江苏扬州扬中树人高三数学国庆月考试卷 苏教版
江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期11月期中调研数学试题含答案
2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，若i 是虚数单位，复数z 与21i -关于虚轴对称，则z =（）A.1i + B.1i-- C.1i-+ D.1i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可.【详解】()221i 21i 1i 1i +==+--，复数z 与21i-关于虚轴对称，故1i z =-+.故选：C2.若对于任意的实数R x ∈都有cos()sin cos cos sin x x x θθθ-=+成立，则θ的值可能是（）A.π4B.π2-C.π4-D.0【答案】A 【解析】【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可.【详解】cos()sin cos cos sin sin()sin(2)x x x x x θθθθθθ-=+=+=-+，故π22π,Z 2k k θ=+∈，即ππ,Z 4k k θ=+∈，当0k =时，π.4θ=故选：A3.下列说法中不正确的是（）A.“1a >”是“2a >”的必要不充分条件B.命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++<”C.“若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题D.设m ，R n ∈，则“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD ；利用命题的否定即可判断选项B ；利用赋值法即可判断选项C.【详解】对于A,“1a >”是“2a >”的必要不充分条件,故A 正确；对于B ，命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++≤”，故B 错误；对于C ，当5,1a b ==时，满足8a b +<，不满足4a <且4b <，故“若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题，故C 正确；对于D ，“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件，故D 正确.故选：B4.在数列{}n a 中，12n n a a n ++=，则数列{}n a 前24项和24S 的值为（）A.144 B.312C.288D.156【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合12n n a a n ++=，将{}n a 前24项和24S 转化为等差数列求和问题.【详解】因为12n n a a n ++=，所以()2412324122462610462882S a a a a ⨯+=++++=++++== ，故选：C.5.已知实数0x y >>，则223x x y xy y +-的最小值为（）A.12B.9C.6D.3【答案】B 【解析】【分析】将xy 看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.【详解】22233,1x y x x x x y xy y y y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=+--设1xt y=-，0x y >>，故0t >，()()222131314559t x x t t y xy ytt ++=++=++≥=-，当且仅当14t t =，即12t =时，等号成立.故选：B6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）A.14B.24C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R ，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为，设圆柱高为h ，则h R r R R-=，=-h R r ，由题，()2π2π2πR r r R r ⨯=+⨯-，得22r R =.故选：D .7.已知()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，若存在常数R a ∈，使得()y f x a =+为偶函数，则ω的值可以为（）A.3π8 B.π3C.π4D.π2【答案】A 【解析】【分析】求出()y f x a =+的解析式，得()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解．【详解】由()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，得()()()24sin x a x f a a x ω+-⋅=++⎡⎤⎣⎦是偶函数，因为()24y x a =+-不可能是奇函数，所以()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，()()()2224244y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则40a -=，即4a =，()()sin 4sin 4y x x ωωω⎡⎤=+=+⎣⎦为偶函数，则π4π2k ω=+，Z k ∈，ππ48k ω=+，Z k ∈，只有1k =时，3π8ω=，故选：A8.已知函数()e e (0)x x f x x ax b ab a =--+>，若()0f x ≥，则1b a-最大值为（）A.2e -B.1e - C.eD.2e 【答案】A 【解析】【分析】将()0f x ≥转化为函数y x b =-和e x y a =-的零点相同，然后利用ln b a =，构造函数()ln 1a g a a-=求最值即可.【详解】()()()e e e xxxf x x ax b ab x b a =--+=--，因为0a >，且函数y x b =-和e xy a =-都是增函数，故若()0f x ≥恒成立，则函数y x b =-和e xy a =-的零点相同，即ln b a =.故1ln 1b a aa--=，设()ln 1,a g a a -=则()22ln ,ag a a-'=故在()20,e，()0g a '>，()g a 单调递增；在()2e ,∞+，()0g a '<，()g a 单调递减.故()()22max e e,g a g -==故1b a-最大值为2e -.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量(),2a x x =-，()1,b x =-- ，则下列说法中正确的是（）A.若a b∥，则2x =-或1B.若a b ⊥，则0x =或-3C.若a b =，则1x =或3D.若1x =-，则向量a ，b夹角的余弦值为5【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行求参判断A 选项，根据向量垂直求参判断B 选项，应用模长相等计算判断C 选项，根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D 选项.【详解】A 选项，若//a b，有()22x x --=-，解得1x =或2x =-，A 选项正确；B 选项，若a b ⊥，有()20x x x ---=，解得0x =或3，B 选项错误，；C 选项，若a b = =，解得1x =或3x =，C 选项正确；D 选项，当=1x -时，()1,3a =- ，()1,1b =- ，a =，b = ，4a b ⋅= ，向量a ，b 夹角的余5=，D 选项错误．故选：AC.10.已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（）A.若ABC V 为锐角三角形，则sin cos B A >B.若60B =︒，2b ac =，则ABC V 是直角三角形C.若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形D.若ABC V 为钝角三角形，且3AB =，5AC =，13cos 14C =，则ABC V 的面积为4【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A 选项；利用余弦定理即可判断B 选项；利用正弦定理边化角即可判断C 选项；利用余弦定理求出7a =或167a =，再进行分类讨论即可判断D 选项.【详解】对于A,若ABC V 为锐角三角形，则π,2A B +>即ππ22B A >>-，故πsin sin cos 2B A A ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，若60B =︒，2b ac =，则222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-=，即()22220,0a c ac a c +-=-=，故a c =，且60B =︒，故ABC V 是等边三角形，故B 错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，则sin cos sin cos sin ,B C C B B +=即()sin sin ,B C B +=即s s n n ,i i A B =故A B =，ABC V 是等腰三角形.故C 正确；对于D ，222225913cos 21014a b c a C ab a +-+-===，解得7a =或167a =，且sin 14C ==，当7a =时，cos 0A <，A 为钝角，故1sin 24ABC S ab C ==△，当167a =时，cos 0B <，B 为钝角，故1sin 249ABC S ab C ==V ，故D 错误.故选：AC11.已知α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++，(),a b ∈R 两个不同的零点，且1αβ⋅=，1x ，2x 是函数()f x 两个极值点，则（）A.a b =B.3a >或2a <-C.22(2)a b +-值可能为11D.使得()()1243f x f x +=的a 的值有且只有1个【答案】ACD【解析】【分析】由,αβ是()f x 的零点且1αβ=得()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后与已知比较可得1a b αβ==--，可判断A ，由2()()(1)10x x x a x αβ--=+-+=有两个不等实解，得a 的范围，可判断B ，直接解方程22(2)11a a +-=可判断C ，由韦达定理得出1212,x x x x +，代入124()()3f x f x +=，化为关于a 的方程，引入函数32()299g a a a =-+，由导数确定它的单调性，结合零点存在定理得零点范围，结合B 中范围可判断D ．【详解】由已知2()32f x x ax b '=++有两个零点，24120a b ∆=->，又α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++两个不同的零点且1αβ⋅=，所以()()()(1)f x x x x αβ=--+，即32()(1)()f x x x x αβαβαβαβ=+--+--+32(1)(1)1x x x αβαβ=+--+--+所以1a αβ=--，1b αβ=--，即a b =，A 正确；224124120a b a a ∆=-=->，解得3a >或0a <，(0)10=>f ，322()1(1)[(1)1]f x x ax ax x x a x =+++=++-+，由已知2(1)10x a x +-+=有两个不等实根,αβ，所以21(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-，所以3a >或1a <-，B 错；222222(2)(2)2442(1)211a b a a a a a +-=+-=-+=-+=，解得12a =-或12a =+，满足3a >或1a <-，C 正确；由2()320f x x ax a '=++=，得1223a x x +=-，123ax x =，322212121212()()()()2f x f x x x a x x a x x +=++++++32121212121222()3()[()2]()2x x x x x x a x x x x a x x =+-+++-+++322282422()2273933a a a a a a =-++--+23422273a a =-+，由2342422733a a -+=整理得322990a a -+=，设32()299g a a a =-+，则2()6186(3)g a a a a a '=-=-，0a <或3a >时，()0g a '>，0<<3a 时，()0g a '<，()g a 在在(,0)-∞和(3,)+∞上递增，在(0,3)上递减，又(0)90,(3)180g g =>=-<，(1)20g -=-<，33(9)29990g =⨯-+>，所以()g a 在(1,0)-，(0,3)，(3,)+∞上各有一个零点，又1a <-或3a >，因此()0g a =只在(3,)+∞上在一个解，D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的零点，极值，对计算要求较高，对多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，如果α是它的一个零点，则121210()()()n n n n f x x b x b x b x b α----=-++++ ，因此本题中在已知()f x 有两个乘积为1的零点时，结合常数项可设()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后得出,a b 与,αβ的关系，从而使得问题可解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的值域为[],m n ，且3n m -=，则ω的值为______.【答案】11π12【解析】【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】[]0,1x ∈，故πππ,444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为π()2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,1上的值域为[],m n ，且3n m -=，故必有2,1,n m ==-，如图所示，则π7π,46ω+=故11π.12ω=故答案为：11π1213.如图，边长为1的正ABC V ，P 是以A 为圆心，以AC 为半径的圆弧 BC 上除点B 以外的任一点，记PAB 外接圆圆心为O ，则AO AB ⋅=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用三角形外心的性质将AO AB ⋅转化为()AD DO AB +⋅ 即可.【详解】取AB 的中点D ，因为ABC V 为正三角形，故CD 为AB 的中垂线，则PAB 外接圆圆心O 一定在CD 上，如图所示，，故()21122AO AB AD DO AB AD AB AB ⋅=+⋅=⋅== .故答案为：1214.若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，则称直线y kx b =+为()f x 和()g x 的“媒介直线”.已知函数2()(R)f x x x =∈，1()(0)g x x x=<，若()f x 和()g x 之间存在“媒介直线”y kx b =+，则实数b 的范围是______.【答案】[]4,0-【解析】【分析】结合函数图像，利用临界情况，y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切求解即可.【详解】()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，即y kx b =+的图像一直在()f x 和()g x 之间，，当y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切时，方程2()f x x kx b ==+和方程1()g x kx b x==+均只有一个解，即20x kx b --=和210kx bx +-=均只有一个解，故224040k b b k ⎧+=⎨+=⎩或2400k b k ⎧+=⎨=⎩，解得0b =或4-，结合图像可知，“媒介直线”y kx b =+的截距[]4,0b ∈-.故答案为：[]4,0-【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列，若数列{}n b 前n 项和为n S ，并满足2n n S b n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）若()()11n n n c a b =--，求数列{}n c 前n 项的和n T .【答案】（1）21n a n =-；12nn b =-（2）()2228.n n T n +=--【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出n a ；利用n S 和n b 的关系，构造出()1121n n b b --=-即可求出n b ；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列知：()()()12111315321a d a a d a d +=⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩，整理得：251240d d -+=，即2=d 或者25d =，因为公差大于1，故2=d .且131a d =-=，故21n a n =-.数列{}n b 前n 项和为n S ，并满足2n n S b n =+①，且11121b S b ==+，解得11b =-，故当2n ≥时，1121n n S b n --=+-②，①式减②式得：11221n n n n n S S b b b ----==+，即()1121n n b b --=-，故{}1n b -是公比为2的等边数列，则()111122n n n b b --=-⨯=-，故12nn b =-【小问2详解】()()()()()11122212n n n n n c a b n n +=--=--=--，故()345102223212,n n T n +=--⨯-⨯---……则()4562202223212,n n T n +=--⨯-⨯---……故()()3234512222222221212,12n n n n n n T T n n ++++--=-----+-=-+--……故()2228,n n T n +-=-+则()2228.n n T n +=--16.已知向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，()21f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 解析式，写出函数()f x 的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.（2）试用五点作图法作出函数()f x 在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）.（3）根据（2）中的图象写出函数()()y f x x =∈R 的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x 值的集合.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用整体代入法求解即可；（2）利用五点作图法求解即可；（3）根据函数图像求解即可.【小问1详解】向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，则2ππ2T ==，)2π()212cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==，当ππ2=π,62x k k ++∈Z 时，ππ,62k x k =+∈Z ，当π2=π,6x k k +∈Z 时，ππ,122k x k =-+∈Z ，故()f x 的对称轴方程为ππ,62k x k =+∈Z ，对称中心为ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【小问2详解】列表：π26x +π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0202-0描点，连线，画图得：【小问3详解】由图可知，()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；最小值为2-；取最小值时相应x 值的集合为：2ππ,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .17.如图①，在平面四边形ABCD 中，CB CD ==，tan CDB ∠=，O 为对角线BD 中点，F 为BC 中点，E 为线段AD 上一点，且BE AO ⊥，CO AB =，AB BD ⊥.（1）求AE 的长.（2）从下面（i ）与（ii ）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.（i ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图②，当面CBD ⊥面ABD 时，求异面直线OF 与BE 所成角的余弦值.（ii ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图③，当60COE ∠=︒时，求三棱锥C ABD -的体积.【答案】（1（2）见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可；（2）若选（i ），利用空间向量求解即可；若选（ii ），利用等体积法求解即可.【小问1详解】因为CB CD ==O 为对角线BD 中点，故CO BD ⊥,因为tan CDB ∠=故sin 33CDB CDB ∠=∠=，即sin 3363CO DO CDB CDB CD CD ∠==∠==，解得2CO DO ==,故24,BD DO AB CO ====,则AD ==，AO ==,因为AB BD ⊥，BE AO ⊥，则π2ABE EBO ∠+∠=，π2AOB EBO ∠+∠=,所以ABE AOB ∠=∠,所以6sin sin 3AB ABE AOB AO ∠=∠==,3cos 3ABE ∠=，且6sin sin 3BD BAD ABE AD ∠===∠,故ABE BAD ∠=∠,则在等腰ABE 中，由正弦定理得：sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，即22sin 2sin AEABE ABE =∠∠，则2cos AE ABE ===∠.【小问2详解】若选（i ）：当面CBD ⊥面ABD 时，因为CO BD ⊥,面CBD ⋂面ABD BD =,CO ⊂面CBD ,故CO ⊥面ABD ，又AB BD ⊥，故以点B 为坐标原点，BD 为x 轴，BA 为y 轴，过点B 做CO 的平行线为z 轴，可以建如图所示空间直角坐标系，由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，则易得()(())0,2,0,,0,0,0,2,0,O F B E则()0,,2,0,OF BE =-=设异面直线OF 与BE 所成角为θ，则2cos cos ,3OF BEOF BE OF BEθ⋅===⋅.若选（ii ）：由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，故12OE BA ==,当60COE ∠=︒时，1sin 602COE S CO OE =⋅⋅= ，因为//OE BA ，BD BA ⊥,故BD OE ⊥，且BD CO ⊥，OE CO O ⋂=,故BD ⊥面COE ,因为E 为AD 中点，O 为BD 中点，故4ABD DOE S S = ,则三棱锥C ABD -的体积:144433C ABD C DOE D COE COE V V V S OD ---===⨯⨯=.18.已知函数()ln(1)f x a x =-，2()2g x x x =-.（1）如果函数()f x 在(2,(2))f 处的切线，也是()g x 的切线，求实数a 的值.（2）若()()()F x g x f x =-在11,e 1e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在极小值()0F x ，试求()0F x 的范围.（3）是否存在实数a ，使得函数2(1)G()(1)2(1)g x x f x x +=+-+有3个零点，若存在，求出所有实数a 的取值集合，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2（2）(2e 1,0⎤--⎦（3）()0,1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用极值点的定义，得出()2021a x =-，然后构造函数求出()0F x 的范围即可；（3）根据G()x 的单调性对a 进行分类讨论，注意1G(G()0x x+=，然后转化为G()x 在()1,+∞上有唯一零点求解即可.【小问1详解】(2)0f =，(),(2)1af x f a x ''==-，故()f x 在(2,(2))f 处的切线为()2y a x =-，()2y a x =-也是()g x 的切线，故方程()222x x a x -=-只有一个解，即()2220x a x a -++=只有一个解，()2280a a +-=，解得2a =.【小问2详解】()2()()()2ln 1F x g x f x x x a x =-=---，()221()2211x a a F x x x x --'=--=--，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 无极值点，不符合题意；当0a >时，在1,1⎛+⎝上，()0F x '<，()F x 单调递减；在1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0F x '>，()F x 单调递增；故()F x的极小值点01x =+，则()2021a x =-，故()()()02020002112ln F x x x x x =----，设01t x =-，011,e 1e x ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2201ln 2F x t t t =--，设()221l 2n h t t t t =--，则()4ln h t t t '=-，1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 单调递增；()1,e t ∈时，()0h t '<，()h t 单调递减；()()22131,e e 1,10e e h h h ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，故()(2e 1,0h t ⎤∈--⎦,即()(20e 1,0F x ⎤∈--⎦【小问3详解】2(1)1G()(1)2ln 2(1)1g x x x f x a x x x +-=+-=-++，0x >，()()()222144()11a x x a G x x x x x +-'=-=++，当0a ≤时，()0G x '<，G()x 在()0,∞+单调递减，不存在3个零点；当1a ≥时，()()()()22221414()011a x x x xG x x x x x +-+-'=≥≥++，G()x 在()0,∞+单调递增，不存在3个零点；当01a <<时，()()221414()112a x x G x a x x x x x ⎛⎫⎪+-'==- ⎪+ ⎪++⎝⎭，因为12y x x=++在()1,+∞上单调递增，设()412q x a x x=-++，则()qx 在()1,+∞上也是单调递增，且()110q a =-<，当x →+∞，(),0q x a a →>，故存在唯一一个()01,x ∈+∞，使()00q x =，即在()01,x ，()4012q x a x x=-<++，14()012G x a x x x ⎛⎫ ⎪'=-< ⎪ ⎪++⎝⎭，G()x 单调递减；在()0,x +∞，()0qx >，()0G x '>，G()x 单调递增；且G(1)0=，故0G()G(1)0x <=，且224G(e )0e 1aa=>+，故G()x 在()1,+∞有唯一零点，1G()ln 21x x a x x -=-+，故1G()G()0x x+=，当1x >时，101x<<，因为G()x 在()1,+∞有唯一零点，故G()x 在()0,1也有唯一零点，故当01a <<，G()x 有3个零点;综上所述，所有实数a 的取值集合为()0,1.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19.对于任意*N n ∈，向量列{}n a 满足1n n a a d +-=.（1）若1(0,3)a =- ，(1,1)=d ，求n a 的最小值及此时的n a .（2）若(),n n n a x y = ，(,)d s t =，其中n x ，n y ，s ，t R ∈，若对任意*n ∈N ，120n x x x +++≠ ，设函数()||f x x x =，记()()()1212()n nf x f x f x F n x x x +++=+++ ，试判断()F n 的符号并证明你的结论.（3）记1(0,0)a = ，0d ≠，n n c a = ，对于任意*m ∈N ，记123()m S m c c c c =+++ ，若存在实数1c =和2，使得等式123123()m m S m c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 成立，且有()507S m =成立，试求m 的最大值.【答案】（1）min ||n a = ()22,1a =- 或()321,a =-（2）()0F n >，证明见解析（3）30【解析】【分析】（1）利用累加法求出()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=-- ，进而得到答案；（2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可；（3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.【小问1详解】因为1n n a a d +-=对任意*N n ∈成立，所以有21a a d -= 23a a d -= L L L L1n n a a d--= 将上述各式相加得()11n a a n d =+- ，又因为1(0,3)a =- ，(1,1)= d ,所以()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，所以有n a === ，又*N n ∈，当2n =或3n =时，min ||n a = ()21,2a =- 或()32,1a =-.【小问2详解】可判定()0F n >，（1）因为*N n ∈，120n x x x +++≠ 所以数列{}n x 不可能是各项均为0的常数列；（2）当数列{}n x 为非零常数列时，任意*N n ∈，10n x x =≠若1>0x ，则()()()()212111210n n f x f x f x nx F n x x x x nx +++===>+++ ，若10x <，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++-===->+++ ，故当数列{}n x 为非零常数列时，()0F n >.（3）当数列{}n x 为公差不为0的数列时，因*N n ∈，120n x x x +++≠ ，若()11202n n n x x x x x ++++=> ①，由等差数列性质有1213210n m n n n m x x x x x x x x --+-+=+=+==+> ，其中2,1,,m n= 又()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，则由10m n m x x +-+>可得1n m m x x +->-，所以有()()()11m n m n m f x f x f x +-+->-=-，即()()10m n m f x f x +-+->，2,1,,m n = ，所以有()()()()()()()()()12121120n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++++>⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，即()()()120n f x f x f x +++> ②，所以由①②知()0F n >.同理可证明若()11202n n n x x x x x ++++=< ，利用函数()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，可证()()()120n f x f x f x +++< ，所以有()0F n >.综上可知()0F n >恒成立.【小问3详解】()()111n a a n d n d =+-=-，所以()1n n c a n d ==- ，即{}n c 为等差数列，所以()()()12310212m m m S m c c c c d d m d d -=+++=++++-=，由题意知()1231231111m m S m c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 123|2||2||2||2|507m c c c c =-+-+-+-= ，构造函数()23507f x x d x d x d x m d =-+-+-++-=，则()1215070m m m m f c d c c c c --+=++++-= ，()121111115070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--= ，()121222225070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--= ，所以函数()f x 至少有三个零点:||,||,1,||2m m m c d c d c d ++-+- 若使得()f x 有三个零点，则存在区间,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，使得()f x 为常数，且三个零点均在,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 内，所以m 必为偶数，且||2d ≥ ，于是有21122(1)02m m m m m d c d c d c d d m d f ⎧⎛⎫≤+-≤+-≤+≤+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫+⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭⎩，故有225074d m d ⎧≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，其中()()()2(1)132150722224m d m d m d m m d m f d ⎛⎫+---- ⎪=+++=- ⎪⎝⎭，实际上2(1)15072224m d m m m f f d f d d ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，化简得224507m ≤⨯，解得31m ≤，又m 为偶数，故m 的最大值为30.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列的通项公式以及求和公式，难度较大，解得本题的关键在于理解题意，然后结合数列的相关知识解答.。
江苏省扬州中学高三数学月考试卷
2005-2006年第二学期扬州中学高三第一次月考数学试卷2006．2本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：（本大题共计12小题，每小题5分，共60 分）1.设()2x x f =，集合A ＝{x|f(x)＝x,x ∈R}，B ＝{x|f[f(x)]＝x,x ∈R},则A 与B 的关系是 （ ）A ．A ∩B ＝A B ．A ∩B ＝φC ．A ∪B ＝RD ．A ∪B ＝{－1，0，1}2．抛物线214y x =的焦点坐标是 （ ）A 、1(0,)16B 、1(,0)16 C 、(1,0) D 、(0,1)3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于 （ ）A 、144B 、72C 、54D 、364．4男5女排成一排，4男顺序一定，5女顺序也一定的排法种数为 （ ）A. 15120B. 126C. 3024D. 以上答案都不对5． 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 6． 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( ) （A ）ba11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c bc a . （D ）||||c b c a >. 7．若向量a =(－2,1),b =(3,－x)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为 （ ）A.｛x|x>－6｝B.｛x|x<－6｝C.｛x|x ≥－6｝D.｛x|x>－6且x ≠32｝8． 设直线0543=-+y x 的倾斜角为θ ，则该直线关于直线a x =（R a ∈）对称的直线的倾斜角为（ ） A.θπ-2 B. 2πθ- C. θπ-2 D.θπ-9． 过点（1，2）总可以作两条直线与圆x 2+y 2+kx+2y+k 2-15=0相切，则实数k 的取值范围（ ） （A ）k>2 （B ）-3<k<2 （C ）k<-3或k>2 （D ）都不对10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1的距离是点P 到直线BC 的距离的2倍，则动点P 的轨迹为 （ ） A. 圆弧B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分11．在△ABC 中，有下列命题：①A>B 的充要条件为sinA>sinB ； ②A<B 的充要条件为cosA>cosB ；③若A,B 为锐角，则sinA+sinB>cosA+cosB ； ④tan 2A B +tan 2C为常数其中正确的命题的个数为 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．如图，正方形ABCD的顶点(0,2A，2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线:(0l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()S f t =的图象大致是A 、3-B 、2-C 、1- D、第二卷（非选择题共90分）二. 填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在题中横线上） 13．把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移,得到y=2x 2的图象,且a ⊥b,c=(1,-1),b •c=4,则b= 。
2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷
C.设 是函数 的一个极值点，则
D.若角 的终边在第一象限，则 的取值集合为
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的”高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是
3.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
由函数的奇偶性得 ，由 在 上的单调性，
根据单调性及 可把 化为 或 ，解出即可．
【解答】
解：因为 是偶函数，所以 ．
又 在 上是增函数，所以 在 上是减函数．
由 得 或 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
故选 ．
4.
【答案】
A. B. C. D.
二、多选题
若直线 是函数 图象的一条切线，则函数 可以是( )
A. B. C. D.
设正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
下列命题中正确命题的是( )
A.已知 ， 是实数，则“ “是” ”的充分而不必要条件
A
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的图象
【解析】
利用函数的奇偶性和特殊值进行排除即可求解.
【解答】
解：∵ ，
∴ 为偶函数，图象关于 轴对称，故排除选项 ；
又∵ 时，
， ， ，
∴ ，故排除选项 .
故选 .
5.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试(四)数学试题(解析版)
树人学校2017-2018第二学期高三模拟考试（四）数学Ⅰ第Ⅰ卷（共70分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则__________．【答案】.【解析】分析：解不等式求得集合，然后再求出．详解：由题意得，∴．点睛：本题考查二次不等式的解法和集合交集的运算，考查学生的运算能力，属容易题．2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于第__________象限．【答案】三.【解析】分析：由复数的除法运算将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断．详解：由题意得，∴复数对应的点为，位于第三象限．点睛：复数与复平面内的点和向量之间建立了一一对应的关系，这是复数几何意义的表现．3. 设，则“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要.【解析】分析：解不等式和，然后根据解集间的关系进行判断即可得到结论．详解：解不等式不等式，得；不等式即为，解得或．∵或，∴“”是“”的充分不必要条件．点睛：利用集合间的包含关系判断充分必要条件时常用的结论：①若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；②若A＝B，则A是B的充要条件．4. 为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．【答案】100.【解析】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为，∴样本中三等品的件数为.点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．5. 运行如图所示的算法流程图，输出的的值为__________．【答案】9.【解析】分析：逐次运行程序框图中的程序可得输出结果．详解：依次运行程序框图中的程序，可得①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，不满足条件，继续运行；④，满足条件，输出9．点睛：判断程序框图的输出结果时，一般采用的方法是依次运行框图给出的程序，逐步得到输出结果即可。
2019-2020学年江苏省扬州市树人学校高三(上)第一次月考数学试卷(理科)试题及答案
2019-2020学年江苏省扬州市树人学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1．（5分）（2011秋•亭湖区校级期中）已知集合{1A =，2}，{3B =，}a 且{1}A B =，则AB = ．2．（5分）（2018秋•启东市校级月考）函数2()(23)f x lg x x =--的定义域为 ． 3．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知复数z 满足1(z i i i =+是虚数单位），则复数z 的模为 ．4．（5分）（2017秋•盐城期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b =3B π=，则A = ．5．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数22,0(),0xx f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则((2))f f -= ．6．（5分）（2018秋•如皋市校级月考）若“||1x a -…”是“2x …”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ．7．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数y lnx a =+的图象与直线1y x =+相切，则实数a 的值为 ．8．（5分）（2016春•灌云县期中）cos(2)3y x π=-的单调增区间为 ．9．（2018秋•启东市月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点(1,2)A ，将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转2π与角β的终边重合，则sin()αβ+的值为 ． 10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ．11．（5分）（2018秋•启东市校级月考）如图，在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，E ，F 是AB 上的两个三等分点，G ，H 是AC 上的两个三等分点，10()()9BE CE BH CF +-=-，则cos b C 的最小值为 ．12．（5分）（2018秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线1:y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A 、B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是 ．13．（5分）（2011•南通模拟）已知三次函数32()()3a f x x bx cx d ab =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-的最小值为 ． 14．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2||,1()(22,1x e x a x f x e x ax x ⎧---=⎨-+<-⎩…是自然对数的底数）恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共有6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（14分）（2017秋•江苏期中）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．向量(,3)m a b =，(sin ,cos )n B A =-，且m n ⊥． （1）求A 的大小； （2）若6||n =，求cos C 的值．16．（14分）（2017秋•盐城期中）记函数2()(1)f x lg ax =-的定义域、值域分别为集合A ，B ．（1）当1a =时，求AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17．（14分）（2017秋•武邑县校级月考）已知函数2()f x x =，1()()2x g x m =-．（1）若对任意1[1x ∈-，3]，2[0x ∈，2]都有12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围． （2）若对任意2[0x ∈，2]，总存在1[1x ∈-，3]，使得12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围．18．（16分）（2017•天河区校级三模）已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C ． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)-作直线与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB 中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．19．（16分）（2018秋•启东市校级月考）如图，港珠澳大桥连接珠海(A 点）、澳门(B 点）、香港(C 点）．线段AB 长度为10()km ，线段BC 长度为40()km ，且60ABC ∠=︒．澳门(B 点）与香港(C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛E 和人工岛F ，海底隧道是以O 为圆心，半径)R km 的一段圆弧EF ，从珠海点A 到人工岛E 所在的直线AE 与圆O 相切，切点为点E ，记AEB θ∠=，[,)62ππθ∈．（1）用θ表示AE 、EF 及弧长EF ；（2）记路程AE 、弧长EF 及BE 、FC 四段长总和为l ，当θ取何值时，l 取得最小值？20．（16分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2()f x ax lnx x =--，()(2)(22)(x g x e x a x e =-+-是自然对数的底数）． （1）若1a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围．三、附加题（本大题共有4小题，共40分.）21．（2013•滨海县校级模拟）已知二阶矩阵2[]0a Ab =属于特征值1-的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵．22．（2017•江苏模拟）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ．23．（2015•盐城三模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>． （1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值．24．（2016•盐城模拟）设2012(1)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+，*n N ∈，2n …． （1）设11n =，求67891011||||||||||||a a a a a a +++++的值； （2）设11(,1)k k k b a k N k n n k++=∈--…，012(,1)m m S b b b b m N m n =+++⋯+∈-…，求1||m mn S C -的值．2019-2020学年江苏省扬州市树人学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1．（5分）（2011秋•亭湖区校级期中）已知集合{1A =，2}，{3B =，}a 且{1}A B =，则AB = {1，2，3} ．【解答】解：集合{1A =，2}，{3B =，}a ，且{1}A B =，1a ∴=， {1AB ∴=，2，3}，故答案为：{1，2，3}．2．（5分）（2018秋•启东市校级月考）函数2()(23)f x lg x x =--的定义域为 (-∞，1)(3-⋃，)+∞ ．【解答】解：解2230x x -->得，1x <-，或3x >； ()f x ∴的定义域为(-∞，1)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，1)(3-⋃，)+∞．3．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知复数z 满足1(z i i i =+是虚数单位），则复数z【解答】解：复数z 满足1(z i i i =+是虚数单位），2211i i i z i i i++∴===-，∴复数z =4．（5分）（2017秋•盐城期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b =3B π=，则A =2π． 【解答】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b =，3B π=，则由正弦定理得：sin sin a bA B=，即2sin A =，解得：sin 1A =， 又由A 为三角形的内角， 故2A π=，故答案为：2π． 5．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数22,0(),0xx f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则((2)f f -= 2- ．【解答】解：函数22,0(),0xx f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，21(2)24f -∴-==， 21((2))24f f log -==-． 故答案为：2-．6．（5分）（2018秋•如皋市校级月考）若“||1x a -…”是“2x …”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 (-∞，1] ．【解答】解： “||1x a -…”是“2x …”的充分不必要条件，112a x a x ∴-+⇒剟?， 12a ∴+…，解得1a …，∴实数a 的取值范围为(-∞，1]．故答案为：(-∞，1]．7．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数y lnx a =+的图象与直线1y x =+相切，则实数a 的值为 2 ． 【解答】解：1y x'=， 设切点是0(x ，0)lnx a +， 则011y x '==， 故01x =，02lnx ln =-，代入切线得：011a +=+， 解得：2a =， 故答案为：2．8．（5分）（2016春•灌云县期中）cos(2)3y x π=-的单调增区间为 [3k ππ-，]6k ππ+，()k Z ∈ ．【解答】解：函数cos(2)cos(2)33y x x ππ=-=-，令2223k x k ππππ-+-剟，k Z ∈，解得222233k x k ππππ-++剟，k Z ∈， 即36k xk ππππ-++剟，k Z ∈；所以函数y 的单调增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，()k Z ∈．故答案为：[3k ππ-，]6k ππ+，()k Z ∈．9．（5分）（2018秋•启东市校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点(1,2)A ，将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转2π与角β的终边重合，则sin()αβ+的值为 35-【解答】解：由已知||r OA ==sinα==，cos α==，将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转2π与角β的终边重合 则2πβα=+，则2223sin()sin()sin(2)cos22cos 12112255ππαβααααα+=++=+==-=⨯-=-=-，故答案为：35-10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆【解答】解：因为：(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=- (2)()()b a b c b c ⇒+-=-2222a b ab b c bc ⇒-+-=-，又因为：2a =，所以：2222222221cos 223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-⇒+-=⇒==⇒=，ABC ∆面积1sin 2S bc A ==， 而222b c a bc +-= 222b c bc a ⇒+-= 224b c bc ⇒+-=4bc ⇒…所以：1sin 2S bc A =…ABC ∆11．（5分）（2018秋•启东市校级月考）如图，在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，E ，F 是AB 上的两个三等分点，G ，H 是AC 上的两个三等分点，10()()9BE CE BH CF +-=-，则cos b C 的最小值为 ．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：则(2a B -，0)，(2a C ，0)，(cos 2aA b C -，sin )b C ，(cos ,sin )BA a b C b C =-，(,0)BC a =，∴23BE BA =，23CE CB BA =+，13BH BC CA =+，13CF CB BA =+， 43BE CE BA CB +=+，53BH CF BC -=，224520520510()()()(cos )3393939BE CE BH CF BA CB BC BA BC BC a a b C a +-=+=-=--=-1cos 42a b C a ∴=+…（当且仅当a =．12．（5分）（2018秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线1:y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A 、B ，若存在点P使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是 [- ．【解答】解：设PO 与AB 交于H ，在直角三角形PAO 中，由射影定理可得2PA PH PO =， 32PA PB PO +=，且2PA PB PH +=，即34PH PO =， 则2234PA PO =，设(,)P m n ，可得222231()4m n m n +-=+，即为224m n +=，可得P 在直线y x a =+上，又在圆224x y +=上，2，即a -，故答案为：[-．13．（5分）（2011•南通模拟）已知三次函数32()()3a f x x bx cx d ab =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-的最小值为3 ． 【解答】解：2()2f x ax bx c '=++． 三次函数32()()3a f x x bx cx d ab =+++<在R 上单调递增， ()0f x ∴'…在R 上恒成立（不恒等于0)， ∴20440a b ac >⎧⎨=-⎩…，即0a >，2b ac …， ∴2b c a…，∴22221()()1b b b a b a b c a ab b a a a b b a b a a b a a++++++++==----…， 令1bt a=>，则221(1)3(1)33(1)33111t t t t t t t t ++-+-+==-++---，当且仅当1bt a=+=时取等号．故a b cb a++-的最小值为：3．故答案为：3．14．（5分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2||,1()(22,1x e x a x f x e x ax x ⎧---=⎨-+<-⎩…是自然对数的底数）恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 3[2-，11)e-- ．【解答】解：当0a =时，1x <-时，2()20f x x =+>， 而()||x f x e x =-，最多两个零点， 即有()f x 不可能有三个零点；当0a >时，1x <-时，22()2()f x a x a =-+-递减， 且()(1)320f x f a >-=+>， 而()||x f x e x =-，最多两个零点， 即有()f x 不可能有三个零点；当0a <时，1x <-时，由于()f x 的对称轴为x a =， 可得顶点为2(,2)a a -， 若220a ->，不满足题意；若220a -<，320a +…，1|1|0a e ---<，解得3112a e -<--…，满足()f x 恰有三个零点；若220a -=，320a +>，1|1|0a e ---…，解得a ∈∅，不满足题意；综上可得a 的范围是3[2-，11)e --．故答案为：3[2-，11)e--．二、解答题（本大题共有6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（14分）（2017秋•江苏期中）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．向量(,3)m a b =，(sin ,cos )n B A =-，且m n ⊥． （1）求A 的大小； （2）若6||n =，求cos C 的值． 【解答】解：（1）m n ⊥，∴sin cos 0m n a B A ==，由正弦定理知，sin sin cos 0A B B A =；又sin 0B ≠，tan A ∴(0,)A π∈， 3A π∴=；（2）2||sin n B ==，2213sin ()28B ∴+=，解得21sin 8B =；由(0,)B π∈，sin B ∴；ABC ∆中，3A π=，sin A ∴=， sin sin A B ∴>，即a b >，B ∴为锐角，cos 4B ==，1cos cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B =-+=-+=-=；cos C ∴． 16．（14分）（2017秋•盐城期中）记函数2()(1)f x lg ax =-的定义域、值域分别为集合A ，B ．（1）当1a =时，求AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，2()(1)f x lg x =-，由210x ->，得(1,1)A =-．⋯（2分） 又2011x <-…，所以(B =-∞，0]．⋯（4分） 故(1AB =-，0]．⋯（6分）（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件B A ⇔Ü．⋯（8分）①当0a =时，A R =，{0}B =，适合题意； ⋯（9分） ②当0a <时，A R =，[0B =，)+∞，适合题意； ⋯（11分） ③当0a >时，(A=，(B =-∞，0]，不适合题意．⋯（13分）综上所述，实数a 的取值范围是(-∞，0]．⋯（14分）17．（14分）（2017秋•武邑县校级月考）已知函数2()f x x =，1()()2x g x m =-．（1）若对任意1[1x ∈-，3]，2[0x ∈，2]都有12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围． （2）若对任意2[0x ∈，2]，总存在1[1x ∈-，3]，使得12()()f x g x …成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：12()()min max f x g x …， ()f x 在(1,0)-上递减，在(0,3)上递增， 1()(0)0min f x f ∴==，又()g x 在(0,2)上递减，2()(0)1max g x g m ∴==-，∴有01m -…，m 的范围为[1，)+∞；（2）由题设知12()()max max f x g x …，∴有f （3）(0)g …，即91m -…， M ∴的范围为[8-，)+∞．18．（16分）（2017•天河区校级三模）已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)-作直线与圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB 中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）圆221:60C x y x ++=化为标准方程为22(3)9x y ++=， 设圆1C 的圆心1(3,0)C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(,)C a b ， 则111C C k k =-，且1CC 的中点3(2a M -，)2b在直线1:21l y x =+上． ∴213(3)102ba b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=；（2）如图：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．由||||||OS OA OB BA =-=，得四边形OASB 为矩形，OA OB ∴⊥， 必须使0OA OB =，即12120x x y y +=．①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为1x =-，与圆22:(1)(2)9C x y -++=交于两点(2)A -，(1,2)B -．(1)(1)2)(2)0OA OB =-⨯-+⨯=，OA OB ∴⊥，∴当直线的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为(1)y k x =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22(1)(2)9(1)x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩，得2222(1)(242)440k x k k x k k +++-++-=， 由于点(1,0)-，在圆C 内部，∴△0>恒成立，∴21222421k k x x k +-+=-+，2122441k k x x k +-=+，由12120x x y y +=，得2212244(1)(1)01k k k x x k+-+++=+， 整理得222222244242(1)011k k k k k k k k k+-+-+-+=++， 解得1k =，∴直线方程为1y x =+，∴存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交A ，B 两点，且||||OS OA OB =-．19．（16分）（2018秋•启东市校级月考）如图，港珠澳大桥连接珠海(A 点）、澳门(B 点）、香港(C 点）．线段AB 长度为10()km ，线段BC 长度为40()km ，且60ABC ∠=︒．澳门(B 点）与香港(C 点）之间有一段海底隧道，连接人工岛E 和人工岛F ，海底隧道是以O 为圆心，半径)R km 的一段圆弧EF ，从珠海点A 到人工岛E 所在的直线AE 与圆O 相切，切点为点E ，记AEB θ∠=，[,)62ππθ∈．（1）用θ表示AE 、EF 及弧长EF ；（2）记路程AE 、弧长EF 及BE 、FC 四段长总和为l ，当θ取何值时，l 取得最小值？【解答】（本题满分为16分）解：（1）在ABE ∆中，由正弦定理可知：10sin 60sin AE θ=︒，可得AE ，⋯⋯⋯⋯⋯（2分）在OEF ∆中，2sin EF R θθ==，⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 2032EF R θ==．⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）40l θ=+-，[,)62ππθ∈，⋯⋯⋯⋯⋯（8分）l ∴'=，⋯⋯⋯（10分）即l '，⋯⋯⋯⋯⋯（12分）由cos (0t θ=∈，则222cos cos 4240t t θθ-+=-+<，⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 当63ππθ<…时，0l '<；当32ππθ<…时，0l '>， l ∴在(6π，)3π上单调递减，在(3π，)2π上单调递增， 答：当3πθ=时，l 取得最小值．⋯⋯⋯⋯⋯（16分）20．（16分）（2018秋•启东市校级月考）已知函数2()f x ax lnx x =--，()(2)(22)(x g x e x a x e =-+-是自然对数的底数）． （1）若1a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【解答】解（1）当1a =时，2()f x x lnx x =--， 故(21)(1)()x x f x x+-'=，因为0x >，所有01x <<时，()0f x '<；1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增． ⋯⋯⋯⋯⋯（3分） （2）221()(0)ax x f x x x--'=>若0a …时，()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，由f （1）10a =-<与()0f x …恒成立矛盾，所以0a …不合题意；⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 若0a >时，令()0f x '=，则0x =， 所以 当00x x <<时，()0f x '<；当0x x >时，()0f x '>，则()f x 在0(0,)x 单调递减，在0(x ，)+∞单调递增 ⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 所以()f x 的最小值为20000()(*)f x ax lnx x =--， 又200210ax x --=，2001(1)2ax x ∴=+带入(*)得：00011()22f x lnx x =--， 由()0f x …恒成立，所以0()0f x …，记11()22m x lnx x =--， 又11()02m x x '=--<，则()m x 在(0,)+∞单调递减，又m （1）0=，所以01x <…，即001x <…，200111()2a x x =+，∴01[1x ∈，)+∞ ⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 所以实数a 的取值范围是[1，)+∞⋯⋯⋯⋯⋯（11分） （3）1()(1)(2)x h x x a e x'=-+-，h ∴（1）0=， 设1()2x G x a e x =+-，0x >，则21()0x G x e x'=--<， 则()G x 在(0,)+∞上单调递减， 当G （1）0…时，即12e a -…，01x ∴<<，()0G x >，则()0h x '<，()h x ∴在(0,1)单调递减与“()h x 在1x =处取得极大值”矛盾 12e a -∴…，不合题意；⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 当G （1）0<时，即12e a -<， 则11221()2(2)02e a e aG a e a e e e e a--=+-->->-，由G （1）0<，1()02G e a>-，01(2x e a∴∃∈-，1)，使得0()0G x =⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 当01x x <<时，()0G x <，则()0h x '>， 当1x >时，()0G x <，则()0h x '<，()h x ∴在0(x ，1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，则()h x 在1x =处取得极大值 综上，12e a -<，符合题意． ⋯⋯⋯⋯⋯（16分） 三、附加题（本大题共有4小题，共40分.）21．（2013•滨海县校级模拟）已知二阶矩阵2[]0aA b =属于特征值1-的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵． 【解答】解：由矩阵A 属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得211033a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得2313a b -=-⎧⎨=⎩即1a =，3b =； ⋯（3分） 解得2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，⋯（8分） A ∴逆矩阵是1103[[213db ad bcad bc A c a ad bcad bc --⎤⎤⎥⎥--==⎥⎥-⎥⎥-⎥⎥--⎦⎦． 22．（2017•江苏模拟）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 【解答】解：（1）由题意得113126x x +=∴=． 1111632y y ++=∴=． 记甲乙两人所付车费相同的事件为A ，P （A ）11111122663629=⨯+⨯+⨯=，甲、乙两人所付车费相同的概率为29． （2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5． 1(0)12P ξ==，11117(1)236636P ξ==⨯+⨯=，1111111(2)6663223P ξ==⨯+⨯+⨯=， 1111111(3)6663626P ξ==⨯+⨯+⨯=11115(4)626336P ξ==⨯+⨯=，111(5)6212P ξ==⨯=．所以ξ的分布列为：ξ∴的数学期望171151701234512363636123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 23．（2015•盐城三模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>． （1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； （2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值．【解答】解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4A ，0，0)，(0B ，3，0)，(4C -，0，0)，(0D ，3-，0)，(0P ，0，4)，所以(4PA =，0，4)-，(0DB =，6，0)，(4AB =-，3，0)．当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =， 令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =，所以cos ,25PA n 〈〉==，即直线PA 与平面BDM ．⋯（5分） （2）易知平面ABC 的一个法向量1(0n =，0，1)．设(M a ，0，)b ，代入PM MC λ=，得(a ，0，4)(4b a λ-=--，0，)b -， 解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++，设平面ABM 的法向量2(n x =，y ，)z ，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩， 消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =， 所以平面ABM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+，=，解得13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=．⋯（10分） 24．（2016•盐城模拟）设2012(1)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+，*n N ∈，2n …． （1）设11n =，求67891011||||||||||||a a a a a a +++++的值； （2）设11(,1)k k k b a k N k n n k++=∈--…，012(,1)m m S b b b b m N m n =+++⋯+∈-…，求1||m mn S C -的- 21 - 值．【解答】解：（1）由二项式定理可得(1)k k k n a C =-，当11n =时，671167891011111111||||||||||||a a a a a a C C C +++++=++⋯+01101110111111111()210242C C C C =++⋯++==； （2）111111(1)(1)k k k k k k n n k k b a C C n k n k++++++==-=---， 当11k n -剟时，11111(1)(1)()k k k k k k n n n b C C C ++---=-=-+111111111(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k n n n n C C C C ++-------=-+-=---，当0m =时，0011||||1m m n n S b C C --==； 当11m n -剟时，k 11k 012111...1[(1)(1)]mk k m m n n k S b b b b C C ----==++++=-+---∑1111(1)(1)m m m m n n C C --=-+--=--，即有1||1m m n S C -=． 综上可得，1||1m m n S C -=．。
2020年江苏省扬州市树人中学高三数学文月考试题含解析
2020年江苏省扬州市树人中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2013?浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β参考答案：C【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．【点评】：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．2. 命题“”的否定是(A)(B)(C)(D)参考答案：D略3. 如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（）A ．13 B．14 C．15 D．17A解答：解：如图所示，边长为1的正三角形共有1+3+5=9个；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个．综上可知：共有9+3+1=13个．故选A．点评：正确按边长分类是解题的关键．4. 若双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A．1 B．13 C．1或13 D．15参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义真假求解即可．【解答】解：双曲线E：的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，a=3，b=4，c=5．点P在双曲线E左支上．则|PF2|=2a+|PF1|=6+7=13．故选：B．5. 已知，,则（）A . B. C.D.参考答案：A6. 椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m。
2021-2022学年江苏省扬州市江都中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2021-2022学年江苏省扬州市江都中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={y|y=1x2}，B={x|x2−2x−3<0,x∈R}，那么A∩B=()A. (0,3)B. (−1,+∞)C. (0,1)D. (3,+∞)2.函数f(x)=(x2+|x|)⋅ln|x|的图象大致是()A. B.C. D.3.已知函数f(x)=x+4x，则“x>4”是“f(x)>5”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知点P(sin(−30°),cos(−30°))在角θ的终边上，且θ∈[−2π,0)，则角θ的大小为()A. −π3B. 2π3C. −2π3D. −4π35.已知函数f(x)=2x13,x∈R，若当0≤θ≤π2时，f(msinθ)+f(1−m)>0恒成立，则实数m的取值范围是()A. (0,1)B. (−∞,0)C. (1,+∞)D. (−∞,1)6.有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑．小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物AB，高为(150−50√3)m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为30°，则小明估算金奥中心的高度为()A. 200mB. 300mC. 200√3mD. 300√3m7.函数f(x)=2sin(x+π4)+cos2x的最大值为()A. 1+√2B. 3√32C. 2√2D. 38.已知f(x)={2xx2+1,x≥0−1x ,x<0，若函数g(x)=f(x)−t有三个不同的零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，则−1x1+1x2+1x3的取值范围是()A. (3,+∞)B. (2,+∞)C. (52,+∞) D. (1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列选项中正确的是()A. 不等式a+b≥2√ab恒成立B. 存在实数a，使得不等式a+1a≤2成立C. 若a、b为正实数，则ba +ab≥2D. 若正实数x，y满足x+2y=1，则2x +1y≥810.已知函数f(x)=(x2−2x)⋅e x，则()A. 函数f(x)在原点处的切线方程为y=−2xB. 函数f(x)的极小值点为x=−√2C. 函数f(x)在(−∞,−√2)上有一个零点D. 函数f(x)在R上有两个零点11.已知函数f(x)，g(x)的图象分别如图1，2所示，方程f(g(x))=1，g(f(x))=−1，g(g(x))=−12的实根个数分别为a，b，c，则()A. a+b=cB. b+c=aC. a b=cD. b+c=2a12.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|，下列结论正确的是()A. f(x)是偶函数B. f(x)在区间(π2,π)单调递减C. f(x)在[−2π,2π]有4个零点D. f(x)的最小值为−√2三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.写出一个周期为2且值域为[0,2]的函数的解析式f(x)=______．14.已知tan(α+π4)=−2，则sin2α1−cos2α=______．15.已知函数f(x)=16x3−mx+3，g(x)=−5x−4ln1x，若函数f′(x)与g(x)(x∈[1e,4])的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1)，值域为[0,+∞)，则ac的最大值为；实数λ满足1−b=λ√a，则λ取值范围为．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|14≤2x≤128}，B={y|y=log2x,x∈[18,32]}．(1)若C={x|m+1<x≤2m−2}，C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围；(2)若D={x|x>6m+1}，且(A∪B)∩D=⌀，求实数m的取值范围．18.已知关于x的不等式kx2+2kx−k+1>0的解集为M．(1)若M=R，求k的取值范围；(2)若存在两个不相等负实数a、b，使得M=(−∞,a)∪(b,+∞)，求实数k的取值范围；(3)若恰有三个整数n1、n2、n3在集合M中，求k的取值范围．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为△ABC的面积．请在①S=√3 4(b2+c2−a2)；②√3(bsinC−ccosBtanC)=a；③sinC+sin(B−A)=sinB，三个条件中选择一个，完成下列问题：(Ⅰ)求出角A的大小；(Ⅱ)若a=√3，求2b−c的取值范围．20.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，把函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象．(1)当x∈[π4,11π12]时，若方程g(x)−m=0恰好有两个不同的根x1，x2，求m的取值范围及x1+x2的值；(2)令F(x)=f(x)−3，若对任意x都有F2(x)−(2+m)F(x)+2+m≤0恒成立，求m的最大值．21. 已知函数f(x)=(a −1x )lnx(a ∈R)．(1)若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x +y −1=0，求a 的值； (2)若f(x)的导函数f′(x)存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； (3)当a =2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f(x)≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．22. 若函数y =f(x)对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使得f(x 1)f(x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数g(x)=sinx 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=2x−1在定义域[m,n](m >0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围； (3)已知函数ℎ(x)=(x −a)2(a ≥43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”，若存在实数x ∈[43,4]，使得对任意的t ∈R ，不等式ℎ(x)≥−t 2+(s −t)x +4都成立，求实数s的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={y|y =1x 2}={y|y >0}， B ={x|x 2−2x −3<0,x ∈R}={x|−1<x <3}， ∴A ∩B ={x|0<x <3}=(0,3)． 故选：A ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=(x 2+|x|)⋅ln|x|，其定义域为{x|x ≠0}， 则有f(−x)=(x 2+|x|)⋅ln|x|=f(x)，函数f(x)为偶函数，排除BD ， 在区间(0,1)上，ln|x|<0，f(x)<0，排除C ， 故选：A ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD ，再分析区间(0,1)上，f(x)的符号，排除C ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数变化趋势的判断，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：①当x >4时，函数f(x)=x +4x 单调递增，∴f(x)>5，∴充分性成立， ②当x =12时，f(x)=12+8=172>5，但x <4，∴必要性不成立，∴x >4是f(x)>5的充分不必要条件， 故选：B ．利用函数的单调性判断充分性，利用举实例判断必要性． 本题考查了函数的单调性，充要条件的判定，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：∵点P(sin(−30°),cos(−30°))在角θ的终边上，且θ∈[−2π,0)，则cosθ=sin(−30°)=−12，sinθ=cos(−30°)=√32，∴θ=−π−π3=−4π3．故选：D．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ和sinθ的值，进而可得θ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵f(x)=2x13,x∈R，∴f(−x)=−2x13=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，且为增函数；又f(msinθ)+f(1−m)>0，∴f(msinθ)>−f(1−m)=f(m−1)，∴msinθ>m−1，整理得m(1−sinθ)<1①；∵0≤θ≤π2，当θ=π2时，0<1恒成立，m∈R；当θ≠π2时，①式可化为m<11−sinθ；∵g(θ)=11−sinθ在[0,π2)上单调递增，∴当θ=0时，g(θ)取得最小值1，∴m<1；故选：D．易得f(x)=2x13为R上的奇函数且在R上递增，于是f(msinθ)>f(m−1)脱去“f”，等价转化为m(1−sinθ)<1，分θ=π2与θ≠π2两类讨论，即可求解．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，考查构造法与三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：在三角形△ABM 中，sin15°=ABAM ， ∵AB =150−50√3， ∴AM =√3)√6−√2，在三角形△ACM 中∠AMC =105°，∠CAM =45°， ∴∠ACM =30°，由正弦定理可得，CMsin45∘=AMsin30∘， ∴CM =200√3，在△CDM 中，sin60°=CD CM ， ∴CD =300，即楼高为300米， 故选：B ．分别在三角形中利用正弦定理以及三角形的性质即可解出．本题考查了解三角形，正弦定理的应用，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)=2sin(x +π4)+cos2x =2sin(x +π4)+sin(2x +π2)， 令x +π4=θ，则f(θ)=2sinθ+sin2θ，∴f′(θ)=2cosθ+2cos2θ=4cos 2θ+2cosθ−2， 令f′(θ)=0，可得cosθ=−1或cosθ=12，故当cosθ∈[−1,12)时，f′(θ)<0，f(θ)单调单调递减； 当cosθ∈[12,1]时，f′(θ)>0，f(θ)单调单调递增， 即θ∈[2kπ−π3,2kπ+π3]，k ∈Z 时，f(θ)单调单调递增． 故当θ=2kπ+π3，k ∈Z 时，此时，cosθ=12、sinθ=√32，f(θ)取得最大值为2×√32+2×√32×12=3√32，故选：B．令x+π4=θ，则f(x)=g(θ)=2sinθ+sin2θ，再利用导数求得f(θ)的最小值．本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的导数，利用导数求函数的最值，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：函数f(x)={2xx2+1,x≥0−1x ,x<0的图象如图所示，函数g(x)=f(x)−t有三个不同的零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，即方程f(x)=t有三个不同的实数根x1，x2，x3，由图知t>0，当x>0时，f(x)=2xx2+1=2x+1x，∵x+1x≥2(x>0)，∴f(x)≤1，当且仅当x=1时取得最大值，当y=1时，x1=−1，x2=x3=1，此时−1x1+1x2+1x3=3，由2x+1x =t(0<t<1)，可得x2−2xt+1=0，∴x2+x3=2t，x2x3=1，∴1x2+1x3=2t>2，∴−1x1+1x2+1x3=t+2t，∵0<t<1，∴−1x1+1x2+1x3的取值范围是(3,+∞)．故选：A．首先画出函数的图象，根据图象得t >0时有三个零点，求出当x ≥0时f(x)的最大值，判断零点的范围，然后推导得出结果．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．一般函数零点的求解与判断方法有如下三种：①直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)⋅f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ：当a ≥0和b ≥0时，不等式a +b ≥2√ab ， 当且仅当a =b 时等号成立恒成立，故A 错误；对于B ：存在实数a =1，使得不等式a +1a ≤2成立，故B 正确；对于C ：若a 、b 为正实数，则b a+a b≥2√b a⋅ab ≥2，当且仅当b a =ab 时，等号成立，故C 正确； 对于D ：若正实数x ，y 满足x +2y =1， 则2x +1y =(x +2y)(2x +1y )=4y x+x y +4≥2√4y x ⋅xy +4=8，当且仅当4yx =xy ，即x =12,y =14时等号成立，故D 正确． 故选：BCD ．直接利用不等式的性质和基本不等式的的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=(x 2−2x)e x ，∴f′(x)=(2x −2)e x +(x 2−2x)e x =(x 2−2)e x ， ∴f′(0)=−2，∴函数f(x)在原点处的切线方程为y =−2x ，故A 正确，令f′(x)=0，解得x=±√2，当x<−√2或x>√2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当−√2<x<√2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴函数的极小值点为x=√2时，极大值点为x=−√2，故B错误，令f(x)=(x2−2x)⋅e x=0，解得x=0或x=2，∴函数f(x)在(−∞,−√2)上没有零点，故C错误，D正确．故选：AD．先求导，再根据导数得几何意义即可求出切线方程，再根据导数和极值的关系即可求出极小值点，令f(x)=0，即可求出函数的零点．本题考查了切线方程，极值，零点等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：由图，g(f(x))=−1，得f(x)=−1，或者f(x)=1，有2个解b=2，方程f(g(x))=1，g(x)大约等于−12，对应四个解，a=4，g(g(x))=−12，g(x)取到4个值，如图，而对应的x的解，由6个，c=6，根据选项，A，D成立，故选：AD．根据图象，确定a，b，c的值，代入验证即可．考查函数图象的对应关系，基础题．12.【答案】AC【解析】解：函数f(x)=sin|x|+|cosx|，对于A：f(−x)=sin|x|+|cosx|=sin|−x|+|cos(−x)|=f(x)故函数为偶函数，故A 正确；对于B：由于x∈(π2,π)，故f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，故函数在区间(π2,π)单调递增，故B错误；对于C：当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[1,√2]；当x∈[π2,π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)∈[1,√2]；当x∈[π,3π2]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)∈[−1,1]；当x=5π4时，f(5π4)=0．当x∈[3π2,2π]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−1,1]，当x=7π4时，f(7π4)=0．故函数f(x)在[0,2π]上有两个零点，由于函数为偶函数，故函数f(x)在[−2π,2π]有4个零点，故C正确；对于D：由选项C的函数的值域函数的最小值为−1，故D错误．故选：AC．直接利用函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】2|sinπ2x|【解析】解：如f(x)=2|sinπ2x|，其周期T=2ππ22=2，且其值域为[0,2]，满足题意，故答案为：2|sinπ2x|．由值域为[−2,2]联想到三角函数，再根据周期可以编写一个符合的函数．考查三角函数的周期、值域的求法，清楚三角函数的图象，属于基础题．14.【答案】13【解析】解：因为tan(α+π4)=−2，所以tanα+11−tanα=−2，解得tanα=3，则sin2α1−cos2α=2sinαcosα2sin2α=1tanα=13．故答案为：13．由已知利用两角和的正切公式可求tanα的值，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．15.【答案】[8ln2−12,−92]【解析】解：函数f′(x)与g(x)(x ∈[1e ,4])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点， 等价于f′(x)+g(x)在[1e ,4]有零点，令ℎ(x)=f′(x)+g(x)=12x 2−m −5x −4ln 1x =12x 2−m −5x +4lnx ， 则ℎ′(x)=x −5+4x =(x−1)(x−4)x ，所以在[1e ,1]上，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增， 在[1,4]上，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减， 则ℎ(x)≤ℎ(1)，又ℎ(1)=−m −92，ℎ(1e )=12e 2−m −5e −4，ℎ(4)=8ln2−m −12， 因为ℎ(4)−ℎ(1e )=8ln2−8+5e −12e 2<0， 所以ℎ(4)<ℎ(1e )， 则ℎ(x)≥ℎ(4)，所以ℎ(4)=8ln2−m −12≤0①， ℎ(1)=−m −92≥0②，解得8ln2−12≤m ≤−92， 即m 的取值范围是[8ln2−12,−92]. 故答案为：[8ln2−12,−92].由题意可得f′(x)+g(x)在[1e ,4]有零点，令ℎ(x)=f′(x)+g(x)，利用导数求出ℎ(x)的最大值及最小值，结合题意即可求解m 的取值范围．本题主要考查函数图象的应用，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究闭区间上函数的最值，综合性很强，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】116[2√2−2,+∞)【解析】解：∵二次函数y =ax 2+bx +c(a,b,c 均为正数)过点(1,1)， ∴a +b +c =1(a >0,b >0,c >0)， ∵开口向上且值域为[0,+∞)， ∴△=b 2−4ac =0， ∴b =2√ac ，∴a +b +c =a +2√ac +c =1， ∴(√a +√c)2=1， ∴√a +√c =1，∴1=√a +√c ≥2√√a ⋅√c ，即√√ac ≤12，当且仅当a =c =14时，等号成立， ∴√ac ≤14，即ac ≤116，当且仅当a =c =14时，等号成立， ∴ac 的最大值为116(当且仅当a =c =14时最大)，∵λ√a =1−b =a +c =a +(1−√a)2=2a −2√a +1， ∴λ=2√a −2√a =2√a √a−2，∵a +c =2a −2√a +1=1−b <1，即2a −2√a <0， ∴a −√a <0，∴a −√a =√a(√a −1)<0，∴0<√a <1， ∴0<a <1， ∴λ≥2√2√a ⋅√a2=2√2−2，当且仅当2√a =√a 即a =12时，等号成立， 又∵a →0时，√a →+∞， ∴λ∈[2√2−2,+∞)， 故答案为116；[2√2−2,+∞)．由题意可知a +b +c =1(a >0,b >0,c >0)，△=b 2−4ac =0，所以a +b +c =a +2√ac +c =1，进而得到√a +√c =1，再利用基本不等式即可求出ac 的最大值，由已知条件可得λ=2√a √a 2，利用基本不等式结合0<a <1，即可求出λ取值范围． 本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，是中档题．17.【答案】解：(1)∵A ={x|−2≤x ≤7}，B ={y|−3≤y ≤5}，∴A ∩B ={x|−2≤x ≤5}，且C ={x|m +1<x ≤2m −2}，C ⊆(A ∩B)， ∴①C =⌀时，m +1≥2m −2，解得m ≤3； ②C ≠⌀时，{m +1<2m −2m +1≥−22m −2≤5，解得3<m ≤72， 综上得，m 的取值范围为：{m|m ≤72}； (2)A ∪B ={x|−3≤x ≤7}，又(A ∪B)∩D =⌀，D ={x|x >6m +1}， ∴6m +1≥7，解得m ≥1， ∴m 的取值范围为{m|m ≥1}．【解析】(1)可求出集合A ，B ，进行交集的运算求出A ∩B ={x|−2≤x ≤5}，然后根据C ⊆(A ∩B)可讨论C 是否为空集：C =⌀时，m +1≥2m −2；C ≠⌀时，{m +1<2m −2m +1≥−22m −2≤5，然后解出m 的范围即可； (2)可求出A ∪B ={x|−3≤x ≤7}，然后根据(A ∪B)∩D =⌀即可得出6m +1≥7，从而解出m 的范围即可．本题考查了交集和并集的定义及运算，子集的定义，空集的定义，分类讨论的方法，考查的计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)①当k =0时，不等式化为1>0恒成立，符合题意；②当k ≠0时，由题意知{k >0△<0， 即{k >04k 2−4k(−k +1)<0， 解得0<k <12；综上所述：k 的取值范围是[0,12)； (2)由题意可得{k >0△>0x 1+x 2<0x 1x 2>0，即{ k >04k 2−4k(−k +1)>0−2<0−k+1k >0，解得12<k <1，所以实数k 的取值范围是(12,1)；(3)①当k =0时，不等式为1>0恒成立，不符合题意； ②由题意得：{k <0△>0，即{k <04k 2−4k(−k +1)>0， 解得k <0，所以不等式等价于x 2+2x +1−k k <0，解得−1−√2k−1k<x <−1+√2k−1k，则三个整数解为−2，−1，0；所以{−3≤−1−√2k−1k <−20<−1+√2k−1k ≤1，解得k ≤−12；综上所述，k 的取值范围是(−∞,−12]； 另解：记f(x)=kx 2+2kx −k +1， 由题意知k <0，所以{f(0)>0f(1)≤0，即{−k +1>0k +2k −k +1≤0， 解得k ≤−12，所以k 的取值范围是(−∞,−12].【解析】(1)讨论k =0和k ≠0时，利用判别式求出不等式恒成立时k 的取值范围； (2)由题意利用判别式和根与系数的关系列出不等式组，从而求出k 的取值范围；(3)根据题意知{k <0△>0，求出对应不等式x 2+2x +1−k k <0的解集，再根据解集中的三个整数解列不等式组求出k 的取值范围．另解法、构造函数f(x)=kx 2+2kx −k +1，根据题意知k <0，只需{f(0)>0f(1)≤0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式于对应函数的应用问题，也考查了运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)选择条件①：∵S =√34(b 2+c 2−a 2)=12bcsinA ，∴√3b2+c2−a22bc=sinA，即√3cosA=sinA，∴tanA=√3，∵A∈(0,π)，∴A=π3．选择条件②：由正弦定理知，bsinB =csinC，∵√3(bsinC−ccosBtanC)=a，∴√3(sinBsinC−sinCcosBtanC)=sinA，即√3(sinBsinC−cosCcosB)=sinA，∴−√3cos(B+C)=sinA，即√3cosA=sinA，∴tanA=√3，∵A∈(0,π)，∴A=π3．选择条件③：∵sinC+sin(B−A)=sinB，∴sin(B+A)+sin(B−A)=sinB，∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA−cosBsinA=sinB，即2sinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)∵asinA =bsinB=csinC=2，∴2b−c=4sinB−2sinC=4sinB−2sin(π3+B)=4sinB−2(√32cosB+12sinB)=3sinB−√3cosB=2√3sin(B−π6)，∵0<B<2π3，∴−π6<B−π6<π2，sin(B−π6)∈(−12,1)，∴2b−c∈(−√3,2√3)．【解析】(Ⅰ)选择条件①：结合S=12bcsinA和余弦定理，可得tanA=√3，从而求得A 的大小；选择条件②：利用正弦定理化边为角，再结合两角和的余弦公式和诱导公式，求得tanA=√3，从而求得A的大小；选择条件③：根据三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，推出cosA=12，从而求得A 的大小；(Ⅱ)由正弦定理，推出2b −c =4sinB −2sinC ，结合三角恒等变换的相关公式与正弦函数的图象、性质，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、两角和差公式，以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可知A =1,14T =7π12−π3，∴T =π，∴ω=2πT=2，f(x)=sin(2x +φ)．代入(7π12,−1)得，sin(7π6+φ)=−1，φ=2kπ+π3,k ∈Z ， ∵|φ|<π2，∴k =0,φ=π3，∴f(x)=sin(2x +π3)．把函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位， 得到函数g(x)∴g(x)=sin(2(x −π4)+π3)−1=sin(2x −π6)−1， ∴g(x)在x ∈[π4,π3]单调递增，在x ∈[π3,5π6]单调递减，在x ∈[5π6,11π12]单调递增，且g(π4)=g(5π12)=√32−1，g(π3)=0g(3π4)=g(11π12)=−√32−1，g(5π6)=−2． 方程g(x)−m =0恰好有两个不同的根x 1，x 2，∴m 的取值范围[√32−1,0)∪(−2,−√32−1]．令2x −π6=kπ+π2，∴g(x)对称轴为x =kπ2+π3，k ∈Z ，∵x ∈[π4,11π12]，∴k =0,x =π3；或k =1,x =5π6．∴√32−1≤m <0时，x 1+x 2=2π3；当−2<m ≤−1−√32时，x 1+x 2=5π3．(2)由(1)可知f(x)=sin(2x +π3)∈[−1,1]，F(x)=f(x)−3∈[−4,−2]， 对任意x 都有F 2(x)−(2+m)F(x)+2+m ≤0恒成立令t =F(x)∈[−4,−2]，ℎ(t)=t 2−(2+m)t +2+m ，是关于t 的二次函数，开口向上 则ℎ(t)max ≤0恒成立而ℎ(t)的最大值，在t =−4或t =−2时取到最大值，则{ℎ(−2)=4−(2+m)⋅(−2)+2+m ≤0ℎ(−4)=16−(2+m)⋅(−4)+2+m ≤0，解得{m ≤−103m ≤−265，所以m ≤−265，则m 的最大值为−265．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求出m 的取值范围及x 1+x 2的值．(2)先求出F(x)的值域，令t =F(x)，则ℎ(t)=t 2−(2+m)t +2+m ≤0恒成立，再利用二次函数的性质，求出m 的最大值．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1x 2lnx +(a −1x )1x ，因为曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x +y −1=0， 所以f′(1)=a −1=−1，得a =0； (2)因为f′(x)=ax−1+lnxx 2存在两个不相等的零点，所以g(x)=ax −1+lnx 存在两个不相等的零点，则g′(x)=1x +a ， ①当a ≥0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点， ②当a <0时，因为当x ∈(0 , −1a )时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x ∈(−1a , +∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以x =−1a 时，g(x)max =g(−1a )=ln(−1a )−2，因为g(x)存在两个零点，所以ln(−1a )−2>0，解得−e −2<a <0， 因为−e −2<a <0，所以−1a >e 2>1，因为g(1)=a −1<0，所以g(x)在(0 , −1a )上存在一个零点， 因为−e −2<a <0，所以(−1a )2>−1a ，因为g[(−1a )2]=ln(−1a )2+1a −1，设t =−1a ，则y =2lnt −t −1(t >e 2)， 因为y′=2−t t <0，所以y =2lnt −t −1(t >e 2)单调递减，所以y <2ln(e 2)−e 2−1=3−e 2<0，所以g[(−1a )2]=ln(−1a )2+1a −1<0，所以g(x)在(−1a , +∞)上存在一个零点， 综上可知，实数a 的取值范围为(−e −2,0)；(3)当a =2时，f(x)=(2−1x )lnx ，f′(x)=1x 2lnx +(2−1x )1x =2x−1+lnxx 2，设g(x)=2x −1+lnx ，则g′(x)=1x +2>0.所以g(x)单调递增， 且g(12)=ln 12<0，g(1)=1>0，所以存在x 0∈(12 , 1)使得g(x 0)=0， 因为当x ∈(0,x 0)时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)单调递减； 当x ∈(x 0,+∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)单调递增， 所以x =x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)=(2−1x 0)lnx 0=(2−1x 0)(1−2x 0)=−(4x 0+1x 0)+4，因为x 0∈(12 , 1)，所以f(x 0)∈(−1,0)，因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤−1，即λ的最大值为−1．【解析】(1)求导，利用导数的几何意义即可求解； (2)因为f′(x)=ax−1+lnxx 2存在两个不相等的零点，所以g(x)=ax −1+lnx 存在两个不相等的零点，则g′(x)=1x +a ，再对a 分情况讨论求出a 的取值范围； (3)当a =2时，f(x)=(2−1x )lnx ，f′(x)=1x 2lnx +(2−1x )1x=2x−1+lnxx 2，设g(x)=2x −1+lnx ，则g′(x)=1x +2>0.所以g(x)单调递增，且g(12)=ln 12<0，g(1)=1>0，所以存在x 0∈(12 , 1)使得g(x 0)=0，所以x =x 0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x 0)=(2−1x 0)lnx 0=(2−1x 0)(1−2x 0)=−(4x 0+1x 0)+4，因为x 0∈(12 , 1)，所以f(x 0)∈(−1,0)，因为f(x)≥λ，且λ为整数，所以λ≤−1，即λ的最大值为−1．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．22.【答案】解：(1)对于函数g(x)=sinx 的定义域R 内存在x 1=π6，则g(x 2)=2无解， 故g(x)=sinx 不是“依赖函数”；(2)因为f(x)=2x−1在[m,n]递增，故f(m)f(n)=1，即2m−12n−1=1，m +n =2，由n >m >0，故n =2−m >m >0，得0<m <1，从而mn =m(2−m)=−(m −1)2+1在(0,1)上单调递增，故mn ∈(0,1)； (3)①若43≤a <4，故ℎ(x)=(x −a)2在[43,4]上最小值0，此时不存在x 2，舍去； ②若a ≥4故ℎ(x)=(x −a)2在[43,4]上单调递减，从而ℎ(43)⋅ℎ(4)=1，解得a =1(舍)或a =133，从而，存在x ∈[43,4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式(x −133)2≥−t 2+(s −t)x +4都成立，即t 2+xt +x 2−(s +263)x +1339≥0恒成立，由Δ=x 2−4[x 2−(s +263)x +1339]≤0，得4(s +263)x ≤3x 2+5329，由x ∈[43,4]，可得4(s +263)≤3x +5329x，又y =3x +5329x 在x ∈[43,4]单调递减，故当x =43时，(3x +5329x)max =1453，从而4(s +263)≤1453，解得s ≤4112，故实数s 的最大值为4112．【解析】本题考查新定义，给出“依赖函数”的定义，先要读懂这个定义，根据定义解决问题；本题还涉及多参数的恒成立、有解问题． 举反例说明(1)问；(2)由“依赖函数”的定义结合函数单调性分析出m ，n 的关系，然后求mn 的范围； (3)由ℎ(x)为“依赖函数”对a 的范围进行分类讨论，得出a 的值，再解决多变量的恒成立，有解问题．。
江苏省扬州市数学高三上学期理数10月月考试卷
江苏省扬州市数学高三上学期理数10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（）A . 7B . －1C . 1D . －72. （2分） (2018高二上·北京期中) 数列{ }中，“ （n∈N*）”是“数列{ }为等比数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）复数z满足，则复数z=（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·辽源月考) 若，则角的终边在（）A . 第一、二象限B . 第一、三象限C . 第一、四象限D . 第二、四象限6. （2分）已知△ABC的三个内角；A，B，C所对边分别为；a，b，c，若b2+c2＜a2 ，且cos2A﹣3sinA+1=0，则sin（C﹣A）+ cos（2A﹣B）的取值范围为（）A . （﹣，﹣）B . （﹣，﹣ ]C . [0，﹣ ]D . （﹣，﹣）7. （2分）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品。
需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止。
设ξ为取出的次数，则A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·芒市期中) log2 +log27=（）A . ﹣2B . 2C .D . ﹣9. （2分）等差数列中，是函数的极值点，则的值是（）A .B .C .D .10. （2分）由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数，下列命题是真命题的为（）A . 若，则.B . 函数在区间上是增函数.C . 直线是函数的一条对称轴.D . 函数图象可由向右平移个单位得到.12. （2分） (2015高二下·和平期中) 若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A . （﹣1，0）B . （﹣1，0）∪（2，+∞）C . （2，+∞）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2016高二下·丹阳期中) 设（2x﹣1）6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0 ，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________．15. （2分）已知cos（﹣α）= ，sin（+β）= ，α∈（，），β∈（﹣，），则sin（α+β）=________．16. （1分） (2017高二上·南阳月考) 给出下列命题：① 中角，，的对边分别为，，，若，则；② ，，若，则；③若，则；④设等差数列的前项和为，若，则 .其中正确命名的序号是________．三、解答题 (共7题；共75分)18. （10分） (2017·长春模拟) 函数．（1）若函数恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，设在时取到极小值，证明：．19. （10分） (2018高二下·泰州月考) 如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？20. （10分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（2）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．22. （10分）已知直线l：与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长．23. （10分）(2019·枣庄模拟) 已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，∃t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、答案：略22-1、23-1、。
江苏省扬州市树人中学2021年高三数学文月考试卷含解析
江苏省扬州市树人中学2021年高三数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数，则该函数在上是（ ） A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值 参考答案：
A 略
2. 已知等比数列中，各项都是正数，且a1、a3、2a2成等差数列，则 A． B． C． D．
参考答案： A
因为等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，所以，得，因此 ，故选A． 3. 设集合A={x||x﹣a|＜1}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，A∩B=?，则实数a的取值范围是（ ） A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} 参考答案： C 【考点】绝对值不等式的解法；交集及其运算． 【专题】集合． 【分析】由绝对值的几何意义表示出集合A，再结合数轴分析A可能的情况，进而求解即可．
【解答】解：由|x﹣a|＜1得﹣1＜x﹣a＜1，即a﹣1＜x＜a+1．如图 由图可知a+1≤1或a﹣1≥5，所以a≤0或a≥6． 故选C 【点评】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意，属于中等题．
4. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 参考答案：
A【知识点】等差数列及其前n项和. D2 解析：由a1=1，a3=5得d=2,所以
Sk+2﹣Sk=，解得:k=8,故选A. 【思路点拨】由等差数列的通项公式，前n项和公式求得结论.
5. 若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）
参考答案： B 6. 集合，集合，则( ) A. B. C. D.
参考答案： B 7. 在函数,,,四个函数中,当时,使成立的函数是( ). A. B. C. D. 参考答案： A 8. 已知点（a，b）与点（2，0）位于直线2x+3y﹣1=0的同侧，且a＞0，b＞0，则z=a+2b的取值范围是( )
【月考试卷】江苏省扬州中学2020届高三上学期11月考试 数学 含答案
扬州中学高三数学11月考 2019.11.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB = ．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ． 3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为 . 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的 条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ．8.设函数()2xxf x e ex -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为 .9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为 . 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为 ．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为 .（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________． 13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:. （1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1） 求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN的距离为41，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上 的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ+=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.扬州中学高三数学月考 2019.11.1试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.23 3.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M ,kAM =,因为AE AF =，所以kAN =，过原点所以1)N -，所以kMN =11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323 解析：由DC →＝13AB →得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，所以AO →＝34AC →＝34⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →＝34AD →＋14AB →.因为E 是BD 的中点，所以AE →＝12AD →＋12AB →，所以AO →·AE →＝⎝⎛⎭⎫34AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫12AD →＋12AB →＝38|AD →|2＋18|AB →|2＋12AD →·AB →＝32＋92＋12AD →·AB →＝8，所以AD →·AB →＝4，所以AC →·BD →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·(AD →－AB →)＝|AD →|2－13|AB →|2－23AD →·AB →＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()22222111222x ty t y x y x y xy y xy y ++-++++=≥+++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分） 15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l －a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ，即|m －2a |＝2又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ， 所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)，所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎫1≤t ≤32； 对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，49t 2， 所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎫1≤t ≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎡⎦⎤1，32上单调递减， 所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝⎛⎭⎫t －942＋34，1≤t ≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18. （1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； （2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=， 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =， 故直线MN 的斜率为8744ck c c ==-，直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =，故椭圆方程为2212015x y +=． 解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c -+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*） 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ck x x k x x c +=+-=解得⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即k=．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m=-在()0,1m∈上单调递增，故()0,1mn∈，……7分(3)①若443a≤<，故()()2f x x a=-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分②若4a≥故()()2f x x a=-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，解得1a=(舍)或133a=……11分从而，存在4,43x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x⎛⎫-≥-+-+⎪⎝⎭都成立，即222613339t xt x s x⎛⎫++-++≥⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x⎡⎤⎛⎫∆=--++≤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x⎛⎫+≤⎪+⎝⎭，由4,43x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s xx⎛⎫+≤+⎪⎝⎭，又53239y xx=+在4,43x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x=时，max532145393xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，……15分从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． ………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． …………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立 ，所以002x x =，又00x >，所以0x = ………………………………………………10分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立 ，因为2x x+=≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =……………………………10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t-'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A .因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩. 所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A .2、【解析】易得直线0l y +-=， 设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l 的距离d ==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”， 所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3． 由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59． 则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． 所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】 （1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用心 爱心 专心
扬中树人高三数学国庆月考试卷
一．填空题（每题5分，共70分）
１.函数)1(log23xxy的定义域为
2
.若实数a、b满足22ab，则391ab的最小值是___
3.
若3sin()25，则cos2_______ _
4.已知01a，log2log3aax，1log52ay，log21log3aaz则x、
y、z的大小关系为
5
.
设实数x, y满足201240,2230xyyxyxy则的取值范围是
６.
设曲线2axy在点（1，a）处的切线与直线062yx平行，则a
７.
在数列{}na中，12a， 11ln(1)nnaan，则na
８. 若复数3(12aiii是虚数单位）是纯虚数，则实数 a的值是
９. 已知()fx是R上奇函数，2(4)(),(0,2)()2,(7)fxfxxfxxf当时，则
１０. 若函数|1|1()2xym的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是
１１.
已知2(3)4log3233xfx，则8(2)(4)(8)(2)ffff的值等于
１２.
关于平面向量，，abc．有下列三个命题：
①若caba，则bc．②若(1)(26)k，，，ab，∥ab，则3k．
③非零向量a和b满足||||||abab，则a与ab的夹角为60．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
１３.
将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
用心 爱心 专心
１４.函数y=|sinx|+|cosx|的单调递减区间为
二．解答题
１5. （本小题满分14分）
已知向量(3,1)m，向量n是与向量m夹角为3的单位向量．
⑴求向量n；
⑵若向量n与向量(3,1)q共线，与向量22(3,)pxxy垂直，求254tyx的
最大值．
１6. （本小题满分14分）
在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，
a8=b3.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）令nnnbac，求数列{cn}的前n项和Tn.
１7. （本小题满分15分）
△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若.3))((bcacbcba
（1）求角A的值；
（2）在（1）的结论下，若0≤x≤2,求y=cos2x+sinA•sin2x的最值。
18. （本小题满分15分）
某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（*Nx，10080x）件之间的
关系如下表所示：
日产量x 80 81 82 … x … 98 99 100
次品率p
281 271 261 … P（x） … 101 91 8
1
其中P（x）=xa1（a为常数）。已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失
3
k
元（k为给定常数）。
（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；
（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？
19. （本小题满分16分）
已知3x是函数2ln110fxaxxx的一个极值点。
（Ⅰ）求a；
用心 爱心 专心
（Ⅱ）求函数fx的单调区间；
（Ⅲ）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。
20．（本小题满分16分）
已知向量21ax , -x，112b , 2n （n为正整数）， 函数baxf)(，设
)(xf
在(０，)上取最小值时的自变量x取值为na．
（１）求数列}{na的通项公式；
（２）已知数列}{nb，对任意正整数n，都有1)54(2－nnab成立，设nS为数列}{nb的
前n项和，求nS；
（３）在点列、、、、、),(),3(),2(),1(332211nnanAaAaAaA中是否存在两点ijA , A
(i , j为正整数)使直线jiAA的斜率为１？若存在，则求出所有的数对),(ji；若不存在，
请你写出理由．
用心 爱心 专心
答案
1．1,2 2.5 3.
7
25
4. yxz 5.（-∞，-5/2）∪[5/3，+∞）
6. 1 7. 2lnn 8. －6 9. -2 10. 10m 11. 2008 12. ②
13. 262nn 14.［π/4+kπ/2, π/2+kπ/2］k∈Z
15．⑴设向量(,)nxy，则22131xyxy，
解之得：01xy或3212xy， (0,1)n或31(,)22n;
⑵∵向量n与向量(3,1)q共线，∴31(,)22n，
又∵与向量22(3,)pxxy垂直，
∴223110222xxy，即223yxx
∴2222543543643(1)7tyxxxxxxx
由2230yxx，可得103x，
∴当13x时，t取得最大值，最大值为173．
16．解：（1）由条件得：126,4565711nnnbnaqdqdqd
（2）123216)45(611661nnnnccccT ①
∴6Tn=6+6×62+11×63+…+（5n－4）6n ②
①－②：
nnnnT6)45()666(51512
nn
nnn6)1(556)45(5)61(6511
∴16)1(nnnT
用心 爱心 专心
17．解:（1）,cos2,32)(22222bcAbcbcacbcbacb
所以3,21cosAA
（2）)62sin(212sin232cos21212sinsin22cos1xxxxAxy
因为,1)62sin(21,67626,20,20xxxx
所以,,23)62sin(210x即23,0maxminyy
18．
19．【解】：（Ⅰ）因为'2101afxxx
所以'361004af
因此16a，经检验符合题意
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2
16ln110,1,fxxxxx
用心 爱心 专心
2
'
2431xxfxx
当1,13,x时，'0fx
当1,3x时，'0fx
所以fx的单调增区间是1,1,3,
fx的单调减区间是
1,3
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调
增加，且当1x或3x时，'0fx
所以fx的极大值为116ln29f，极小值为332ln221f
因此21616101616ln291ff
213211213fef
所以在fx的三个单调区间1,1,1,3,3,直线yb有yfx的图象各有一
个交点，当且仅当31fbf
因此，b的取值范围为32ln221,16ln29。
20．(1))(xf112)12,1(),1(2222xnxnxxba
抛物线的顶点横坐标为012nx，开口向上，在(０，)上当12nx时函数
取得最小值，所以12nan
（2）]121121[21)12)(12(11415)1(4122nnnnnnbn．
12)]121121()5131()311[(21nnnn
S
n
（3）任取),(jiNjiAAji、、，设jiAA所在直线的斜率为ijk，则
）11)((11222222jijijijijijiaak
ji
ij
11122
ji
ji