=+=。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的统一定义
到右焦点的距离等于
那么点P 那么点 13 ,那么点
到左准线的距离是 __________;
x2 y2 上点P到右焦点的距离为 到右焦点的距离为a, (2) 椭圆 2 + 2 = 1上点 到右焦点的距离为 4a a
则点P到左准线的距离是 则点 到左准线的距离是
.
例3．根据下列的条件求椭圆的标准方程: 根据下列的条件求椭圆的标准方程: (1)两准线间的距离为 (1)两准线间的距离为 18 5 ,焦距为 2 5
5
1 x2 y2 + = 1有共同的准线,且离心率为 (2)与椭圆 有共同的准线, (2)与椭圆 2 24 20
(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到 (3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 已知
2 4 5 ,过P作长轴的垂 两焦点的距离为 5 和 3 3
线恰好过椭圆的一个焦点. 线恰好过椭圆的一个焦点.
求下列曲线的焦点坐标和准线方程: 例1.求下列曲线的焦点坐标和准线方程 求下列曲线的焦点坐标和准线方程 (1) 25 x 2 + 16 y 2 = 400 (2) x 2 + 2 y 2 = 4 (3) x 2 − 2 y 2 = 1 (4) 2 y − x = 4
2 2
x2 y2 例2 (1) 如果双曲线 上一点P − = 1上一点 13 12
圆 锥 曲 线 的 统一定义
引例： 引例：
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 P(x,y)到定点F(c,0)
a 2 的距离的比是常数 c 定直线 l : x = ( a > c > 0 )， a c
求点P的轨迹. 求点P的轨迹.
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
圆锥曲线间的三个统一之袁州冬雪创作内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导教师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内涵的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论.一、四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的间隔到定直线L 的间隔之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的间隔为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为核心，L 为准线.二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状.为了实现统一我们把椭圆、双曲线停止平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p ，则2b p a=. 如图1，将椭圆22221(0)x y a b a b+=>>按向量（,0a ）平移 得到2222()1x a y a b -+=∴222222b b y x x a a=+ ∵椭圆的半通径211||b F M p a ==，2221b e a=- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+-(01)e <<近似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>按向量(,0)a -平移得到 2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a =，2221b e a=- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别暗示圆、椭圆、抛物线、双曲线.三、四种圆锥曲线的统一核心坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所暗示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左核心、抛物线的核心、双曲线的右核心统一记为2222(1)y px e x =+-的核心F 则有222(1)(1)11c a a e P OC c a e a c e e --=-===>+++ (1)21p p OA e e ===+，222(1)(01)11a c a e p OB a c e a c e e --=-===<<+++即方程2222(1)y px e x =+-所暗示的四种圆锥曲线的一个核心为(,0)1p F e +，设核心F 相应的准线为x m =，则有OFe m =-. ∴准线L 为(1)p x m e e -==+，对于圆0e =暗示准线L 在无限远处，设点00(,)M x y 为曲线2222(1)y px e x =+-上在y 轴右侧的动点，则点M 对核心F 的焦半径00||()1p mF e x m ex e =-=++. 圆锥曲线的内涵统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地接洽起来，从而更好地懂得圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线处理实际问题.圆锥曲线中的数学思想方法内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导教师：薛红梅在处理圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮忙我们处理问题.思想方法一：分类讨论思想例1. 给定抛物线22y x =设(,0)A a ()a R +∈，P 是抛物线上的一点，且||PA d =，试求d 的最小值.解：设00(,)P x y (0)x ≥，则2002y x = ∴||d PA ====又a R +∈，00x ≥∴（1）当01a <<时，10a ->，此时有00x =（2）当1a ≥时，此时有01x a =-评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去相对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨严，做到不懂不漏.思想方法二：转化思想例2 已知过点A （―2，―4）且斜率为1的直线L 交抛物线22(0)y px p =>于B 、C 两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程.解：直线L 的方程为2y x =-设B （11,x y ），22(,)C x y由222y x y px=-⎧⎨=⎩ 得22(2)40x p x -++= ∴122(2)x x p +=+124x x =∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列 ∴||||||||BC CA AB BC = 过A 作直线l '∥x 轴，设B 、C 在l '上的射影分别是B '，C ' 则211||||||||2x x BC B CAB AB x ''-=='+2212||||||||x CA C A BC B A x x '+==''- ∴21222122x x x x x x -+=+- 即22112()(2)(2)x x x x -=++ ∴212121212()42()4x x x x x x x x +-=+++得24(2)1644(2)4p p +-=+++ 化简为2340p p +-=解得1p =知足1∆>或4p =-（舍去）故所求的抛物线方程为22y x =评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A 、B 、C 三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目标.思想方法三：化归思想例3 直线L ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于分歧的两点A 、B.（1）求实数k 的取值范围.（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心.解：（1）将直线L 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=，得22(2)220k x kx -++=①依题意直线L 与双曲线C 的右支交于分歧两点∴2222220(2)8(2)02220,022k k k k k k k ⎧⎪-≠⎪∆=-->⇒-<<⎨⎪⎪->>--⎩2）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y则由①可得 12222kx x k +=-，12222x x k =-② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心F （c ，0）则由FA⊥FB 得1212()()0x c x c y y --+=整理得：221212(1)()()10k x x k c x x c ++-+++=③把②式及2c =代入③式化简得：2560k +-=∴k =或(2,k =-（舍去）∴k =使得以AB 为直径的圆颠末双曲线C 的右核心F. 评注：处理数学问题的过程，实质就是在不竭转化与化归的过程.应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷.思想方法四：数形连系思想例 4 函数y 的最大值是________.分析：原式定曲线2y x =上的动点(,)p x y 到两定点A （3，2），B （0，1）的间隔之差，要求其最大值.||||||y AP PB AB =-≤==max y 评注：操纵问题模子的几何意义，借助图形性质来处理问题，可以使抽象问题详细化，复杂问题简单化.思想方法五：函数与方程思想例5 斜率为2的直线与等轴双曲线2212x y -=相交于两点12,P P ，求线段12PP 中点的轨迹方程.解：设直线方程为2y x m =+代入双曲线方程得2234120x mx m +++=∵直线与双曲线相交于12,P P∴22(4)43(12)0m m ∆=-⨯⨯+>∴6m >或6m <-设12,P P 的坐标为11(,)x y 22(,)x y ，线段12PP 中点为(,)x y 则12223x x x m +==-且4x <-或4x >∴32m x =- 代入直线方程得： 所求轨迹方程为12y x = （4x >或4x <-） 思想方法六：构造思想例6 已知,x y 知足2211625x y +=，求3y x -的取值范围. 解：令3y x -=b ，则3y x b =+ 原问题转化为：在椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距 由22311625y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得2216996164000x bx x ++-= 由0∆= 得13b =±∴3y x =的取值范围为[－13，13]评注：应用构造思想解题的关键有①要有明白方向，即为何构造②要弄清条件的实质特点，以便停止逻辑组合.思想方法七：对称思想例7 在直线L ：90x y --=上任取一点M 过M 且以椭圆221123x y +=的核心为核心作椭圆.问M 在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程. 解：∵221123x y +=的两核心12(3,0),(3,0)F F -，1F '是1F 关于L 的对称点又11F F '的直线方程为30x y ++=与90x y -+=联立，求得1(9,6)F '-，这时12F F '的方程为230x y +-=23090x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得(5,4)M =- 这时122||a F F '==∴椭圆方程为2214536x y += 评注：用对称思想解题，不但可以操纵对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的处理.思想方法八：参数思想例8 在椭圆2244x y x +=上，求使22z x y =-取得最大值和最小值的点P 的坐标. 解：将已知方程转化为22(2)141x y -+= 设椭圆上动点P 为(22cos ,sin )θθ+∴22z x y =-=222241(22cos )sin 5cos 8cos 35(cos )55θθθθθ+-=++=+-∴当4cos 5θ=-，即点P 坐标为23(,)55或23(,)55-时，min 15z =- 当cos 1θ=，即点P 坐标为（4，0）时，max 16z =评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，防止繁琐的运算.总之，数学思想方法会有很多，而且分歧的题目也会有分歧的方法，在解题过程中不竭地反思，总结经历，对规律性的东西加以归纳整理，在平时操练或测验中加以应用，必定可以以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上.。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义8121数学
2021/12/8
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复习 回 (fùxí) 顾1．椭圆的定义：
平面内到两定点 F1，F2 距离(jùlí)之和等于常数 2a （2a>F1F2）的点的轨迹：
表达式 PF1+PF2=2a（2a>F1F2）
2．双曲线的定义：
平面内到两定点 F1，F2距离之差的绝对值等于
的距离与它到定直线l： x a的2距离的
比是常数
c
c
(ca，0)点P的轨迹
双．曲线
a
常数 c就是双曲线的e离 (1， 心 )率 . a
2021/12/8
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圆锥曲线的统一定义:
平面(píngmiàn)内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比
为常数 e 的点的轨迹．（ 点F 不在直线l 上）
y a2 c
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图形 标准方 焦点坐 准线方
程标程
l
y2 2px ( p , 0 )
2
x p 2
l y2 2px ( p ,0 ) x p
2
2
l l
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x2 2py
(0, p ) 2
x2 2py (0， p )
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2
y p 2
y p 2
例1 求下列曲线的焦点坐标(zuòbiāo)与准线方程:
y2 b2
1
(a b 0)
y2 x2 1 a2 b2 (a b 0)
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
( 2a021/102,/8b 0 )
图形
圆锥曲线的统一定义解读
圆锥曲线的统一定义解读江苏王冬琴圆锥曲线的统一定义揭示了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的内在关系，使我们充分感受数学的内在的、和谐的美，有了发现美、欣赏美的意识；统一定义的推导需要娴熟的代数恒等变形的技能，整个推导过程渗透了特殊到一般，具体到抽象的数学思想.一、圆锥曲线的统一定义1．定义平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不在直线l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹叫圆锥曲线.①当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆；②当e= 1 时, 点的轨迹是抛物线；③当e>1 时, 点的轨迹是双曲线，其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.2．焦半径：圆锥曲线上的点与焦点的连线段叫做焦半径.运用圆锥曲线的统一定义，可以推导出曲线上一点到焦点的距离就是焦半径，一般用点的坐标和离心率表示.3．注意事项（1）统一定义是充分必要条件，即满足条件的点一定在圆锥曲线上，反之，圆锥曲线上的任意一点也满足条件.（2）焦点与准线要对应，对于椭圆或双曲线，其上的一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于它的离心率。
这里的“相应”指的是：“左焦点对应左准线”、“右焦点对应右准线”；特别地，对于焦点在x 轴上的双曲线来说，右支上任意一点到左焦点的距离与这点到左准线的距离之比也等于离心率.（3）准线与圆锥曲线一定没公共点.（4）当点F在直线l上时，设平面内动点M到直线l的距离是d，且MFed=，若1e>，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等锐角的两条相交直线；若1e=，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等直角的一条直线；若1e<，则动点M的轨迹不存在.二、圆锥曲线的几何性质说明：通径是过圆锥曲线的一个焦点与对称轴垂直的弦叫做通径，焦准距是焦点到对应准线的距离.三、直线与圆锥曲线的位置关系利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程有几个根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便.1．直线:l y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =交于点111(,)P x y ，222(,)P x y , 由20(0)(,)0y kx bAx Bx C A f x y =+⎧⇒++=≠⎨=⎩。
高二数学圆锥曲线的统一定义PPT优秀课件
| PF2 | e d
所以d=
1
e |PF2|=24
例1已知双曲线 x2 y上2一点1P到左焦点的
64 36
距离为14，求P点到右准线的距离.
分 析 :两 准 线 间 距 离 为 2a2 c
法二:设点P到左准线的距离为d
a8,b6,c10,14e c 5
d
a4
d 14456 又 2a2 26464
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
作业
<<创新设计>>
练一练
1.动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)的距离 之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
1 2
x4
2.
中心在原点,准线方程为x
x2 y2
4,离心率为
1 2
1
的椭圆方程是 4 3
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线
y
D
O
P A
x
F
拓展延伸
1.已知P为双曲线x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3:2，试求点
P(x0, y0)的坐标。
2.已知双曲线x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1,PF2成等比数列，试求点P(x0, y0)的坐标.
2
练一练
1 2
x4
1.
中心在原点,准线方程为x4,离心率为
x2 y2 1
1 2
的椭圆方程是 4 3