第四章 大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理
个次品， 例 6 设一批产品共 2000 个，其中 40 个次品，放回地 个样品， 的概率分布。 随机抽取 100 个样品，求样品中次品数 X 的概率分布。
. 解：次品数 X ~ B(100,002)
m P( X = m) = C100 p mq100−m ， m = 0,1,2,L,100 .
p = 0.02 < 0.1
故
1 D(Yn ) = 2 n
∑ D( X
k =1
n
k
)=
σ2
n
2
切 比 雪 夫 不 等 式
σ P{| Yn − µ |< ε } ≥ 1 − 2 . nε
lim P {| Y n − µ |< ε } = 1
n→ ∞
1 意义：令ξn = n
∑
i =1
n
ξi ，则
1 n E ξn = ∑ E ξi ， n i =1 1 n 1 K D ξn = 2 ∑ D ξi < 2 ⋅ n K = n i =1 n n
1 P Yn = ∑ X k → µ n k =1
推论:若 为独立同分布随机变量序列, 推论 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 E(X1k)= <∞, 则 ∞
n
1 P k k ∑ X i → E( X1 ) n i =1
定积分的 近似计算
L.
适用范围：n较大，pn较小，npn适中
用EXCEL计算的结果 EXCEL计算的结果
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B(10,0.1) 0.348678 0.38742 0.19371 0.057396 0.01116 0.001488 0.000138 8.75E-06 3.65E-07 9E-09 1E-10 B(100,0.01) 0.36603234 0.36972964 0.18486482 0.06099917 0.01494171 0.00289779 0.00046345 6.2863E-05 7.3817E-06 7.622E-07 7.006E-08 5.7901E-09 4.3377E-10 B(1000,0.001) B(10000,0.0001) P(1) 0.367695425 0.367861046 0.36787944 0.368063488 0.367897836 0.36787944 0.184031744 0.183948918 0.18393972 0.061282509 0.061310174 0.06131324 0.015289955 0.015324478 0.01532831 0.003048808 0.003063976 0.00306566 0.0005061 0.000510458 0.00051094 7.19381E-05 7.28862E-05 7.2992E-05 8.93826E-06 9.1053E-06 9.124E-06 9.86181E-07 1.01099E-06 1.0138E-06 9.78284E-08 1.01018E-07 1.0138E-07 8.81337E-09 9.17522E-09 9.2162E-09 7.27095E-10 7.63837E-10 7.6801E-10
大数定理与中心极限定理
的随机变量，使得X Xi . 易知 i 1
E( X ) np D( X ) npq
由Lindeberg-Levy中心极限定理知
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
n
理解：在定理条件下，总有 X ~ N(np, npq).
三、中心极限定理的应用
➢ Lindeberg-Levy中心极限定理应用
其概率分布一定是正态分布。
定理4(De Moivre-Laplace中心极限定理) 设随机变量X ~ B(n, p)，则对于任意的实数x，有
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
证明：因为X ~ B(n, p)，由Bernoulli大数定理证明有
X1, X 2 , , X n为独立同分布于参数为p的两点分布
P
1 n
n i1
1 Xi n
n
E( Xi )
i1
1
D(1 n n i1
2
Xi)
1
M
n 2
所以
lim P n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E( Xi )
1
推论：设X1, X 2 , , X n , 是独立同分布
随机变量序列，且数学期望为，方
差 2，则对于任意的正实数有
lim
n
当观测次数n充分大时，“观测值得算术平均值接近 期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：
1
n
n i 1
Xi
n充分大
E(X )
第四章 大数定律与中心极限定理
则称{X 依概率收敛 依概率收敛于 则称 n}依概率收敛于X. 可记为
X n →X.
P
或
lim P{| X n − X |≥ ε} = 0
n→∞
二.几个常用的大数定律 几个常用的大数定律
1. 契贝晓夫大数定律 契贝晓夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为两两不相关的随机变量序 为两两不相关的随机变量序 且它们的方差有界 即存在常数C>0，使 方差有界， 列，且它们的方差有界，即存在常数 ，
lim P{|
n→∞
µn
n
− p |< ε} = 1
即：µn
n
=
∑X
i= 1
i
n
→p
P
3. 辛钦大数定律
为独立同分布随机变量序列, 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 EXi=a <∞, i=1, 2, … 则对任意的 ε > 0，有 ∞
1 n 1 n P lim P{| ∑Xi − a |< ε} = 1，即 Yn = ∑Xi →a n→∞ n i=1 n ii=1 =1
2.德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 德莫佛 拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 设随机变量η 服从参数为n, 设随机变量ηn(n=1, 2, ...)服从参数为 p(0<p<1) 服从参数为 的二项分布， 的二项分布，则有 ηn − np L→ξ ~ N(0, 1).
§4.3. 中心极限定理 一.依分布收敛 依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 为随机变量序列 若在F(x)的 对应的分布函数分别为F 的 对应的分布函数分别为 n(x), F(x). 若在 连续点，有 连续点， limF (x) = F(x),
大数定律和中心极限定理课件
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
第四章 大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、历史简介概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.二、大数定律定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且而于是由契比晓夫不等式有又由独立性知道有从而有这就证明了定理1.若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的,有成立,则称随机变量序列服从大数定律.定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有则对于任意的,有证明:利用契比晓夫不等式,有因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到从而有从而定理2得证.[例1] 设为独立同分布的随机变量,均服从参数为的普哇松分布.由以往的讨论知道,,因而满足定理2的要求,则由定理2 的结论可知定理3(马尔科夫大数定律) 对于随机变量序列,若有则有证明:利用契比晓夫不等式,有由假设知,右端趋于1,于是于是定理3得证.一般称条件为马尔科夫条件.定理4(辛钦大数定律) 设是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望,则对于任意的,有上式也可表示为或,并且称依概率收敛于.三、大数定律的应用[例2] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由契比晓夫不等式,有令,其中,则.即至少需要抛掷27778次才能至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01[例3] (蒙特卡洛方法求积分) 计算.解:任取一列相互独立的都具有上均匀分布的随机变量,则也是一列相互独立且具有相同分布的随机变量,而因此,.为求,自然想到大数定律:这样一来,只要能生成随机变量序列,就能计算积分.现在借助计算机,产生上的随机数,然后通过大数定律,算出,最后由算出.这就是一种新的计算方法:概率计算方法,也称蒙特卡洛方法.[例4] 设随机变量序列的方差一致有界,即,且当时, 与的相关系数,证明服从大数定律.证明:因为由题设知,任给,存在当时,.这表明,在共有个中,绝对值超过的元素不多于个,其余的个元素的绝对值不超过,故有由于可任意小,故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例5] 设相互独立且,.证明服从大数定律.证明:因为,故故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例6] 设相互独立且分别具有以下分布,试确定是否满足马尔科夫条件.(1)(2)(3)解:(1)易知.由于故不满足马尔科夫条件.(2) 易知.由于故不满足马尔科夫条件.(3) 易知.由于注意到,故满足马尔科夫条件. [例7] 设相互独立且分别具有以下分布:(1)的分布函数为(2)(3) 的密度函数为(4)问是否满足大数定律.解:(1)因为,这是柯西分布,它的数学期望不存在,因此,不满足大数定律.(2)因为,由辛钦大数定律,知满足大数定律.(3)因为是奇函数,故.由辛钦大数定律,知满足大数定律.(4)而,故级数收敛,满足大数定律.作业:P221 EX 19,24,25,26。
第4章 大数定律与中心极限定理 0
②数据处理的方法是平均值。
依概率收敛：设Y1，Y2，…，Yn，…是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数ε，有
p 则称序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收敛于a，记为 Yn a 。
辛 钦 大 数 定 理 的 另 一 种 叙 述 ： 设 随 机 变 量 序 列 X1 ， X2 ， … ， Xn ， … 独 立 同 分 布 ， 且 E(Xk)=μ ， 若
m 100 0.8 m 80 P( X m) = 4 0.99 100 0.8 0.2 查表得 m 80 2.326 ，得 m 89.304 ，故至少应设的座位个数是90个。
4
其中，Φ(x)是N(0,1)的分布函数。 定理4-3的含义：不论X1，X2，…原来服从什么分布，当n足够大时，总可以近似地认为：
或者等价于近似地认为 为
n 定理4-4(德莫弗一拉普拉斯中心极限定理 )：设X1，X2，…是一个独立同分布的随机变量序列，且每个Xi都服从
X N ( ,
2
X
i 1
【例题4.2】一所学校有100名住校生，每人都以80%的概率去图书馆自习，如果要保证去上自习的同学能以 99%的概率都有座位，则图书馆至少应设的座位个数为（ A．80 【答案】B 【解析】设X为100名住校生去图书馆自习的人数，则X～B（100，0.8），设座位数为m, 由中心极限定理，有 B．90 C．95 D．99 E．100 ）。[2008年春季真题]
i
的分布服从或近似服从（
）。
A．N（100，25） B．N (100， 5 n) C．N（100/n，25） D．N（100，25/n） E．N（100，25n） 【答案】D 【解析】根据独立同分布情形下的中心极限定理可知，在大样本下，样本平均数的抽样分布将近似服从平均数
正态分布大数定律与中心极限定理
0
1 e 2
x2 2
2 dx 2
0
1 e 2
x2 2
dx 1
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理பைடு நூலகம்
0
1 （ 2 ）(0) ； 由（ 1 ）容易得到（ 2 ）。 2 （3） x 1 x
1 e 2
x2 2
dx
P ( X x ) F ( x )且F ( x )
x
f ( x )dx ，或f ( x ) F ( x )
x2 x1
P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx
第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理
1.正态变量的密度函数 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( x ) 1 f ( x) e 2 , x 2
2 2
和标准正态密度
1 ( x) e 首先都具有一般密度函 数的非负规范性，另外 ， 2 标准正态密度由于是偶 函数，还具有对称区间 积分的特殊性
f ( x )dx ( x )dx 1且 ( x )是偶函数
1 e 2
x2 2
2 dx 2
( x )2 2 2
dx
t x
k k t e dt 2
t2 2
则： k 0
z
t2 2
k 1, 3, 5,
k
2 k
k 2
2
k
2
0 t e dt
k
2
4大数定律及中心极限定理
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例.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 将一颗骰子连掷100次 100 500的概率是多少 的概率是多少？ 500的概率是多少？ 解:设Xk为第 次掷出的点数 设 为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 则 X1,…,X100独立同分布. 独立同分布 7 1 6 2 49 35 E ( X 1 ) = , D( X 1 ) = ∑ k − = 2 6 i =1 4 12
n−>∞
则称 { X n } 服从大数定律。
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第四章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
定理 4.1（切比雪夫大数定理） 设随机变量 X 1 ,L, X n ,L 相互独立， 且具有相同的数学期
1 n 望及方差， EX k = µ，DX k = σ ，k = 1,2,L， 令 Yn = ∑ X k ， n k =1
n
≤ x} =
1 2π
−∞
∫e
x
t2 − 2
dt
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常见的中心极限定理
定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre--Laplace) 设随机变量 η n (n = 1,2,L) 服从参数为n,p(0<p<1)的二 项分布 ，即 η n ~ B ( n, p ).
则对于任意 x ，恒有：
n =10, p = 0.2, np = 2, npq ≈1.265. (1) 直接计算: P(ξ ≤ 3) = C ×0.2 ×0.8 ≈ 0.2013
3 10 3 7
(2)用局部极限定理近似计算: P(ξ ≤ 3) =
例 产品为废品的概率为p=0.005, 求10000件产 品中废品数不大于70的概率.
第4章 大数定律与中心极限定理
i) 依概率收敛：用于大数定律；
ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
5 July 2012
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
第16页
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的 >0，有
n
lim P Yn Y 1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
20500 200 100 P X i 20500 1 200 100 i 1
200
1 (3.54) =
0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
5 July 2012
华东师范大学
P Yn / n p 0.05
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
2 0.05 n / p (1 p ) 1 0.90
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645 又由 p(1 p ) 0.25 可解得 n 270.6
5 July 2012
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
第14页
注意点
(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.
(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.
(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.
5 July 2012
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
第15页
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
eitx cos(tx) i sin(tx)
第4章 大数定律与中心极限定理
X E( X )
i 1 i i 1 n i
Var ( X i )
i 1
再来研究随机变量序列{Yn}的极限分布.
18
2、基本定理
定理1（列维-林德伯格中心极限定理）
设随机变量 X1 , X 2 , , X n , iid ( , 2 ), 则随机变量之和的
( na )2 0 ( na )2 1 1 1 P 1 2 2 2n n 2n 2 1 2 2 E ( X n ) 2( na ) 2 a 2 , 2n Xn
2 2 Var ( X n ) E ( X n ) [ E ( X n )]2 a .
2
说明每一个随机变量都有相同的方差,
(马尔可夫条件)
则对任意 0, 有 1 n 1 n lim P X k E ( X k ) 1. n n k 1 n k 1
注：切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.
11
定理5（辛钦大数定律）
设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布, 且具有数学期望 E ( X k ) , ( k 1, 2,),
0, 若在第 k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第 k 次试验中 A 发生, k 1, 2, , n.
8
显然
n X1 X 2 X n ,
因为 X1 , X 2 ,, X niid b(1, p),
所以 E( X k ) p, Var ( X k ) p(1 p), k 1, 2,, n.
n
则 称 序 列 1 , Y2 , , Yn依 概 率 收 敛 于, 记 为 Y a Yn P a.
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第四章 大数定律与中心极限定理教学目得与教学要求:了解特征函数得定义与常用分布得特征函数;理解并能应用大数定律;掌握依概率收敛与按分布收敛得概念;掌握并能应用独立同分布下得中心极限定理。
教学重点:大数定律、依概率收敛与按分布收敛得概念、中心极限定理。
教学难点:大数定律与中心极限定理得应用。
教学措施:理论部分得教学多采用讲授法,注意思想方法得训练,计算类问题采用习题与讨论得方法进行教学。
教学时数:12学时教学过程:§4、1 特征函数特征函数就是处理概率论问题得有力工具,其作用在于:(1) 可将求独立随机变量与得分布得卷积运算化成乘法运算;(2) 可将求各阶矩得积分运算化成微分运算;(3) 可将求随机变量序列得极限分布化成一般得函数极限问题等。
§4、1、1 特征函数得定义定义4、1、1 设就是一个随机变量,称其中为虚数单位,为得特征函数。
注:因为,所以总就是存在得,即任一随机变量得特征函数总就是存在得。
特征函数得求法:(1) 当离散随机变量得分布列为则得特征函数为;(2) 当连续随机变量得密度函数为,则得特征函数为。
特征函数得计算中用到复变函数,为此注意:(1) 欧拉公式:;(2) 复数得共轭:;(3) 复数得模:。
例4、1、1 常用分布得特征函数(1) 单点分布:,其特征函数为;(2) 分布:,其特征函数为;(3) 泊松分布:,其特征函数为;(4) 均匀分布:因为密度函数为,所以其特征函数为;(5) 标准正态分布:因为密度函数为,所以其特征函数为;(6) 指数分布:因为密度函数为,所以其特征函数为000()(cos()sin())itx x x x t e e dx tx e dx i tx e dx λλλϕλλ+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰ 。
§4、1、2 特征函数得性质性质4、1、1。
性质4、1、2 ,其中就是得共轭。
性质4、1、3若,其中、就是常数,则。
性质4、1、4独立随机变量与得特征函数为特征函数得积,即设与相互独立,则。
性质4、1、5若存在,则得特征函数可次求导,且对,有。
注:上式提供了一条求随机变量得各阶矩得途径,特别可用下式去求数学期望与方差,、。
例4、1、2利用特征函数得方法求伽玛分布得数学期望与方差？解:因为得特征函数,从而于就是所以。
定理4、1、1(一致连续性)随机变量得特征函数在上一致连续。
定理4、1、2(非负定性)随机变量得特征函数就是非负定得,即对任意正整数及个实数、、…、与个复数、、…、,有。
定理4、1、3(逆转公式)设与分别就是随机变量得分布函数与特征函数,则对得任意两个连续点,有。
定理4、1、4(唯一性定理)随机变量得分布函数由其特征函数唯一决定。
定理4、1、5若为连续随机变量,其密度函数为,特征函数,如果,即,则有。
§4、2 大数定律在本课程一开始引入事件与概率得概念时,曾指出就一次试验而言,一个随机事件可以出现也可不出现,但作大量得重复试验则呈现出明显得规律性(统计规律性),即:任一事件出现得频率就是稳定于某一固定数得,这固定数就就是该事件在一次试验下发生得概率,这里说得“频率稳定于概率”,实质上就是频率依某种收敛意义趋于概率,“大数定理”就就是解释这一问题得。
由于正态分布在概率统计中得重要地位与作用,因而用很多时间介绍正态分布,为什么实际上有许多随机现象会遵循正态分布？这仅仅就是一些人得经验猜测还就是确有理论依据,“中心极限定理”正就是讨论这一问题得。
§4、2、1 伯努利大数定律定理4、2、1(伯努利大数定律)设为重伯努利试验中事件发生得次数,而就是事件在每次试验中发生得概率,则,有。
证明:令,则、、…、就是个相互独立得随机变量,且、、,于就是由切比雪夫不等式得:122211()11(||)(|()|)n k n n n k k k k k Var X pq p p p X E X n n n n n μεεεε===-≥=-≥≤=∑∑∑ 从而即:。
§4、2、2 常用得几个大数定律一、大数定律得一般形式定义4、2、1 设就是一随机变量序列,若,有成立,则称随机序列服从大数定律。
二、切比雪夫大数定律定理4、2、2(切比雪夫大数定律)设为一两两不相关得随机变量序列,若每个得方差存在,且有共同得上界,即存在常数,使得,则,有。
证明:由不相关性知:由切比雪夫不等式得:从而即:。
三、马尔可夫大数定律定理4、2、3(马尔可夫大数定律)设为一随机变量序列,若马尔可夫条件成立,则,有。
例4、2、1 设为一同分布、方差存在得随机变量序列,且仅与与相关,而与其她得不相关,试问该随机变量序列就是否服从大数定律？解:由于为相依随机变量序列,于就是利用马尔可夫大数定律判断记,则,从而即马尔可夫条件满足,故结论成立。
四、辛钦大数定律定理4、2、4(辛钦大数定律)设为一独立同分布得随机变量序列,若得数学期望存在,则,有。
注意:(1) 伯努利大数定律就是切比雪夫大数定律得特例;(2) 切比雪夫大数定律就是马尔可夫大数定律得特例;(3) 伯努利大数定律就是辛钦大数定律得特例。
§4、3 随机变量序列得两种收敛性随机变量序列得收敛性常用得有两种:(1) 依概率收敛:用于大数定律;(2) 按分布收敛:用于中心极限定理。
§4、3、1 依概率收敛定义4、3、1(依概率收敛)设为一随机变量序列,为一随机变量。
若对任意得,有(或)则称依概率收敛于,记作。
注:随机变量序列服从大数定律。
从定义可见,依概率收敛就就是实函中得依测度收敛。
依概率收敛得四则运算:定理4、3、1 设、就是两个随机变量序列,、就是两个常数。
若、则(1) ;(2) ;(3) 。
§4、3、2 按分布收敛、弱收敛我们知道,随机变量得统计规律由它得分布函数全面描述,当时,其相应得分布函数与之间得关系怎样呢？例4、3、1 设、都服从退化分布,令于就是对任给,当时,有所以而、得分布函数分别为与从而,当时,有当时,。
上例表明:一个随机变量序列依概论收敛于某个随机变量,相应得分布函数不就是在每一点都收敛,但如果仔细观察这个例,发现不收敛得点正就是得不连续点,类似得例子可以举出很多,使人想到要求在每一点都收敛到就是太苛刻了,可以去掉得不连续点来考虑。
定义4、3、2 设就是随机变量序列得分布函数列,就是得分布函数,若对得每一连续点,都有则称弱收敛于,记作,也称按分布收敛于,记作。
依概率收敛与按分布收敛间得关系:定理4、3、2 。
证明:对于、,有()(,)(,)()(,)n n n n X x X x X x X x X x X x X x X x ''''≤=≤≤>≤⊂≤>≤U U 于就是当时,有由得:所以,同理可证,当时,有于就是对任意,有令、,有若就是得连续点,就有。
注:此定理得逆定理不成立。
例4、3、2 设得分布列为、令,则与同分布,即与有相同得分布函数,故;但对任意得,有即:不依概率收敛于。
定理4、3、3 若为常数,则。
证明:必要性已由定理4、3、2给出,下证充分性:对任意得,有(2)()1(2)()n n n n p X c p X c F c F c εεεε≤>++≤-=-++-由题意知:常数得分布函数为其只在处不连续,而与处都就是连续得,由(即)得:即:。
§4、3、3 判断弱收敛得方法定理4、3、4 分布函数序列弱收敛于分布函数得充要条件就是得特征函数序列收敛于得特征函数。
辛钦大数定律得证明:证明:因独立同分布,故独立同分布,从而有相同得特征函数,由,将在处展开,有由相互独立,得得特征函数为对于任意,有由定理4、3、4知,再由定理4、3、3得,即服从大数定理。
§4、4 中心极限定理§4、4、1 独立随机变量与设为独立随机变量序列,记其与为中心极限定理就就是研究独立随机变量与得极限分布为正态分布得问题。
§4、4、2 独立同分布下得中心极限定理定理4、4、1(林德贝格-勒维中心极限定理)设就是独立同分布得随机变量序列,且、,则对任意实数,有。
§4、4、3 二项分布得正态近似定理4、4、2(棣莫弗-拉普拉斯极限定理)设就是重贝努里试验中事件发生得次数,而就是事件在每次试验中发生得概率,则对任意实数,有。
二项分布在与时,由中心极限定理用正态分布近似较好,因为二项分布就是离散分布,而正态分布就是连续分布,所以用正态分布作为二项分布得近似计算中,作些修正可以提高精度。
若均为整数,一般先作如下修正后再用正态近似。
中心极限定理得应用:一、已知与,求概率例4、4、1100个独立工作(工作得概率为0、9)得部件组成一个系统,求系统中至少有85个部件工作得概率？解:令,则系统中正常工作得部件数为,且、于就是,所求概率为。
二、已知与概率,求例4、4、2某车间有200台独立工作(工作得概率为0、7)得机床,每台机床工作时需15电力,问共需多少电力,才可以有95%得可能性保证此车间正常生产？解:令,则200台机床中同时工作得机床数为,且、此车间正常生产同时工作得台机床所需电力数不超过供电数,于就是,由题意知由。
三、已知与概率,求例4、4、3用调查对象中得收瞧比例作为某电视节目得收视率得估计。
要有90%得把握,使与得差异不大于0、05,问至少要调查多少对象？解:令,则个调查对象中收瞧此电视节目得人数,由题意知:由再由即:至少要调查251对象。
§4、4、4 独立不同分布下得中心极限定理定理4、4、3(林德贝格中心极限定理)设为独立随机变量序列,若任对,有(林德贝格条件)则对任意得,有其中。
林德贝格条件较难验证。
定理4、4、4(李雅普诺夫中心极限定理)设为独立随机变量序列,若存在,有(李雅普诺夫条件)则对任意得,有其中。