约束优化问题的求解方法
约束问题的最优化方法
可用于处理等式约束。
§5.3 外点惩罚函数法
三. 几个参数的选择：
r(0) 的选择:
r(0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。
建议 ：r0 max ru0 u 1,2,...m
其中：ru0
m gu
0.02 x0 f
x0
x(0) 的选择：
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 x(0) xk * (r(k) ),r(k1) c r(k) , k k 1 并转入第 3 步，继续计算。
§5.2 内点惩罚函数法
算法框图
§5.2 内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：
§5.1 引言
有解的条件： ① f(x) 和 g(x) 都连续可微； ② 存在一个有界的可行域； ③ 可行域为非空集； ④ 迭代要有目标函数的下降性和设计变量的可行性。
三. 间接解法的基本思想： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数
（略） 2. 数学模型：
设计变量 ： X x1,x2 T t f ,h T
目标函数 ： min. f x 120x1 x2
单位长度的质量
§5.2 内点惩罚函数法
约束函数 ： g1x x1 0 g 2 x x2 0 g3 x 1 0.25x2 0
g4
x
1
7 45
x1x2
0
g5
x
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：
外点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外， 随着惩罚因子 r(k) 的不断递增， 生成一系列新目标函数 Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步迭 代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序 列从可行域外部趋向原目标函 数的约束最优点 x* 。
粒子群算法求解约束优化问题matlab
粒子群算法求解约束优化问题matlab粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种常用的启发式优化算法，适用于求解约束优化问题。
在MATLAB 中，可以使用现成的工具箱或自己编写代码来实现PSO算法。
PSO算法的核心思想是模拟鸟群觅食的行为，每个粒子代表一个候选解，并通过不断更新自身位置和速度来搜索最优解。
下面是一个基本的PSO算法的MATLAB代码框架：```matlabfunction [bestSolution, bestFitness] = PSO()% 初始化粒子群numParticles = 50;numDimensions = 10;particles = rand(numParticles, numDimensions);velocities = zeros(numParticles, numDimensions);personalBests = particles;personalBestFitnesses = zeros(numParticles, 1);% 设置参数w = 0.7; % 惯性权重c1 = 1.49; % 自我学习因子c2 = 1.49; % 社会学习因子numIterations = 100;% 开始迭代for iter = 1:numIterations% 更新粒子的速度和位置for i = 1:numParticlesr1 = rand(1, numDimensions);r2 = rand(1, numDimensions);velocities(i,:) = w*velocities(i,:) +c1*r1.*(personalBests(i,:) - particles(i,:)) + c2*r2.*(globalBest - particles(i,:));particles(i,:) = particles(i,:) + velocities(i,:);end% 更新个体最优解和适应度for i = 1:numParticlesfitness = evaluateFitness(particles(i,:));if fitness < personalBestFitnesses(i)personalBests(i,:) = particles(i,:);personalBestFitnesses(i) = fitness;endend% 更新全局最优解和适应度[bestFitness, bestIndex] = min(personalBestFitnesses);bestSolution = personalBests(bestIndex,:);% 输出当前迭代的结果fprintf('Iteration %d: Best fitness = %f\n', iter, bestFitness); endend```以上多个代码块来自上面的核心框架。
多变量约束优化方法
多变量约束优化方法多变量约束优化问题是指在给定一组目标函数和一组约束条件下，通过调整多个自变量的取值，找到使目标函数最优化且满足约束条件的解。
这类问题在实际应用中非常常见，如工程设计、金融管理、运筹学、物流和供应链管理等领域。
传统的优化方法对于多变量约束优化问题求解存在一些问题，如计算复杂度高、易陷入局部最优解等。
因此，为了有效解决这类问题，研究者们提出了多种多变量约束优化方法，下面将介绍其中几种主流的方法。
一、线性规划方法（Linear Programming, LP）线性规划是最简单且常用的多变量约束优化方法之一、它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）或内点法（Interior Point Method）求解。
虽然线性规划方法的计算复杂度比较低，但它只适用于线性目标函数和线性约束条件的情况。
二、非线性规划方法（Nonlinear Programming, NLP）非线性规划方法可以处理目标函数和约束条件是非线性的情况。
常用的非线性规划方法有梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式，在每一步计算目标函数在当前点的梯度，并根据梯度的信息调整自变量的取值，以逐步逼近最优解。
非线性规划方法的计算复杂度较高，但是可以处理复杂的实际问题。
三、遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种通过模拟生物进化过程的优化方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步解空间中的最优解。
遗传算法具有全局收敛性和并行计算的特点，对于复杂的多变量约束优化问题有较好的适应性。
四、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的行为进行优化的方法。
在粒子群优化算法中，每个个体（粒子）的位置代表潜在解，速度代表解的方向。
粒子的位置和速度通过迭代的方式进行更新，直到找到最优解。
求解约束优化问题的增广拉格朗日函数法
增广拉格朗日函数法：求解约束优化问题摘要：增广拉格朗日函数法是一种求解约束优化问题的有效方法，它可以将约束优化问题转换为无约束优化问题，以求解更加精确的最优解。
本文介绍了增广拉格朗日函数法的求解步骤，并通过实例验证了其求解精确性。
关键词：约束优化；增广拉格朗日函数法；无约束优化1 简介增广拉格朗日函数法(Augmented Lagrangian Method，简称ALM)是一种求解约束优化问题的有效方法，它可以将约束优化问题转换为无约束优化问题，以求解更加精确的最优解。
2 基本原理增广拉格朗日函数法基于拉格朗日函数法，它是一种将约束优化问题转换为无约束优化问题的方法，可以有效地求解约束优化问题。
增广拉格朗日函数法的基本思想是，将约束优化问题转换为无约束优化问题，将约束条件作为拉格朗日函数的约束，即将原问题的目标函数和约束条件合并为一个新的目标函数，然后求解新目标函数的最优解，从而求解原问题的最优解。
3 求解步骤增广拉格朗日函数法的求解步骤如下：（1）给定约束优化问题：$$\min f(x)\\s.t. \quad h(x)\leq 0$$（2）构造增广拉格朗日函数：$$L(x,\lambda)=f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_i h_i(x)$$（3）迭代求解：求解$L(x,\lambda)$的极小值，其中$\lambda$为拉格朗日乘子，迭代求解$x$和$\lambda$，直到满足停止条件：$$\left|h_i(x)\right|\leq \epsilon \quad \forall i=1,...,m$$其中$\epsilon$为指定的精度。
（4）求解结果：记$x^*$为迭代求解得到的最优解，$\lambda^*$为对应的拉格朗日乘子，则$x^*$为原问题的最优解，$\lambda^*$为对应的拉格朗日乘子，即：$$x^*=\arg\min f(x)\\s.t. \quad h(x)\leq 0$$4 实例验证下面以一个实例来验证增广拉格朗日函数法的求解精确性。
第四章约束问题的最优化方法
三. 间接解法： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。 前提：一不能破坏约束问题的约束条件，二使它归结到原约束问题的 同一最优解上去。 惩罚函数法：
通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而 用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效 的间接解法。 基本思想：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函 数 Φ( x, r1 ,r2 )，将约束优化问题转化为无约束优化问题。通过不断 调整加权因子，产生一系列Φ函数的极小点序列 x(k)* (r1(k),r2(k)) k= 0,1,2… ，逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
适用性：当gu前(x迭)代0, 点u=的1,2目,…标,p函数值较前一点是下降的，即满足
F(xk+1)<F(xk) 第四章约束问题的最优化方法
u 1gu(x)
② . (x,r(k))f(x)r(k) m 1
u 1gu(x)
③ m
. (x,r(k))f(x)
r(k)
u
u1
1 gu(x)
其g u 中 (x ) 0 ,u ： 1 ,2 ,.m ..
其g u 中 (x ) 0 ,u ： 1 ,2 ,.m ..
④ . (x,r(k))f(x)r(k)um 1[gu(1x)2]
m
lk i m r1(k)
G[gu(x(k))]0
u1
lk im r2H [hv(x(k)) ]0
lk i[ m (x (k ),r 1 (k ),r 2 (k )) f(x (k )) ]0
拉格朗日乘数法 柯西乘数法
- 1 -
拉格朗日乘数法 柯西乘数法
拉格朗日乘数法和柯西乘数法都是求解约束优化问题的常用方
法，它们都基于拉格朗日乘数的概念，但是在具体的应用场景中，两
者有着不同的特点和适用范围。
拉格朗日乘数法主要用于解决等式约束优化问题，即目标函数需
要满足某些约束条件，这些约束条件可以写成等式的形式。通过引入
拉格朗日乘数，可以将原问题转化为无约束优化问题，然后通过求解
一组方程来得到最优解。拉格朗日乘数法的优点是可以将约束条件和
目标函数统一起来，使得求解过程更加简单。
柯西乘数法则适用于解决不等式约束优化问题，即目标函数需要
满足某些不等式条件。在柯西乘数法中，需要构造一个新的函数，将
不等式约束条件转化为等式约束条件。这个函数的构造需要依赖于柯
西不等式，因此这种方法被称为柯西乘数法。柯西乘数法的优点是可
以处理不等式约束问题，但是相对于拉格朗日乘数法，它的求解过程
更加复杂。
总之，拉格朗日乘数法和柯西乘数法都是求解约束优化问题的有
效方法，但是在实际应用中需要根据具体的问题特点来选择合适的方
法。
约束问题的优化方法
XR
变形的复合形
可行的新点，用新点代替最坏点， 构成新的复合形，复合形的形状 每改变一次，就向最优点移动一
XC
XL
初始复合形
步，直至逼近最优点。从复合形
法工作原理可看出，实现复合形 法最关键的是:构造复合形和复 合形变换等问题。
XH
0
x1
图4-4复合形法的算法原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.3.2 方法实现的关键技术
初始点更优的新点，至此完成一
轮迭代。然后，以新点为新的初
始点，即令 X 0 X 。重复以
0
上过程，经过若干次迭代计算后，
最终取得约束最优解。
X X
X1 X0
x1 图4-1 随机方向法的原理
《车辆优化设计与实践》教学课件
4.2.2 方法实现的关键技术
实现随机方向法的关键包括初始点的选择，可行搜方 向的产生和搜索步长的选择等问题。 (1)初始点形成 随机方向法的初始点 X 0必须是一个可行点，即满足全 部不等式约束条件：g j (X 0 ) 0 ( j 1, 2, , m)。当约束条件 较为复杂，用人工不易选择可行初始点时，可用随机 选择的方法来产生。计算随机点的步骤如下： 1）输入设计变量的下限值和上限值，即
式计算随机单位向量 e j
ej
1
rr12jj
1
n
i 1
rij
22
rnj
( j 1, 2, , k)
（4-3）
《车辆优化设计与实践》教学课件
2）取一X 试j 验X步0 长0e0，j 按（4下-4式）计算K个随机点 显然，K个随机点分布在以初始点X 0为中心，以试验 步长 0为半径的超球面上。 3）检验K个随机点X j( j 1, 2, , k)是否为可行点，除 去非可行点，计算余下的可行随机点的目标函数值， 比较其大小，选出目标函数值最小的点 X L。 4）比较X L 和 X 0两点的目标函数值，若 f (X L ) f (X 0 )，则 取X L 和X 0的连线方向 f ( X L ) f ( X 0 ) 作为可行搜索方向 为止。如果缩小到很小（例如 0 106），仍然找不到 一个X L 使 f (X L ) f (X 0 )则说明 X 0 是一个局部极小点，此 时可更换初始点，转步骤1）。
运筹学第15讲 约束最优化方法 (1)
第六章 约束最优化方法
6.1 Kuhn-Tucker 条件
一、等式约束性问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y) 在ф(x,y)=0 条件下的极 值。 即 min f(x,y) S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ
充要条件是
⎧ min ∇ f ( x ) T d ⎪ A 1d ≥ 0 ⎪ ⎨ Ed = 0 ⎪ ⎪ | d j |≤ 1 , j = 1 , L n ⎩ 0。
的目标函数最优值为
第六章
6.2 既约梯度法
显 然 d = 0 是 可 行 解 , 所 以 P1的 最 优 值 必 ≤ 0 。 1 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 < 0 , 则 d 为 ( P )的 下 降 可 行 方 向 ； 2 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 = 0， 则 x 为 K − T 点 。 < 确定一维搜索的步长： 设 x( k )是 可 行 解 , d ( k ) 为 下 降 可 行 方 向 , 求 λ k 使 x( k + 1 ) = x( k ) + λ k d ( k ) . ⎧ m in f ( x( k ) + λ d ( k ) ) ⎪ ⎪ s .t . A ( x( k ) + λ d ( k ) ) ≥ b λk满 足 : ⎨ ⎪ E ( x( k ) + λ d ( k ) ) = e ⎪ ⎩ λ ≥ 0 $ = b − A x( k ) , d $ = A d (k), 显 然 b $ < 0. 令b 2 2 2 利 用 定 理 1可 得 λ 的 上 限 λ m a x $i ⎧ b $ i < 0} ⎪ m in { $ | d = ⎨ di ⎪ +∞ ⎩ $< 0 d $≥ 0 d
优化设计约束优化方法第06章-1
3、压缩
若上述方法均无效，可让复合形各顶点向xL靠拢，即压缩复 合形。
若某顶点压缩后在可行域外，可将其继续向 xL靠拢，直到其 回到可行域。
四、复合形法的迭代步骤
只含反射功能的复合形法迭代步骤为：
1、确定k值，产生初始复合形；
2、比较各顶点，排序； 3、计算除xH外的中心点xC。若可行，则继续，否则则重新 确定设计变量的下限和上限，即a=xL，b=xC，转而重新构造初始 复合形； 4、反射，反复反射，直至成功。 5、收敛条件
一、基本原理
在约束可行域S内选取一个初始点X(0)，在不破坏约束的条件 下以合适的步长 α ，沿 X(0) 点周围几个不同的方向（以某种形式 产生的随机方向）进行若干次探索，并计算各方向上等距离（ 步长α ）点的函数值，找出其中的最小值f(X(l))及点X(l)。 若f（X(l)）＜f（ X(0)），则继续沿方向（ X(l)-X(0)）以适当的 步长 α 向前跨步，得到新点 X(1) ，若 f （ X(1) ） <老 f （ X(l) ），则将 新的起点移至X(1) ，重复前面过程。 d 否则应缩短步长 α，直至取得约束好点。如此循环下去。当 迭代的步长已经很小时，则表明已经逼近约束最优点。达到计 算精度要求时，即可结束迭代计算。 随机方向探索法的一般迭代计算公式为： X(k+1)=X(k)+αd(k) (k=0,1,2,…) 式中α为步长，d(k) 为第k次迭代的可行搜索方向。 可行搜索方向产生的条件.. ..
复合形法例题
二、算法技术
1、随机数的产生 可以利用各种计算机语言的随机函数，也可利用随机数的数学 模型自行产生。 2、初始点的选择 （1）产生一个随机点
0～1之间的随机数
无法人工给出初始点时，可以用随机选择的方法得到。
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
约束优化问题的求解方法
约束优化问题（Constrained Optimization Problem）是指在一个给定的约束条件下，在所有可行的解中找到最优解的问题。
这类问题在现实中广泛存在，包括物流配送、资源分配、工程设计等领域。
如何有效地求解约束优化问题是科学研究和工程实践中的一个重要问题。
求解约束优化问题的基本方法是利用数学模型和优化算法。
数学模型是对问题的抽象和表达，它将问题中的各种因素、变量、约束、目标函数都用数学符号和方程式来描述。
优化算法则是根据数学模型对解进行求解的方法和技术。
具体来说，一个典型的约束优化问题可以描述为：
$$\min f(\mathbf{x})$$
$$s.t. \quad g_j(\mathbf{x}) \leq 0, j=1,2,...,m$$
$$h_k(\mathbf{x})=0, k=1,2,...,p$$
其中，$f(\mathbf{x})$是目标函数，$\mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_n]$是决策变量向量，$g_j(\mathbf{x})$是不等式约束，
$h_k(\mathbf{x})$是等式约束，$m$和$p$分别是不等式约束和等式约束的数量。
对于约束优化问题，大致有以下几种求解方法。
1. 等式约束和不等式约束均为线性约束的约束优化问题可以使用线性规划方法求解。
线性规划是指目标函数和所有约束均为线性函数的优化问题。
线性规划具有较好的求解效率且有高度的理论成熟度。
目前已经有很多线性规划求解器可供使用。
例如OpenSolver、Gurobi等。
2. 不等式约束为凸函数的约束优化问题可以使用凸优化方法求解。
凸优化问题是指其目标函数和不等式约束均为凸函数的优化问题。
凸优化具有全局最优性和求解效率高的特点，其求解方法有许多，例如基于梯度的方法、基于内点的方法等。
凸优化库MATLAB Optimization Toolbox和Python库CVXPY都提供了凸优化的求解工具。
3. 等式约束和不等式约束均为非线性函数的约束优化问题可以使用数值优化方法求解。
数值优化是指通过数值迭代方法求解目标函数的最小值或最大值的优化方法。
数值优化方法的求解效率和准确性相对较低，但它的适用范围广泛，可以适用于各种类型的非线性问题，如牛顿法、拟牛顿法、割线法等。
数值优化库MATLAB Optimization Toolbox和Python库SciPy都提供了数值优化问题的求解工具。
4. 等式约束和不等式约束均为非光滑函数的约束优化问题可以使用随机优化方法求解。
随机优化方法是指利用随机采样或随机搜索的方法求解目标函数的最优解。
这类方法一般无法保证全局
最优性，但在实际求解中具有一定的效率。
随机优化方法的例子
包括模拟退火、遗传算法、粒子群算法等等。
综上所述，约束优化问题的求解方法多种多样，不同的问题可
采用不同的方法求解。
在求解过程中需综合考虑问题的规模、计
算复杂度、精度要求等多方面因素。
对于现实中的约束优化问题，选择合适的算法和工具将会在优化效率和求解质量上取得很好的
效果。