河南省郑州市2012届高三第三次质量预测(数学理)
郑州市2013年高中毕业年级第一次质量预测数学(文科)试题(含答案)(高清扫描版)
设线段 的中点为 ， ，直线 的斜率为 ，
注意到 ，则直线 的方程为 ，
由 消 得： ，
所以 ，故 ，
又点 在直线 上，所以 ，―――――8分
由 可得 ，
即 ，所以 ，――――10分
整理得 ，
所以在线段 上存在点 符合题意，其中 ．――――12分
21．解：⑴当 时， ， ，―――1分
2013年高中毕业年级第一次质量预测
文科数学参考答案
一、选择题
CCADC BAAAD DB
二、填空题
13. ；14. ；15. ；16、
三、解答题
17．解：⑴由正弦定理得 ，――――2分
在 中 ，
，又 ，
，注意到 ．―――――6分
⑵ ，――――8分
由余弦定理得 ，
，
，――――10分
又 ，所以 ，
故 是等边三角形．――――12分
⑵ 直线 的直角坐标方程为 ，
由 得直线 与曲线C的交点坐标为 ，
所以弦长 ．――――10分
24．解：⑴原不等式可化为 ，
依题意，当 时， 则 无解，
当 时， 则 所以 ，
当 时， 则 所以 ，
综上所述:原不等式的解集为 ．――――5分
⑵原不等式可化为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
故 对 恒成立，
当 时， 的最大值 ， 的最小值为2，
AB
BB
BB
CB
AB
BB
BB
CB
AB
BB
BB
CB
AC
BC
BC
CC
表中AB表示 获 类资格， 获 类资格；BC表示 获 类资格， 没有获得资格．所以恰有一位同学获该高校 类资格的概率为 ．――――12分
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(文)试题
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学（文科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题3:0,0P x x∀>>，那么P⌝是( )A.30,0x x∃≤≤ B. 30,0x x∀>≤C.30,0x x∃>≤ D. 30,0x x∀<≤2.已知集合{}|20M x x=-<，{}|N x x a=<，若M N⊆，则实数a的取值范围是( )A. [2,)+∞ B. ()2,+∞C.(),0-∞D.(,0]-∞3. 设i是虚数单位，若复数()3m m Ri1+∈+是纯虚数，则m的值为( )A. 3-B. 1-C.1D.34.已知点(),P a b是抛物线220x y=上一点，焦点为F，25PF=，则ab=（）A. 100B.200C.360D.4005.已知数列{}na是等差数列，其前n项和为nS，若12310a a a=，且15515S S=，则2a=（）A. 2B.3C.4D.56.已知长方体的底面是边长为1面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（）A.1B.C.2D. 来源: ]7.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x xg x x=-+=+，且()h x m≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 48.已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y xx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 17B.18C. 20D.21 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()351f f -==，()'f x 是()f x 的导函数，且函数()'y f x =的图象如右图所示，则不等式()1f x <的解集是（ ）A. ()3,0-B. ()3,5-C. ()0,5D. ()(),35,-∞-+∞10.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()BD BE BE CE +⋅-的值为（ ）A. 1-B.12-C. 12 D. 211. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()201520142013f f f -+-+-+…()()20142015f f ++=( )A. 0B. 2014C. 4028D. 4031 12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB上的两个动点，且MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. []3,6B. []4,6C. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,4第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 已知数列{}n a 是等比数列，若143,62a a ==，则10a =14. 我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是15. 已知51sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos 2α= 16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-.正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c，且满足2220a b c --=，2sin b A a =，BC 边上中线AM（I ）求角A 和角B 的大小；（II ）求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率； （II ）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？ [来源: ]19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：||PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.[来源: ]20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =的距离之比为2，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设a 是实数，函数()()2212ln f x ax a x x =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调区间；（II ）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =，当x x ≠时，若()()00g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“平衡点”. 当1a =时，试问函数()y f x =是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），直线l 和圆C交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点. （I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB 二、填空题13.96；14.50；15.87-；16.2,3,4.三、解答题18.解：用(,)x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、)5,1(、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、)52(、、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、)53(、、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、)5,4(、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(、)5,5(共25个； …………………4分(2).设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C. 事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，共有10个；则522510)B (==P ，…………………10分所以53)(1)(=-=B P C P . …………………11分因为()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ……………………12分19.解：(1).连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N为AC 的中点．…………………2分当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线， 故//MN PA ，又MN ⊂平面B M Q ，所以//PA 平面B M Q .…………………5分(2).由(1)可知，//PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连结MK，所以//MK PD ，112MK PD ==，…………7分又PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==，2PD CD ==，所以1AQ =，2BQ =，1,MQ NQ ==…………………10分所以P B M Q A B M Q M A BV VV---==111323AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=.BQM S ∆= (11)分则点P 到平面BMQ 的距离d =223=∆-BMQBMQP S V …………………12分20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .…………………5分(2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：2||=AB ，当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221n m =+联立22,1,2y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………7分 02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m，12x x == 所以，2121222422,,2121mn n x x x x m m --+==++||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=2122||||m m ≤+……10分当且仅当||1||2m m =，即22±=m时等号成立，此时n = 经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………12分21.解：（1）xx ax x x a ax x a ax x f )1)(22(2)1(222)1(22)('2+-=--+=--+=)0(>x [来源:学#科#网]当0≤a 时，0)('≤x f 在0>x 上恒成立；…………………2分当0>a 时，在)1,0(a x ∈时，0)('<x f ，当),1(+∞∈a x 时，0)('>x f所以，当0≤a 时，)(x f 的减区间为(0,+∞)；…………………4分当0>a 时，)(x f 的减区间为)1,0(a ，增区间为),1(+∞a . …………………6分（2）设00(,)P x y 为函数x x x f ln 2)(2-=图像上一点，则函数)(x f y =在点P 处的切线方程为：))(22(ln 2000020x x x x x x y --=+-即：00200ln 2222)(x x xx x x x h -+--=.…………………8分令)ln 2222(ln 2)()()(002002x x xx x x x x x h x f x F -+----=-=002002ln 2222ln 2x x xx x x x x +-++--=，[来源: ]则)11)((22222)('0000x x x x x x x x x F +-=+--=，因为0,00>>x x所以，当00x x <<时，0)('<x F ，当0x x >时，0)('>x F即函数)(x F 在),0(0x 上为减函数，在),(0+∞x 上为增，所以，0()()0.F x F x ≥=…………………10分那么，当0x x <时，0)()()(00<--=-x x x h x f x x x F ； 当0x x >时，00()()()0.F x f x h x x x x x -=>--因此，函数)(x f 在),0(+∞∈x 不存在“平衡点”. …………………12分 22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠. 由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以90=∠PFA ，所以 90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分(2)连接BC ，DC.由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA. …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB. ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为)45,2(π；…………………5分(Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分所以,31029822=-=AB点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分 （2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2，因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分第11页 共11页 所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即4≥m .……………………………10分。
河南省郑州市2013届高三第二次质量预测数学(文)试题(含考点分析解答点评)
2013年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一个符合题目要求．1．（5分）（2013•郑州二模）复数z1=3+i，z2=1﹣i则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．分析：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，化简为a+bi的形式，即可得到结果．解答：解：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，得复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数代数形式的除法运算，是容易题．2．（5分）（2013•郑州二模）若，，则角θ的终边一定落在直线（）上．A．7x+24y=0 B．7x﹣24y=0 C．24x+7y=0 D．24x﹣7y=0考点：终边相同的角；半角的三角函数．专题：计算题．分析：由题意确定的范围，然后求出角θ的终边的值，求出直线的斜率，即可得到选项．解答：解：，，所以在第四象限，，θ是第三象限角，tan=﹣，所以tanθ==；所以角θ的终边一定落在直线24x﹣7y=0上．故选D点评：本题是基础题，考查终边相同的角，直线的斜率，三角函数的化简求值，考查计算能力，常考题型．3．（5分）（2013•郑州二模）在正项等比数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且﹣a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为（）A．125 B．126 C．127 D．128考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，由已知条件列式求出公比，则等比数列的前7项和可求．解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），且a1=1，由﹣a3，a2，a4成等差数列，得2a2=a4﹣a3．即．因为q＞0．所以q2﹣q﹣2=0．解得q=﹣1（舍），或q=2．则．故选C．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力，是基础题．4．（5分）（2013•郑州二模）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β⇒α⊥β．若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l⊂α得不到l⊥β，所以所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．解答：解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．点评：解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用⇒来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件．5．（5分）（2013•郑州二模）函数f（x）=x2﹣2x在x∈R上的零点的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．作出函数的图象可得答案．解答：解：由题意可知：函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，等价于函数y=2x，y=x2的图象交点个数．画出函数y=2x，y=x2的图象由图象可得有3个交点．故选D．点评：本题考查的是函数零点的个数判定问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）（2013•郑州二模）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．解答：解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．7．（5分）（2013•郑州二模）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点： 利用导数研究函数的极值． 专题：导数的概念及应用．分析： 根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．解答： 解：如图，不妨设导函数的零点分别为x 1，x 2，x 3，x 4．由导函数的图象可知：当x ∈（a ，x 1）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 1，x 2）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，x 3）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 3，x 4）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（x 4，b ）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，由此可知，函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有两个极大值点，分别是当x=x 1时和x=x 4时函数取得极大值． 故选B ．点评： 本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．8．（5分）（2013•怀化三模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 简单空间图形的三视图． 专题： 作图题．分析： 由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．解答： 解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A 中的视图满足三视图的作法规则；B 中的视图满足三视图的作法规则；C 中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D 中的视图满足三视图的作法规则；故选C点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．9．（5分）（2013•郑州二模）已知A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得向量与的坐标，可得投影为cosθ=，代入数值可求．解答：解：由题意可知：=（2，2），=（﹣1，3），设θ为向量与的夹角，则向量在向量上的投影为cosθ，又由夹角公式可得cosθ=，∴cosθ===故选B点评：本题考查向量投影的定义，涉及平面向量数量积的求解，属基础题．10．（5分）（2013•郑州二模）如图所示，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，F2F1=2c，AF1=c，AF2=，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=﹣c=2a，变形可得离心率的值．解答：解：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，由勾股定理可知AF2=，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=2a，即﹣c=2a，变形可得双曲线的离心率==故选B点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．11．（5分）（2011•安徽）函数f（x）=ax n（1﹣x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（）A．1B．2C．3D．4考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先从图象上得出原函数的最值（极值）点小于0.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可．解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5．当n=1时，f（x）=ax（1﹣x）2=a（x3﹣2x2+x），所以f'（x）=a（3x﹣1）（x﹣1），令f'（x）=0⇒x=，x=1，即函数在x=处有最值，故A对；当n=2时，f（x）=ax2（1﹣x）2=a（x4﹣2x3+x2），有f'（x）=a（4x3﹣6x2+2x）=2ax（2x﹣1）（x ﹣1），令f'（x）=0⇒x=0，x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B错；当n=3时，f（x）=ax3（1﹣x）2，有f'（x）=ax2（x﹣1）（5x﹣3），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故C错．当n=4时，f（x）=ax4（1﹣x）2，有f'（x）=2x3（3x﹣2）（x﹣1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故D错故选A．点评：本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．12．（5分）（2013•郑州二模）设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）考点：简单线性规划的应用．专题：综合题．分析：根据对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+23）＜f（2﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围，即可求得m2+n2 的取值范围．解答：解：∵对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立∴f（1﹣x）=﹣f（1+x）∵f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0，∴f（m2﹣6m+23）＜﹣f[（1+（n2﹣8n﹣1）]，∴f（m2﹣6m+23）＜f[（1﹣（n2﹣8n﹣1）]=f（2﹣n2+8n）∵f（x）是定义在R上的增函数，∴m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即（，7）∵m2+n2表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方∴m2+n2 的取值范围是（13，49）．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．（5分）（2013•郑州二模）等差数列{a n}的前7项和等于前2项和，若a1=1，a k+a4=0，则k=6．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的公差，由前7项和等于前2项和列式求出公差，然后利用a k+a4=0列式求得k的值．解答：解：设等差数列的公差为d，设其前n项和为S n．由S7=S2，得，即7×1+21d=2+d，解得d=．再由．解得：k=6．故答案为6．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的运算题．14．（5分）（2013•郑州二模）设z=x+y，其中x，y满足，当z的最大值为6时，k的值为3．考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k值．解答：解：作出可行域如图：直线x+y=6过的交点A（k，k）时，z=x+y取最大，2k=6，∴k=3，故答案为：3点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）（2013•郑州二模）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则+的最小值为．考点：基本不等式；对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性和特殊点求得点A（﹣2，﹣1），由点A在mx+ny+2=0上，可得2m+n=2．再由=+，利用基本不等式求得它的最小值．解答：解：∵函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣2，﹣1），点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，∴﹣2m﹣n+2=0，即2m+n=2．∴=+=1+++=+≥+2=，当且仅当时取等号，故+的最小值为，故答案为．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，属于基础题．16．（5分）（2013•郑州二模）已知函数f（x）=x﹣cosx则方程f（x）=所有根的和为．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数y=f（x）的单调性，可得f（x）=x﹣cosx在（﹣，）上是增函数，结合f（）=得到在（﹣，）上有且只有一个实数x=满足f（x）=．再由cosx的有界性和不等式的性质，证出当x≤﹣时，有f（x），且x≥时，f（x）＞．因此当x∉（﹣，）时，方程f（x）=没有实数根，由此即可得到方程f（x）=只有一实数根x=，得到本题答案．解答：解：∵f（x）=x﹣cosx，∴f'（x）=+sinx，当x∈（﹣，）时，因为sinx，所以f'（x）=+sinx＞0∴f（x）=x﹣cosx在（﹣，）上是增函数∵f（）=﹣cos=∴在区间（﹣，）上有且只有一个实数x=满足f（x）=．又∵当x≤﹣时，x＜﹣，﹣cosx≤1，∴当x≤﹣时，f（x）=x﹣cosx≤1﹣，由此可得：当x≤﹣时，方程f（x）=没有实数根同理可证：当x≥时，方程f（x）≥﹣1＞，所以方程f（x）=也没有实数根综上所述，方程f（x）=只有一个实数根x=，因此方程f（x）=所有根的和为故答案为：点评：本题给出基本初等函数f（x）=x﹣cosx，求方程f（x）=所有根的和．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的图象与性质、函数的零点和不等式的性质等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•郑州二模）如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，OM=5，可得OI=4，且，设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，由余弦定理可得，求得，再利用二次函数的性质求得v的最小值，以及此时他行驶的距离vt的值．解答：解：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，∵OM=5，∴．﹣﹣﹣﹣（2分）设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理：﹣﹣﹣﹣（6分），求得，﹣﹣﹣﹣（8分）∴当时，v的最小值为30，∴其行驶距离为公里．﹣﹣﹣﹣（11分）故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了公里．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查二次函数的性质，余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）（2013•郑州二模）每年的三月十二日，是中国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（Ⅰ）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．考点：程序框图；茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：（I）将数据填入茎叶图，然后计算两组数据的平均数进行比较，计算中位数从而可得甲、乙两种树苗高度的统计结论；（II）根据流程图的含义可知S表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得S．解答：解（Ⅰ）茎叶图略．﹣﹣﹣（2分）统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．﹣﹣﹣（6分）（每写出一个统计结论得2分）（Ⅱ）．﹣﹣﹣﹣（9分），S表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量．S值越小，表示长得越整齐，S值越大，表示长得越参差不齐．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了茎叶图和算法流程图，以及平均数、中位数和方差的度量，同时考查了识图能力，属于基础题．19．（12分）（2013•郑州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，取BC边的中点M，连结AM，可证AM垂直于底面，从而得到AM垂直于BD，在正方形BB1C1C中，通过直角三角形角的关系可证BD⊥B1M，利用线面垂直的判定定理得到要证的结论；（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．利用线面平行的判定定理证明线面平行，从而得到面面平行，再借助于两面平行的性质得到线线平行，根据N点是AA1的中点，得到O为AB1的中点，即．解答：（Ⅰ）证明：取BC中点为M，连结AM，B1M，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，所以AM⊥BC，故AM⊥平面CB1，又BD⊂平面CB1，所以AM⊥BD．又正方形BCC1B1中，，所以∠BB1M=∠CBD，所以BD⊥B1M，又B1M∩AM=M，所以BD⊥平面AB1M，故AB1⊥BD，又正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，A1B∩BD=B，所以AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND，OD，ON．因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥平面ABC，又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，所以ON∥平面ABC，又ON⊂平面BAA1B1，平面BAA1B1∩平面ABC=AB，所以ON∥AB，注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，又N为AA1的中点，所以O为AB1的中点，即为所求．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面平行的判定，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，是中档题．20．（12分）（2013•郑州二模）已知椭圆C：的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．（Ⅰ）求曲线D的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM 的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则其重心G的坐标为（，））考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设P（x，y），由椭圆C的方程可得F（1，0），由题意可得以PF为直径的圆的圆心，利用两点间的距离公式得到，化简即可；（II）不存在．可用反证法证明．若这样的三角形存在，由题可设，由条件知点M在椭圆上可得，由三角形的重心定理可得，及点A（﹣2，0），代入化简即可得到x2，判断即可．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心，则，整理得y2=4x，为所求．（Ⅱ）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件①知，由条件②得，又因为点A（﹣2，0），所以即，故，解之得x2=2或（舍），当x2=2时，解得P（0，0）不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在．点评：本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．21．（12分）（2013•郑州二模）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（Ⅰ）当k=e，b=﹣3时，求f（x）﹣g（x）的最大值；（e为自然常数）（Ⅱ）若A（，），求实数k，b的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）构建新函数，求导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的最大值；（Ⅱ）先求出切线方程，代入A的坐标，进而求出P，Q的坐标，即可求实数k，b的值．解答：解：（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ex+3（x＞0），则，﹣﹣﹣﹣（1分）当时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；当时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．所以函数h（x）的增区间为，减区间为．∴时，f（x）﹣g（x）的最大值为；﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x0，lnx0），则其斜率，故切线，将点代入直线l方程得：，即，﹣﹣﹣﹣（7分）设，则，当时，v′（x）＜0，函数v（x）为增函数；当时，v′（x）＞0，函数v（x）为减函数．故方程v（x）=0至多有两个实根，﹣﹣﹣﹣（10分）又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，故P（1，0），Q（e，1），所以为所求．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是构建函数，正确运用导数知识．22．（4分）（2013•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解答：证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23．（3分）（2010•宁夏）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．解答：解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0．A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（3分）（2013•郑州二模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．解答：解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）点评：本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，。
新课标I(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题03 导数解析版Word版含解析
一．基础题组1. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定积分=-⎰-dx x x 2222（ ） A.5B.6C.7D.83. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数xe xx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 . 【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：∵'2sin cos ()()x xx xe xe f x e --=，∴1k =-，(0)1f =，∴1y x -=-，即10x y +-=. 考点：利用导数求曲线的切线.4. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】已知0a >，函数32f(x)x ax bx c =+++在区间[2,2]-单调递减，则4a b +的最大值为 .5. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】设()ln af x x x x=+, 32()3g x x x =--.（Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.6. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。
该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.若1=a ，4=b ，请你分析能否采用函数模型y ＝31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案.二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知函数()f x 对于一切实数x,y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()()110,0,21g 2a f x f x o x ⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭则当，不等式＜ 恒成立时，实数a 的取值范围是 .2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】2 【解析】3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 已知函数ln(1)()2x x f x x -=-.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()23g x x x =++,证明：对任意1(1,2)(2,)x ∈+∞ ,总存在2x R ∈,使得12()()f x g x >.试题解析：（1）''2212ln(1)1[ln(1)]ln(1)1()(2)(2)x x x x x x x f x x x --+------==-- .................1分设1()2ln(1)11h x x x x =--+---, 22'22(1)2(1)1(2)()0(1)(1)x x x h x x x ---+-==≥--∴()h x 在(1,)+∞是增函数，又(2)0h = ………………3分 ∴当(1,2)x ∈时, ()0h x < ,则'()0f x <,()f x 是单调递减函数; 当(2,)x ∈+∞时, ()0h x > ,则'()0f x >,()f x 是单调递增函数. 综上知：()f x 在(1,2)单调递减函数，()f x 在(2,)+∞单调递增函数 ……………………6分三．拔高题组1. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】0.50.521log log 1(1)(7)x mx x x +>---对任意x ∈[2,4]恒成立，则m 的取值范围为 .∴当4x =时，max 45y =，∴45m >.考点：1.对数函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数求函数最值.2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）已知函数(x)1x x e f xe =+.（1）证明：0(x)1f <≤； （2）当0x >时，21(x)1f ax >+，求a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设(x)xe 1x g =+，则'(x)(x 1)e xg =+．当(,1)x ∈-∞-时，'(x)0g <，(x)g 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'(x)0g >，(x)g 单调递增． 所以1(x)g(1)1e0g -≥-=->．又0xe >，故(x)0f >．…2分'2(1e )(x)(xe 1)x x x e f -=+ 当(,0)x ∈-∞时，'(x)0f >，(x)f 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，'(x)0f <，(x)f 单调递减． 所以(x)f(0)1f ≤=． 综上，有0(x)1f <≤．…5分3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知)0()(>-=a e x x f ax．（1）曲线y=f （x ）在x=0处的切线恰与直线012=+-y x 垂直，求a 的值；（2）若x ∈[a ，2a]求f （x ）的最大值； （3）若f （x 1）=f （x 2）=0（x 1＜x 2），求证：．【答案】（1）13a =；（2）当ln a a a >，即a e <时，max ()()f x f a a e ==-，当ln 2a a a a ≤≤，即2e a e ≤≤时，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，当2ln a a a <，即2a e >时，2max ()(2)2f x f a a e ==-；（3）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对()f x 求导，将0x =代入得到切线的斜率，由已知切线与直线210x y -+=垂直得出方程，解出a 的值；第二问，先对()f x 求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知[,2]x a a ∈和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出max ()ln f x a a a =-，因为12()()0f x f x ==，所以数形结合，得max ()0f x >，解得a e >，数形结合得出两组点的横坐标的关系21ln x x a a a ->-，又利用12()()0f x f x ==，得出11x a x e =，22x ax e =，进行转换得到所求证的不等式.（3）由（2）知，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，∵12()()0f x f x ==，∴max ()(ln )ln 0f x f a a a a a ==->， ∴ln 1a >，得a e >，∴()0f a a e =->，且(ln )0f a a >. 得21ln x x a a a ->-，又11x a x e =，22x ax e =，∴1211()(ln )12x x a a a a a x e e e x a--=<=. 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.4. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()(1)g x k x =-.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；（2）若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >，方程''()()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1x k x =？若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由. 试题解析：⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分5. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （1）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（2）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分6. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()一个交点，所以关键是()y f x =的图像，对()f x 求导，令'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定k 的位置；第二问，先将2=a 代入，得到()f x 解析式，作差法比较大小，得到新函数()h x ，判断()h x 的正负即可，通过对()h x 求导，可以看出()h x 在(0,)+∞上是增函数且(1)0h =，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式1211ln+>+k k k ，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当1n =时不等式成立，再假设当n k =时不等式成立，然后利用假设的结论证明当1n k =+时不等式成立即可.①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk k k n 11ln )1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………………12分。
河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次(1月)质量预测数学理试题
2019年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为A。
1B。
-1C。
D.2。
已知集合，，则A. B。
C。
D.3。
已知矩形中,,现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是A。
B. C。
D.4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A。
B。
C。
D。
5.在中，三边长分别为，,，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为A. B。
C。
D.6。
如图，在中，,是上一点，若，则实数的值为A。
B。
C。
D。
7.已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上,点为圆上一点,则的最小值为A。
8 B. 9 C. 10 D. 118.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间为A. B. C. D。
9.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为A. B.C。
D.10.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形,,点，分别是边，上动点，若直线平面,点为线段的中点，则点的轨迹为A. 双曲线的一支（一部分)B。
圆弧（一部分）C。
线段（去掉一个端点)D。
抛物线的一部分11.抛物线的焦点为，已知点,为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线,垂足为，则的最小值为A。
B。
1 C. D. 212.已知函数设,若中有且仅有4个元素,则满足条件的整数的个数为A. 31B. 32C. 33 D。
34二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为__________．14.已知变量，满足则的取值范围是__________．15。
《中国诗词大会》(第三季）亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）16。
2013年高考数学 倒计时20天 正能量 第1辑金题强化卷10 理 (学生版)无锡新领航教育
2013年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷数学理（10）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考】设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ⋃B ，则集合)(B A C U ⋂ 的真子集共有（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2. 【2012宁夏石嘴山市第二次联考数学试题】若复数12ω=（i 为虚数单位），则1ω-等于（ ）A. 2ωB. 2ω-C.ω-D.1ω-3. 【广东省珠海市2013届高三9月摸底一模考试】函数()1xxf x a a -=++，()x x g x a a -=-，其中01a a >≠，，则A ．()()f x g x 、均为偶函数B ．()()f x g x 、均为奇函数C ．()f x 为偶函数 ，()g x 为奇函数D ． ()f x 为奇函数 ，()g x 为偶函数4. 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】已知21)4tan(-=+πα，且παπ<<2，则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于A.552 B.1053- C.552- D.10103-5. 【安徽省2013届高三开年第一考】某校高一（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2013年元月1日起执行的新交规的知晓情况。
已知某男生被抽中的概率为17，则抽取的女生人数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．7 6. 【2012宁夏石嘴山市第二次联考数学试题】如图所示的程序框图中，令a=tan θ，b=sin θ， c=cos θ， 若在集合3{|}22ππθθ<<中任取θ的一个值，则输出的结果是cos θ的概率为（ ）A ． 1B ． 12C ．23D ． 07. 【山西省2013届高三第四次四校联考】 已知A 、B 、C 是圆O ：221x y +=上三点，且,OA OB OC AB OA +=⋅ 则=A. 23-B.23 C. 23-D.238. 【河南省豫北六校2012届高三年级第三次精英联考】实数x ，y 满足不等式组1,10,10,x y y W x x y ≥⎧-⎪≥=⎨+⎪-≥⎩则的取值范围是A ．[一12，1） B ．[一1，1） C ．（一1,1）D ．1[,1]2-9. 【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】 如图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><在一个周期内的图像，M 、N 分别是最大、最小值点，且OM ON ⊥，则A ω∙的值为A.6π10. 【宁夏回族自治区石嘴山市2012届高三第一次联考】已知正六棱柱的12个顶点都在一 个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（ ）A．BCD．第Ⅱ卷,三维测度12. 【浙江省2013届浙南、浙北部分学校高三联考试题】若)()(92R a axx ∈-的展开式中9x 的系数为221-，则a 的值等于 ．13. 【原创题】 设1e 、2e 为焦点在x 轴且具有公共焦点1F 、2F 的标准椭圆和标准双曲线的的离心率，O 为坐标原点， P 是两曲线的一个公共点，且满足的值为14. 【山东省莱芜市2012届高三4月高考模拟试题】定义在R 上的偶函数()(1)(),f x f x f x +=-满足且在[—1，0]上是增函数，给出下列关于()f x 的判断:①()f x 是周期函数；②()f x 关于直线1x =对称； ③()f x 是[0，1]上是增函数； ④()f x 在[1，2]上是减函数； ⑤(2)(0)f f =.其中正确的序号是 . （把你认为正确的序号都写上） 15. （1）【改编题】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆锥曲线C 的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．若直线l 过曲线C 的焦点且倾斜角为60°，则直线l 被圆锥曲线C 所截得的线段的长度为 ． （2）【改编题】设函数()|31| 3.f x x ax =-++若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围 。
河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理
河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2||≤∈=xNxA，{}21xyyB-==，则BA I的子集个数为A.2B.4C.8D.16答案：B2.复数i iz+=1在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D3.郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：A4. 定义在R 上的函数2)31()(||-=-m x x f 为偶函數，)21(log 2f a =，))21((31f b =，)(m f c =，则A.b a c <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b << 答案：C5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.516 B.518 C.10D.532 答案：B6. 已知向量a 与b 夹角为3π，且1||=a ，3|2|=-b a ，则=||b A.3 B.2 C.1 D.23 答案：C7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于А.5B.4C.3D.2 答案：B8. 函数x x f x x cos 1212)(⋅-+的图象大致是答案：C9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A.60B.90C.120D.150 答案：D10. 已知抛物线x y 22=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N两点，若MF PF 3=，则||MN = A.316 B.38 C.2 D.338 答案：B11. 已知三棱锥ABC P -内接于球O ，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且边长为3，球O 的表面积为π16，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A.715 B.515 C.215 D.1015 答案：D12. ⎩⎨⎧>-<+=1),1(log 1|,12|)(2x x x x x f ,241545)(23++-=m x x x g ，若m x g f y -=))((有9个零点，则m的取值范围是 A.)1,0( B.)3,0(C.)35,1(D.)3,35(答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线122+-=x xe y x 在点)1,0(处的切线方程为___________.答案：10;x y -+=14. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若01≠a ，123a a =，则=510S S ___________. 答案：4;15. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若23=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为___________.答案：;53016. 已知数列{}n a 满足：对任意*N n ∈均有221-+=+p pa a n n （p 为常数，0≠p 且1≠p ），若{}30,11,6,2,6,18,,,5432---∈a a a a ，则1a 的所有可能取值的集合是___________.答案：{}.66,2,0-- 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分）已知∆ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设C c a B A R sin )()sin (sin 222-=-.（1）求角B ；（Ⅱ）若b =12，c =8，求sin A 的值 【解析】(I)222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.ac b ac +-= ……3分∴2221cos .22a c b B ac +-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b cB C =, sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，cos 3C =……9分1sin sin()sin()32A B C C π=+=+==……12分 18. （12分）已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在校BC 上，NOMBC A且BC BN 32=. （1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N-AM-C 的正弦值.NOAC【解析】（I ）如图所示：连接OM ， 在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥.2分在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且6.OM = ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥ ,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为22MA MB MC AC ====2AB BC ==则(0,2,0),2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC =u u u r u u u r 所以，222,33N设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r，则252252,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u u r r u u u u r r 令3y =(3,3,1)m =--u r……10分因为BO ⊥平面AMC，所以OB =uuu r为平面AMC 的法向量，所以(1)m =--u r与OB =uuu r所成角的余弦为cos ,m OB <>==u r u u u u r所以二面角的正弦值为2|sin ,|79m OB <>===u r u u u u r .……12分 19. （12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率为22，且过点)0,1(C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,1(-的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||CM AB =.【解析】（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，a =……3分所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆. 则12212212,918616,918y y y t y tt ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =-u u u r ，()221,CB x y =-u u u r，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以CA CB ⊥u u u r u u u r.因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分 20.（12）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0<p <1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越"优". （1）若322=p ，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）①若322=p ，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p 的取值范围.【解析】(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，可求得方案二的期望为2()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为4()15818181E ξ=⨯+⨯=. 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<. 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21. （12分）已知函数xe x x xf x--=ln )(.（1）求)(x f 的最大值；（2）若1)1()(≥-++bx e xx x f x 恒成立，求实数b 的取值范围. 【解析】(I)()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞， 221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x ---'=--=， 由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x xx x x x bx x x ⇔-+-++-≥ ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x --+⇔≥……6分 令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x x ϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分 由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分 （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P )23,1(，其参数方程⎩⎨⎧==ααsin 3cos y a x （α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：22||1||1OB OA +为定值，并求出这个定值.【解析】(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分 2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23. [选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数m x x x f ++--=|12||1|)(.（1）求不等式m x f >)(的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得0)(≥n f ，求m 的取值范围.【解析】(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分 (Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。
河南省郑州市2010届高三数学高中毕业班第二次质量预测(文) 人教版
郑州市2010年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项正确．）1．已知集合M ＝{0，1}，N ＝{1，2}，则M ∪N ＝ A ．{0，1}{0，2} C ．{0，i ，2} D ．不能确定2．已知函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋8，那么 A ．f （x ）是减函数f （x ）在（－∞，1]上是减函数C ．f （x ）是增函数D ．f （x ）在（－∞，1]上是增函数3．某市2010年有高中毕业生30 000人，其中文科学生8 000人．为调查学生的复习备考情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中文科学生的数量应为A 4030 C ．20 D ．104．设f （x ）＝2log x 的反函数为y ＝1f －（x ），若1f－（a ）＝4，则a 等于A ．12－12C ．2D ．－2 5．已知{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和，a 5＝19，5S ＝55，则过点P （3，a 3），Q （4，a 4）的直线的斜率是A ．4 14C ．－4D ．－14 6．二项式（2x －1x）6的展开式中，常数项是 A ．20 －160 C ．160 D ．－207．不等式1x<1的解集是 A ．{x ｜x>1}{x ｜x<1} C ．{x ｜0<x<1} D ．{x ｜x>1或x<0}8．2010年2月，我国部分地区遭遇雪灾，电煤库存吃紧．为了支援这部分地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从某采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，要求甲车出发要比乙车早，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有A ．360种 240种 C ．120种 D ．96种9．已知点F 是双曲线2221x a b2y －＝（a>0，b>0）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．（1，＋∞）（1，2） C ．（1，1＋2） D ．（2，1＋2）10．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的A ．116316 C ．112 D ．18 11．函数y ＝tan （4πx －2π）的部分图像如图所示，则（OB －OA ）·OB ＝ A ．－4 B ．2 C ．－2 D ．412．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有A ．0个 1个 C ．2个 D ．3个二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知曲线y ＝13x 3＋x 2＋3x －3在某点处的切线斜率为2，则该点的横坐标为_________．14．已知直线l 过抛物线x 2＝ay （a>0）的焦点，并且与y 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a ＝_____________．15．若f （x ）＝sin(612(0),xx x x π⎧⎪⎨⎪⎩≤0),－＞则f[f （1）]＝_____________． 16．已知正实数x ，y 满足2log （x ＋y ＋3）＝2log x ＋2log y ，则x ＋y 的取值范围是__________．三、解答题17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝（2b 3，cosC ），n ＝ （3，cosA ），且m ∥n ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求2cos 2B ＋sin （A －2B ）的最小值．18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD ＝3，CD ＝1，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝13AD,BF ＝13BC ．现将此梯形沿EF 折至使AD 3的位置（如图2）．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知数列{n a }满足条件：a 1＝1，1n a ＋＝2n a ＋1，n ∈N ﹡． （Ⅰ）求证：数列{n a ＋1}为等比数列；（Ⅱ）令n c ＝12·nn n a a ＋，n T 是数列{n c }的前n 项和，证明 n T ＜1.20．（本小题满分12分）某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求两人一组参加游戏，参加游戏的两人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽1张，抽取后不放回，直到两人中的一人抽到“世博会会徽”卡得奖才终止游戏．（Ⅰ）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡?”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是．．．‘世博会会徽’卡的概率为2528”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢?（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，甲、乙两人参加游戏，双方约定甲先抽取乙后抽取，求甲获奖的概率．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝124ax3－bx2＋（2－b）x＋1（x>0）在x＝x1和x＝x2处取得极值，且0<x1<1<x2<2．（Ⅰ）若a，b均为正整数，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若z＝a－12b，求z的取值范围．22．（本小题满分12分）已知圆M：（x－m）2＋（y－n）2＝γ2及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP＝2NQ，GQ·NP＝0．（Ⅰ）若m＝－1，n＝0，r＝4，求点G的轨迹C的方程；（Ⅱ）若动圆M和（Ⅰ）中所求轨迹C相交于不同两点A、B，是否存在一组正实数m，n，r使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1-2 CDACA BDABB DC 二、填空题13.1-; 14.4 ; 15.12-; 16.[6,)+∞. 三、解答题17.解：（Ⅰ）由→→n //m 得(2)cos cos 0b A C -⋅-=，………………１分由正弦定理得2sin cos cos cos 0B A C A A C -=，∴ 2sin cos )0B A A C -+=．∴ 2sin cos 0B A B -=．………………3分(),0,sin 0,cos 26A B B A A ππ∈∴≠=∴=．………………5分 （Ⅱ）解：6A π=，cos2sin(2)B A B ∴+-cos 2sincos 2cossin 266B B B ππ=+-)6B π+，………………8分5(0,),266B B πππ∈∴+=即512B π=时,cos(2)6B π+取得最小值1-．cos 2sin(2)B A B ∴+-的最小值为………………10分18. （Ⅰ）证明：由题意：1,2,AE DE AD ===90EAD ∴∠=，即EA AD ⊥，…………2分又EA AB ⊥，AB AD A ⋂=，AE ∴⊥平面ABCD ．…………4分（Ⅱ）解：以点A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则5(0,2,0),(0,0,1),(0,,1)3B C E F ，1(0,,1),(3,1,0),(3,1,1)3BF BC CE =-=-=--，…6分设平面BCF 的法向量(1,,)n y z =，由0BF n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3(1,3,)3n =．……9分 记直线CE 与平面BCF 所成的角为α，则53||653sin 13||||13353CE n CE n α⋅===⋅⨯⨯．所以，直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值为6513．……12分 19. （Ⅰ）证明：由题意得11222(1)n n n a a a ++=+=+，……………3分 又1120a +=≠．……………4分所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．……………5分（Ⅱ）解：由⑴知21nn a =-，……………7分故1112211(21)(21)2121n n n n n n n n n c a a +++===-----，……………9分 12311111113372121n n n n T c c c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n +=-<-．…………………12分20. （Ⅰ）解：设盒子中有“会徽卡”n 张，依题意有，28251282=-C C n ，解得3n =．即盒中有“会徽卡”3张．……4分（Ⅱ）解：由（1）知，甲最多可能摸三次，若甲第一次抽取就中奖，则8318131==C C P ；……6分若甲第二次抽取才中奖，则2851613171418152=••=C C C C C C P ；……8分若甲第三次抽取才中奖，则563141315121613171418153=••••=C C C C C C C C C C P ，……10分∴甲获奖的概率为123353178285628P P P P =++=++=．……12分 21.解：由题意得21()228f x ax bx b '=-+-，……………1分 12012x x <<<<，(0)0,(1)0,(2)0.f f f '>⎧⎪'∴<⎨⎪'>⎩ 即20,1220,81420.2b a b b a b b ⎧⎪->⎪⎪-+-<⎨⎪⎪-+->⎪⎩整理得20,24160,1040,b a b a b ->⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩……………3分（Ⅰ）由,a b 均为正整数得7,1a b ==．……………5分 即27()218f x x x '=-+，令27()2108f x x x '=-+>，解得：x x <>或 所以函数()f x的单调增区间为88(,),()77-+-∞+∞．……………8分 （Ⅱ）由已知得20,24160,1040,b a b a b ->⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：20241601040b a b a b -=-+=-+=，，所围成的ABC △的内部． (10)分其三个顶点分别为：326(162)(322)77A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，z 在这三点的值依次为4087-，-8，， 所以z 的取值范围为()88-，．……12分 （无图形，扣1分）22. （Ⅰ）解： 2,NP NQ =∴点Q 为PN 的中点，又0GQ NP ⋅=，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合.∴.||||GN PG =………………2分又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+==∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且2,1a c ==．∴223,b a c G =-=∴的轨迹方程是221.43x y +=…………………5分 （Ⅱ）解：不存在这样一组正实数，下面证明：………………6分由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN 的斜率存在时，设之为k ， 故直线MN 的方程为：(1)y k x =-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++= ， ①………………8分注意到12121y y x x k -=--，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ，则00314x y k =． ②ba 2 1 16 32O32677A ⎛⎫⎪⎝⎭， (322)C ，(162)B ，又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =，因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<，这与04x =矛盾． 所以所求这组正实数不存在．…………11分当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，则此时1212,2y y x x =+=， 代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾． 综上，所求的这组正实数不存在．………………12分。
河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测数学理试题
河南省郑州市2019届高中毕业年级第二次质量预测理科数学一、选择题:本大題共12小題，每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求. 1. 已知命题p: ∀32,80,x x >-> 那么⌝p 是A. ∀32,80x x ≤-≤ B. ∃32,80x x ≤-≤ C. ∀32,80x x >-≤ D. ∃32,80x x >-≤ 2. 若复数z 满足(2)12i z i -=+，则z 的虚部为 A.55B.55iC. 1D. i3. 阅读右边的程序框图， 则输出的S 为A. 6B. 10C. 14D. 30 4. 函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是A. 0ab =B. 0a b +=C. 220a b += D. a b = 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 112 B. 80 C. 72D. 646. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l ⊥α, α⊥β, 则l ∥β; ②若l ∥α, α∥β, 则l ∥β; ③若l ⊥α, α∥β, 则l ⊥β; ④若l ∥α, α⊥β, 则l ⊥β. 其中正确命题的个数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）45 6 7 8 9 销量y （件） 908483807568由表中数据，求得线性回归方程为ˆ4yx a =-+.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左OBP A C下方的概率为A. 16B. 13C. 12D. 238. 将函数y =()f x 的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为22sin y x =，则函数()f x 的表达式可以是A. 2sin xB. 2cos xC. cos2xD. sin 2x9. 设实数,x y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1, 则22x y +的取值范围是A. [1,2]B. [1,4]C. [ 2 ,2]D. [2,4]10.如图，F 1，F 2是双曲线2221(0)24x y a a -=>的左、右焦点，过 F 1的直线l 与双曲线分别交于点A ，B ,若∆ABF 2为等边三角形，则∆BF 1F 2的面积为A. 8B. 8 2C. 8 3D. 16 11. 如图所示，点A 、B 、C 是圆O 上一点，线段OC 与线段AB 交于圆 内一点P, 若→OC =m →OA +2m →OB ，→AP =λ→AB ，则λ=A. 56B. 45 C. 34 D. 2312. 在平面斜坐标系xoy 中，x 轴方向水平向右，y 轴指向左上方，且∠xoy=2π3. 平面上任一点P 关于斜坐标是这样定义的：若→OP =12xe ye +（其中向量12,e e 分别为x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(,)x y .那么以O 为顶点，F(1,0)为焦点，x 轴为对称轴的抛物线方程为 A. 231680y x y -+= B. 231680y x y ++= C. 231680y x y --=D. 231680y x y +-=二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 若sin(π3-α)= 14，则cos(π6+α)=14. 我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”（如2019是“北斗数”），则“北斗数”中千位为2的共有 个 .15. 已知1a >, 且函数xy a =与函数log x a y =的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为_______.16.已知,x y ∈(-12 ,12 ), m ∈R 且m ≠0, 若22ln tan 2,212tan ln 2,11tan x x m xy y m y y-⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-+-⎪⎩ 则y x =_______.三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知正项数列{}n a , 若对于任意正整数p 、q 均有2p qp q a a +⋅= 成立.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若,n n b na = 求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分）正∆ABC 的边长为2， CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将∆ABC 沿CD 翻成直二面角A -DC -B （如图（2））.在图（2）中：（Ⅰ）求证：AB ∥平面DEF ；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE?证明你的结论； （Ⅲ）求二面角E -DF -C 的余弦值.19. (本小题满分12分）为了迎接2019年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志. 摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次B A取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖.活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美（Ⅱ）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．20. (本小题满分12分）已知平面上的动点(,)R x y 及两定点A(-2,0)，B(2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2=- 34, 设动点R 的轨迹为曲线C. (I)求曲线C 的方程；(II)四边形MNPQ 的四个顶点均在曲线上，且MQ ∥NP,MQ ⊥x 轴，若直线MN 和直线QP 交于点S(4,0).问：四边形MNPQ 两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.(本小题满分12分）已知函数()xf x xe -=.(I)求函数()f x 的单调区间和极值；(II)当01x <<时()()kf x f x>，求实数k 的取值范围.请考生从22、23、24三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并用铅笔在对应方框中涂黑.22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径， CD 为垂直于AB 的一条弦，垂直为E ，弦BM 与CD 交于点F. (I ）证明: A E F M 、、、四点共圆； (II)若MF=4BF=4，求线段BC 的长.23. (本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线l :sin()4πρθ-=(I)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(II)求直线l 与圆O 的公共点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤< .24. (本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲已知函数()|2|5f x x a x =-+. （Ⅰ）求不等式()51f x x >+的解集；（Ⅱ）若不等式()f x ≤0的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值.理科数学 参考答案一、 选择题BADC CABD BCDA 二、 填空题13．1;4 14．21; 15．(,);e e 16．1.2-三、解答题17．解（Ⅰ）由已知，令p q n == 可得22n n n a a ⋅= ，------2分因为0n a > ，所以2n n a = ．------5分（Ⅱ）2n n n b na n ==⋅ ，------6分 1231122232(1)22,n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ① 23412122232(1)22,n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ②由①-②得：1231122222,n n n S n +-=⋅++++-⋅------8分即：12(12)2.12n n n S n +--=-⋅-------10分 整理可得：1(1)2 2.n n S n +=-⋅+------12分18． 解（Ⅰ）如图(2):在ABC ∆中,由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，所以EF //AB ，又⊄AB 平面DEF ,⊂EF 平面DEF ， ∴//AB 平面DEF ． ------4分 （Ⅱ）以点D 为坐标原点,以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系． 则3113(0,0,1),(100(0,3,0),(0,,),(,,0),2222A B C E F ，，）, (1,0,1),(1,3,0),AB BC =-=-3113(0,,),(,,0).2222DE DF == 设BP BC λ= ，则(1,3,1)AP AB BP λλ=+=--， –---7分注意到11033AP DE AP DE BP BC λ⊥⇔⋅=⇔=⇔=， ∴在线段BC 上存在点P ,使AP ⊥DE ． ------9分（Ⅲ）平面CDF 的法向量(0,0,1)DA =，设平面EDF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取(3,3,3)n =- ，----10分721||||cos =⋅⋅>=⋅<n DA n DA n DA ，所以二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721． ---12分 19．解（Ⅰ）设印有“美丽绿城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是226(),nC P A C = ------3分由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n =------5分（Ⅱ）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1,2,3， -----6分23261(1).5C P C η===------7分 2211233332222264641(2)5C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=，------9分3(3)1(1)(2)P P P ηηη==-=-==，则η 的分布列为： ------11分所以113121235555E η=⨯+⨯+⨯= ．------12分20．解（Ⅰ）由题知2x ≠±，且12y k x =+，22y k x =-， 则3224y y x x ⋅=-+-，--------2分整理得,曲线C 的方程为221(0)43x y y +=≠．-----------5分 （Ⅱ）设MP 与x 轴交于(,0)D t ，则直线MP 的方程为(0)x my t m =+≠， 记1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，由223412,x y x my t ⎧+=⎨=+⎩消x 得：222(34)63120m y mty t +++-=，-----7分所以2248(34)0m t ∆=+->，且1,2262(34)mt y m -±=+，故12221226,34312,34mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩------------9分 由M N S 、、三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--， 所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=,整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，----10分所以222(312)6(4)034m t mt t m ---=+，即24(1)0m t -=，1t =， 所以直线MP 过定点(1,0)D ，同理可得直线NQ 也过定点(1,0)D ，即四边形MNPQ 两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1,0)．--------12分21．解（Ⅰ）由题知()(1)()R x f x x e x -'=-∈，当()0f x '>时，1x <，当()0f x '<时，1x >，----3分所以函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞，其极大值为1(1)f e=，无极小值．-----------5分（Ⅱ）由题知01x <<， 当0k ≤时，因为01kx x≤<<，由⑴知函数在(,1)-∞单调递增，所以()()kf x f x>，符合题意；-------7分当01k <<时，取x k =，可得()(1)f k f >，这与函数在(,1)-∞单调递增不符；9分当1k ≥时，因为11k x x≥>，由⑴知函数()f x 在(1,)+∞单调递减， 所以1()()k f f x x ≤，即只需证1()()f x f x>，即证11xx xe e x -->，即1ln ln x x x x ->--，12ln 0x x x -+>，令1()2ln (01)h x x x x x=-+<<，则222221(1)()0x x x h x x x-+--'==-<对01x <<恒成立， 所以()h x 为(0,1)上的减函数，所以()(1)0h x h >=，所以()()kf x f x>，符合题意．-------11分综上：(,0][1,)k ∈-∞+∞为所求．------------12分 22．解（Ⅰ）如图，连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ︒∠= ， 又CD AB ⊥ ，所以90AEF AMB ︒∠=∠=，因此A E F M 、、、四点共圆． ------4分（Ⅱ）连结AC ，由A E F M 、、、四点共圆， 所以BF BM BE BA ⋅=⋅ ，------6分 在RT ABC ∆中，2BC BE BA =⋅ ，------8分又由44MF BF ==知1,5BF BM == ，所以25BC = ，5BC =．---10分 23．解（Ⅰ）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，------2分直线2:sin 42l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=．------4分 （Ⅱ）由⑴知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得220,10x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得0,1x y =⎧⎨=⎩，------6分即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为（0,1），------8分将（0,1）转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即为所求．------10分24．解 （Ⅰ）由()51f x x >+化简可得|2|1x a ->，即21x a ->或21x a -<-，------2分 解得：12a x -<或12a x +>，所以，不等式()51f x x >+的解集为11{|}22a a x x x -+<>或 ．------4分 （Ⅱ）不等式|2|50x a x -+≤等价于525x x a x ≤-≤-，即52,25x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩ ，化简得,37a x ax ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩．------6分 若0a < ，则原不等式的解集为{|}7ax x ≤={|1}x x ≤-，此时，7a =- ；-----8分若0a ≥ ，则原不等式的解集为{|}3ax x ≤-={|1}x x ≤-，此时，3a = ．综上所述，7a =- 或3a = ．------10分。
郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题(含答案)(word精校版)
河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是A. ()2,+∞B. [2,)+∞C. (),1-∞-D. (,1]-∞-2. 在复平面内与复数512i z i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为 A. 12i + B. 12i - C. 2i -+ D. 2i +3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于A. 1-B. 1C. 2D. 2-4. 命题:p “2a =-”是命题:q “直线310ax y +-=与直线6430x y +-=垂直”成立的A. 充要条件B. 充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件 5. 已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =A. 100B.200C.360D.4006. 已知点(),P x y 的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么点P 到直线34130x y --=的距离的最小值为 A. 115 B. 2 C. 95D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为A. 32B.C.64D.8. 如图，函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>>≤）与坐标轴的三个交点,,P Q R 满足()1,0P ，(),2,24PQR M π∠=-为线段QR 的中点，则A 的值为A. B. 3C. D. 9. 如图所示的程序框图中，若()21f x x x =-+，()4g x x =+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是A. 4B. 3C. 1D. 010. 设函数()()224,ln 25x f x e x g x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D. ()()0f b g a <<11. 在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且MN =则C M C N ⋅的取值范围为 A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []2,4 C. []3,6 D. []4,6 12. 设函数()()()122015,log ,1,2,,20152015i i f x x f x x a i ====…，记。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
www.TopSage.com 大家网 1 / 10
更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！ 河南省郑州市2012届高三第三次质量预测（数学理） 本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效. 第I卷
一、选择題(本大题共12小每小題5分,共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合U={ - 1, 1,2, 3}M={x|x2-5x + p = 0),若={-1,1}，则实数 p的值为 A. -6 B. -4 C. 4 D. 6 2. 已知复数z-1+i,则= A, B. C. D. 3. 直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(l,2),则ab = A.-8 B. -6 C. -1 D. 5 4. 已知集合M，P，则“x或M，或”是“"的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知递减的等差数列满足，则数列前n项和Sn取最大值时n = A. 3 B. 4 C. 4 或 5 D. 5 或 6 6.
已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 A/ B. C. D. 7. 设函数,且其图象相邻的两条对称轴为x=O 2 / 10 106621557.doc TopSage.com 大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！ X=，则
A.y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为增函数 B y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为减函数 C. y=f(x)的最小正周期为，且在（0，）上为增函数 D. y=f(x)的最小正周期为，且在(0，）上为减函数 8. 某算法的程序框图如右边所示，则输出的S的值为 A. B. C. D. 9.
在圆内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为 A. B. C. D. 10. 设x，y满足约束条件,若目标函数（其中b>a〉0) 的最大值为5，则8a+b的最小值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 已知，实数a、b、c满足，且0零点，那么下列不等式中,不可能等成立的是 A. B. C. D, 12. ΔABC的外接圆圆心为O，半径为2，，且，向量在方向上的投影为 www.TopSage.com 大家网 3 / 10
更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！ A. B. C. 3 D. — 3
第II卷 本卷包括必考題和选考题两部分。第13题〜第21題为必考题，第22题〜24題为选考题。考生根据要求作答。 二、填空題(本大题共4小题，每題5分，共20分） 13. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn 若，S3=3, S9-S6 = 12，则S6 =________ 14. 若，则二项式展开式中常数项是________. 15. 将斜边长为的等腰直角ΔABC沿斜边BC上的高AD折成二面角B
—AD—C，则三棱锥B—ACD的体积的最大值为________. 16. 已知双曲线上存在两点关于直线:y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2 = 18x上，则实数m的值为________. 三.解答题：本大題共6小趙，共70分.解答应写出文字说明,诋明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分〉 在中，角A，B,C；的对边为a，b,c，点（a,b)在直线上. (I)求角C的值； (II)若，求ΔABC的面积. 18. (本小题满分12分） 某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性,举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名不同的数学家与他们所著的4本不同的著作一对一连线，每连对一条得5分,连错得了2分.有一位参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来. (I)求该参赛者恰好连对一条的概率； (II)设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列及数学期望. 19. (本小题满分12分） 4 / 10 106621557.doc TopSage.com
大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！ 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ΔABC为正三角形,AA1丄平面ABC，AA1
=2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点.
(I)当M在什么位置时,MN丄AA1,请给出证明； (II)若直线MN与平面ABN所成角的大小为θ求Sinθ的最大值.
20. (本小题满分12分） 已知椭圆的左焦点为F,左右顶点分别为A、C,上顶点为B,O为原点，P为椭圆上任意一点.过F,B,C三点的圆的圆心坐标为(m,n)
(I )当时，求楠圆的离心率的取值范围；
(II)在（I)的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D(b+1，0),的最小值为.，求椭圆的方程.
21. (本小题满分12分） 已知函数在x=0，处存在极值. (I)求实数a、b的值； (II)函数y=f(x)的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围； www.TopSage.com 大家网 5 / 10
更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！ (III）当c=e时，讨论关于X的方程的实根个数.
请考生在第22、23、24题中任选一題作答,并将答題卡相应方格涂黑。如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分10分）选修4一1:几何证明选讲
如图，在正ΔABC中，点D，E；分别在边BC,AC上,且，AD，BE相交于点P,求证： (I)四点P,D，C，E共圆； (II)APCP.
23. (本小题满分10分)选修4一4坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程是（t为参数)，圆C的极坐标方程为. (I)将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程； (II)若圆c上有且仅有三个点到直线l距离为，求实数a的值.
24. （本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲. 设函数 (I)不等式的解集为，求a的值； (II)若旳定义域为R，求实数m的取值范围. 6 / 10 106621557.doc TopSage.com 大家网，大家的！ http://www.topsage.com 更多精品在大家！ 2012年高中毕业年级第三次质量预测 数学（理科） 参考答案
一、选择题 DBAAC CBBBC DA 二、填空题 13.9；14. -160；15.23；16.0或8. 三、解答题 17.解：（I）由题得sinsinsinsinaABbBcC，
由正弦定理sinsinsinabcABC得22aabbc，即222abcab.„„„„„„3分
由余弦定理得2221cos22abcCab， 结合0C,得3C.„„„„„„6分 （II）由226()18abab得22(3)(3)0ab， 从而3ab.„„„„„„9分
所以ABC的面积21933sin234S，„„„„„„12分 18.解：（1）记“该参赛者恰好连对一条线”为事件A. 则基本事件的总数为m=44A=24; „„„„„„2分
事件A包含的基本事件有n=142C=8种，„„„„„„4分 所以，该参赛者恰好连对一条的概率1()3nPAm.„„„„„„6分 （2）X的所有可能取值为-8、-1、6、20.
所以4493(8),8PXA
144421(1),3CPXA2444
11(6)4CPXA,4411(20).24PXA X的分布列为
X -8 -1 6 20 P 38 13 14 124
„„„„„„10分 www.TopSage.com 大家网 7 / 10
更多精品在大家！ http://www.TopSage.com 大家网，大家的！ EX= 31118(1)6201.83424„„„„„12分
19.解：（I）当M是线段AB1上中点时，1MNAA.„„„„„1分 下面给与证明： 如图：以AB，1AA所在直线为x轴，z轴，在平面ABC内过A且与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系. 设12AAAB=2，则
1113(0,0,0),(0,0,2),(,0,1)222AAM，N(，,1) . „„
„„„„3分 所以.
即1MNAA.„„„„„„5分
（II）设1AMAB,即(0,2)M，,其中01， 1313(,,12)(1,0,0),(,,1)2222MNABAN，.„„„„„„7分
设(,,)nxyz是平面ABN的一个法向量，则0,0,nABnAN
即0,130,22xxyz取(0,2,3)n.„„„„„„9分 所以222
22122112218470sin151575527715352()48nMNnMN
.
即sin的最大值为47035．„„„„„„12分 20.解：(Ⅰ) 设半焦距为c.由题意BCFC,的中垂线方程分别为,222acbaaxyxb， 于是圆心坐标为2,22acbacb. „„„„„„2分 所以nm=2022acbacb，即 20abbcbac,