2017届高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何计时双基练45直线的倾斜角和斜率、直线的方程文北师大版
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程讲义理含解析
第八章 平面解析几何第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程1．直线的斜率(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即□01k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．(2)斜率公式给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为□02k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式1．概念辨析(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)已知直线l 过点(0,0)和(3,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－3答案 B解析 直线l 的斜率为k ＝1－03－0＝13. (2)在平面直角坐标系中，直线3x ＋y －3＝0的倾斜角是( ) A.π6B ．π3C ．5π6D ．2π3答案 D解析 直线3x ＋y －3＝0的斜率为－3，所以倾斜角为2π3.(3)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 由题意得直线l 的点斜式方程为y －5＝－34[x －(－2)]，整理得3x ＋4y －14＝0.(4)已知直线l 的斜率为k (k ≠0)，它在x 轴，y 轴上的截距分别为k,2k ，则直线l 的方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x －y ＋4＝0C ．2x ＋y －4＝0D ．2x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 由题意得，直线l 的截距式方程为x k ＋y2k ＝1，又因为直线l 过(k,0)，(0,2k )两点，所以2k －00－k ＝k ，解得k ＝－2，所以直线l 的方程为x －2＋y－4＝1，即2x ＋y ＋4＝0.题型 一 直线的倾斜角与斜率1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 答案 B解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.2．(2018·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C.2±52D ．2＋52或0答案 A解析 若A ，B ，C 三点共线，则有k AB ＝k AC ，即a 2－－a2－1＝a 3－－a3－1，整理得a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．1．直线的倾斜角与其斜率的关系2根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内，由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内，由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.3．三点共线问题若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．1．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞) 解析 当π4≤α<π2时，k ＝tan α∈[1，＋∞)；当π2<α≤5π6时，k ＝tan α∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33，所以斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)． 2．(2018·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D ．23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.题型 二 直线方程的求法1．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x＋13y ＋5＝0.2．(1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.条件探究 把举例说明2(1)中所求直线绕点A (1,3)，顺时针旋转45°，求所得直线的方程．解 设举例说明2(1)中所求直线的倾斜角为α， 则由举例说明2(1)解析知tan α＝－43，所以90°<α<180°，此直线绕点A (1,3)顺时针旋转45°，所得直线的倾斜角为α－45°， 斜率k ′＝tan(α－45°)＝tan α－11＋tan α＝－43－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝7，点斜式方程为y －3＝7(x －1)， 整理得7x －y －4＝0.给定条件求直线方程的思路(1)求直线方程常用的两种方法①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．(2)设直线方程的常用技巧①已知直线纵截距b 时，常设其方程为y ＝kx ＋b . ②已知直线横截距a 时，常设其方程为x ＝my ＋a .③已知直线过点(x 0，y 0)，且k 存在时，常设y －y 0＝k (x －x 0)．1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.2．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 题型 三 直线方程的综合应用角度1 由直线方程求参数问题1．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．角度2 与直线方程有关的最值问题 2．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·＋2k2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．2．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y－6＝0.。
高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程 Word版含答案
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为 由题意得2m －31－m ＝tan 135°＝－1，即2m －3＝m －1，所以m ＝2，故选B.2.教材习题改编经过点P 0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0D 由点斜式得直线方程为y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即x －y －5＝0，故选D.3.教材习题改编倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0D 因为倾斜角为120°，所以斜率k ＝－ 3. 又因为直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.4．(2017·烟台模拟)如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C 由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－C B＞0，故选C. 5．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________．直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，则直线l ：y ＝23x .y ＝23x直线的倾斜角与斜率(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈． 由于θ∈1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈ 因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 4求直线的方程(高频考点)直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考中对直线方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点A (－3，2)，B (－3，5)； (2)斜率为32，在x 轴上的截距为－7； (3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【解】 (1)显然A 、B 的横坐标相同，故直线AB 与y 轴平行，其方程为x ＝－3. (2)由题意，直线过点(－7，0)． 代入直线的点斜式方程得y ＝32(x ＋7)， 即3x －2y ＋73＝0.(3)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.与直线方程有关问题的解题策略(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．角度一 已知两个独立条件，求直线方程1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D 已知圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.角度二 已知直线方程及其他条件，求参数值或范围2．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，a 的值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．0A 直线方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．直线方程的综合问题过点P (4，1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．【解】 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4，1)， 所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋1b＝5＋a b＋4ba≥9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立， 所以当|OA |＋|OB |取最小值时， 直线l 的方程为x ＋2y －6＝0.直线方程的应用问题常见的类型及解法(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x 、y 的关系，将问题转化成关于x 的某函数，借助函数性质来解决．(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k，即k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0., )——分类讨论思想在求直线方程中的应用(2017·常州模拟)过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________．【解析】 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. 因为点P (－2，3)在直线l 上， 所以－2＋3－a ＝0，所以a ＝1， 所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ， 则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．(3)求直线方程时，还要断定直线是否具有斜率，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．1.若直线过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0D 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.2．过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0.y ＝－53x 或x －y ＋8＝0, )1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. 所以a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.4．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．5．(2017·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23B 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．B ．(－∞，－2]∪ D ．(－∞，＋∞)C 令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是．7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 3x ＋4y ＋15＝08．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0， 解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． (2，－2)9．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是．10．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．1211．△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过点A (－3，0)，D (0，2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由(2)知，点D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.12．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪ (－∞，－3]∪ (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0， 于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 14. 如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1， 解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件 理
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(2)(必修 A2P95T3)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距为－3 的直线方程为__y_＝__－___33_x_－__3__．
解析 由直线的倾斜角为 150°，知该直线的斜率为 k ＝tan150°＝－ 33，依据直线的斜截式方程 y＝kx＋b，得 y ＝－ 33x－3.
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(3)设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝1－2tatannα2α＝－34. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
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解 (1)设 A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则1a＋1b＝1， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋ 2 ab·ba＝4， 当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线 l 的方程为 x ＋y－2＝0.
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题型 3 直线方程的综合应用 角度 1 由直线方程求参数问题
典例 (2018·泰安模拟)已知直线 l1：ax－2y＝2a－4， l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0<a<2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴
1 围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a＝___2___.
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2．设直线方程的常用技巧 (1)已知直线纵截距 b 时，常设其方程为 y＝kx＋b 或 y ＝b. (2)已知直线横截距 a 时，常设其方程为 x＝my＋a. (3)已知直线过点(x0，y0)，且 k 存在时，常设 y－y0＝k(x －x0)．
高考数学总复习配套课件：第8章《平面解析几何》8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程
()
3 A. 3
B. 3
C．－ 3
D．－
3 3
解析：由题意得直线 l 的斜率 k＝－csoisn13500°°＝tan 30°＝ 33，∴直线
l
的斜率为
3 3.
答案：A
考向二 直线平行与垂直关系的判定及应用
[l坐1例∥标l22，为] (直(1线)(2l)20过13点年(－衡1水,1模)且拟与)y直轴线交l于1的点斜P率，为则P2，点
在斜cA应率．，满将ab方足>程0(变，形为bcy<)＝0－abx－bc，易知－Bab．<0 且ab－>bc>00，，故bacb>>00，bc<0.
答案：A
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
3．(2013年唐山模拟)已知直线l：ax＋y－2
－解a析＝：由0在题意x得轴a＋和2＝ya轴＋a 2上，解的得截a＝－距2 相或 a等＝1，. 则实数a
A．－10
B．－2
C．0
D．8
解析：∵l2∥l2，∴kAB＝4m－＋m2＝－2，解得 m＝－8.
又∵l2⊥l3，∴－n1×(－2)＝－1，解得 n＝－2， ∴m＋n＝－10.
答案：A
考向三 直线的方程 [例3] 过点P(2,1)的直线l交x轴，y轴正半轴
于A，B两点，求使△AOB面积最小时l的方 程．
第八章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们正取向 x
轴向作上为基准，x轴 0° 与直线l
方向之
间与所x 轴成平的行角或α[叫0，重做π)合直时线，l的规倾定斜它角的．当倾直斜线角l
高考数学总复习 高分攻略第45讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．图K45－1中的直线l 1，l 2，l 3，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2 2．[2013·海口模拟] 直线l 与直线y ＝1，直线x ＝7分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A.13B.23 C ．－32 D ．－13 3．若直线ax ＋by ＋c ＝0(ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．a ＝b B ．|a |＝|b |C ．c ＝0或a ＝bD ．c ＝0且a ＝b4．若直线l 的倾斜角α的取值范围是30°<α≤135°，则直线l 的斜率k 的取值范围是________________________________________________________________________．能力提升5．过点P (－2，m )和Q (m ，4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于( ) A ．1或3 B ．4 C ．1 D ．1或46．已知a >0，b <0， c >0，则直线ax ＋by ＋c ＝0必不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．[2013·湖南师大附中模拟] 已知点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．[2013·丹东模拟] 已知A (1，0)，B (2，a )，C (a ，1)，若A ，B ，C 三点共线，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.1±52 D.1±329．[2013·苏州模拟] 已知点集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|y ＝3－12x －3＋3，2≤x ≤6，B ＝{(x ，y )|y ＝kx }，若A ∩B ≠∅，则k 的取值范围是________．10．[2013·长春模拟] 已知三条直线l1，l2，l3的倾斜角分别是θ1，θ2，θ3，其斜率分别是k1，k2，k3，若θ2<θ3<θ1成立，给出下列五个关系：①k1<k2<k3；②k1<k3<k2；③k2<k3<k1；④k3<k2<k1；⑤k3<k1<k2.其中可能正确关系的序号是________．11．[2013·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．12．(13分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.(1)证明l经过定点；(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．难点突破13．(12分)已知点P到两个定点M(－1，0)，N(1，0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程．【基础热身】1．D [解析] 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2，α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.2．D [解析] 设P (x ，1)，Q (7，y )，则x ＋72＝1，1＋y2＝－1，解得x ＝－5，y ＝－3，所以P (－5，1)，Q (7，－3)，k ＝－3－17＋5＝－13.3．C [解析] 由－c a ＝－c b得C. 4．(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ [解析] 根据正切函数的性质可得． 【能力提升】5．C [解析] 根据斜率公式4－mm ＋2＝1，解得m ＝1. 6．D [解析] 斜率大于0，且在x 轴上的截距－ca <0，在y 轴上的截距－c b>0，由图形分析即得．如图．7．B [解析] 线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，所以1＝x 3＋y 4≥2x 3·y4，所以xy ≤3，当0≤x ≤3时，可以取到等号，所以xy 的最大值为3.8．C [解析] a ＝1时，显然A ，B ，C 三点不共线，由已知有a －02－1＝1－0a －1，∴a 2－a －1＝0，解得a ＝1±52.9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 [解析] 将x ＝2和6分别代入y ＝3－12x －3＋3得y ＝2和23，从而集合A 表示线段MN ，其中M (2，2)，N (6，23)，将上述两点代入y ＝kx 得k ＝1和33，所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1. 10．①③⑤ [解析] 若三个角都是锐角，则正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，知③是正确的；若仅θ1是钝角，则可得①正确；若θ1>θ3>π2>θ2，则应有k 3<k 1<k 2成立，故⑤正确；若三个角都是钝角，则也是③正确．11．①③⑤ [解析] ①正确，比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1， 0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点；⑤正确，比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．12．解：(1)直线方程变化为(x ＋2)k －(y －1)＝0，当x ＝－2，y ＝1时方程对任意实数k 恒成立，故直线过定点(－2，1)．(2)由l 的方程得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )，由题知－1＋2k k＜0，且1＋2k ＞0，∴k ＞0，∴S ＝12|OA ||OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥4，当且仅当k ＞0，4k ＝1k ，即k ＝12时，面积取最小值4，此时直线l 的方程是x －2y ＋4＝0.【难点突破】13．解：设点P 的坐标为(x ，y )，由题设有|PM ||PN |＝2，即（x ＋1）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0.①因为点N 到PM 的距离为1，|MN |＝2，所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33，直线PM 的方程为y ＝±33(x ＋1)．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0， 解得x ＝2±3，代入②式得点P 的坐标为(2＋3，1＋3)或(2－3，－1＋3)或(2＋3，－1－3)或(2－3，1－3)， ∴直线PN 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.。
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程课件 文
注意：(1)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情 况下，注意对k存在与不存在进行讨论，否则会造成漏解．(2) 直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时 可用点斜式．(3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视 判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.
【调研2】 (1)(2016·河北衡水重点中学摸底)经过点 A(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程 为________．
【解析】 由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点 (3,4)．
由点斜式得y－4＝±(x－3)，故所求直线的方程为x－y＋1 ＝0或x＋y－7＝0.
【答案】 x－y＋1＝0或x＋y－7＝0
请注意 1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题， 但作为解析几何的基础，复习时要加深理解． 2．直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特 点： (1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以 选择题为主； (2)主要是涉及直线方程和斜率．
突破考点01 突破考点02 突破考点03
高考真题演练 课时作业
【解】 当cosθ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B重
合，∴cosθ≠0，∴k＝
1－sin2θ 0－cosθ
＝－cosθ，∴k∈[－
1,0)∪(0,1]，因此倾斜角的范围是0，π4∪34π，π.
1.斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数 值，一般根据k＝tanα求斜率； (2)公式法：若已知直线上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 一般根据斜率公式k＝yx22－－xy11(x1≠x2)求斜率．
【答案】 D
(2)若直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)，Q(4,0)为 端点的线段恒相交，则l的斜率范围是________．
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程课件(理)
第八章
平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考纲考情] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握确定直线位置的几何要素． 3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式 等)，了解斜截式与一次函数的关系．
主干知识·整合 热点命题·突破
2．过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )
A．1
B．4
C．1 或 3
D．1 或 4
解析：由题意知，4m－＋m2＝1，解得 m＝1. 答案：A
直线方程
1．直线方程的五种形式
名称 几何条件
方程
斜截 纵截距、 ____________
式 斜率
点斜 过一点、 ____________
的中点 M 的坐标为(x，y)，则xy＝ ＝
， ，此公式为线段
P1P2 的中点坐标公式．
答案
1．y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0) yy2－－yy11＝xx2－－xx11 ax＋by＝
1
2.x1＋2 x2
y1＋y2 2
3．判断正误 (1)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示．( ) (2)过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线一定可用两点式表 示．( ) (3)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表 示．( )
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直 线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝________，倾 斜角是 90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公 式为 k＝________．
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角
2．若将例题(2)条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜 角 α 的范围．
－2－－1 解：法 1：如图所示，kPA＝ ＝－1， 1－0 1－－1 kPB＝ ＝1，由图可观察出：直线 l 倾斜角 2－0 α
2.线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的中 点M
x＝ 的坐标为(x，y)，则 y＝
， 此公式为线段 P1P2＋ b x1＋x2 y1＋y2 2. 2 2 y － y0 ＝ k(x － x0) y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 x y ＋ ＝1 a b
1．若将例题(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直 线 l 斜率的取值范围．
1－0 1 解：∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，∴kAP＝ ＝ ，kBP 2－－1 3 3－0 ＝ ＝ 3. 0－－1 如图可知，直线 l 斜率的取值范围为
1 ， 3 3.
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为________．
【解析】 (1)设直线的倾斜角为 θ，则有 tanθ＝－sinα，其 π 3π 中 sinα∈[－1,1]．又 θ∈[0，π)，所以 0≤θ≤4 或 4 ≤θ<π. (2)如图， 1－0 ∵kAP＝ ＝1， 2－1 3－0 kBP＝ ＝－ 3， 0－1 ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
4－m 解析：由题意知， ＝1，解得 m＝1. m＋2
答案：A
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线
R 热点命题 深度剖析
考点一 直线的倾斜角和斜率
【例1】 (1)直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )
A.0，2π
B．(0，π)
C.－π4，π4
【解析】
D.0，π4∪34π，π
直线 xsin α－y＋1＝0 的斜率是 k＝sin α，
两点式 过两点(x1，y1)，(x2， _yy_2－_－_y_y11_＝__xx_2－_－_x_x1_1 _ y2)，(x1≠x2，y1≠y2)
不包括 __垂__直__于__坐__标__轴___的 直线
名称
几何条件
在 x 轴、y 轴上的截 截距式 距分别为 a，b(a，
b≠0)
方程 __ax_＋__by_＝__1___
Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是 _－__23_，__12__。
【解析】 如图所示，直线 l：x＋my＋m＝0 过定点 A(0，－1)，当 m≠0 时，kQA＝23，kPA＝－2，kl＝－m1 。
∴－m1 ≤－2 或－m1 ≥32。 解得 0<m≤12或－32≤m<0； 当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0，与线段 PQ 有交点。 ∴实数 m 的取值范围为－23，12。
5 ． 直 线 l ： ax ＋ y － 2 － a ＝ 0 在 x 轴 、 y 轴 上 的 截 距 相 等 ， 则 a ＝ _－__2_或__1__。
解析 令 x＝0，则 y＝2＋a，即在 y 轴上的截距为 2＋a，同理在 x 轴 上的截距为2＋a a。所以 2＋a＝2＋a a，解得 a＝－2 或 a＝1。
(3)ห้องสมุดไป่ตู้线的倾斜角越大，斜率k就越大。( × )
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程课件理北师大版
斜截式
y＝kx＋b ________
y－ y1 x－ x1 ＝ y x2－ x1 2 － y1 ____________
x y ＋ ＝1 a b ____________
两点式 (x2，y2)(x1≠x2， y1 ≠ y2 ) 在x轴、y轴上的
截距式 截距分别为a，
b(a，b≠0) 一般式
Ax ＋By＋C＝ ______________ 0(____________ A，B不全为0)
抛物线 曲线与方程
第八章
平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角 (1)定义： 在平面直角坐标系中， 对于一条与 x 轴相交的直线
逆时针 方向绕着交点旋转到和直线 l l，把 x 轴(正方向)按________
重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴
2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接 写出直线方程， 选择时， 应注意各种形式的方程的适用范围， 必要时要分类讨论． (2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程 (组 )求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．
ห้องสมุดไป่ตู้．直线方程
名 称 点
几何条件
方 程
局限性
斜
式
不含垂直于 y－y0＝k(x 过点(x0，y0)， _____________ x轴 ________ 的直 －x0) 斜率为k ___________ 线
名
称
几何条件 斜率为k，纵截 距为b 过两点(x1，y1)，
方 程
局限性 不含垂直于 x轴 的直线 _______ 不包括垂直于 坐标轴 _______的直线 不包括垂直于 坐标轴 和 _________ 过原点 _______的直线
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1
计时双基练四十五 直线的倾斜角和斜率、直线的方程
A组 基础必做
1．(2016·西安模拟)过点(3，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线
l
的倾斜角大小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析 圆心坐标为(0,1)，斜率k＝tan α＝－2－13－0＝－3，
∴倾斜角α＝120°。
答案 C
2．如图所示，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )
A．k1
且α2>α3，所以k2>k3。因此，k2>k3>k1。
答案 D
3．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析 由题意，令x＝0，y＝－cb>0；令y＝0，x＝－ca>0。即bc<0，ac<0，从而ab>0。
答案 A
4．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图像可以是
解析 由题可知a≠b，且两直线的斜率同号，故排除B，C，D，选A。
答案 A
5．经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( )
2
A．8x＋5y－20＝0或2x－5y－12＝0
B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0
C．8x－5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0
D．8x－5y－20＝0或2x－5y－10＝0
解析 由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0。由12·|5k－
4|·4k－5＝5得，k＝85或k＝25。故选D。
答案 D
6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范
围是( )
A.－1，15
B.－∞，12∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪15，＋∞
D．(－∞，－1)∪12，＋∞
解析 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距
为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝12，
满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪12，＋∞
答案 D
7．若三点A(2,3)，B(3,2)，C12，m共线，则实数m＝________。
解析 kAB＝2－33－2＝－1，kAC＝m－312－2，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即m－312－2＝－1，解
得m＝92。
答案 92
3
8．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________。
解析 依题意得AB的方程为x3＋y4＝1。当x>0，y>0时，1＝x3＋y4≥2 xy12＝ xy3，
即xy≤3(当且仅当x＝32，y＝2时取等号)，故xy的最大值为3。
答案 3
9．(2016·沈阳模拟)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上
的截距相等，则直线l的方程为________。
解析 解法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a。
由题意得M(3,2)。
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
所以直线l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0。
若a≠0，设直线l的方程为xa＋ya＝1，
因为直线l过点M(3,2)，所以3a＋2a＝1，
所以a＝5，此时直线l的方程为x5＋y5＝1，即x＋y－5＝0。
综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0。
解法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为
y－2＝k(x
－3)。
令y＝0，得x＝3－2k；令x＝0，得y＝2－3k。
所以3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，
所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0。
答案 x＋y－5＝0或2x－3y＝0
10．已知两点A(－1,2)，B(m,3)。
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围。
解 (1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)。
4
(2)①当m＝－1时，α＝π2；
②当m≠－1时，m＋1∈－33，0∪(0，3]，
∴k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3。
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈π6，2π3。
11．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)。
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，
求S的最小值并求此时直线l的方程。
解 (1)证明：直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令 x＋2＝01－y＝0，解得 x＝－2y＝1，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)。
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线不经过第四象限，则必须有 －1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0。
(3)由直线l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)。
依题意得 －1＋2kk<0，1＋2k>0，解得k>0。
∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·＋2k2k＝124k＋1k＋4
≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝1k，即k＝12，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0。
5
B组 培优演练
1．(2016·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝π4，则直线l：
ax
－by＋c＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
解析 由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝π4知，f(0)＝fπ2，即
－b＝a，∴直线l的斜率为－1，
∴倾斜角为135°。
答案 D
2．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来
位置，那么l的斜率为( )
A．－13 B．－3
C.13 D．3
解析 结合图形可知选A。
答案 A
3．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点
P(x，y)，则|PA|·|PB
|的最大值是________。
解析 易求定点A(0,0)，B(1,3)。当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0
与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，取等号)；当P与A或
B
重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5。
答案 5
4．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分
别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程。
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
6
k
OB
＝tan(180°－30°)＝－33，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－33x。
设A(m，m)，B(－3n，n)，
所以AB的中点Cm－3n2，m＋n2，
由点C在直线y＝12x上，且A，P，B三点共线得
m＋n2＝12·m－3n
2
m－0m－1＝n
－0
－3n－1
，
解得m＝3，所以A(3，3)。
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝33－1＝3＋32，
所以lAB：y＝3＋32(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0。