02第二节洛必达法则共8页
洛必达法则
2. 型
1 1 00 . 步骤: 0 0 00
例8 求 lim (
x 0
1 1 ). sin x x
()
解
x 0,
x sin x x sin x 原式 lim lim x 0 x sin x x 0 x2
1 cos x sin x lim lim 0. x 0 x 0 2x 2
那么
f ( x) f ( x ) A (或 ) lim lim x x0 g ( x) x x0 g ( x )
将x x0改为x x0 , x x0 , x , x , x 时,同样适用 . 说明：
ln x 例4 求 lim . x x
极限不存在
不能使用洛必塔法则. 改用其它方法求极限. sin x 1 x sin x x 1 lim lim x x x sin x sin x 1 x
注意：洛必达法则不能滥用！
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式
0 0
关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可
第二节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0 二、 型未定式
三、0 、 、0 0 、1 、 0 型未定式
四、小结
思考题
回顾：
0 0
x 1 lim 2 lim x 0 x x 0 x
sin 3 x lim 3 x 0 x
4x3 x 2 lim 2 x 2 x 2 x 4
2 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 3 x0 x 0 3 x2 x
tan 2 x x2 1 lim lim 2 . 2 x 0 3 x x 0 3 x 3
第二节洛必达LHospital法则
x? 0?
x? 0?
(3) lim (1 ? 1 ) x
x? 0?
x
x ) 1/ x 2 ;
系理数院学技科汉武
解：(1) 令y=xx, 则 lny=xlnx, 再取极限, 得到
ln x
1/ x
lim ln y ? lim
? lim
x? 0?
x? 0? 1 / x
x? 0? ? 1 / x 2
? lim x ? 0 x? 0?
? lim ln y ? 0 x? 0?
? lim y ? e 0 ? 1 ? x? 0?
lim x x ? 1
x? 0?
案教子电学数等高
也可以
( 1 ) lim x x ? lim e x ln x
x? 0?
x? 0?
? exp[
lim ( x ln x )]
x? 0?
? exp[
lim
1/ x ] ? e 0 ? 1
x ? 0 ? ? 1/ x 2
(2) lim(cos x? 0
x ) 1/ x 2 ? lim
1 ln cos x
e x2
x? 0
ln cos x
? exp[lim x? 0
x2
]
? tgx
? exp[lim
] ? exp[
x? 0 2 x
? 1 ? 1] 2
系理数院学技科汉武
? e ? 1/ 2 ?
在区间[a,x] 或[x,a] 上应用柯西中值定理
f ( x ) ? f ( a ) ? f ?(? ) , (? ? [ a , x ]) g ( x ) ? g ( a ) g ?(? )
x ? a,? ? a
洛必达法则详解
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )
e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得
B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1
e
lim
x 1
x 1
e .
洛必达法则
3 x→π − 2cos x sin x x→π sin 2 x x→π 2cos 2 x
2
2
2
注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好.
-6-
tan x − x
例
5
求
lim
x→0
x2 tan x
.
(0) 0
解：原式
=
lim
x→0
tan x x3
−
x
(0) 0
x→∞
洛必达法则失效！
解：原= 式 lim(1+ 1 cos x) = 1.
x→∞
x
-12-
例12 求 lim[n − n2 ln(1+ 1 )]
n→∞
n
注意：数列极限没有洛必达法则，但是，可将数列极限
转化为函数极限，然后再使用洛必达法则．
解：原式 = lim [x − x2 ln(1+ 1 )]
x→+∞
x
1 =t x
t − ln(1+ t)
= lim
t →0+
t2
(0) 0
1− 1 = lim 1+ t
=1
t→0+ 2t
2
-13-
a x − asin x 例 13 求 lim
x→0 1− 1+ 2x3
解：原式 = lim asin x (ax−sin x −1) x→0 −( 1+ 2x3 −1)
∞
0
例 6 求 lim x−2ex. ( 0 ⋅ ∞ ) x→+∞
解：原式
=
lim
x→+∞
ex x2
洛必达法则
一、洛必达法则
1. 0/0型与∞/∞型未定式 定理1
பைடு நூலகம்
设
(1)当x→x0时，函数f(x)及g(x)都趋于零（或f(x)及g(x)都
趋于无穷大）.
(2)在点x0的某去心邻域内，f′(x)及g′(x)都存在且g′(x)≠0.
(3)
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
证明这里仅证当x→x0时的0/0型未定式的情形.对于当
一、洛必达法则
当x→x0时，有ξ→x0，所以
上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、 分母分别先求导、再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则.
一、洛必达法则
注意
如果f′(x)/g′(x)当x→x0时仍是0/0型和∞/∞型未定 式，且这时f′(x)与g′(x)满足定理1中f(x)，g(x)所要满足 的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即
（3）
存在或为无穷大.
则
一、洛必达法则
【例6】
【例7】
一、洛必达法则
解这是∞/∞型未定式.当α是正整数时,连续应用α次洛 必达法则得
当α不是正整数时,显然必存在正整数k,使得k－ 1<α<k,此时连续应用k次洛必达法则,即得
综上所述,对任意α>0,都有
二、其他类型的未定式
除了0/0型和∞/∞型两种基本未定式外，还有0·∞,∞－ ∞,00,1∞,∞0型未定式,它们都可以经过适当变形,化为0/0型或∞/∞ 型未定式后，再应用洛必达法则来计算.
一、洛必达法则
【例1】
一、洛必达法则
注意
上式中的
已不再是未定式,故不能再
对它应用洛必达法则,否则要导致错误的结果.因此在每
次使用洛必达法则之前,都要验证极限是否为0/0型未定
《洛必达法则》课件
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
第四章第二节罗必塔法则
0 ( ) 0
1 − 2 x2 解 原式 = lim 1 + x = lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x ln sin ax ∞ ( ) . 例4 求 lim ∞ x→0 ln sin bx →
a cos ax ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim = lim = 1. x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
3. 0 ,1 ,∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤 00
0⋅ ln0 取 数 对 ∞ 1 ∞⋅ ln1 ⇒0⋅ ∞. → 0⋅ ln∞ 0 ∞
x x →0
例9 解
求 lim+ x .
( 00 )
x ln x
原式 = lim+ e
x →0
=e
x →0+ −
lim
1 x 1 x2
x ,该 当 →∞时该 则 然 立 法 仍 成 .
f ( x) f ′( x ) lim . = lim x →∞ F ( x ) x → ∞ F ′( x )
当x → +∞ 比较 ln x, x (α > 0),e 趋于无穷 时，
x
α
的速度大小。 ln x 1 1 lim α = lim α−1 ⋅ = 0. x→+∞ x x→+∞αx x α α −1 α −k x αx α(α −1)L(α − k +1)x lim x = lim x = L= lim =0 x x→+∞ e x→+∞ e x→+∞ e α x ∴ln x < x < e .
2.洛必达法则
当x x0 0, x x0 0, x , x , x 时, 只要条件满足, 也可以使用 .
8
tan x 例1 求 lim . x 0 x (tan x ) sec2 x 解 原式 lim lim 1 . x 0 ( x ) x 0 1
x 3x 2 . 例2 求 lim 3 2 x 1 x x x 1
e 1.
sin 2 x 1 lim x cos x x0
e
0
25
例15 设a1 , a2 , , an均为正的常数，求极限
a a a lim . x n 解 1 1 1 nx x a1 a 2x a nx 记 y ，两边取对数，得. n
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
例14 求 lim x
x 0
sin x
. ( 00 )
解 原式 lim e
x 0
sin x ln x
e
x0
lim sin x ln x
e
ln x x0 csc x lim
e
1 x lim x 0 csc x cot x
2.每次使用洛必达法则前 , 都要验证条件 ;
10
π 2 arctanx . 例3 求 xlim 1 ln 1 x
2 2 1 x π 2 arctanx lim x 1 1 解 xlim 1 2 ln 1 1 x x 1 x 2 x x 2 lim 2 2 x 1 x
当 x x0 时, x0 , (在x与x0之间)
x0
x
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第 1 页 第二节 洛必达法则 在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示 ★洛必达法则
00
★ 例1-2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6-7
综合应用 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ).0( ★ 例11 )( ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 )0(0★ 例15 ★ 例16 )1(★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 )(0★ 例20 ★ 例21 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 ★ 返回 内容要点 一、未定式的基本类型：00型与型； .)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax .)()(lim)()(limxFxfxFxfxx
第 2 页
二、未定式的其它类型：0型，型，00,1,0型 (1) 对于0型，可将乘积化为除的形式，即化为00或型的未定式来计算. (2) 对于型，可利用通分化为00型的未定式来计算. (3) 对于00,1,0型，可先化以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为0的形式，再化为00或型的未定式来计算. 例题选讲 00型 例1 (E01) 求 )0(sinlim0k
x
kx
x 解 原式)()(sinlim0x
kx
x1coslim0kxk
x.k
例2 (E02) 求 123lim
23
3
1xxxxxx 解 原式12333lim221xx
x
x266lim1xxx.23
注: 上式中, 266lim1xxx已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则. 例3 (E03) 求.sin2lim
0xxxeexxx
解 xxxeexxxsin2lim0xeexxxcos12lim0xeexxxsinlim0xeexxxcoslim0.2
例4 (E04) 求 xxx1arctan2lim.
型
0
0
解 x
xx1arctan2lim
22111limxxx
2
2
1limxxx1
注: 若求nnnn(1arctan2lim为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得 第 3 页
11arctan2limnnn
例5 (E05) 求.lncotlnlim
0xxx
解 xxxlncotlnlim0xxxx1)sin1(cot1lim20xxxxcossinlim0
xxxxxxcos1limcossinlim00.1 例6 (E06) 求 )0(lnlimnxxnx.
解 原式11limnxnx
xnxnx1lim
.0
例7 (E07) 求 xnxexlim (n为正整数, 0). 解 反复应用洛必达法则n次，得 原式xnxenx1limxnxexnn2
2)1(lim
xnxen!lim
.0
注：对数函数xln、幂函数nx、指数函数)0(xe均为当x时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<例8 求.xxxxxtantanlim
20
解 注意到,~tanxx则有
xxxxxtantanlim2030tanlimxxxx22031seclimxxx
xxxx6tansec2lim20
xxxxxtanlimseclim3
1
020
xxxtanlim310.31
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷. 第 4 页
例9 (E08) 求.)21ln()cos1(3sin3lim
0xxxxx
解当0x时, ,21~cos12xx,2~)21ln(xx
故)21ln()cos1(3sin3lim0xxxxx
303sin3limxxxx
2033cos33limxxx
xxx23sin3lim0
.2
9
例10 (E09) 求 xxxxsin1sinlim20. 解 所求极限属于00的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为
,cos1cos1sin2lim0xxxxx
此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限
是存在的,可用下法求得:
xxxxsin1sin
lim2
0)1sinsin(lim0xxxxxxxxxxxsinlim1sinlim00.010
例11 (E10) 求 .lim2xxex (0型) 解 对于)0(型，可将乘积化为除的形式，即化为00或型的未定式来计算. xxex2lim2limxexx
xexx2lim2limxxe
.
例12 (E11) 求 )tan(seclim2xxx. (型)
解 对于型，可利用通分化为00型的未定式来计算. )tan(seclim2xxx)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2
.0
1
0
例13 求 )..(1sin1lim0
xxx
解 )1sin1(lim0xxxxxxxxsinsinlim020sinlimxxxxxxx2cos1lim02sinlim0xx.0 第 5 页
例14求)(])2[(lim1
.xexxx
解 原式]1)12[(lim1xxexx.xexxx11)21(lim1
直接用洛必达法则, 计算量较大. 为此作变量替换, 令,1xt则当t时, ,0t 所以
])2[(lim1xexxxt
ettt1)21(lim0
ttet1)12(2lim0.3
00,1,0型 步骤
0
010
取对数
ln01ln0ln0
.0
例15 求.lim0xxx )0(0
解 xxxxxexln
00limlim
xxxelnlim
0x
xxe1lnlim
02011limxxxe
0e.1
例16 (E12) 求 xxxtan0lim. (00) 解 将它变形为xxxxxexlntanlimtan
00lim
由于xxxxxxxxx2000csc
1limcotlnlimlntanlimx
xx20sinlim
.01cossin2lim0
xxx
故.1lim0tan0exx
x
例17 求)1.(lim111xxx
解 xxx111limxxxeln111lim
xxxe1
lnlim
111lim1xxe.1e
例18求)1()sin(limcos110型.x
xx
x