05 第五节 线性变换的矩阵表示
第五章 线性变换
( ) A,
如果 A 是 在基 1,2 , ,n 下的矩阵表示，那么
是 End(V )到 M n (F )的一个一一对应．
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定理4 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 线性变
换 在 V 的一组基 1,2 , ,n 下的矩阵表示为 A．
如果向量 V 在 1,2 , ,n 下的坐标向量为
(1), (2 ), , (s )
也线性相关．也就是说线性变换将线性相关的向 量组仍然变成线性相关的向量组．
1. 乘法
设 , 是 V 上的两个线性变换． 定义 和
的乘积 为 () () ( ()), V .
直接验证， 也是一个线性变换．
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对于任意的线性变换 ， 均有
标(x1, y1) 和 (x2 , y2 ) 满足下面关系：
x2 y2
cos sin
sin cos
x1 y1
.
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三、线性变换的基本性质及运算 设 是 V 上的一个线性变换．则有
性质1 (0) 0 ， () () ．
性质2 如果 是 1,2, ,s 的线性组合， 且组合
M 到 P 的映射，满足 g f (x) g( f (x)), x M .
显然， 对于任意从集合 M 到 N 的映射 f ， 都有 idN f f idM f .
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另外，映射的乘积还满足结合律． 定义7 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射，如果存 在 N 到 M 的一个映射 g， 使得
f (n) 2n, n ,
则 f 是 到自身的映射，且 f 是一个单射但不是 满射． 例3 设 M n ( )是实数域上的所有 n 阶方阵的集合． 定义 M n ( )到 的对应 f ，满足
线性变换初步线性变换的定义表示与性质
线性变换初步线性变换的定义表示与性质线性变换初步线性变换是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性变换的定义、表示以及一些性质。
1. 定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。
具体来说，对于两个向量u和v以及一个数k，如果对于线性变换T有以下两个性质成立：a) T(u + v) = T(u) + T(v)b) T(ku) = kT(u)则称T为一个线性变换。
线性变换可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
2. 表示线性变换可以用矩阵表示。
设V和W分别是两个向量空间，假设它们的维度分别为n和m。
如果存在一个n×m的矩阵A，使得对于任意的向量u∈V，都有T(u) = Av，则称矩阵A表示线性变换T。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换，可以通过一个2×2的矩阵来表示。
对于一个三维向量的缩放变换，可以通过一个3×3的矩阵来表示。
3. 性质线性变换具有一些重要的性质：a) 线性变换保持向量加法。
即，对于线性变换T和任意的向量u、v，有T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换保持数乘运算。
即，对于线性变换T和任意的向量u以及数k，有T(ku) = kT(u)。
c) 线性变换保持零向量。
即，对于线性变换T，有T(0) = 0。
d) 线性变换保持线性组合。
即，对于线性变换T和任意的向量组u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ，有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。
e) 线性变换的复合仍然是线性变换。
即，如果T₁表示线性变换S₁，T₂表示线性变换S₂，则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。
这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。
总结线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。
数学高等代数第五版
目 录
• 引言 • 线性方程组与矩阵 • 向量空间与线性变换 • 多项式与行列式 • 线性方程组的解法 • 线性变换的矩阵表示 • 二次型与矩阵的相似对角化 • 总结与展望
01 引言
课程简介
高等代数是数学的一个重要分支，主 要研究线性代数、多项式、群、环和 域等抽象代数结构及其性质和关系。
常用的解法包括高斯消元法、LU 分解法、迭代法等，可以根据具 体情况选择合适的解法。
线性方程组在各个领域都有广泛 的应用，如物理、工程、经济等。
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有 一定的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有其行标和列标，表示其在 矩阵中的位置。
矩阵的维度
相似变换
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，并且B的特征值和特征 向量与A相同，则称A经过相似变换得到B。
矩阵的特征多项式与特征值
特征多项式
对于一个给定的矩阵A，存在一个多项式$f(lambda)$，使得 $f(lambda)=0$是A的特征方程，这个多项式称为矩阵A的特征多项式。
高等代数作为大学数学专业的一门必 修课程，对于培养学生的逻辑思维、 抽象思维和数学素养具有重要意义。
学习高等代数的重要性
培养数学思维
高等代数作为数学专业的基础课程，通过学习代数结构和性质，可以培养学生的数学思维和逻辑推理 能力。
应用领域广泛
高等代数在科学、工程、经济、金融等领域有广泛应用，如线性方程组求解、矩阵计算、数据降维、 机器学习等领域都需要用到高等代数的知识。
深化数学理解
学习高等代数有助于学生深化对中学阶段数学知识的理解，如代数方程、平面几何、解析几何等，能 够更好地理解和应用这些知识。
线性代数课件PPT
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
变换试题及答案
变换试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是线性变换的特征？A. 可加性B. 齐次性C. 可逆性D. 保序性答案：C2. 线性变换的矩阵表示中，每一列代表什么？A. 变换后的基向量B. 变换前的基向量C. 变换的系数D. 变换的逆答案：A3. 一个线性变换是否总是可逆的？A. 是B. 否C. 只有在有限维空间中D. 只有在无限维空间中答案：B二、填空题4. 线性变换的______性保证了变换后的向量仍然保持原有的线性组合关系。
答案：可加性5. 一个变换如果是______的，那么它在矩阵表示中的每一列都应该是线性无关的。
答案：可逆6. 在二维空间中，一个线性变换的矩阵表示通常是一个______阶矩阵。
答案：2三、简答题7. 简述线性变换的保形性。
答案：线性变换的保形性指的是它保持了向量空间中向量之间的夹角和长度比不变。
这意味着，如果两个向量在变换前是正交的，那么它们在变换后也是正交的。
8. 为什么说线性变换是“线性”的？答案：线性变换被称为“线性”的，是因为它满足两个基本的线性性质：可加性和齐次性。
可加性意味着变换可以分开作用于向量的各个分量，然后合并结果；齐次性则意味着变换对于向量的标量倍数是封闭的。
四、计算题9. 给定线性变换 \( T \) 的矩阵表示为 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)，计算 \( T \) 作用于向量\( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \) 的结果。
答案：\( T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+2 \\ 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
一线性变换(4-5)
的线性变换，
有
下的表示矩阵。
解法一：直接法（同例1）
解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相 似矩阵这一结论。
选取一组简单基： 基 到基的过渡矩阵为
基
在T下的象为：
T在基
下的表示矩阵为：
则T在基
下的表示矩阵为：
三、线性变换的特征值与特征向量 定义 设T是n维线性空间V的一个线性变换,对于 数 ，如果存在非零向量 ，使得， 则称 是T的特征值， 的特征向量，简称特征向量。 是T的属于
例1、试确定在多项式空间Pn [x]上的求导运算T 分别在下列两组基下的表示矩阵
说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般 是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。
相似矩阵
定理：T在基
从基
证明 下的矩阵为A， 在基
下的矩阵为B，
到基
的过渡矩阵为P，则
再由
线性无关可得： 从而有
设
如果存在可逆矩阵P，使得
定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于 代数重复度。
定理
n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。
证明 设A是线性空间C n的线性变换T在某组基下的表示 矩阵， m i ， n i是特征值 的代数重复度与几何重复 度，对于特征子空间W,存在补空间V,使得 取W与V的一组基，不妨记做 则T在此基下的表示矩阵为
（3） 存在零变换o,
（4） 存在负变换-T,
（5） 第一分配律
（6） 第二分配律
（7） 结合律
（8） 令
表示n维线性空间V的所有线性变换的集合，则
在线性变换的加法与数乘运算下构成数域F上的 一个 维线性空间。
设 性变换的积，
工程硕士矩阵论第一章
n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集， 则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例 函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例 函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也 构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节 基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念 定义 设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ， 如果存在一组数 量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称 或 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换的矩阵
线性变换的矩阵
1. 什么是线性变换
线性变换是指，将一个空间（原空间）中的数据点通过一种特定
的方式变换到另一个空间（目标空间）中的过程。
例如，一个空间中
的三维坐标点可以通过适当的变换被转换为另一个空间的二维坐标点。
线性变换可以使用数学方法描述，其中一种常用的方法是使用矩阵表示。
2. 线性变换的矩阵
矩阵是一种结构，用来表示线性变换。
其中，每一行和每一列分
别代表着原空间中的特征向量，矩阵中的元素则描述了这些特征向量
之间的线性关系。
当选定某种变换时，使用这些元素数值就可以确定
变换矩阵。
线性变换的矩阵融合了一种空间变换的信息，并且这种变换在该
空间的动态可以被精细控制，因此，线性变换的矩阵也被用于数值分
析中各种过程的模拟。
线性变换的矩阵除了可以应用在数学领域之外，还被用于统计学、机器学习、计算机图形学等很多领域中。
例如，线性变换的矩阵可以
被应用在图像处理中，将原始图像像素值转换到另一种像素值序列，
从而获得清晰的图像。
3. 总结
综上所述，线性变换的矩阵是一种结构，它不仅用于描述空间变换的信息，还被用于数值分析、统计学、机器学习、计算机图形学等诸多领域中。
它可以帮助我们进行准确、高效的运算，可以获得更好的处理结果。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
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第五节 线性变换的矩阵表示
分布图示
★ 线性变换的标准矩阵 ★ 例1
★ 线性变换在给定基下的矩阵
★ 线性变换与其矩阵的关系
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例5
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-5
内容要点
一、线性变换的标准矩阵
根据上节例5，若定义nR中的变换T(x)y为
AxT(x)
),(nRx
那么T为一个线性变换，设
neee,,,21
为单位坐标向量, 则有
),,,2,1)((nieTAe
iii
因此,如果一个线性变换T有关系式AxT(x),那么矩阵A应以)(ieT为列向量.反之,如果一
个结性变换T使
),,,2,1()(nieT
ii
则有 )(],,,[)(221121nnnexexexTeeeTxT
)()()(2211nneTxeTxeTx
,),,,())(,),(),((2121AxxxeTeTeTnn
综上所述知, nR中任何线性变换T都可以用关系式
AxT(x)
)(nRx
表示,其中)).(,),(),((21neTeTeTA称为线性变换T的标准矩阵.
一个线性变换T,无论是用图示还是文字描述,我们都希望得到T(x)的“计算式”。下面
的讨论表明,从nR到nR的每个线性变换实际上都是一个矩阵变换Axx,并且T的主要
性质与矩阵A的性质密切相关. 求A的关键,要注意T完全由它在单位矩阵nE列上的作用
所确定的.
二、线性变换在给定基下的矩阵
定义1 设T是线性空间nV中的线性变换，在nV中取定一个基,,,,21n 如果这个基
在变换T下的象为
,)(,)(,)(22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaT
aaaT
aaaT
记 )),(,),(),((),,,(2121nnTTTT 则上式可表示为
ATnn),,,(),,,(2121
，
其中A=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211, 那末，则称A为线性变换T在基
n,,,21
下的矩阵.
显然，矩阵A由基的象)(,),(),(21nTTT唯一确定.
三、线性变换与其矩阵的关系
设A是线性变换T在基
n,,21，下的矩阵，即基n,,,21
在变换T下的象为
),,,(21nT=An),,,(21
,
结论 在nV中取定一个基后，由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A也
可唯一地确定一个线性变换T. 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.
四、线性变换在不同基下的矩阵
已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？
定理1 设线性空间nV中取定两个基n,,,21；n,,21，由基
n,,,21
到基
n,,21
的过渡矩阵为P，nV中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，则
APPB1
.
定理表明：B与A相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P就是相似变换矩阵.
定义2 线性变换T的象空间)(nVT的维数，称为线性变换T的秩.
结论 (ⅰ) 若A是T的矩阵，则T的秩就是)(Ar.
(ⅱ) 若T的秩为r，则T的核rS的维数为rn.
例题选讲
线性变换的标准矩阵
例1 (E01) 设22,1001EE中的列为10,0121ee.如果T是从2R到3R的线
性变换:
803)(,762)(21eTeT
.
求任意2Rx的像的公式.
解 221121211001exexxxxxx
因为T是从2R到3R的线性变换, 所以
2112121221187632803762xxxxxxxeTxeTxxT
.
线性变换与其矩阵的关系
例2 (E02) 在3][xP中, 取基1p=3x,2p=2x,3p=x,4p=1,求微分运算D的矩阵.
解 ,00000100010200200303432144321343212432121ppppDpppppDpppppxDpppppxDp
所以D在这组基下的矩阵为
A
.
0100
0020
0003
0000
例3 (E03) 实数域R上所有一元多项式的集合，记作][xP,][xP中次数小于n的所有一
元多项式(包括零多项式)组成的集合记作nxP][, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，
构成R上的一个线性空间。在线性空间nxP][中，定义变换
)())((xfdxdxf
,nxPxf][)(
则由导数性质可以证明：是nxP][上的一个线性变换, 这个变换也称为微分变换. 现取
n
xP][
的基为12,,,1nxxx，，则有
0)1(
，1)(x，xx2)(2，„，21)1()(nnxnx,
因此，在基12,,,,1nxxx下的矩阵为
A
=.0000100002000010n
例4 (E04) 在3R中，T表示将向量投影到xOy平面的线性变换，即
jyixkzjyixT)(
,
(1) 取基为kji,,，求T的矩阵；
(2) 取基为i,j,kji, 求T的矩阵.
解 (1) ,0kTjjTiiT 即),,(),,(kjikjiT.000010001
(2) ,jiTjTiT 即),,(),,(T.000110101
由此可见: 同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵.
线性变换在不同基下的矩阵
例5 (E05) 设22R中的线性变换T，在基，下的矩阵为22211211aaaaA，求T在
基, 下的矩阵.
解 ),(),(,0110 即P,0110 求得1P,0110
于是T在基,下的矩阵为
B
0110011022211211aaaa011012112221aaaa
.
1112
2122
aa
aa
课堂练习
1.已知22R的两个线性变换
)(XT=XN，)(XS
=MX，22RX
其中M=0201，N=1111, 试求ST在基11E,12E,21E,22E下的矩阵.