2020届高三全国高考数学理科专题训练：空间向量

空间向量 ●

高考复习

考点知识汇集

一、空间向量的含义

1、定义：空间中，具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模。

2、规定：①长度为0的向量叫做零向量，记为0

；

②模为1的向量称为单位向量；

③与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量。记为a

④方向相等且模相等的向量称为相等向量。 3、性质：向量具有平移不变性。

二、空间向量的坐标表示

1、空间直角坐标系Oxyz 是过空间定点O （原点）作三条互相垂直的数轴，具有相同的单位长度。

①三条数轴分别称为x 轴(横轴：单位长度i

)、y 轴(纵轴：单位长度j )、z 轴(竖

轴：单位长度k

)，统称为坐标轴；

②由坐标轴确定的平面叫坐标平面。

2、设点P 为空间的一个定点，过点P 分别作垂直于x 、y 、z 轴的平面，依次交x 、y 、z 轴于点M 、Q 、R 。设点M 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么就得到与点P 对应惟一确定的有序实数组 z y x ，，。

3、向量P （O 为原点）的坐标记作：

= z y x ，， = k z j y i x

。

4、①点A （x ，y ，z ）：关于x 轴的对称点为（x ，y ，z ）；关于xOy 平面的对称点为（x ，y ，z ）。

②在y 轴上的点设为（0，y ，0）；在平面yOz 中的点设为（0，y ，z ）。 5、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，用

k j i ，，表示。空间中任一向量 z y x k z j y i x a ，，

。

三、空间向量的直角坐标运算公式

设： 321a a a a ，，

， 321b b b b ，，

1、法则

①向量和运算： 332211b a b a b a a b b a ，，

向量差运算： 332211b a b a b a b a ，，

数乘运算： 321a a a a ，，

数乘分配律：

b a b a

332211b a b a b a ，，

数量积运算、交换律：332211b a b a b a a b b a ? ?

；

2a = 2

2221a a a a a ?

a b a b a

? ? ?

②不满足乘法结合律： c b a c b a

?? ??

2、共线向量

①含义：空间中，有向线段所在的直线平行或重合，这些向量叫共线向量或平行向量。

②定理：b a // 存在实数，使b a

32211b a b a b a 0321 b b b ③三点共线：A 、B 、C 三点共线

1 v x

④与a

共线的单位向量为a

3、共面向量

①定义：一般，能平移到同一平面内的向量叫共面向量。（空间任意的两向量都共面）

②定理：如果两个不共线向量a 、b ，p 与a 、b

共面的条件是：存在实数x 、y ，使b y a x p 。

③四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面

1 z v x

4、向量垂直

b a

0332211 b a b a b a

四、空间向量的基本定理

1、定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p

，存在实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p 。

三个向量a 、b 、c 不共面，我们把{a ，b ，c }叫空间的一个基底，a 、b

、c

叫基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

2、推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、

v 、z ，使

。

五、空间向量的应用

★设： 111z y x A ，，， 222z y x B ，，；

= 321a a a a ，，

，

= 321b b b b ，，

★垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。 1、向量的模长

两点间距离∣∣

221221221z z y y x x

2、向量的中点坐标

的中点坐标：

222

212121z z y y x x ，，

3、定比分点公式

：则 z y x P ，，坐标为

111212121z z y y x x ，，；

存在 111z z y y x x ，， = z z y y x x 222，，。 4、向量间夹角

向量间夹角 2

22212322213

32211cos b b b a a a b a b a b a b

a b a b a ?

，

5、空间向量与立体几何

①线线夹角 900，两线的方向向量1n 、2n

的夹角或夹角的补角：

21cos cos n n

，

②线面夹角 900，：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可；

若为钝角，则取其补角：n AP

，cos sin

③面面夹角（二面角） 900，：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量1n

、

2n 的夹角；若两面的法向量同进同出，则二面角等于两法向量1n 、2n

的夹角的补角：

21cos cos n n

，

④点面距离h ：求点 00y x P ，到平面的距离：在平面上取一点 y x Q ，，得向量

，

计算平面的法向量n

，接着求h

6、△ABC的五心

①内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。

②外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。

③垂心P：高的交点。

④重心P：中线的交点，三等分点。

⑤中心P：正三角形的所有心的重合。

海选实战特训题

1-2019京理、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD//BC ，PA = AD = CD = 2，BC = 3。E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且

PC PF 。（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求二面角F-AE-P 的余弦值；（3）设点G 在PB 上，且3

PB PG 。判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由。

1-2018苏理、如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB = AA 1 = 2，点P 、Q 分别为A 1B 1、BC 的中点。

求（1）异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）直线CC 1与平面AQC1所成角的正弦值。

1-2018国理Ⅱ、如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB = BC =

AD ，∠BAD = ∠ABC = 90°，E 是PD 的中点。（1）证明：直线CE//平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角45°，求二面角M-AB-D 的余弦值。

1-2016国理Ⅰ、在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF = 2FD，∠AFD = 90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°，如图。

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值。

1-2015津理高二、如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB = 1，AC = AA 1 = 2，AD = CD =5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点。

（1）求证：MN∥平面ABCD ；（2）求二面角D 1-AC-B 1的正弦值；（3）设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为

，求线段A 1E 的长。

1-2013京理、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形。平面ABC⊥平面AA1C1C，AB = 3，BC = 5。

（1）求证：AA1平面ABC；（2）求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1

1-2013宁、琼理、如图，已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA = 60°。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

1-2007川理、如图，梯形PCBM是直角梯形，∠PCB = 90°，PM//BC，PM = 1，BC = 2，又AC = 1，∠ACB = 120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°。

（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M-AC-B的大小；（3）求三棱锥P-MAC的体积。

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

2014年高三数学选择题专题训练(12套)有答案

高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有（） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =，则6b 的值（） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面，、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要条件是（） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的值（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于（） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值（） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-

高考——空间向量与立体几何(理科)

第14讲空间向量与立体几何知识要点? 一.空间向量 1. 空间向量的概念:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:(1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性 2．空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 +=+=; b a OB OA BA -=-=; 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。（1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ,记作 b a //。（２)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ，使a =λb 。 (3)三点共线：A 、B 、C 三点共线＜＝> AC AB λ= <＝>y x += （1=+y x 其中）（4）与共线的单位向量为a a ± ４．共面向量 (1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。

（2)共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb =+。 (３）四点共面：若A 、Ｂ、C 、P 四点共面<=＞y x += <=＞ )1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。若三向量 ,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z , 使z y x ++= 。 6. 空间向量的直角坐标系: （1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz - 中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ,zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x ，－y,-ｚ),关于ｘoy 平面的对称点为(x,y,－z)．即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0，ｙ,０)，在平面yO ｚ中的点设为(0，y,z) （2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示。空间中任一向量 k z j y i x a ++=＝（x ，y,ｚ) （3）空间向量的直角坐标运算律: ①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八平面向量 1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可．由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ，所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________．【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ，下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ，由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ．一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

高中数学：空间向量

空间向量一、向量的基本概念与运算 1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0． 3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ． 4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 5.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记为a b ∥． 8.向量运算：与平面向量类似；二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．

注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．三、向量的数量积 1.两个向量的夹角已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??，．通常规定0πa b ??≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??，，．如果90a b ??=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ?=??，空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ?=??，；（2）0a b a b ??=；（3）2||a a a =?；（4）a b a b ?||≤||||．空间两个向量的数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ?=?；（2）a b b a ?=?；（3）()a b c a c b c +?=?+?．四、空间向量的直角坐标运算前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底．空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，，． 1.坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，．若123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，；

高考数学空间向量与立体几何总复习

空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建二、课标及考纲要求

三、知识要点及考点精析（一）空间向量及其运算 1．空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等． 2．空间向量的线性运算（1）空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b +a ； ②结合律，即()()+=+a +b c a b+c ； ③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）．（2）空间向量的基本定理 ① 共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使 λa =b ． ② 共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ． ③ 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a+b+c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a , b , c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）．（3）两个向量的数量积两个向量的数量积是a ?b= |a||b|cos，数量积有如下性质： a , b , c