现代控制理论-第2章-孙老师
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第二章控制系统的状态方程求解
《现代控制理论》
主讲：孙韬
概述
法是现代控制理论的主要分析方法，其状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输
运用矩出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。
本章重点:
讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程的求解公式、以及离散系统状态
离散
方程的求解方法。
主要内容
线性定常控制系的求解
线性定常控制系统的求解
线性离散系统的状态空间表达式
连续系统的离散化
线性离散系统状态方程的求解
2.1 线性定常控制系统的求解
线性定常控制系统的求解
线性定常系齐次状态方程的解•线性定常系统齐次状态方程的解•状态转移矩阵
•线性定常系统非齐次状态方程的解
线性定常系统齐次状态方程的解
1、线性定常系统的运动
1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u ＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动
由初始状态引起的运动称自由运动。)
,(B A =∑0
=u x
齐次状态方程的解：
0,()|(0)t x
Ax x t x === 作用下的运动称为2）强迫运动：线性定常系统在控制u 作用下的运动，称为强迫运动。u
x x
== )
,(B A =∑00,()|()t t Ax Bu x t x t =+非齐次状态方程的解：
线性定常系统齐次状态方程的解
2、齐次状态方程的解：
()()x
t Ax t = 已知状态方程
求
()?
x t =一阶标量微分方程
)()(t ax t x
= d d ax dt dx =dt a x
dx
⋅=⇒at x x =-⇒)0(ln ln 1⇒
+++++=t x a k t x a t ax x t x )0(!1)0(!2)0()0()(22指数函数221112!!
at
k k e at a t a t k =+++++
线性定常系统齐次状态方程的解
x
t Ax t = 向量
()()仿照标量微分方程：2012()k
k x t b b t b t b t =+++++
微分方程
代入微分方程：2012()()()k
k x
t Ax t A b b t b t b t ==+++++ b 求导21
123()23k k x t b t b t kb t -=++++
⎧对求导：)(t x 两式相等必有：10
b Ab =⎧10212b Ab b Ab =⎪=⎪两式相等有
2112b Ab ⎪⎪=⎪
⎪20
12!A b =323 b Ab ⎪
=⎨⎪ 3213 b Ab ⎪
⇒=⎨⎪
⎪ 30
13!A b =1
k k kb Ab -⎪=⎪⎩11k k b Ab k -⎪⎪=⎪⎩
1!k A b k =
线性定常系统齐次状态方程的解
x
= 向量
()()t Ax t 仿照标量
+++++=k
k t t t t b b b b x 2
210)(微分方程：
+++++=k
k t k t t 0202001!21b A b A Ab b 1122 k
k =⎧=0
1Ab b )!2(+++++t k t t A A A I 0
b ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨=⇒2331 Ab b ⎪⎪
⎪⎨=23123Ab b 1=⎪⎪⎪⎩
=-11k k k Ab b ⎪⎪⎩=-1
k k k Ab b 0!1b A k k =
线性定常系统齐次状态方程的解
t A 1()()
x Ax t =)1!2()(22 +++++=k
k t k t t t A A A I x 0
b 0=t 0
)0(b x =⇒11))
0(!2()(22)x A A A I x +++++=∴k
k t k t t t 1
+++++=k
k t
t k
t t e
A A A I A 1!222矩阵指数函数
状态转移矩阵
描述了状态向量由初始状态向任意时
刻状态转移的内在特性。
)0(x )(t x
状态转移矩阵
1状态方程：Ax
x = 已知已知：、状态转移矩阵的含义
=A t
=线性定常系统的齐次状态方程知满足初始状态的解是：)
0(|)(0x x =t t )0()(x x e t 满足初始状态
的解是：)
()(0)
(0t e
t t t x x A -=)
(|)(0t t t t x x ==0⎪⎧=)
(t e t
ΦA 令则有⎧=)
0()()(t t x Φx ⎪⎩⎨-=-)(0)(0t t e
t t ΦA 令：
则有：
⎩⎨
-=)
()()(00t t t t x Φx 线性定常系统的状态转移矩阵