2015年春北师大版八年级数学下册四清导航课件1.3线段的垂直平分线(2)
八年级数学下册1.3线段的垂直平分线学习导航素材北师大版
《线段的垂直平分线》学习导航学习目标导航：1.理解线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能运用它们进行有关计算和证明.2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论.3.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线及已知底边和底边上的高作为等腰三角形.4.经历探索、猜想、证明的过程，进一步培养推理证明的意识和能力。
知识点导航：1.线段垂直平分线的性质定理（难点）【线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的重要依据，在证明线段相等时,不必要证明两个三角形全等，可直接运用该定理得到线段相等的结论】2.线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定定理)（难点）（1）这一判定定理与性质定理是一对互逆的定理。
（2）判断一条直线是线段的垂直平分线时必须证明该直线上有两个点到线段两个端点的距离分别相等。
（3）定理的作用：用于证明点在线段的垂直平分线上，证明线段相等，证明两直线垂直。
3.三角形三边垂直平分线的性质定理（理解)（1）三角形两边的垂直平分线的交点必在第三边的垂直平分线上.（2）三角形三边垂直平分线交点位置分布：①锐角三角形中,交点在内部;②直角三角形中，交点是斜边的中点;③钝角三角形中,交点在外部。
（3）定理的作用：证明三线共点和线段相等。
（4）定理给出了作一个点到三个不共线点距离相等的作图方法:顺次连接三点组成的三角形，作这个三角形的两边的垂直平分线，交点即为所求。
4.用尺规作线段的垂直平分线【用尺规作已知线段的垂直平分线是几何基本作图之一，常用线段的垂直平分线确定线段的中点。
】易出题型导航：1.中垂线中的分类讨论当问题中的线段垂直平分线的位置不明确时,则应注意进行分类讨论，以防漏解.2.利用线段垂直平分线证题3.利用线段垂直平分线的性质作图4.巧解最短路线问题最短路线问题一般与“两点之间,线段最短”,“垂线段最短"等相关联，应结合具体题型灵活应用.思维误区导航:1.线段垂直平分线的性质定理和判定定理的条件及结论之间的关系混淆.2.对线段的垂直平分线定理的逆定理理解不透。
北师大版八年级数学下册线段垂直平分线的性质与判定优秀课件
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
7.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA, ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. ∵△BCD的周长为8，
利用线段垂直平分 线的性质转移线段 是主要应用
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
北师大版八年级数学下册课 线件 段： 垂1直.3平 分第线1的课时性质与线判段定垂精直平品分pp线t优的秀性p质pt与课判件定
第一章 三角形的证明
3 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
情景导入
A
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、
B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，
才能使得它到三个小区的距离相等？
B C
知识回顾
我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条 线段的垂直平分线.
可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分 线是它的对称轴.
∴ ∠ODE=∠OCE=90o,∠DOE=∠COE. ∴△ODE≌△OCE（AAS） ∴DE=CE,OD=OC.
O
∴ OE是CD的垂直平分线.
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
B D
E CA
北师大版八年级数学下册课件：1.3 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
北师大版八年级数学下册课件：1.3.1线段的垂直平分线(共17张PPT)
B
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上 （或直线经过某一点）的根据之一．
巩固训练
讲授新课
1. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB
上的一点，如果EC=7cm，那么ED= 7cm；如果
∠ECD=60 °，那么∠EDC=
60 °．
C
AE
B D
例2 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，
P
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL） A
∴AC=BC，
CB
即P点在AB的垂直平分线上．
合作探究
方法二：
把线段AB的中点记为C,
连接PC
∵C为AB的中点
持自己。别忘了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。
以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解 什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人， 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬，内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对 公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的 声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东 西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！ 如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道，都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己 的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中，我学会了坚
北师大版初中数学八年级下册1.3 第1课时 线段的垂直平分线
北师大初中数学八年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！1.3 线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点）2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.合作探究探究一：线段的垂直平分线的性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS) ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．定理运用时的数学语言：∵∴探究二：线段的垂直平分线的判定定理你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。
例题：已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = OC.求证：直线AO 垂直平分线段BC。
．证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
三.当堂检测1.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE 是AB 的垂直平分线，则 （1）BD =；（2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB =°， ∠DAC =°。
（3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC =， △ACD 的周长为 。
八年级数学北师大版下册1.3.2线段的垂直平分线(三角形三边的垂直平分线与作图)2
2.做线段AB的垂直平分 线
检测（8分钟） 1.下列说法错误的是 (D)
(A)三角形三条边的垂直平分线必交于一点 (B)如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离
相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 (C)平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距
离相等 (D)三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
4.已知一条直线和直线上（外）一点，如何 用尺规作图作该直线的垂线，能作几条？
过直线上一点作已知直线的垂线
m
作法：1.在直线l上截取 PA=PB
2.做线段AB的垂直平分 线，则直线m⊥l，且过
点P
过直线外一点作已知直线的垂线
作法：1.以P为圆心，以 大于点P到直线l的距离 为半径画弧，交直线l于
三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？
A能D证为明∠B三AC角(的3形角)三若平条分边∠线的，垂MA直E=F平AF分N，请＝判断7线0段°，求∠MCN的度数．
下列说法错误的是 ( ) 三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？ 相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 已知底边及其边上的高，能用尺 相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
上，那么这个三角形一定是( D )A．锐角三角形
B．钝角三角形C．等边三角形
D．直角三角形
5．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( D )
．只有一个
B．有两个 C．有三个或
三个以上
D．有一个或没有
6．如图，已知直线 MN 为△ABC 的边 BC 的垂直平分线．若 AB， AC 两边的垂直平分线相交于点 O，当顶点 A 的位置移动时，点 O 始
3. 已知在△ABC中,∠B=2∠C，AD⊥BC于点D， 求证：CD=AB+BD
八年级数学(北师大版下)课件：1.3.2 三角形中的垂直
13．(10分)如图，已知线段a，b，求作△ABC，使AB＝AC＝a， 底边BC上的中线为b.
略
14．(10分)如图，在墙角点O处有一个老鼠洞，小猫在点A处发现 老鼠从点B处往洞口逃窜，小猫想：这一次不会再让“你”逃掉． 若小猫和老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住老鼠的位置吗？
如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线， 交OB于点P，则小猫在点P处抓住老鼠
解：PA>PB，连接PA交l于点C，则 CA＝CB，PA＝PC＋CA＝PC＋ CB>PB
与垂直平分线有关的作图 5．(4分)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长 为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接 AD.若△ADC的周长为10，AB的长度为7，则△ABC的周长为( C ) A．7 B．14 C．17 D．20
A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线交点处 D．∠A，∠B的角平分线交点处
二、填空题(每小题5分，共10分) 10．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称 点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝10 cm，则△PMN的周 长是____1_0___cm.
1 ． 三 角 形 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 _相__交__于__一__点__ ， 并 且 这 一 点 到 __三__个__顶__点__的__距离相等．
2．经过直线l上一点P，用尺规作经过点P的l的垂线的方法是：(1)以 ___点__P___为圆心，以__任__意__长__为半径画弧交直线l于A，B两点；(2)作线 段AB的垂直平分线即可．
Hale Waihona Puke 3．(8分)如图，有A，B，C三个村庄，为解决村民子女就近入学 问题，计划新建一所小学P，且使学校到三个村庄的距离相等，请 在图中用尺规作出点P.(不写作法，保留作图痕迹)
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垂直平分线的性质与判定的运用 1．(4分)如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4 cm， △ABD的周长为14 cm，则△ABC的周长为( B ) A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm 2．(4分)如图，小明把一个含30°角的直角三角形纸板沿较短 60° 边的垂直平分线翻折，则∠BOC的度数是 3．(8分)如图，有A，B，C三个村庄，为解决村民子女就近入学 问题，计划新建一所小学P，且使学校到三个村庄的距离相 等，请在图中用尺规作出点P.(不写作法，保留作图痕迹) 解：连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，两线交点 即为点P，图略
【综合运用】
15．(12分)如图，牧童在点A处放牛，其家在点B处， 点A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC＝BD， 若点A到河岸CD中点的距离是250 m. (1)牧童从点A处把牛牵到河边饮水再回家，试问在何处饮水， 所走路程最短？ (2)最短路程是多少？
解：(1)先作点A关于CD的对称点A1，再连接A1B交CD
第11题图
第10题图
三、解答题(共40分) 12．(8分)在新农村建设中，公路实现“村村通”是一项很受 欢迎的民生工程．如图所示，已知直线l是一条笔直的公路， 现有一个村庄P要修一条公路与l相通，要使其造价最低， 请在图中画出要修的公路位置．
解：如图所示，过点P作直线PM垂直
直线l，交直线l于点Q，则线段PQ就是所 要修的公路的位置
与垂直平分线有关的作图
5．(4分)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径 画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC 的周长为10，AB的长度为7，则△ABC的周长为( C ) A．7 B．14 C．17 D．20 6．(4分)以线段AB为底边，以AB为高作等腰三角形ABC，则△ABC是 等腰 直角 ____ 三角形． 7．(8分)如图，求作点P，使PA＝PB，PC＝PD.(只保留作图痕迹， 不要求写出作法)
13．(10分)如图，已知线段a，b，求作△ABC， 使AB＝AC＝a，底边BC上的中线为b. 解：略
14．(10分)如图，在墙角点O处有一个老鼠洞，小猫在点A处 发现老鼠从点B处往洞口逃窜，小猫想：这一次不会再 让“你”逃掉．若小猫和老鼠的速度相同，你能确定小猫 抓住老鼠的位置吗？
解：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线， 交OB于点P，则小猫在点P处抓住老鼠
于点M，则点M即为所求. (2)最短路程为500 m.
1.3 线段的垂直平分线(第2课时) 得分________ 卷后分________ 评价________
1．三角形三条边的垂直平分线 相交于一点 ，并且这一点 到 三个顶点的 距离相等． 2．经过直线l上一点P，用尺规作经过点P的l的垂线的方法是： P 为圆心，以 任意长 (1)以 点 ____ ____ 为半径画弧交直线l 于A，B两点； (2)作线段AB的垂直平分线即可． 3．经过直线l外一点P，用尺规作经过点P的l的垂线的方法是： 点P 为圆心，以 (1)以 ____ 为半径 大于点P到l的距离长 画弧，与直线l相交于A，B两点； A，B 为圆心，以 大于AB的长 为半径 (2)分别以点____ 画弧，两弧相交于点Q. 则直线PQ即为所求．
解：作AB，CD的垂直平分线交于点P，图略
第5题图
第6题图
一、选择题(每小题5分，共10分) 8．过直线l外一点P作l的垂线，先在直线l上取两点A，B， 使PA＝PB，再作( D ) A．线段AB的垂线 B．∠PAB的平分线 C．∠PBA的平分线 D．∠APB的平分线
9．如图，在A，B，C三个小区中间拟建一个供休息的凉亭， 使凉亭到三个小区距离相等，则凉亭应建在( C ) A．AC，BC两边高线的交点处 B．AC，BC两边中线的交点处 C．AC，BC两边垂直平分线交点处 D．∠A，∠B的角平分线交点处
二、填空题(每小题5分，共10分) 10．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的 对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝10 cm， 10 则△PMN的周长是____cm. 11．如图，边长为3的等边△ABC内一点O到三个顶点的距离 3 ． 都相等，则OA＝____
第1题图
第3题图 第2题图
4．(8分)如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C 在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA＝CB.现有一点P 在直线l的右侧，则PA，PB有何大小关系？请点C，则CA＝CB， PA＝PC＋CA＝PC＋CB>PB