《解析》吉林省长春外国语学校2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

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高中高二数学上学期开学试题(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市扶沟高中高二（上）开学数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．354．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数6．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）7．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．8．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．10．已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量等于（）A．B．C．D．11．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．1 B．C．D．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．求值cos600°=．14．阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于．15．在△ABC中，AB=2，AC=4．若P为△ABC的外心，则的值为．16．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015春•某某期末）已知：tan（α+）=﹣，（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12分）（2014秋•隆化县校级期中）某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．19．（12分）（2013•淄川区校级模拟）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．20．（12分）（2015秋•某某月考）如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．（Ⅰ）求证：AE⊥BE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．21．（12分）（2013•某某一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，求f（x）的取值X围．22．（12分）（2015春•某某校级期末）已知函数f（x）=2cos2（x﹣）﹣sin2x+1 （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（，）时，若f（x）≥log2t恒成立，求 t的取值X围．2015-2016学年某某省某某市扶沟高中高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算求得答案．解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．点评：本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．35考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用分层抽样知识求解．解答：解：设样本容量为n，由题意知：，解得n=15．故选：B．点评：本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要注意分层抽样知识的合理运用．4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=e x C．y=ln（x+1）D．y=﹣x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．解答：解：①y=﹣|x﹣1|=∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y=e x，在（﹣∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y=﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题．5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．6．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），先求出f（x）＞0的解集，进而求出f（x﹣2）＞0的解集．解答：解：∵f（x）=x2﹣4（x＞0），∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，﹣x＞0，若f（x）＞0，则f（﹣x）＜0，则0＜﹣x＜2，即﹣2＜x＜0，故f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故f（x﹣2）＞0时，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），x∈（0，2）∪（4，+∞），即f（x﹣2）＞0的解集为（0，2）∪（4，+∞）．故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出当x＜0时，f（x）＞0的解集，是解决本题的关键．7．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0 D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①利用异面直线的定义即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不一定平行，即可判断出正误；④利用面面平行的判定定理可得：α∥β，即可判断出正误．解答：解：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理、异面直线的定义，考查了推理能力，属于中档题．9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．解答：解：所有的基本事件构成的区间长度为∵解得或∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为由几何概型概率公式得cos x的值介于0到之间的概率为P=故选A．点评：本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式．易错题．10．已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量等于（）A．B．C．D．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：根据向量平行垂直的坐标公式X1Y2﹣X2Y1=0和X1X2+Y1Y2=0运算即可．解答：解：设C（x，y），∵，，联立解得．故选D．点评：本题考查两个向量的位置关系①平行②垂直，此种题型是高考考查的方向．11．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A．1 B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据已知中五件正品，一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品，一件次品”的基本事件个数，然后代入古典概型概率公式，可求出答案．解答：解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品从中取出两件产品共有：C62==15种其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P==故选C点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣3x，∴∵g（x）=f（x）﹣x+3∴g（x）=令g（x）=0，当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}故选：D．点评：本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．求值cos600°=﹣．考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：由诱导公式知cos600°=cos240°，进一步简化为﹣cos60°，由此能求出结果．解答：解：cos600°=cos240°=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．14．阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于﹣3 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，退出循环，输出结果．解答：解：由题意可知第1次判断后，s=1，k=2，第2次判断循环，s=0，k=3，第3次判断循环，s=﹣3，k=4，不满足判断框的条件，退出循环，输出S．故答案为：﹣3．点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力．15．在△ABC中，AB=2，AC=4．若P为△ABC的外心，则的值为 6 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：作出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将用和表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积，即可求得的值．解答：解：若P为△ABC的外心，过P作PS⊥AB，PT⊥AC垂足分别为S，T，则S，T分别是AB，AC的中点，AS=1，AT=2．∴=•（﹣）=﹣=AT•AC﹣AS•AB=2×4﹣1×2=6，故答案为：6．点评：本题考查两个向量的运算法则及其几何意义、两个向量数量积的几何意义，属于中档题．16．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．解答：解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，=3﹣2=（），=3﹣=（），∴cosβ===．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015春•某某期末）已知：tan（α+）=﹣，（＜α＜π）．（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角和的正切公式，求出tanα的值．（2）利用二倍角公式展开，利用tanα求出cosα即可得到结果．解答：解：（1）由tan（α+）=﹣，得，解之得tanα=﹣3（5分）（2）==2cosα（9分）因为＜α＜π且tanα=﹣3，所以cosα=﹣（11分）∴原式=﹣（12分）．点评：本题是基础题，考查两角和的正切函数公式的应用，同角三角函数的基本关系的应用，考查计算能力．18．（12分）（2014秋•隆化县校级期中）某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）求出频率，用频率估计概率；（2）列出所有的基本事件，求概率．解答：解：（1）由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为（0.02+0.03+0.025+0.005）×10=0.80，所以，估计这次考试的及格率为80%；=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+8×0.25+95×0.05=72，则估计这次考试的平均分是72分．（2）从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数共有=15个基本事件，而[90，100]的人数有3人，则共有基本事件C=3．则这2个数恰好是两个学生的成绩的概率P==．点评：本题考查了学生在频率分布直方图中读取数据的能力，同时考查了古典概型的概率求法，属于基础题．19．（12分）（2013•淄川区校级模拟）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=﹣1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．解答：解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．20．（12分）（2015秋•某某月考）如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．（Ⅰ）求证：AE⊥BE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意证明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再结合条件证明AE⊥平面BCE，再证出AE⊥BE；（Ⅱ）利用题意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积．解答：（Ⅰ）证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE∴AE⊥BC，∵BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ABE∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（Ⅱ）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，∵AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．由已知及（Ⅰ）得EH=AB=，S△ADC=2．故V D﹣ABC=V E﹣ADC=×2×=．点评：本题主要考查垂直关系，利用线面垂直的定义和判定定理，进行线线垂直与线面垂直的转化；求三棱锥体积常用的方法：换底法．21．（12分）（2013•某某一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，求f（x）的取值X围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象可求得A=1，由=可求得ω，f（x）过（，1）点可求得φ，从而可求得函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，可求得x+的X围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的取值X围．解答：解：（1）由图象得A=1，=﹣=，∴T=2π，则ω=1；将（，1）代入得1=sin（+φ），而﹣＜φ＜，所以φ=，因此函数f（x）=sin（x+）；（6分）（2）由于x∈[﹣π，﹣]，﹣≤x+≤，所以﹣1≤sin（x+）≤，所以f（x）的取值X围是[﹣1，]．（ 12分）点评：本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图象与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识，属于中档题．22．（12分）（2015春•某某校级期末）已知函数f（x）=2cos2（x﹣）﹣sin2x+1 （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（，）时，若f（x）≥log2t恒成立，求 t的取值X围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+）+2，由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由，可得，解得1≤cos（2x+）+2，求得f（x），f（x）min=1，由题意log2t≤1，从而解得t的取值X围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x﹣）﹣sin2x+2=cos2x﹣sin2x+2=cos（2x+）+2，…（3分）由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，得k≤x≤k，k∈Z，…（5分）∴f（x）的单调递增区间为[k，k]，k∈Z，．…（6分）（或者：f（x）=﹣+2=cos2x﹣+2=﹣+2，…（3分）令+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z．则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．…（5分）∴f（x）的单调递增区间为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．…6分）（Ⅱ）∵，∴，…（7分）∴﹣1≤cos（）≤﹣，1≤cos（2x+）+2，…（8分）（或者：∵，∴…（7分）∴≤≤1∴1≤﹣+2≤…8分）∴f（x），f（x）min=1．…（9分）若f（x）≥log2t恒成立，∴则log2t≤1，∴0＜t≤2，…（11分）即t的取值X围为（0，2]．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．。

广西钦州市高二数学上学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．242．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=07．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．22．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30（1）完成频率分布表；分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．2015-2016学年某某某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A．4 B．12 C．D．24【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过左视图，判断几何体的数据，然后求解侧面积．【解答】解：∵正三棱柱的左视图为：，正三棱柱的底面是正三角形，由图知底面正三角形的高为，∴易求得正三角形的边长为2，∴正三棱柱的侧面积为：2×2×3=12．故选：B．【点评】本题考查三视图侧面积的求法，考查学生的视图能力以及计算能力．2．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心C到直线l的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，故直线和圆相切，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．3．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．【解答】解：复数z==所以它的共轭复数为：1﹣i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．5．若l、a、b表示直线，α、β表示平面，下列命题正确的是（）A．l∥α，a⊂α⇒l∥a B．a∥α，a∥b⇒b∥αC．a∥α，b⊥α⇒a⊥b D．a∥α，α∥β⇒a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断．B．根据线面平行的判定定理进行判断．C．根据线面垂直的性质定理进行判断．D．根据线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．根据线面平行的性质可知，l∥a不一定成立，有可能是异面直线．B．当b⊄α，结论成立，当b⊂α，则结论不成立．C．根据线面垂直和线面平行的性质可知，若a∥α，b⊥α，则a⊥b成立．D．若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，∴结论不成立．故选：C．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直定理的内容及应用．6．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P 的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程．【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即所以直线l的方程为：3x﹣2y=0；②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线l的方程为：把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5所以直线l的方程为：x+y﹣5=0．故选C【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题7．将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（）A．2倍B．8倍C．4倍D．0.5倍【考点】球的体积和表面积．【专题】规律型；空间位置关系与距离．【分析】根据“球的体积V=πr3”进行推导，进而得出结论．【解答】解：设球的半径为r，则原来的体积S=πr3，当半径变为原来的2倍时，即半径为2r，则体积V=π（2r）3=πr3×8，即这个球的体积就变为原来的8倍．故选B．【点评】解答此题要明确球的半径扩大n倍，其周长扩大n倍，面积扩大n2倍，体积扩大n3倍．8．若幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数，则（）A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】由幂函数的性质可判断α的取值，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求【解答】解：由幂函数的性质可知，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数在（0，+∞）单调递减可求∵f（x）=x a在（0，+∞）上是增函数∴a＞0故选A【点评】本题主要考查了幂函数的单调性的应用，解题中要注意α的符号对函数单调性的影响．属于基础试题9．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意得到集合B是集合A的子集，所以求出集合A子集的个数即为集合B的个数．【解答】解：因为A∪B={1，2}=A，所以B⊆A，而集合A的子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}共4个，所以集合B有4个．故选A【点评】本题重在理解A∪B=A表明B是A的子集，同时要求学生会求一个集合的子集．10．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上．【解答】解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．关于斜二侧画法，下列说法正确的是（）A．三角形的直观图可能是一条线段B．平行四边形的直观图一定是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形【考点】平面图形的直观图．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断选项的正确性即可．【解答】解：对于A，三角形的直观图仍然是一个三角形，命题A错误；对于B，平行四边形的直观图还是平行四边形，命题B正确；对于C，正方形的直观图不是正方形，应是平行四边形，命题C错误；对于D，菱形的直观图不是菱形，应是平行四边形，命题D错误．故选：B．【点评】本题考查了斜二侧画直观图的应用问题，注意平行x，y轴的线段，仍然平行坐标轴，不平行坐标轴的线段，只看它们的始点和终点，是基础题．12．多面体的直观图如图所示，则其正视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离．【分析】直接利用三视图的画法，判断选项即可．【解答】解：应用可知几何体的正视图为：．故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，是基础题．二、填空题13．函数f（x8）=log2x，则f（16）的值是．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】令x8=16，利用指数知识求得x=，再代入解析式右端求出即可．【解答】解：令x8=16，x8=24=8，解得x=，所以f（16）=log2=故答案为：【点评】本题考查函数值求解，要对函数的概念及表示方法有准确的理解和掌握．14．设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是b＜a＜d＜c．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】先应用诱导公式化简sin2008°=﹣sin28°，cos2008°=﹣cos28°=﹣sin62°，从而a=﹣sin（sin28°），b=﹣sin（sin62°），c=cos（sin28°），d=cos（sin62°），再根据正弦、余弦函数的单调性即可判断a，b，c，d的大小．【解答】解：∵2012°=5×360°+208°，∴a=sin（sin2008°）=sin（sin208°）=sin（﹣sin28°）=﹣sin（sin28°）＜0，b=sin（cos2008°）=sin（cos208°）=sin（﹣cos28°）=﹣sin（cos28°）＜0，c=cos（sin2008°）=cos（sin208°）=cos（﹣sin28°）=cos（sin28°）＞0，d=cos（cos2008°）=cos（cos208°）=cos（﹣cos28°）=cos（cos28°）＞0，∵cos28°=sin62°，∴＜sin32°＜＜sin62°，∴c＞d，﹣b＞﹣a，∴b＜a＜d＜c故答案为：b＜a＜d＜c．【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性及应用，注意单调区间，同时考查诱导公式的应用，是一道中档题．15．b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．【解答】解：∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为，∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是，又∵糖水会更甜，∴故答案为：【点评】本题考查生活常识中出现的不等式及运用不等式求解，易错点是得到加糖后糖的质量和糖水的质量．16．已知数列{log2（a n﹣1）}，（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其对数的运算性质即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列 {log2（a n﹣1）}，（n∈N*）的公差为d．由且a1=3，a3=9，可得：log2（9﹣1）=log2（3﹣1）+2d，∴3=1+2d，解得d=1．∴log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）=n，∴a n=2n+1．（2）由a n=2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n=+n=2n+1﹣2+n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．一物体受到与它运动方向相同的力：的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想．【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解：由题意，的作用，（x 的单位：m，F的单位：N），则它从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于又===综上知，从x=0运动到x=1时F（x）所做的功等于故答案为【点评】本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应，用代数方法求解物理问题是一个学科之间结合的问题，在近几个的高考改革中，此类问题渐成热点18．空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案．【解答】解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0），∴根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|==故答案为：【点评】本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题．三、解答题19．已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（﹣a，b）．（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，﹣b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=﹣，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值X围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）设M（x，y）根据=（+）分别用三点的坐标表示出三个向量，进而解得x和y，则M点坐标可得．（2）直线l1与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得，a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），利用韦达定理可求得x1+x2的表达式，进而求得x0，代入直线方程求得y0，两直线方程联立根据直线l2的斜率求得x=x0，y=y0进而判断出E为CD的中点；（3）先求出PQ的中点的坐标，进而求出直线OE的斜率，再由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，进而求得q的取值X围．【解答】解：（1）设M（x，y）∵=（+），∴2（x+a，y﹣b）=（a，﹣2b）+（2a，﹣b）∴，解得x=y=﹣M点坐标为（，﹣）（2）由方程组，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则x0==﹣，y0=k1x0+p=，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为k2=﹣，所以x==x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；（3）求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点E（﹣，），2°求出直线OE的斜率k2==，3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=，4°从而得直线P1P2的方程：y﹣=（x+），5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以+＜1，化简得sinθ﹣cosθ＜，∴sin（θ﹣）＜，又0＜q＜p，所以﹣＜θ﹣＜arcsin，故q的取值X围是（0，+arcsin）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．20．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式变形，得到，然后利用累加法求数列的通项公式；（Ⅱ）分组后利用等差数列的前n项和及错位相减法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解（Ⅰ）由a n+1=（1+）a n+，得，∴，，，…，累加得：=．∴；（Ⅱ）=，令，则，=，∴，则．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．21．在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先根据cosB求出sinB的值，再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根据三角形的面积公式求得最后答案．【解答】解：由题意，得为锐角，，，由正弦定理得，∴．【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角形面积公式的应用，属基础题．寿命/小时100～200 200～300 300～400 400～500 500～600个数20 30 80 40 30分组频数频率100～200200～300300～400400～500500～600合计（2）完成频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100～400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；频率分布直方图．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表（2）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分步直方图．（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65．（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率，我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35．【解答】解：（1）完成频率分布表如下：分组频数频率100～200 20 0.10200～300 30 0.15300～400 80 0.40400～500 40 0.20500～600 30 0.15合计200 1（2）完成频率分布直方图如下：（3）由频率分布表可知，寿命在100～400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以估计电子元件寿命在100～400小时的概率为0.65（4）由频率分布表可知，寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35【点评】本题在有些省份会作为高考答题出现，画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义．通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤．23．求出函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．【考点】正弦函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），利用复合三角函数的单调性转化为求y=sin （x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．【解答】解：y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），要求函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间．即求y=sin（x﹣），x∈[﹣2π，2π]的单调递减区间．∴由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：4kπ+≤x≤+4kπ（k∈Z），∴y=sin（﹣x）的递增区间为[4kπ+，+4kπ]（k∈Z），又x∈[﹣2π，2π]，∴y=sin（﹣x）在x∈[﹣2π，2π]上的递增区间为[﹣2π，﹣]和[，2π]．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）求得y=sin（﹣x）的递增区间是关键，也是易错点，属于中档题．。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______；【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

吉林省长春外国语学校2013-2014学年高一下学期期中考试历史 Word版含答案

长春外国语学校2013---2014学年第二学期期中考试高二历史文科试卷一.选择题(共30个小题,每小题2分,合计60分)1.下列有关毛泽东思想的叙述正确的是①毛泽东思想是毛泽东的思想②主要来自于新民主主义革命、社会主义革命和全面建设社会主义时期③是夺取中国革命胜利的理论武器④建设中国特色社会主义理论的思想渊源A.①②③④B.①③④C.②③④D.①②③2.党代表中国先进生产力发展要求必须履行的重要职责是A.加强国际贸易B.改革旧的生产关系C.发展精神文明，为生产力发展提供精神动力和支柱D.大力推进科技进步和创新以促进生产力的飞跃发展3.毛泽东同志曾对一个外国人说：“一九二七年，老蒋够厉害啦！它把我们像鸡蛋一样地摔在地上。

可他没想到……我们还会孵出小鸡来！”对“孵出小鸡”最准确的理解是A.发动起义，武装反抗国民党反动统治B.召开遵义会议，扭转时局C.找到“工农武装割据”的革命道路D.提出建立抗日民族统一战线的方针4.在电影《活着》中有一个场景：20世纪50年代，一小孩找出父亲的铁皮箱，交给街道干部用来炼铁。

当时人们这样做A.表达了渴望迅速建成社会主义强国的愿望B.完全符合中国的国情C.是片面追求公有化的体现D.有利于尽快实现社会主义工业化5.李鸿章是中国近代史上的重要人物，近年来，争议颇多。

某课题小组收集到如下材料，最有价值的材料是A.长篇历史小说《李鸿章》B.“文革”中出版《李鸿章反动言论》C.关于李鸿章的史学论著D.部分李鸿章奏折、书信的影印件6.新中国成立后，按照中国共产党的外交政策原则，旗帜鲜明地站在以苏联为首的和平民主阵营一边，并于1950年2月14日，《中苏友好同盟互助条约》。

中国当时采取“一边倒”方针的主要意图是A.创造利于经济建设的国际环境B.借助苏联恢复中国联合国席位C.与苏联结盟共同谋求世界霸权D.希望苏联成为第三世界的后盾7.标语，就是人们书写在墙上，张贴或张挂在公众场合的文字简短的宣传鼓动口号，一些标语经过无数的春秋忠实地记录着某段历史。

广东省深圳市龙岗区2015-2016学年第一学期期末高二理科数学试题带答案

广东省深圳市龙岗区2015-2016学年第一学期期末高二理科数学试题带答案龙岗区2015-2016学年第一学期期末质量监测试题高二（理科）数学本试卷共分为选择题和非选择题两部分，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项如下：1.答卷前，请检查答题卡是否整洁无缺损。

考生必须使用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上，并将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。

请保持条形码整洁、不污损。

2.选择题请使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不按以上要求作答的答案无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，请先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损。

考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知命题p:x R，sinx1，则下列哪个命题是对p的否定？A．p:x R，sinx-1B．p:x R，sinx≥-1C．p:x R，sinx≤-1D．p:x R，sin(x2y2)+x≠12.1<k<4是方程4-kk-1的充分不必要条件。

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.已知三角形ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为A．3B．2C．2/3D．4/34.在空间直角坐标系中，给定点M(2,-1,3)，若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则AB=?A.2B.4C.25D.375.当a<-1时，不等式(x-a)/(x+1)(x-3)≤0的解集是A.(-∞,-1)∪[a,3]B.(-∞,a)∪[-1,3]C.(-∞,a)∪(-1,3)D.(-∞,a]∪(-1,3)6.若椭圆(a>b>0)的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，离心率为e，则双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为？A.2√5/5B.√3/2C.√5/2D.√3/5以下省略）7.已知等比数列{a_n}中，a_3=7，前3项之和S_3=21，则公比q的值为1或-1.8.若不等式组{x+3y≥4，XXX表示平面区域被直线y=kx分为面积相等的两部分，则k的值是3/4.9.如图所示的5×5正方形表格中共有20个空格，若在每一个空格中填入一个正整数，使得每一行和每一列都成等差数列，则字母a所代表的正整数是18.10.不等式f(x)=ax^2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=f(-x)的图象大致是关于y轴对称的。

吉林省长春外国语学校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题

长春外国语学校2021-2022学年第二学期期中考试高二年级数学试卷出题人：徐赢审题人：刘洋本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若{}01A x x =<<，{}4B x x =<，则B 是A 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知随机变量的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是A.，B.，C.，D.，3.对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为，则实数的值为A. B. C. D.4.如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的概率为A. B. C. D.5.唐代著名诗人杜牧写的《清明》不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（）A ．0.63B ．0.7C ．0.9D ．0.5676.若53x >，则4335x x +-的最小值为（）A ．7B ．43C ．9D ．237.已知10a -<<，0b <，则b ，ab ，2a b 的大小关系是A ．2b ab a b<<B ．2a b ab b<<C ．2a b b ab <<D ．2b a b ab<<8.下列命题正确的是（）A ．在回归分析中，决定系数2R 越小，说明回归效果越好B ．已知()23.8410.05P χ≥=，若根据2×2列联表得到2χ的值为4.1，依据0.05α=的独立性检验，则认为两个分类变量无关C ．已知由一组样本数据(),i i x y （1i =，2，⋅⋅⋅，n ）得到的回归直线方程为420y x =+，且1110ni i x n ==∑，则这组样本数据中一定有()10,60D ．若随机变量()~,4X N μ，则不论μ取何值，()46P X μμ-<<+为定值9.名同学进行队列训练，站成前排人后排人，现体育教师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为A.B.C.D.10.已知，则下列结论不正确的是A.B.C.6712267...02222a a a a ++++=D.11.已知定义在R 上的函数(1)=-y f x 的图象关于点()1,0对称，(2)()0f x f x ++-=，且函数()y f x =在[)0,1上单调递增，则（）A ．171242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．711422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．117224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．171242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”根据定义可得A.在上是“弱减函数”B.在(2,3)上是“弱减函数”C.若在上是“弱减函数”，则1m e≥D.若在上是“弱减函数”，则第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016-2017年吉林省吉林二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1．（5 分）若复数 z 满足 z=1﹣2i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 对应的点在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限）
【解答】解：复数 z=1﹣2i 对应的点的坐标为：（1，﹣2），位于第四象限．故选：D． 2．（5 分）用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an+1= n=1 成立时，左边的项是（ A．1 B．1+a ） C．1+a+a2 D．1+a+a2+a4 （a≠1，n∈N*），（a≠1，n∈N*），在验证
=0，可得 y=± x，即双曲线
4．（5 分）抛物线 y2=4x 上一点 M 到焦点的距离为 3，则点 M 的横坐标 x= （ A．4 B．3 C．2 D．1
）
【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F 为（1，0），准线 l 为 x=﹣1，由抛物线的定义可得， |MF|=x+1，
2016-2017 学年吉林省吉林二中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1．（5 分）若复数 z 满足 z=1﹣2i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 对应的点在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限）
2．（5 分）用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an+1= n=1 成立时，左边的项是（ A．1 3．（5 分）双曲线 A．y=± x B．1+a ﹣ ） C．1+a+a2
10．（5 分）数列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 值为（ A．28 11．（5 分）若 A．1 B．32 C．33

上海中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷Word版含解析

2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=__________．2．设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于__________．3．直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，则实数m=__________．4．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=__________．5．直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为__________．（结果用反三角函数值表示）6．增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=__________．7．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=__________．8．规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是__________．9．手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=__________．10．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是__________．11．平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为__________．12．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为__________．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件14．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程15．若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则( )A．≥1B．≤1C．a2+b2≥1D．a2+b2≤116．△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是( )A．12 B．10 C．8 D．不是定值三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．18．已知||=，||=1，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围．19．已知x，y满足条件：，求：（1）4x﹣3y的最小值；（2）的取值范围．20．在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆．【分析】设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，即可得出．【解答】解：设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，∵α∈∴﹣=10，∴k=6．故答案为：6．【点评】本题考查了行列式的代数余子式，本题难度不大，属于基础题．5．直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为arccos．（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的方向向量．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，从而能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值，由此能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角大小．【解答】解：∵直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值是=，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角大小为arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查两直线夹角大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的方向向量的概念的合理运用．6．增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=﹣4．【考点】不定方程和方程组．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】由已知得到，由此能求出m+n的值．【解答】解：∵增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，∴，解得m=﹣2，n=﹣2，∴m+n=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵解方程组的性质的合理运用．7．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】按照规定的矩阵运算，进行化简，利用矩阵相等的概念，列出关于x的方程，并解出x即可．【解答】解：==，∴3x=1，x=故答案为：【点评】本题考查矩阵的运算，方程思想，属于基础题．9．手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为，每对向量的夹角为30°，∴每对向量的数量积为cos30°=，∴最后结果为12×=6﹣9，故答案为：6﹣9．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．10．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m ﹣2m＞2，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．11．平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．12．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为4．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，∴=•，整理，得x2+y2+6x﹣11=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，∴（S△PAC）max==4．故答案为：4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．总之，两者之间互相推出的问题．故选D．【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．14．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程【考点】曲线与方程．【专题】计算题．【分析】利用曲线的方程、方程的曲线的定义的两个方面，进行判断．【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．故选 C．【点评】本题考查曲线与方程的关系，只有曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，而且以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，才能得出方程f（x，y）=0的曲线是C，曲线C的方程是f（x，y）=0．15．若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则( )A．≥1B．≤1C．a2+b2≥1D．a2+b2≤1【考点】基本不等式．【专题】转化思想；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】由题意和三角函数辅助角公式可得．【解答】解：∵对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，∴1=acosx﹣bsinx=sin（φ﹣x），其中tanφ=，∴1≤，平方可得a2+b2≥1故选：C【点评】本题考查不等式，涉及三角函数的最值，属基础题．16．△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是( )A．12 B．10 C．8 D．不是定值【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】O为△ABC外接圆圆心，可取AB边中点E，AC边中点F，连接OD，OE，AO，从而有OD⊥AB，OE⊥AC，而，从而进行数量积的计算，便可得出该数量积的值．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴===．故选A．【点评】考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系．三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．【考点】点到直线的距离公式．【专题】分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB==﹣，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0．【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力．18．已知||=，||=1，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出λ2﹣7λ+6＜0，这样解该不等式便可得出λ的取值范围．【解答】解：与夹角为锐角时，==4λ﹣（6+λ2）+3λ＞0；解得1＜λ＜6；∴实数λ的取值范围为（1，6）．【点评】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式．19．已知x，y满足条件：，求：（1）4x﹣3y的最小值；（2）的取值范围．【考点】简单线性规划．【专题】运动思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：（1）不等式组表示的公共区域如图所示：其中A（4，1）、B（﹣1，﹣6）、C（﹣3，2），设z=4x﹣3y，则y=x﹣，平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣过C点时，直线的截距最大，此时z取得最小值，将C（﹣3，2），代入z=4x﹣3y得最小值，即z的最小值z=4×（﹣3）﹣3×2=﹣18．（2）==1﹣，设k=，则k的几何意义是动点（x，y）到定点D（﹣4，﹣5）的斜率，而K CD==7，K BD==﹣，∴﹣≤k≤7，∴﹣6≤1﹣k≤，即的取值范围是．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．20．在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，讨论|x﹣3|，|2﹣2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；（2）运用分段函数的形式求得d（C，P），分析各段与不等式表示的区域的图形，即可得到面积．【解答】解：（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，由|x﹣3|≥|2﹣2x|，解得﹣1≤x≤，即有d（P，Q）=|x﹣3|，当x=时，取得最小值；由|x﹣3|＜|2﹣2x|，解得x＞或x＜﹣1，即有d（P，Q）=|2x﹣2|，d（P，Q）的范围是（3，+∞）∪（，+∞）=（，+∞）．综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为；（2）由题意可得，d（C，P）=r=，当|x0﹣x|≥|y0﹣y|，|x0﹣x|=r，即有x=x0±r，围成的图形为关于点（x0，y0）对称的三角形区域；当|x0﹣x|＜|y0﹣y|，|y0﹣y|=r，即有y=y0±r，围成的图形为关于点（x0，y0）对称的三角形区域．综上可得P点所在的曲线所围成图形为边长为2r的正方形区域，其面积为4r2．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式的解法和平面区域的面积求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【专题】新定义；转化思想；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k，即可得到所求直线方程；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m ﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐标．【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，由题意可得=，解得k=±，即有所求直线为y=±（x﹣2）；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③解方程可得a=﹣3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．则有圆C的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=1；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径为1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，由题意可得=，化简可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，即有或，解得或．则存在这样的点P（1，﹣1）和（﹣，），使得使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．。

空间几何体外接球内切球专题(50道大练习)

）
AC 2 7 ， PB BC 2 3 , PA 平面 PBC, 23．已知四面体 P ABC 中, PA 4 ，
则四面体 P ABC 的内切球半径与外接球半径的比（）
A.
2 16
B.
3 2 8
C.
3 2 16
D.
2 8
试卷第 4 页，总 13 页
郭大侠的数学江湖
24 ．已知三棱锥 D ABC 中， AB BC 1 ， AD 2 ， BD 5 ， AC
A.
B.
C.
D.
31 ．已知三棱锥 P ABC 中， PA 4, AB AC 2 3, BC 6 ， PA 平面
ABC ，则此三棱锥的外接球的半径为__________．
32．一个直六棱柱的底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长为 3，则它的外接球的表面积为__________．
郭大侠的数学江湖
空间几何体外接球内切球专题 50 道精选大练习
1．棱长为 A. B. 的正方体的 8 个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ C. D. ）
2．正方体的表面积为 24，那么其外接球的体积是（ A．
）．
4 3
B．
8 3
C． 32 3
D． 4 3
3．一个正方体的内切球 O1 、外接球 O2 、与各棱都相切的球 O3 的半径之比为（（A） 1: 3: 2 （B） 1:1:1 （C） 1: 3 : 2 （D） 1: 2 : 3
2，
BC AD ，则三棱锥的外接球的表面积为（
A. 6 B. 6 C. 5
） D. 8
25．半径为 R 的球内部装有 4 个半径相同的小球，则小球半径 r 的可能最大值为（ A．

吉林省长春市德惠实验中学2014-2015学年高二数学下学期4月月考试卷理(含解析)

2014-2015学年吉林省长春市德惠实验中学高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1．函数y=x3﹣3x2+3在（1，1）处的切线方程为（）A． y=﹣3x+4 B． y=3x﹣4 C． y=﹣4x+3 D． y=4x﹣32．函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）A． B．﹣1 C． 0 D．3．计算=（）A．﹣1 B． 1 C． 8 D．﹣84．若函数f（x）=e2x cosx，则此函数图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（） A．直角 B． 0 C．锐角 D．钝角5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C．D．6．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为（） A． B． C． D． 37．若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，则m的取值范围是（） A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D． [﹣12，7]8．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A． 2﹣ln2 B． 4﹣2ln2 C． 4﹣ln2 D． 2ln29．已知函数f（x）=x3﹣3x2+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，a）处的切线方程是（）A． x=0 B． x=2 C． y=2 D． y=410．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A． f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B． f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C． f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D． f（log2a）＜f（2a）＜f（3）11．函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知函数y=f（x）对于任意的满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13．设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a= ．14．已知椭圆=1的面积计算公式是S=πab，则dx= ．15．设a＜0，若函数y=e x+2ax，x∈R有小于零的极值点，则实数a的取值范围是．16．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（2x）＜4x2+2x+1的解集为．三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效）17．（10分）（2013秋•南安市校级期末）已知函数f（x）=x3﹣x+2，其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线l的方程（Ⅱ）求直线l与f′（x）图象围成的图形的面积．18．（12分）（2013秋•昌平区期末）已知函数f（x）=x3+ax2﹣x﹣3在x=﹣1时取得极值．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值．19．（12分）（2015春•德惠市校级月考）在区间[0，1]上给定曲线y=x2．（1）当t=时，求S1值．（2）试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小．20．（12分）（2014秋•保定期末）已知函数f（x）=+lnx，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥1在x∈（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）（2015•滕州市校级模拟）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e﹣4恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）（2015•呼伦贝尔二模）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，g（x）=x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．2014-2015学年吉林省长春市德惠实验中学高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1．函数y=x3﹣3x2+3在（1，1）处的切线方程为（）A． y=﹣3x+4 B． y=3x﹣4 C． y=﹣4x+3 D． y=4x﹣3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．解答：解：函数的导数为y′=f′（x）=3x2﹣6x，在（1，1）处的切线斜率k=f′（1）=3﹣6=﹣3，即函数y=x3﹣3x2+3在（1，1）处的切线方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+4，故选：A点评：本题主要考查函数的切线方程，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．2．函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）A． B．﹣1 C． 0 D．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是1，从而得以解决．解答：解：∵，∴f′（1）=0⇒a+1=0，∴a=﹣1．故选B．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．3．计算=（）A．﹣1 B． 1 C． 8 D．﹣8考点：定积分．专题：计算题．分析：欲计算，根据计算定积分的公式，先求出被积函数sinx+2的原函数即可求得答案．解答：解：=（﹣cosx+2x）|﹣22=﹣cos2+4﹣（﹣cos2﹣4）=8．故选C．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念、三角函数的性质等基础知识，考查计算能力．4．若函数f（x）=e2x cosx，则此函数图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（） A．直角 B． 0 C．锐角 D．钝角考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求函数f（x）=e2x cosx的导数，因为函数图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为函数在x=1处的导数，就可求出切线的斜率，再根据切线的斜率是倾斜角的正切值，就可根据斜率的正负判断倾斜角是锐角还是钝角．解答：解：∵f′（x）=2e2x cosx﹣e2x sinx，∴f′（1）=2ecos1﹣esin1∴函数图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e（2cos1﹣sin1）∵e（2cos1﹣sin1）＞0，∴函数图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为锐角故选C．点评：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于综合题．5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A． B． C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．6．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为（） A． B． C． D． 3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．专题：转化思想；导数的综合应用．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．解答：解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．故选：A．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，是中档题．7．若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，则m的取值范围是（） A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D． [﹣12，7]考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3（舍），由f（﹣2）=0，f（﹣1）=7，f（2）=﹣20，知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，由此能求出关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立的m的取值范围．解答：解：设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3∉[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论：x （﹣2，﹣1）﹣1 （﹣1，2）f′（x） + 0 ﹣f（x）↑ 极大值↓∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故选B．点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A． 2﹣ln2 B． 4﹣2ln2 C． 4﹣ln2 D． 2ln2考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：根据定积分的几何意义求曲边梯形的面积．解答：解：曲线y=与直线y=x﹣1联立得交点坐标为（1，2），所以S==（）|=4﹣2ln2；故选B．点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，关键是确定定积分的上限和下限．9．已知函数f（x）=x3﹣3x2+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，a）处的切线方程是（）A． x=0 B． x=2 C． y=2 D． y=4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：运用奇函数的性质，若f（x+1）是奇函数，则f（1）=0，求得a，再求函数的导数，求出切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．解答：解：由于函数f（x）=x3﹣3x2+a，若f（x+1）是奇函数，则f（1）=0，即有1﹣3+a=0，解得，a=2，f（x）=x3﹣3x2+2，导数f′（x）=3x2﹣6x，则在切点（0，2）处的斜率为0，则切线方程为：y=2．故选：C．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的奇偶性及运用，考查运算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A． f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B． f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C． f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D． f（log2a）＜f（2a）＜f（3）考点：抽象函数及其应用；导数的运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．解答：解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．点评：本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．11．函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题．分析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同解答：解：f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x+2）（x﹣1）令f′（x）=a（x+2）（x﹣1）=0得x=﹣2或x=1x∈（﹣∞，﹣2）时f′（x）的符号与x∈（﹣2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（﹣2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反∴f（﹣2）==和f（1）==为极值，∵图象经过四个象限∴f（﹣2）•f（1）＜0即（）（）＜0解得故答案为B点评：本题考查导数求函数的极值，及函数的单调性及其图象12．已知函数y=f（x）对于任意的满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（）A． B．C． D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论解答：解：构造函数g（x）=，则g′（x）==[（f′（x）cosx+f（x）sinx]，∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则②g（﹣）＜g（﹣），即＜，∴＜，即f（﹣））＜f（﹣），故B正确；③g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜f（），故③正确；④g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜2f（），故④正确；由排除法，故选：A点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13．设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a= 1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．解答：解：y=的导数为y′=，当x=时，y′=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线 x+ay+1=0 的斜率为=﹣1，∴a=1，故答案为：1．点评：本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质．14．已知椭圆=1的面积计算公式是S=πab，则dx= π．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分的几何意义即可得到结论．解答：解：设y=，（y≥0），则+y2=1（y≥0）对应的曲线为椭圆的上半部分，对应的面积S==，根据积分的几何意义可得dx=π，故答案为：π点评：本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，对于不好求的积分函数，要利用对应的区域面积进行计算．15．设a＜0，若函数y=e x+2ax，x∈R有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（﹣，0）．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有小于0的极值故导函数有小于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．解答：解：∵y=e x+2ax，a＜0，∴y'=e x+2a．由题意知e x+2a=0有小于0的实根，令y1=e x，y2=﹣2a，则两曲线交点在第二象限，结合图象易得0＜﹣2a＜1⇒﹣＜a＜0，故实数a的取值范围是（﹣，0），故答案为：（﹣，0）点评：本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立．16．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（2x）＜4x2+2x+1的解集为（，+∞）．考点：导数的运算；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（2x）＜g（1），最后利用单调性解不等式即可解答：解：∵f′（x）＜2x+1，∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0设g（x）=f（x）﹣（x2+x）则g（x）在R上为减函数，∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1∵f（2x）＜4x2+2x+1=（2x）2+2x+1，∴f（2x）﹣[（2x）2+2x]＜1，∴g（2x）＜1=g（1）∴2x＞1，解得x＞故答案为：（，+∞）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．是中档题三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效）17．（10分）（2013秋•南安市校级期末）已知函数f（x）=x3﹣x+2，其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线l的方程（Ⅱ）求直线l与f′（x）图象围成的图形的面积．考点：定积分在求面积中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，求出切线的斜率，利用点斜式，可得切线l的方程（Ⅱ）求出直线与l与f′（x）的交点的横坐标，可得积分的上、下限，利用定积分，可求直线l与f′（x）图象围成的图形的面积．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣1，∴k=f'（1）=2，又f（1）=2…（4分）∴l：y﹣2=2（x﹣1），即：y=2x…（6分）（Ⅱ）由…（8分）∴…（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）（2013秋•昌平区期末）已知函数f（x）=x3+ax2﹣x﹣3在x=﹣1时取得极值．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）首先求出f′（x），利用x=﹣1时取得极值，则f′（﹣1）=0，得到关于a 的方程求出a；（Ⅱ）令f′（x）=0，得到x=﹣1或者x=，列表求出f（x）在[﹣2，1]上的最大值．解答：解：（I）f′（x）=3x2+2ax﹣1．∵f（x）在x=﹣1时取得极值，所以f′（﹣1）=0，即3﹣2a﹣1=0解得a=1．经检验，a=1时，f（x）在x=﹣1时取得极小值．∴f（x）=x3+x2﹣x﹣3．（II）f′（x）=3x2+2x﹣1，令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=；x∈[﹣2，1]时，f′（x）和f（x）变化如下：由上表可知函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为﹣2．点评：本题考查了利用导数求函数闭区间上的最值问题．19．（12分）（2015春•德惠市校级月考）在区间[0，1]上给定曲线y=x2．（1）当t=时，求S1值．（2）试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用定积分的几何意义首先表示S1，然后计算；（2）利用t分别用定积分表示两部分的面积，然后整理得到关于t的式子，结合解析式特点求最小值．解答：解：（1）当t=时，S1==（）|=；（2）设0≤t≤1当x=t时，y=t2∴S1==（t2x）|=，S2==（）|=，∴阴影部分的面积为S1+S2=f（t）=（0≤t≤1）f'（t）=4t2﹣2t，令f'（t）=0可得t1=0或t2=，由f（0）=，f（1）=，f（）=，可知当t=时，S1+S2有最小值．点评：本题考查了利用定积分表示封闭图形的面积与求函数最小值；关键是利用定积分表示封闭图形的面积．20．（12分）（2014秋•保定期末）已知函数f（x）=+lnx，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥1在x∈（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间，（2）化简不等式，分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值，问题得以解决．解答：解：（1）∵定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣+=，①当a≤0，f′（x）≥0，恒成立，∴f（x）在定义域（0，+∞）单调递增；②当a＞0，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜a，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴函数f（x）的单调递增区间：（a，+∞），单调递减区间：（0，a）（2）∵f（x）≥1在（0，e]上恒成立，∴+lnx≥1，即a≥﹣xlnx+x任意x∈（0，e]上恒成立，令g（x）=﹣xlnx+x，x∈（0，e]，∴g′（x）=﹣lnx，令g′（x）=0，解得x=1，∴g（x）在（0，1]递增，在（1，e]递减，∴g（x）max=g（1）=1，∴a≥1点评：本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及恒成立问题，分离参数，求最值是常用的方法，属于中档题21．（12分）（2015•滕州市校级模拟）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e﹣4恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出导数，求得切线斜率，由两直线平行的条件即可得到a；（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e﹣4恒成立，即有当x∈[0，4]时，f（x）min≥e﹣4．求出导数，讨论①当a≥0时，②当a＜0时，当a≤﹣1，当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜a＜0时，运用单调性，求出f（x）最小值即可得到．解答：解：（1）函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x导数f′（x）=（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x=e﹣x（1﹣a﹣x+2ax﹣ax2），则在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=1﹣a，f（0）=a，由于切线与直线3x﹣y+1=0平行，则有1﹣a=3，a=﹣2；（2）当x∈[0，4]时，f（x）≥e﹣4恒成立，即有当x∈[0，4]时，f（x）min≥e﹣4．由于f′（x）=（2ax+1）e﹣x+（ax2+x+a）e﹣x=e﹣x（1+a+x+2ax+ax2）=（x+1）（ax+1+a）e﹣x，①当a≥0时，x∈[0，4]，f′（x）＞0恒成立，f（x）在[0，4]递增，f（x）min=f（0）=a≥e﹣4；②当a＜0时，f′（x）=a（x+1）（x+1+）•e﹣x，当a≤﹣1，﹣1≤＜0，0≤1+＜1，﹣1＜﹣（1+）≤0，x∈[0，4]，f′（x）≤0恒成立，f（x）递减，f（x）min=f（4）=（17a+4）•e﹣4≥e﹣4，17a+4≥1，a≥﹣，与a≤﹣1矛盾，当﹣1＜a＜0时，＜﹣1，1+＜0，﹣（1+）＞0，f（x）在[0，4]递增，或存在极大值，f（x）min在f（0）和f（4）中产生，则需f（0）=a≥e﹣4，且f（4）=（17a+4）•e﹣4≥e﹣4，且﹣1＜a＜0，推出a∈∅，综上，a≥e﹣4．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，是该题的难点所在，此题属中档题．22．（12分）（2015•呼伦贝尔二模）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，g（x）=x•e x﹣x2﹣1（x＞0），且f（x）点x=1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[1，3]上有解，求b的取值范围；（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）通过求导得f'（1）=0，则得a=0．经检验符合题意；（Ⅱ）由题意得：．令，从而有，进而求出b的取值范围；（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则=，得到F（x）≥F（c）=0，从而证得g（x）≥f（x）．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+a）﹣x2+x，∴∵函数f（x）=ln（x+a）﹣x2+x在点x=1处取得极值，∴f'（1）=0，即当x=1时，∴，则得a=0．经检验符合题意；（Ⅱ）∵，∴，∴．令，则．∴当x∈[1，3]时，h'（x），h（x）随x的变化情况表：x 1 （1，2） 2 （2，3）…（8分）3h'（x） + 0 ﹣h（x）↗ 极大值↘计算得：，，h（2）=ln2+3，∴所以b的取值范围为．（Ⅲ）证明：令F（x）=g（x）﹣f（x）=x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则=，令G（x）=x•e x﹣1，则∵G'（x）=（x+1）•e x＞0（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）上的零点最多一个，又∵G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增，从而F（x）≥F（c）=c•e c﹣lnc﹣c﹣1．由G（c）=0得c•e c﹣1=0即c•e c=1，两边取对数得：lnc+c=0，∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，从而证得g（x）≥f（x）．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题．。

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2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数学试卷

（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数等于（） A．1﹣2iB．1+2iC．2﹣iD．2+i 2．抛物线y=x2的准线方程是（）

A． B． C．y=﹣1D．y=﹣2

3．双曲线的离心率为，则正数a的值为（） A． B．2C． D．1 4．已知椭圆（）上一动点 P到其两焦点F1，F2的距离之和为4，则实

数a的值是（） A．1B．2C．3D．4

5．若函数y=ax2+1的图象与双曲线的渐近线相切，则实数a的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．已知函数f（x）=ex+3，则f（x）在x=0处切线的方程是（） A．x﹣y+4=0B．x+y﹣4=0C．4x﹣y+4=0D．4x+y﹣4=0 7．若抛物线y2=4x与直线x﹣y﹣1=0交于 A，B两点，则|AB|=（） A．2B．4C．6D．8 8．若函数f（x）=ax﹣lnx在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C． D．

9．函数的零点的个数是（） A．0B．1C．2D．3 10．函数f（x）=ex﹣2x+1在[0，1）上的最小值是（） A．2B．e﹣1C．3﹣2ln2D．2﹣2ln2

11．（）

A． B．2C． D．π﹣1 12．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（） A．2B． C． D．3 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．复数z=（1+i）（a﹣i）表示的点在第四象限，则实数a的取值范围是． 14．若点 P（1，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，若|PF|=2，则

m= ． 15．函数f（x）=ax3+bx+1在x=1处有极大值2，则b﹣a= ．

16．若 A，B是双曲线上两个动点，且，则△AOB面积的最小值

是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．若函数f（x）=ax3+2bx2﹣4x在x=﹣2与处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．

18．已知椭圆（a＞b＞0）经过点（0，1），且离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：y=k（x﹣1）与椭圆交于 A、B两点，若，求直线l的方程．

19．已知函数，a∈R．（1）当a=4时，求函数f（x）的极值；（2）若函数在x=1处的切线平行于x轴，求a的值．

20．已知椭圆+=1，A，B分别为其左右顶点，P是椭圆上异于 A，B的一个动点，

设k1，k2分别是直线 P A，P B的斜率．（1）求k1•k2的值；

（2）若 M（1，1）是椭圆内一定点，过 M的直线l交椭圆于C，D两点，若=（+），求直线l的方程． 21．若点 P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的不同的三个

点，直线AP，BP的斜率分别是k1，k2，若k1+k2=0．（1）求抛物线的方程；（2）求y1+y2的值及直线AB的斜率k． 22．已知函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，；（3）当x∈N*时，证明． 2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（上）期末数

学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数等于（） A．1﹣2iB．1+2iC．2﹣iD．2+i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】将分母实数化即可．

【解答】解： ===1+2i．故选B．

2．抛物线y=x2的准线方程是（） A． B． C．y=﹣1D．y=﹣2 【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线方程化为标准方程，由抛物线x2=2py的准线方程为y=﹣，计算即可得到所求准线方程．【解答】解：抛物线y=x2即为x2=4y，

由抛物线x2=2py的准线方程为y=﹣，可得x2=4y的准线方程为y=﹣1．故选：C．

3．双曲线的离心率为，则正数a的值为（） A． B．2C． D．1 【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的性质求解即可．

【解答】解：∵双曲线的离心率为， ∴=，解得a=1．故选：D．

4．已知椭圆（）上一动点 P到其两焦点F1，F2的距离之和为4，则实

数a的值是（） A．1B．2C．3D．4 【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义即可得出．

【解答】解：∵椭圆（）上一动点P到其两焦点F1，F2的距离之和为4， ∴4=2a，解得a=2．故选：B．

5．若函数y=ax2+1的图象与双曲线的渐近线相切，则实数a的值为（） A．1B．2C．3D．4 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】双曲线的渐近线方程为y=±2x．函数y=ax2+1，y′=2ax，利用函数y=ax2+1

的图象与双曲线的渐近线相切，可得实数a的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±2x． ∵函数y=ax2+1，∴y′=2ax， ∵函数y=ax2+1的图象与双曲线的渐近线相切， ∴2a=2， ∴a=1．故选：A．

6．已知函数f（x）=ex+3，则f（x）在x=0处切线的方程是（） A．x﹣y+4=0B．x+y﹣4=0C．4x﹣y+4=0D．4x+y﹣4=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=ex+3的导数为f′（x）=ex，即有f（x）在x=0处切线的斜率为k=e0=1，切点为（0，4），则f（x）在x=0处切线的方程为y=x+4，故选：A．

7．若抛物线y2=4x与直线x﹣y﹣1=0交于 A，B两点，则|AB|=（） A．2B．4C．6D．8 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】联立方程组，消去y，利用韦达定理以及抛物线的性质能求出|AB|的值．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），直线x﹣y﹣1=0经过抛物线的焦点．

联立方程组，得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1•x2=﹣1，k=1， ∴|AB|=x1+x2+p=8．故选：D．

8．若函数f（x）=ax﹣lnx在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C． D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数，利用函数f（x）=ax﹣lnx在（2，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，分离参数，求出函数的最大值，即可求得实数a的取值范围．

【解答】解：求导函数可得：f′（x）=a﹣， ∵函数f（x）=ax﹣lnx在（2，+∞）上单调递增，

∴f′（x）=a﹣≥0在（2，+∞）上恒成立

∴a≥ 函数y=，在（2，+∞）上单调减， ∴x=2时，函数y取得最大值 ∴a≥ 实数a的取值范围是：．故选：C． 9．函数的零点的个数是（） A．0B．1C．2D．3 【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】先利用导数判断函数的单调性，求解函数的极值，然后说明f（x）存在零点，由此即可得到答案．

【解答】解：函数，可得f′（x）=x2﹣2x﹣3，令x2﹣2x﹣3=0可得x=﹣1，x=3， x＜﹣1，x＞3时，f′（x）＞0，函数是增函数，x∈（﹣1，3）时，

f′（x）＜0，函数是减函数，所以f（x）的极大值为f（﹣1）=7﹣，函数的极小值为f（3）=﹣4＜0．所以f（x）的零点个数为3．故选：D．

10．函数f（x）=ex﹣2x+1在[0，1）上的最小值是（） A．2B．e﹣1C．3﹣2ln2D．2﹣2ln2 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数求得函数的极值，根据单调性可判断也为最值．【解答】解：f′（x）=ex﹣2，令f′（x）=0，得x=ln2＜1，当x∈[0，ln2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（ln2，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增． ∴x=ln2时f（x）取得极小值也为最小值，f（ln2）=3﹣2ln2，故选：C．

11．（） A． B．2C． D．π﹣1 【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算和定积分的几何意义即可求出．

【解答】解：因为dx表示以原点为圆心，以半径为1的圆的面积的四分之一，

所以dx=，因为3x2dx=x3|=1，所以1﹣，