二向应力状态分析的解析法
工程力学 材料力学M7-复杂应力状态
σ3
σ2
σ1
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
20
四、应力状态的分类
4. 简单应力状态
σ
单向应力状态
( One Dimensional State of Stresses )
τ
纯切应力状态
( ShearingState of Stresses )
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
21
例题 1
《材料力学》 第7章(1) 复杂应力状态 37
三、主平面、主应力与主方向
考查一下正应力的极值
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
将上式对α求一次导数，并令其等于零，有
x y d 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2
二、应力的三个重要概念
应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念。
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
9
二、应力的三个重要概念
FQ
不同点的应力各不相同（大小、方向） ------------应力的点的概念
cos 2
F
K
2
sin 2
同一点在不同方向面上的应力也各不相同----------应力 的面的概念。
《材料力学》
第7章(1) 复杂应力状态
10
二、应力的三个重要概念
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，称为这一点 的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
第七章应力和应变分析
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学 第八章 应力状态分析
利用三角函数公式
{
2
2 sin cos sin 2
并注意到 y x 化简得
x y
2
x y
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
19
8.2 解析法分析二向应力状态
2.正负号规则
y
y
x
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
31
8.2 解析法分析二向应力状态
主平面的方位：
x
y
x
n
2 x tan 2 0 x y x 60 0.6 60 40
0 15.5 ,
代入 表达式可知
1.斜截面上的应力
已知：x ，y ，x， y ； 求：任意斜截面的应力（面 ）
y
y
x
x
x
n
x
y
x
y
y
dA
t
F
n
0
F 0
t
17
8.2 解析法分析二向应力状态
列平衡方程
x
x
n
Fn 0
y
y
dA
t
dA x (dA cos ) sin x (dA cos ) cos y (dAsin ) cos y (dAsin ) sin 0
4. 切应力极值和方向
采用同样的方法：
x y
2
sin 2 x cos 2
d 令 0 d
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平面的外法线方向。
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三、三向应力状态分析 1．三向应力圆 如图 7-1-4 所示，以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直的平面分别作应力圆， 将三个平面的应力圆绘在同一平面上得到三向应力状态下的应力圆，如图 7-1-5 所示。与 每一主应力所对应的应力圆可由与该主平面相正交的其余面上的应力作出。 注意：作三向应力圆应至少知道一个主应力的大小和方向。
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实例：在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态，可以作为三向应力状态的实例。 二、二向应力状态分析 1．解析法 如图 7-1-1（a）所示，一单元体 abcd 处于平面应力状态，采用截面法取左边部分单 元体 eaf 为研究对象，如图 7-1-1（b）所示。
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图 7-1-3（a）
图 7-1-3（b） ③求主应力数值和主平面位置 a．求主应力数值的方法 如图 7-1-3（b）所示，点 A1 和点 B1 分别为代表最大主应力和最小主应力，其大小为
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第 7 章 应力和应变分析强度理论
7.1 复习笔记
一、应力状态 一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态的研究对象是单元体，其特征为：①单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀 分布；②任意一对平行平面上的应力相等。 主单元体是指各侧面上切应力均为零的单元体。其中，单元体上切应力为零的面称为主 平面，主平面上的正应力称为主应力。 说明：一点处必定存在一个单元体，使得三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直 的主应力分别记为 σ1、σ2、σ3，且规定按代数值大小的顺序来排列，即 σ1≥σ2≥σ3。 应力状态分类及实例 （1）单向应力状态：也称为简单应力状态，三个主应力 σ1、σ2、σ3 中只有一个不等 于零。 实例：简单的拉伸或压缩。 （2）平面（二向）应力状态：三个主应力 σ1、σ2、σ3 中有两个不等于零。 实例：薄壁圆筒横截面上的点和圆形容器包含直径的任意横截面上的点。 （3）空间（三向）应力状态：和平面应力状态统称为复杂应力状态，三个主应力 σ1、 σ2、σ3，均不等于零。
材料力学-应力分析、强度理论
点的研究常采用分析单元体的方法
Down Up
σy y
空间一般应力状态
y
σy
A
σx x
τxy
平面一般应力状态
τyz
τxz
σx
τxy
x
z σz
7
Down Up
主平面：若单元体上某个平面上的切应力为零，
则该平面称为主平面。
而主平面上的正应力称为主应力。
主单元体：所有面均为主平面的单元体。
σ3 σ2
σ1 σ2
例如：拉(压)杆横截面上各点的应力状态
P
P
k
σ
k
P
FN =σA
σ= FN/A
10
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
σ’’ m n
n
σ’
k σ’ p
Dp
p
σ’’ l
πD
2
m
(D
)
n
4
pD
4
n
2
plD (2l
)
dq
Oq
p
D
t
pD
2
直径平面
pD
2
1
3 p 0 11
例7.2 圆球形薄壁容器，壁厚为δ，内径为D，
切应力2个下标的意义：
第1个下标表示切应力所 τyx
< 0 σy
在的面；
σx
第2个下标表示切应力实际 沿那个坐标轴的方向。
x
τxy > 0
18
7.3 二向应力状态分析----解析法
若图示单元体上的应力
y
σx、 σy 、τxy
ττyxxy
均为已知，
则由平衡方程可求得 σx 斜角为α的斜截面上
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
德州学院,材料力学,期末试题7章习题讲解
德州学院,材料⼒学,期末试题7章习题讲解第七章⼒和应变分析强度理论 §7.1应⼒状态概述1.过受⼒构件内⼀点，取截⾯的不同⽅位，这⼀点在各个⾯上的（D ）. （A ）正应⼒相同，切应⼒不同；（B ）正应⼒不同，切应⼒相同；（C ）正应⼒和切应⼒都相同；（D ）正应⼒和切应⼒都不同。
2.关于单元体的描述，下列正确的是A（A ）单元体的三维尺⼨必须是微⼩的；（B ）单元体是平⾏六⾯体；（C ）单元体必须是正⽅体；。
（D ）单元体必须有⼀对横截⾯。
3.对于图⽰承受轴向拉伸的锥形杆上的A 点，哪⼀种应⼒状态是正确的Dxτxx4.在单元体的主平⾯上（）。
（A ）正应⼒⼀定最⼤；（B ）正应⼒⼀定为零；（C）切应⼒⼀定最⼩；（D ）切应⼒⼀定为零。
§7.2⼆向应⼒状态实例1. Q235钢制成的薄壁圆筒形蒸汽锅炉，壁厚δ，内径D ，蒸汽压⼒p ，试计算锅炉壁内任意⼀点处的三个主应⼒。
注：薄壁圆筒受⼒均匀，因此，任意点的应⼒状态均相同。
1.求⽔平⽅向上的正应⼒σx2.求竖直⽅向上的正应⼒σy3.求垂直于纸⾯⽅向上的正应⼒σz 薄壁圆筒与纸⾯垂直⽅向上的σz 为零.总结：薄壁圆筒的三个主应⼒为：薄壁圆筒为两向应⼒状态注意事项：1.注意单位配套使⽤；2. 纵向截⾯上正应⼒是横截⾯正应⼒的两倍；3.按规定排列正应⼒。
课本215页例7.1如下由Q235钢制成的蒸汽锅炉，壁厚δ=10mm，内径D=1m，蒸汽压⼒p=3MPa，试计算锅炉壁内任意⼀点处的三个主应⼒。
经分析，薄壁圆筒为两向应⼒状态2. 圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p，求容器内任意⼀点的应⼒。
注：薄壁圆球受⼒均匀，因此，任意点的应⼒状态均相同。
1.求⽔平⽅向上的正应⼒σx2.求竖直⽅向上的正应⼒σy3.求垂直于纸⾯⽅向上的正应⼒σz薄壁圆筒与纸⾯垂直⽅向上的σz为零.球形薄壁容器的三个主应⼒为：受内压的球形薄壁容器为⼆向应⼒状态§7.3 ⼆向应⼒状态分析——解析法⼆向应⼒状态下，单元体各⾯上应⼒分量皆为已知，如下图所⽰：求垂直于xy平⾯的任意斜截⾯ef上的应⼒及主应⼒和主平⾯⼀.符号规定1.正应⼒正负号规定2.切应⼒正负号规定使微元或其局部顺时针⽅向转动为正；反之为负。
第7章 应力状态
y
应力的正负号规定：
xy
xy yx —— 切应力顺时针转向为正，逆时针转向为负；
y x —— 正应力以拉为正，压为负；
x
x
yx xy
x
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2. 任意斜截面上的应力
—— 使微元体顺时针
复杂应力状态下，如何建立强度条件 ？ 分别满足 ? 做实验 ?
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2 一点的应力状态概念
F F
dz dx
dy
F
F A
m
应力单元体
F
m
F
p
n
p
t
cos 2
sin 2 2
5 、 二向应力状态实例
锅炉或其它圆筒形压力容器：壁厚为δ，内径为D，承受 内压p作用。
pD 1 2
pD 2 4
3 0
圆球形薄壁容器，壁厚为δ，内径为D，承受内压p作用。
pD 1 2 4
3 0
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
6、三向应力状态实例
F
2
1
3 3 2
1
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
7、任意斜截面上应力计算公式
x y
x y
2
2
x y
2
cos 2 xy sin 2 （7-3）
13-1应力状态理论-材料力学
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
max min
max
22
my in
maxx2
y
2
2 xy
• (3)式中两式相加:
mmmmianiaxnx
maxx2mx yi2nyx2
x
2
2. 应力圆作法
y
yx
B
xy
A x
x y
2
a (x ,xy)
fc
o
Re
b (y ,yx)
•在- 坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b； • a、b两点连线交轴于c点； •以c为圆心ac为半径作圆。
x y
2
a (x ,xy)
fc
o
Re
b (y ,yx)
9、单向应力状态：三个主应力中只有一个主应力不等于零的 应力状态叫单向应力状态。例如：拉压杆 叫单向应力状态，纯弯曲状态。
■原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始沿边缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
杆
轴
I p梁
M y
Iz
x
x
QS
z
Izb
z
z
zx zy
xz yz
y
xy
yx
y
3、原始单元体：各侧面应力已知的单元体
M y
Iz
QSz
梁
Izb
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二向应力状态分析的解析法
二向应力状态分析的解析法
[知识回顾]
基本变形下的强度条件:(板书)
FNmax1、拉压 ,,,[,]maxA 正应力强度条件
Mmax2、弯曲 ,,,[,]maxW
*FSsz ,,,[,]maxbIz3、扭转 剪应力强度条件
T,,,[,]max Wt
[教学导入]
特点:
以上强度条件考虑了危险点上只有正应力或只有剪应力的情况，即单向应力状
态;当考虑的点上既有
正应力又有剪应力时，就不能用单向应力状态理论来建立强度条件，需要用强
度理论来建立强度条件
[新课教学]
材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民
二向应力状态分析的解析法 一、应力状态的概述
(一)一点处的应力状态(ppt)
1、
不同截面上,各点的应力不同
F2F ,,,,12AA
2、
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明:同一横截面上,不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
3、
F横截面上: ,,,,0A
F22,,cos,,,cos,,斜截面上: A
,F,,sin2,,sin2,, 2A2
同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
点的应力状态:(State of the Stresses of a Given Point)
通过受力构件内某一点的不同方向面上的应力的集合，称之为这一点的应力状
态
1
材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民 (二)点的应力状态的表示(板书)
1、单元体:围绕所考查的点，取三方向上尺寸无穷小的正六面体。
特点:1、各面上应力均匀分布
2、相互平行的面上应力值相等
如:轴向拉伸杆中过A取单元体，
1)横、纵取
F左右二面是杆横截面的一部分: ,,xA
,,0上下和前后面都平行轴线:
2)若与横纵成α角截取
四个侧面与轴线即不平行也不垂直是斜截面，其上有正应力和剪应力
2,,,cos,,x
,x ,,sin2,,2由此可见:
单元体的应力状态实质上代表一个点的应力状态，研究研究过一点的不同截面
上应力 变化情况，就是应力分析的内容。
取单元体的方位不同，表示出的形态不同，但二者等价。即:同一点的应力状
态可以 有各种各样的描述方式。
2、单元体选取原则
一般以纵、横截面截取，截出的单元体各面上应力可以计算出来(由基本变形
知识)。 若单元体各个面上的应力已知， 由平衡即可确定任意方向面上的正应力
和切应力。 3、应力单元体:有应力的单元体。
(三)应力状态的分类
1、主平面:单元体上剪应力为零的平面
2、主应力:主平面上的正应力。通过任意的受力构件中任意
一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每
一点都有三个主应力，以σ，σ 和 σ 表示，且 123
,,,,,123
3、主应力单元体:无剪应力的单元体
2
材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民
4、单元体(应力状态)分类:(按有几个主应力不为零来分类)
1、单向应力状态(简单应力状态):
只有一个主应力不为零
2、二向应力状态(平面应力状态):
( Plane State of Stresses )
只有二个主应力不为零
复杂应力状态
3、三向应力状态(空间应力状态):
( Three-Dimensional State of Stresses )
三个主应力都不为零
(四)知识巩固
取单元体
1、 2、
学生练习
3、
3
材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民 二、解析法
1、斜截面上应力
取一已知单元体(其上应力已知)，平面应力状态下的一般单元体(左图)，其投
影(右图) 求:任意斜截面ef上的应力。
应用截面法:将其沿ef截开，保留左侧研究，并将ef上应力设成正的情形。
正应力正负号规则: 拉为正压为负
切应力正负号规则:使微元或其局部顺时针方向转动为正;反之为负。 α角正
负号规则:由x正向逆时针转到n正向者为正;反之为负。
微元局部的平衡方程:
,,,,,,,dA,(dAcos)cos，
(dAcos)sin，,xxyF ,0,n ,(dAsin,)cos,,,(dAsin,)sin,,0yxy
,,,,,,,dA,(dAcos)sin,(dAcos)cos，,xxyF ,0 ,t,(dAsin,)sin,，,(dAsin,)
cos,,0yxy
根据剪应力互等定理，和在数值上相等，以代换，并考虑到下列三角关
系 ,,,,xyyxxyyx
1cos21sin2，,,,22cos,sin ， 2sin,cos,,sin2,,,,,22
简化两个平衡方程，得
,,,,，,xyxy ,,，cos2,,,sin2,,xy22
1 ,,,(,,)sin2,，,cos2,,xyxy2
4
材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民
上式表明:
和都是的函数，即任意截面上的正应力和剪应力随截面方位的改变而变
化 ,,,,,,,,,2、主应力的极值及其所在平面的方位
为求正应力的极值，可将公式对取导数，得 ,
,,,，，,dxy, 2sin2,,cos2,,,，,,xyd2,，，
以,代入上式，并令其等于零 0
,,,xy sin2,，,cos2,,00xy02
得 ,2xy 2,,,tg0,,,xy
,,,2,,,有两个解;和，即和。因此，相差的两个角度， 902,,180,,9000000
在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。 可以证明:在这两
个互相垂直的平面中，一个正应力是最大正应力所在的平面，另一个
是最小正应力所在的平面。
设α,α时，上式值为零，即 0
,,(,,)sin2,,2,cos2,,0xy0xy0
(σ,σ)，，xy,2sin2α，τcos2α,,2τ,0 0xy0α,,02，，
即α,α 时，切应力为零。 0
可知:正应力为极值的面是主平面，相应的正应力极值是主应力。
即主应力就是最大或最小的正应力。
正应力的最大值和最小值是:
,,，12xy2，，,,，,,,，4,maxxyxy 22
,,，12xy2 ，，,,,,,,，4,minxyxy22
5
材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民 3、剪应力极值和方向
,d,,,,,(,)cos2,2,sin2, xyxyd,
以代入上式，令其等于零，得 ,1
(,,,)cos2,,2,sin2,,0xy1xy1
由此可得
,,,xy, 2tg,12,xy
,,可以解出两个角度值和，它们相差也为，从而可以确定两个相互垂
直 ,,9090,11
的平面，在这两个平面上分别作用着最大或最小剪应力。
剪应力的最大值和最小值是:
,,,,,xymax22 ,,()，,,xy2,min,
最大和最小剪应力的值及所在平面的方位。与正应力的极值和所在两个平面方
位的对 应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是:若，则绝对
值较小 ,,0xy的对应最大剪应力所在的平面。 ,1
1, tg2,,0tg2,1
所以有
,,22, ,，,，,,,,101024
,即最大和最小剪应力所在的平面的外法线与主平面的外法线之间的夹角为。
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材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民 三、解析法的应用
例:分析受扭构件(铸铁)的破坏规律。
解:
1、确定危险点并画其原始单元体
M ,,,,0,,,,xyxyW t
2、求极值应力
,,,,,，,,xyxymax22 2,,()，,,,,,,,,xyxy22, min,
,,,;,,0;,,,,123
,2xy,, ,,,,,tg20,,,45 或,,,135 00,,,xy
3、破坏分析
圆截面铸铁扭转时，表面各点的最大正应力所在主平面联成螺旋面，由于铸铁
抗拉 强度较低，将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
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民
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