高中数学新课程创新教学设计案例50篇31-34_三角函数

31 角的概念的推广 教材分析 这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．

教学目标 1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法． 3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．

教学设计 一、问题情境 ［演 示］ 1. 观览车的运动． 2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3. 钟表秒针的转动． 4. 自行车轮子的滚动． ［问 题］ 1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角

2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角 3. 钟表上的秒针（当时间过了时）是按什么方向转动的，转动了多大角 4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角 显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．

二、建立模型 1. 正角、负角、零角的概念 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．

2. 象限角 当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

3. 终边相同的角 在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）． 设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．

三、解释应用 ［例 题］ 1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角． （1）－150°． （2）650°． （3）－950°5′． 2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．

（1）60°． （2）－21°． （3）363°14′． 3. 写出终边在y轴上的角的集合． 解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，终边在y轴上的角的集合为 S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：会正确使用集合的表示方法和符号语言． ［练 习］ 1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

（1）45°． （2）－30°． （3）420°． （4）－225°． 2. 辨析概念．（分别用集合表示出来） （1）第一象限角． （2）锐角． （3）小于90°的角． （4）0°～90°的角． 3. 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为． 4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为． 四、拓展延伸 1. 若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．

2. 如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角 注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．

（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢） 32 任意角的三角函数 教材分析 这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．

教学目标 1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．

2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题．

3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．

教学设计 一、情景设置 初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．

在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中， 现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而

即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．

二、建立模型 一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：

那么，OP＝，记作r，（r＞0）． 对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义

可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为 对于定义，思考如下问题： 1. 当角α确定后，比值与P点的位置有关吗为什么 2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系 3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗为什么 三、解释应用 ［例 题］ 1. 已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值． 思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢（m≠0） 2. 求下列角的六个三角函数值．

注：强化定义． ［练 习］ 1. 已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值． （1）P（3，－4）． （2）P（m，3）． 2. 计 算． （1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸 1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．

2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．

3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律． （1）sin30°，sin390°． （2）cos45°，cos（－315°）．

规律：终边相同的角有相同的三角函数值， 即sin（α＋k360°）＝sina， cos（α＋k·360°）＝cosa， tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）． 五、应用与深化 ［例 题］ 1. 确定下列三角函数值的符号．

2. 求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角． ∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限． 必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．