浅谈数学教学中的哲学思想
数学研究中的哲学思考对高等数学的教学影响
数学研究中的哲学思考对高等数学的教学影响数学不仅仅是一门应用学科，同时也是一门对于世界的深入思考与理解。
数学研究不仅关注数学问题本身的解决，更注重思考数学背后的哲学思想。
这种哲学思考对于高等数学的教学也产生了重要的影响。
在本文中，我将探讨数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响，并分享一些实际教学中的案例。
数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响体现在教学方法的改进上。
哲学思考追求真理和智慧的本质，鼓励学生思考数学概念和原理背后的思维方式和逻辑。
这种思考方式对高等数学教学有着重要的启发作用。
在传统的教学模式中，教师往往是知识的传授者，学生是被动的接收者。
通过引入哲学思考，教师可以变成学习的引导者，鼓励学生通过自己的思考，发展他们的数学思维能力。
在教授微积分的时候，教师可以引导学生思考微积分的概念是如何被发现和发展的，为什么微积分的基本原理是有效的。
这种方法可以激发学生对数学的兴趣和好奇心，使他们更加主动地学习和探索数学。
数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响还体现在数学的应用中。
数学不仅仅是一门纯粹的学科，它也渗透到我们生活的方方面面。
通过哲学思考，教师可以帮助学生理解数学在现实生活中的应用和意义。
在教授线性代数的时候，可以引导学生思考线性方程组在现实问题中的应用，如在经济学、物理学和工程学中的应用。
这种实际应用的讨论可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，将抽象的数学概念与实际问题联系起来。
数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响还表现在教学内容的选择与重视上。
在数学研究中，哲学思考强调思维的深度和广度，追求数学的整体性和系统性。
在高等数学教学中，哲学思考也应当得到重视。
教师可以通过引入一些哲学思考中的数学问题或者概念来丰富教学内容，帮助学生理解数学的整体框架和思维方式。
教师还可以鼓励学生进行独立研究和探索，培养他们的创新能力和批判性思维。
浅谈线性代数中的哲学思想
浅谈线性代数中的哲学思想作者：李晓红来源：《教育教学论坛》2017年第39期摘要：为提高线性代数的教学效果，本文就线性代数教学内容中所蕴含的哲学思想进行了探讨。
从形变质不变、量变引质变、对立统一、否定之否定等四个主要方面进行了阐述，使得矩阵的初等变换、向量的相关性、线性方程组求解等问题变得更易于理解和掌握，以期能充分调动学生学习的积极性和主动性，提高学生的辩证思维能力和应用能力。
关键词：线性代数；教学方法；哲学思想中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）39-0219-02线性代数作为工科数学的一门主要基础课，不仅是后续课程和专业学习的需要，更是培养学生数学素质，提高创新能力的需要。
为了提高教学效果，不仅要注重知识层面上的学识教育，更要注重文化层面上的素质教育，要善于把数学课程放在更广阔的文化背景中进行教学，这样才能充分调动学生学习的主动性和积极性。
下面结合自己的教学实践，尝试从哲学的角度来探讨一下线性代数的教学，以期对大家有所帮助。
一、从“形变质不变”看事物之变化在线性代数中，所研究的事物常常会发生各种形式上的改变，但本质属性未改变，所谓“万变不离其宗”，在此不妨称之为“形变质不变”。
例如，行列式的恒等变换；方程组的同解变换；矩阵的初等变换；向量组的等价变换；二次型的标准变换等。
这么多的变换，很容易引起学生混淆，特别是对变化的目的与方向一筹莫展，从而失去学习的兴趣和信心，因此在教学中需要注意以下几个方面。
1.要充分揭示变与不变的真正内涵。
引导学生认识事物，不但要观其表象，更要明其内里，真正明白形式改变背后隐藏的真谛。
例如，行列式进行恒等变形，其值不变；矩阵进行初等变换，其秩不变；向量组进行初等变换，其秩以及线性表示关系不变；二次型进行各种标准变换，但其正定性、负定性等保持不变。
以上种种“变与不变”，相辅相成，是“形变质不变”，是形式和内容的和谐统一。
2.要积极引导学生为解决问题，在形式上寻求最佳改变方案。
对数学教育哲学的几点认识
对数学教育哲学的几点认识夏飞（安徽师范大学数学与计算机学院，安徽芜湖 241000）摘要：目前数学教育的研究已经步入一个山穷水尽的境地，要想解决这类问题需要改变数学教育研究的视角，需要对数学教育的问题做出哲学的分析与批判。
数学教育哲学正是关于数学教育活动本质的分析，它有助于推动数学教育学科理论的纵向发展。
因此，研究数学教育哲学是十分必要的。
关键词：数学教育哲学；数学教育；哲学一、什么是数学教育哲学数学教育哲学是什么?这是一个最基本的、却又难以直接定义的问题。
由于每个人的哲学观不同，对数学教育哲学的理解就不同，于是导致了多种多样的回答，逐渐引起人们的兴趣和关注。
那么，究竟什么是数学教育哲学呢?我认为数学教育哲学是关于数学教育的认识论；是用哲学的观点和方法对数学教育的问题进行研究；是研究数学教育本质的学科。
所谓数学教育的本质就是那些在数学教育的活动中具有规律性的、常态的、较为稳定的、经常发生的数学教育思想、行为和事件的总和。
数学教育哲学是关于数学教育的认识论。
这一表达是有道理的，因为很明显的是，如果说数学教育中有哲学问题需要解决，那么毫无疑问，认识论问题是一个重中之重的问题。
那么应该如何界定“数学教育的认识论”这一概念昵?数学教育的认识论问题就是数学教育的本质和规律能够被认识吗?我们应该如何认识数学教育?我们关于数学教育的认识是正确的吗?如何判断我们对数学教育的认识是否正确?这些问题可以构成数学教育的基本认识论问题。
]1[数学教育哲学可以看作是用哲学的观点和方法对数学教育的问题进行研究。
在数学教育活动中，存在着大量的复杂关系。
其中既有客观的、外部的、环境的因素，也有更为多变的主观因素，不同的主体在各自的目标和背景之下从事着各自数学教育的行为。
如何把握这些复杂关系，需要哲学的思想和方法。
例如，仅就数学教育的矛盾来看，哪些是主要矛盾?哪些是次要矛盾?哪些是长期的、固有的?哪些是短暂的、暂时的?都需要用哲学的眼光去观察和分析。
高中数学教学研究要有点哲学思考
高中数学教学研究要有点哲学思考作者：龚凯宏来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第08期[摘要] 从核心素养概念提出至今，虽然没有课程改革那样热烈的讨论，但依然要思考一些基本问题：核心素养培育如何可持续地开展下去？核心素养在推进的过程中究竟何去何从？对于这些问题的回答不应当是技术性的，而应当是理念性的. 只有教师站在一个更高的角度、具有更宽广的视野，才能冷静理性地面对这些问题，并且做出科学的回答. 在高中数学教学中应当具有一定的哲学意蕴，主要是基于这样两点考虑：一是数学教师的哲学思考意味着突破了经验层次，那在带领学生实现数学学科核心素养落地的过程中，教师也就具有了高屋建瓴的视角. 二是要帮助学生建立正确的数学学科认识，也需要教师在数学学科核心素养六个要素理解的基础上深入一步，以实现关于数学学科核心素养的整体、系统理解.[关键词] 高中数学;哲学;教学研究在始发于2001年的课程改革中，作为基础性学科，数学课程改革曾经遭受到多重拷问，比如有人发出这样的疑问：在高中数学课改高歌猛进的同时，数学教学中一些深层次的问题，也逐一浮出水面. 人们不禁又在思索：高中数学的课改能否可持续地开展下去？高中数学课改再往前走，究竟何去何从？从实践的角度来看，这些问题的解决都交给了时间，交给了课程改革的进一步深化. 问题虽然得到了不同程度的解决，但是问题本身依然具有进一步研究与反思的价值. 当前基础教育进入了核心素养的新时代，对核心素养以及学科核心素养的研究方兴未艾，一般认为核心素养与课程改革之间的关系并不是割裂的，比如就有观点认为核心素养是课程改革进一步深化的体现. 从核心素养概念提出至今，虽然没有课程改革那样热烈的讨论，但是本着鉴古知今的思想，笔者以为在核心素养推进的过程中，依然要思考如上面那样的问题：核心素养培育如何可持续地开展下去？核心素养在推进的过程中究竟何去何从？对于这些问题的回答，笔者以为不应当是技术性的，而应当是理念性的. 只有教师站在一个更高的角度、具有更宽广的视野，才能冷静理性地面对这些问题，并且做出科学的回答. 对此笔者的尝试是：为自己的教学研究建立一个哲学视角，形成一点哲学思考.高中数学教学中应有的哲学意蕴数学与哲学的关系密不可分，古希腊时期的很多数学家也是哲学家，文艺复兴时代及其前后的数学研究与哲学研究也密切相关，牛顿是一个大物理学家，但是他的著作却叫做《自然哲学的数学原理》，与牛顿一同发明微积分的莱布尼茨，更是给数学教学留下了一些哲学名言，例如“数学真理就是逻辑真理”（逻辑是哲学的基本概念之一）. 反观当下的高中数学教学，可以肯定有一种现实存在，这就是高中数学教学发展中存在的问题很大程度上有数学教学哲学素养的缺失这一因素，而现代数学教学模式的发展很大程度上受到了文化观的数学哲学研究以及数学方法论研究的巨大影响与推动. 这种数学发展中哲学起到重要推进作用，与实际教学中哲学的地位被弱化之间的矛盾，是当前高中数学教学中存在的基本矛盾之一，尽管这一矛盾还没有为太多人所重视. 笔者强调在高中数学教学中应当具有一定的哲学意蕴，主要是基于这样两点考虑：一是数学教师的哲学思考意味着突破了经验层次，那在带领学生实现数学学科核心素养落地的过程中，教师也就具有了高屋建瓴的视角.尽管教学不是灌输，但是“要给学生一碗水，自身就必须有一桶水”仍然具有朴素的提醒意义. 核心素养的培育不完全等同于解题技能的培养，如果说后者还能够通过重复训练达成，那前者更多地需要学生在具体的体验过程中慢慢领悟. 那么这种体验过程的质量，完全取决于教师的教学设计与具体的课堂实施. 相应的，数学教师要想对数学学科核心素养有更为深入的理解，站在哲学的视角去考虑问题还是有必要的.二是要帮助学生建立正确的数学学科认识，也需要教师在数学学科核心素养六个要素理解的基础上深入一步，以实现关于数学学科核心素养的整体、系统理解.数学抽象、逻辑推理与数学建模等，看起来是孤立的六个要素，但实际上它们既需要分析，又需要综合. 比如“逻辑推理”，就是“逻辑”与“推理”的综合，“几何直观”就是“空间几何”与“直观想象”的统称，这当中的联系都可以在哲学视角下思考.肯定的是，高中数学教学中具有了哲学意蕴，可以拓宽教师与学生的视野，可以提升教学的品位，可以为数学学科核心素养的落地铺就道路.高中数学教学及研究的哲学内涵哲学是一个宏大的概念，作为高中数学一线教师，不大可能对哲学有深入系统的研究，但是抓住一些基本的原理，在课堂上进行适度的渗透，还是能够让课堂具有一定的哲学意蕴的. 而这就要求教师准确把握一些基本的哲学内涵. 把握哲学内涵的过程，实际上就是让自身具有哲学思维的过程，有研究者认为，哲学思维在高中数学教学中的实践，包括数学知识与哲学原理的结合、数学实验与哲学思维的碰撞、数学教授与哲学方法的联系. 笔者以为这是非常精辟的概括，真正的数学教学实践中就可以从这些角度切入，去理解并把握数学教学及其研究的哲学内涵.例如，在“椭圆”的教学中，帮学生建立椭圆概念的过程，就是一个可以渗透哲学领悟的过程. 帮学生建立椭圆的表象是椭圆概念建立的基础，具体的做法有两个：一是结合引入圆锥曲线时所做的演示（实际演示或动画演示），让学生观看一个平面，斜着截一个圆锥面所得到椭圆的过程，从信息加工的角度来看，这主要是通过学生的视觉通道接收信息，然后基于椭圆的形状进而建立椭圆的表象;二是让学生动手去做，即在平面上固定两个钉子，然后用一根长度大于两个钉子之间距离的细线分别系在两个钉子上，用一支笔绷紧细线移动，所得到的轨迹就是一个椭圆. 在这样一个过程中，学生对椭圆的表象的建立是建立在自己动手的基础之上的，因此这样一个过程实际上是一个数学实验的过程.那么这两个过程在哲学的视角下有什么样的意味呢？笔者以为，第一个过程中，实际上有数学哲学研究领域中的“直觉主义数学”的内涵，无论是从数学发展的角度来看，还是从学生数学学习的角度来看，相当一部分数学认识，实际上是建立在哲学的基础之上的，当学生通过教师演示或者多媒体演示，看到一个异于“圆”的“扁圆”（好多学生对椭圆的认识）出现时，基于学生的生活经验，他们会自动判断这是一个“椭圆”，但是实际上这个认识又是不准确的，因此这里教师可以告知学生“完全凭着直觉所得出的结论，往往是不可靠的”——这就是一种哲學认识;那么“什么样的认识才是可靠的呢？”——这就是一个哲学意味十足的问题，回答这个问题，教师可以这样引导：可靠的认识一是来自实践，二是来自推理. 所谓实践就是类似于上述“动手做”的过程，基于实践得出的数学结论往往是可靠的，而只有经由逻辑推理所得出的数学结论才是可信的. 在椭圆概念得出的过程中，推理得出“椭圆标准方程”是一个逻辑推理的过程，从哲学视角的角度来看，这个过程的意义在于帮助学生确立“经由逻辑推理所得出的数学结论才是可信的”这一认识，甚至可以适当延伸——我们（指学生）日常所做的那么多的题目，实际上就是为了让结果可信;在我们的生活当中，一个结论若想可信，要么基于现实，要么基于逻辑推理. 当数学上的认识延伸到生活当中时，某种程度上讲也是哲学观念的建立.高中数学教学研究中的哲学之思从以上分析来看，在高中数学教学中进行适当的哲学思考是非常有必要的. 由于应试的导向，“哲学的贫困”困扰着中国数学教育教学的发展，而核心素养以及数学学科核心素养概念的提出，应当说为数学教学中进行哲学思考、渗透哲学认识，提供了更为广阔的空间. 数学教师要抓住这个教学契机，努力在教学实践中进行必要的哲学思考与渗透.高中数学教师在教学中有这两个基本任务：一是面向学生进行数学教学，二是面向数学学科进行教学研究. 这两个基本任务的完成都离不开哲学思考，一个具有哲学视野的高中数学教师才是合格的教师，才能够引导学生更科学地认识数学学科的价值，才能够更好地在数学课堂上通过数学学科核心素养的落地，来引导学生接触哲学，认识哲学，在哲学渗透的过程中形成属于自己的智慧. 哲学本身就代表着智慧，哲学视角意味着智慧视角，这样一个视角毫无疑问可以优化传统的数学教学，可以成为数学学科核心素养落地途径探究的重要启发. 基于这样的道理，数学教师应当“留一只眼睛看自己”，用哲学来充实自己的教学智慧，提升自己的教学经验，优化课堂教学的效益.。
小学数学探究教学中的哲学思考
小学数学探究教学中的哲学思考作者：仇保益来源：《南北桥》2020年第12期【摘要】数学在小学必修课程的教学中占据十分重要的比例，是一门锻炼学生数学能力，培养学生逻辑思维能力的学科，而探究教学是小学数学教学中一种十分重要的教学方式。
新课标改革也提出了，小学数学教学要适应学生身心发展的特点，从学生已经掌握的生活经验入手，引导学生通过自主探究进行数学学习，获取数学能力，提升运用数学知识解决实际生活问题的能力。
但是，由于小学生认知水平有限，受各方面能力的影响，学生自主探究形成的知识体系可能与真正的数学知识原理存在一定的差异。
教师结合教学经验剖析数学内容中存在的哲学思想，并将这些哲学思想融入数学教学之中对学生的数学学习有着十分重要的作用。
本文在此基础上对小学数学探究教学中的哲学思想进行分析，并提出看法。
【关键词】小学数学数学探究教学哲学思考中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2020.12.019数学是对数量关系进行探究的一门抽象学科，具有很强的逻辑性，而哲学是对世界认知体系和规律的总结，不仅具有逻辑性，还具有思辨性。
数学和哲学二者之间有着十分微妙的联系，在一定程度上可以说数学是哲学的现实表现和数量体现。
随着课程改革的发展，学校教育开始意识到学生自主探究学习在数学教学中的重要意义，而如何更好地开展自主探究性学习却成了一大难点。
学生在自主探究学习的过程中往往会出现很多问题，教师可以引导学生站在哲学的角度辩证地思考问题，这对学生的自主探究学习有着十分重要的作用。
一、将哲学渗透到小学数学探究学习中的重要性我国新课标改革提出，不仅要有效培养学生对学习方法和学习思想的认识，还要帮助学生形成正确的价值观和情感生活态度。
因此在教学中，教师将哲学与数学有机融合，将两个相互影响了上千年之久的学科更好地整合，不仅能满足学生对于知识的学习，更能有效地提高学生的精神高度，为学生启蒙哲学思想。
自然数学的哲学原理
自然数学的哲学原理自然数学的哲学原理是指在数学中所遵循的基本原则和关键思想，研究数学的基础和本质。
自然数学的哲学原理有以下几个方面：1. 全集原理：自然数学是在全集的基础上进行研究和推导的。
全集原理认为数学的研究对象应当是全体数或全体事物的集合。
2. 界定原理：自然数学需要明确数学对象的性质和范围。
界定原理认为数学应当明确规定对象的属性、关系和操作。
3. 公理化原理：自然数学的基础是一组明确且无需证明的假设，即公理。
公理化原理认为数学的推理过程是基于这些公理进行的。
4. 推演原理：自然数学通过逻辑推理进行推演。
推演原理认为数学的推理过程应当是严密和可靠的，遵循逻辑规则和推理原则。
5. 归纳原理：自然数学中常用的证明方法之一是数学归纳法。
归纳原理认为通过归纳法可以从已经证明的特例推导出一般性的结论。
6. 定义原理：自然数学中的概念和运算都需要明确定义。
定义原理认为数学的研究对象和操作必须有准确的定义，避免误解和混淆。
7. 一致性原理：自然数学的推理和结论应当是一致和相容的。
一致性原理认为数学的推理过程应当是在一致的逻辑系统内进行的，不出现矛盾或冲突。
8. 完备性原理：自然数学应当包含所有重要的数学概念和定理。
完备性原理认为数学的体系应当是完备的，能够涵盖所有重要的数学内容。
以上是自然数学的哲学原理的主要方面。
自然数学的哲学原理为数学的研究提供了基本的指导原则和方法论。
这些原理使得数学成为一门严格、精确和可靠的科学，为各个数学分支的发展和应用提供了坚实的基础。
同时，自然数学的哲学原理也反映了人们对数学本质的思考和理解，揭示了数学领域的深层次问题和规律。
自然数学的哲学原理在数学的研究和教学中起着重要的作用。
在数学研究中，遵循这些原理可以帮助研究者确立研究对象和范围，合理选择研究方法和推理规则，确保研究的正确性和有效性。
在数学教学中，引导学生理解和运用这些原理可以培养学生的逻辑思维和推理能力，提高学生对数学的理解和应用能力。
数学与哲学的关系
数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。
这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。
马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。
它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。
因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。
这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。
1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。
在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。
在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。
因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。
而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。
法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。
欣赏数学的辩证思想,体会数学的哲学意义
欣赏数学的辩证思想，体会数学的哲学意义[摘要] 初等数学充满着矛盾。
数学具有真理性,但不是绝对真理。
其实,在中学数学教学中就有许多进行唯物辩证法教育的好材料。
教师应不失时机地加以利用。
数学的解题方法以及思维方式上，也充满着辩证法的思想。
[关键词] 思辨辩证法教育正难则反一般到特殊数学具有思辨的特性，高度的抽象性和严格的逻辑性，使数学方法具有一系列的特点和优点，如独特的公理方法、严格的逻辑证明、用符号作为表达形式、以及应用的高度广泛和结果的极度精确等等，所以数学成为理性思维的重要形式，在人类认识和实践中发挥出特殊的功能。
在数学教学中,应用唯物辩证法,从当前的实际情况来看,有些数学教师认为这是与数学风马牛不相及的事。
其实不然,我认为,它恰恰能对学生进行思想品德教育,有利于形成科学的世界观。
那么在数学教学中如何应用唯物辩证法呢?从形成系统的数学理论时开始,数学和哲学就存在着不解之缘,特别是随着时代的不断发展,一些现代数学理论越来越抽象,以致产生了许许多多稀奇古怪的问题,诸如数学悖论:集合论悖论、欧氏几何和非欧几何是两种相互矛盾的几何理论,却又都是合理的等等。
这些问题并不是数学游戏,也不是庸人自扰,可以等闲视之的,它从根本上动摇着整个数学的基础,这就殃及了中小学数学教学。
要认识并理解这些问题,必定牵涉到哲学观点,于是出现了形形色色的数学观。
形形色色的数学观的存在,也就存在着教师在教学中应以什么样的数学观去熏陶学生,帮助学生形成正确的世界观的问题。
辩证唯物主义数学观认为,数学是客观世界数量关系变化的规律性与数学家思维能动性相结合的产物,数学来源于实践又反作用于实践。
客观世界是一个运动、变化、发展着的对立统一体,作为反映客观世界数量关系变化规律性的数学必然充满着辩证法。
数学理论的创立要靠数学家的抽象思维,但不是人脑的“自由创造物和想象物”。
数学具有真理性,但不是绝对真理。
其实,在中学数学教学中就有许多进行唯物辩证法教育的好材料。
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浅谈数学教学中的哲学思想
数学是整个自然科学发展的前提条件和存在的依据，
又是自然科学和社会科学发展的基础。数学也是一门工具性
学科，在数学教学中含有丰富的哲学思想，如辩证法，物质
和意识的第一性问题，量变到质变的问题，矛盾双方的依存
问题，真理的相对性和绝对性问题等等。因此，本文从五个
方面谈数学教学中的哲学思想。
一、物质和意识谁是第一性的哲学思想
马克思主义哲学认为，物质第一性，意识第二性，物质
决定意识。
世界的本质是物质。人的意识是客观存在的一种反映。
如无理数的产生就是人对客观世界的认识的一个飞跃。古希
腊时期，著名的毕达哥拉斯学派倡导“唯数论”，即任何量
均可以由两个整数之比来表示。但到公元前五世纪末，希腊
数学家们却发现有些量例外。在平面几何中寻找正方形的对
角线与边的公共度量，其结果与“唯数论”产生了矛盾。因
此发生了第一次数学“危机”，其主要原因是认识上的局限
性、片面性和绝对化。人们对“唯数论”产生了怀疑。数学
家们后来又发现了更多的不能用两个整数之比表示的数，把
它们统称为无理数。能用两个整数之比表示的数叫作有理
数。这说明物质不依赖人的意识而客观存在。物质决定一切，
意识反映物质。
二、量变到质变的哲学思想
在哲学中，把事物在数量和程度上的逐渐的、不显著的
变化叫作量变。把事物显著的、根本性的变化叫作质变。在
数学教学中也有这样的情况。如极限的教学中，每个加数都
存在极限且每个加数的极限值都等于0，但的确不等于0，
它的正确解法是
又如无理数的发现，它也是人的意识由量变到质变的产
物，是人对客观事物的认识发生变化的产物。
三、真理的绝对性的哲学思想
真理是绝对的，但人对真理的反映是片面或存在局限
的。意识是客观事物在人脑中的反映。这种反映有正确的，
也有歪曲的，还有片面性或存在局限的。由此?a生了真理的
相对性。如数学悖论的产生和数学“危机”的发生都是人对
客观事物的反映的局限性所造成的。数学对客观事物的反映
是真实可靠的。但人的意识总达不到完美无缺的状态。由此
产生了三次数学“危机”。导致第一次数学“危机”的根本
原因是认识上的片面性和绝对化。一方面未能正确认识“一
切均可以归纳为整数之比”这一结论的局限性，由此把它看
成是绝对的完善的真理。这样实际上就造成了一种片面的、
僵化的概念。另一方面，不可通约量的发现，最终必将导致
旧概念的急剧崩溃。导致第二次数学“危机”的原因在于人
的认识的局限性。一方面，由于无穷小分析确实在实际应用
中取得了辉煌成就。因此被胜利鼓舞的数学家们把这一理论
看成是完美无缺的，从而掩盖了其内部的不严密性。另一方
面，无穷小分析中所包含的逻辑矛盾被尖锐地揭示了出来。
他们自然也就不能正确地对此作出解释，由此陷入“危机”。
第三次数学“危机”在一定程度上是前两次“危机”的深化
和发展。其根本原因还是人的认识的局限性所导致的。总之，
这三次“危机”，只是人的认识上的“危机”，而并非是数学
本身的“危机”。这说明，对于绝对真理方面的人的认识的
局限性导致了相对真理的出现。
四、对立统一的哲学思想
矛盾是对立统一的，是发展的源泉，矛盾双方在一定条
件下相互排斥，相互争斗；另一方面又相互依存，一方的存
在以另一方的存在为前提，矛盾双方共处于一个统一体中。
如正数和负数，大于和小于，有理数和无理数，它们是相互
排斥，相互争斗的双方，但它们在整个数学王国里相互依存
于一个统一体中。又如，在实数集里，虚数是被排斥的，是
相互争斗的双方；而在复数集里，它们又相辅相成，犹如共
同存在于一个统一体中的亲兄弟。这说明对立统一的哲学思
想是整个数学教学中无处不在的普遍规律。没有数学悖论的
产生，就不会发生三次数学“危机”。数学悖论的实质是数
学科学发展的前提。所以说，矛盾是数学科学发展的前提条
件。只有矛盾才能把数学科学向前推进发展。
五、认识世界和改造世界的哲学思想
马克思主义哲学认为，人的意识的最大功能是认识世
界。数学悖论和数学历史上的三次“危机”都是认识的局限
性所造成的，任何一次改进都是发展和进步。数学悖论和数
学“危机”的产生本身就是一种进步，它是发展的信号，进
步的预兆。数学概念的产生和发展很好地说明了认识世界和
改造世界的哲学思想。起初由于生活的需要产生了自然数，
后来再由于生活水平的提高和社会发展的需求，自然数已远
远满足不了人们的需求，由此产生了有理数。
综上所述，不仅数学科学与自然科学之间有依存、促进
关系，而且数学科学和社会科学之间也有依存、促进关系。
它们共同存在于一个统一体中，相互促进对方的发展，如数
学学科中含有丰富的哲学思想。所以，在数学教学中合理应
用哲学思想能促进学生的发散思维和联想思维的形成和发
展。