第16章 含参量积分
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。
这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。
其次，含参量积分具有可微性。
设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。
这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。
此外，含参量积分还具有积分区间可微性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。
这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。
1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。
例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。
2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。
例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。
3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。
例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。
4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。
含参变量的积分例题详解
含参变量的积分例题详解一、引言在数学中，含参变量的积分是一个重要的概念，它涉及到函数的整体性质。
理解并掌握含参变量的积分对于解决各种实际问题具有深远的意义。
下面，我们将通过一个具体的例题来详解含参变量的积分。
二、例题详解假设我们要求解这样一个积分：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx。
这是一个典型的含参变量的积分问题，其中参数为x，被积函数含有x^2。
我们需要根据这个问题的特点，灵活运用积分的各种方法，包括换元法、分部积分法等，来解决它。
首先，我们考虑换元法。
将x换元为t，令t=a-x，则原积分可以改写为：∫(上限a，下限0)e^(a-x)*x^2dx。
注意到e^(a-x)是一个常数，因此我们可以将积分区间变为[0,a]，这样原积分就变成了一个简单的定积分。
接下来，我们使用分部积分法对被积函数进行化简。
被积函数中的x^2可以分解为x的导数乘以x，即x*(x-1)。
因此，原积分的被积函数可以表示为e^(a-x)*(x-1)*x。
对这部分进行积分，我们可以得到∫(上限a，下限0)e^(a-x)*(x-1)*xdx=e^(a-x)*(x^2-x)|(上限a，下限0)=a^3/3-a^2/2。
最后，我们将两部分相加得到最终结果：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx=a^3/3-a^2/2+C，其中C为常数。
三、总结通过这个例题，我们可以看到含参变量的积分需要我们灵活运用各种积分方法，包括换元法和分部积分法等。
同时，我们需要对被积函数进行适当的化简，以便更好地理解和求解含参变量的积分。
需要注意的是，当参数或者被积函数含有复杂的形式时，我们需要更深入地理解和分析问题，才能找到合适的解决方法。
总的来说，含参变量的积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的整体性质和变化规律。
通过理解和掌握含参变量的积分，我们可以更好地解决各种实际问题，为我们的学习和工作提供有力的支持。
含参量积分的若干解法
含参量积分的若干解法
含参量积分是在几何常数不变的情况下求解数值问题的一种实用方法。
它可以把连续时间和空间中的相关概念和参量转化为密集的数值解，从而解决许多计算学上复杂的问题。
含参量积分的解法有许多，其中最常用的是高斯—勒让德（Gauss—Legendre）积分、拉格朗日（Lagrange）积分和拉波拉斯（Laplace）积分。
高斯—勒让德（Gauss—Legendre）积分是一种经典而通用的多维求积分的方法。
它可以计算出多元函数的积分，并且和参数数量无关。
它首先将参量空间划分为一系列等分的子区域，称为梯度，然后可以使用此梯度计算出含有参量的积分。
拉格朗日（Lagrange）积分是一种常用的数值求解含参量积分的方法，它可以用来计算二维函数的积分。
它的方法是先把被积函数的参量空间分割成若干等分的子区域，然后把每个子区域内的函数表示为拉格朗日指标函数之和，然后积分每个拉格朗日指标函数，最后把积分结果累加起来作为该参数空间积分的值。
最后，拉波拉斯（Laplace）积分则是另一种实用的多维求积分的解法，它可以用于计算多维参量空间中任意复杂的参量空间积分，而且具有很强的鲁棒性。
它的基本思想是把整个参量空间划分成若干梯度，然后求每个梯度的参量空间积分，最后将各梯度的积分结果累加作为总的积分值。
总的来说，含参量积分的解法有很多，它们的精度都非常高。
而在实际应用中，要根据需求选择合适的解法。
不管是哪一种解法，在使用时都要注意数值正确性，以确保可靠性。
含参量积分的分析性质和应用
含参量积分的分析性质和应用
参量积分是一种数学技术，其特点是将具有参量的函数的积分写作一组形式中的积分。
它允许使用积分理论进行变量函数的运算，因为在绝大多数结果中，变量积分被认为更具
备计算性。
参数积分表示以参数来确定复合函数的积分并将其建模。
参量积分的分析性质包括：（1）可以表达多元函数中不同参量的函数积分；（2）
可以求解多元函数的导数；（3）可以使用积分理论来表示复合函数的积分；（4）可以
用于特殊函数的快速求解等。
因此，参数积分不仅可以求解多元函数的积分，而且可以用
于求解特殊函数和添加变量。
参量积分在实际应用中也十分重要。
它在工程中被用来计算滚动体的动力，计算温度
分布，计算定点参数，计算水声双曲线，计算表面温度，计算定点反射概率等。
还可以用
于设计液压系统，燃油系统，伺服系统，汽车动力系统，可穿戴运动系统和其他现代技术
系统的计算。
总之，参量积分是一种具有重要理论和实际应用价值的常用技术。
它有助于分析不同
参量的多元函数的积分，并且还可用于生物医学，工程，运动系统等领域的计算。
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
(整理)第16章含参量积分.(可编辑修改word版)
1 - k2 sin 2 t ⎰ b第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常 义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。
但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力 / 2学中常遇到的椭圆积分： 01 - k2 sin 2 tdt ，从形式可以看出，积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的 参量。
显然，若将k 视为一个变元，记 f (t , k ) = 为一 个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。
因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。
§1 含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。
设 f (x , y ) 在 D = [a , b ] ⨯[c , d ]，此时 f (x , y 0 ) 是为关于 x 的一元连续函数，因而可积。
考虑其积分 ⎰a f (x , y 0 )dx ，显然其与 y 0 有关，b记为 I ( y 0 ) = ⎰a f (x , y 0 )dx ，更一般，引入bI ( y ) = ⎰a f (x , y )dx ，称其为含参变量 y 的积分。
注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函0 0数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。
更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。
为此，先研究含参量积分的分析性质。
含参变量积分.ppt
定理2 如果函数 f ( x, y) 在矩形
R(a x b, y )
上连续,则
b
b
a [ f ( x, y)dy]dx [a f ( x, y)dx]dy.
公式（2）也可写成
b
b
a dx f ( x, y)dy dya f ( x, y)dx.
(2)
(2)
要点是:积分号与积分号的互换.
( xx )
( x)
f ( x x, y)dy f ( x, y)dy.
xx ( xx )
(x)f ( x ຫໍສະໝຸດ x, y)dy( xx )
(x)
( x)
f ( x x, y)dy f ( x x, y)dy
( xx )
(x)
( xx )
f ( x x, y)dy,
R(a x b, b )
上连续，那么由积分
(
x)
f
(
x,
y)dy
(a
x b)
确定的函数 ( x)在 [a, b]上也连续.
同理
x
x
x
f
x,
ydy
3
也是参变量 x的函数.
要点是:积分号与极限号的互换.
高等数学（下）
例1 求
lim 1 e xydx.
y0 0
高等数学（下）
定理1证 设 x 和 x x 是[a,b]上的两点，则 ( x x) ( x)
x 0
高等数学（下）
证 因为 ( x) lim ( x x) ( x) ,
x0
x
为了求 ( x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x x) ( x)
x
f ( x x, y) x
含参量积分求导公式
含参量积分求导公式含参量积分求导公式，这可是数学里一个有点小复杂但又特别有趣的内容。
咱先来说说啥是含参量积分。
想象一下，你正在参加一场寻宝游戏，每个宝藏的位置都和一个神秘的参数有关。
这个参数就像是一把钥匙，能帮你找到隐藏在数学世界里的宝贝。
含参量积分就是这样，积分的结果不是一个确定的数，而是一个随着参数变化的函数。
那含参量积分求导公式呢，就像是你找到宝藏的导航仪。
比如说，咱有个含参量积分F(y) = ∫f(x,y)dx ，从 a 积到 b 。
这时候求导，就得看具体情况啦。
如果积分上限和下限都是常数，那求导就相对简单，直接把被积函数里的 y 当成常数，对参数 y 求导就行。
可要是积分上限或者下限是含 y 的函数，那就得多费点心思啦。
我记得之前给学生讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
有个同学一直搞不明白，皱着眉头问我：“老师，这咋就这么难呢？”我笑着跟他说：“你就把这想象成你在走迷宫，每一步都得小心，但只要找到了规律，就能走出去啦。
”然后我给他举了个特别形象的例子。
假设我们要计算F(y) = ∫(0 到 y) x^2 + y^2 dx 。
这就相当于我们要找到在 0 到 y 这个区间内，x^2 + y^2 这个函数所围成的面积随着 y 的变化而怎么变化。
我们先把积分算出来，F(y) = [1/3 x^3 + y^2 x] (从 0 到y) = 1/3 y^3 + y^3 = 4/3 y^3 。
然后对 y 求导，F'(y) = 4y^2 。
再比如说，如果是F(y) = ∫(y 到 2y) x^2 + y^2 dx ，这时候就得用含参量积分求导的公式啦。
先算积分，F(y) = [1/3 x^3 + y^2 x] (从 y 到 2y) = 8y^3 - 4/3 y^3 = 20/3 y^3 ，再求导，F'(y) = 20y^2 。
通过这样一个一个具体的例子，同学们慢慢就明白了。
其实数学啊，就是这样，多练多琢磨，就能掌握其中的窍门。
含参量积分
d
从而I ( x)在[a, b]上连续. 同理可证: 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分
J(y) f ( x, y)dx 在[c, d ]上连续. a 注 : 由连续性， 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a, b], 都有
x x0 c
( ii ) x [a , b],函数g( x , y )为y的单调函数， 且对参量x ,
g( x, y )在[a, b]上一致有界， 则含参量反常积分
c
f ( x , y ) g( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛.
例1 : 证明反常积分
0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
F(x) F (x)
'
d ( x)
c( x)
f ( x, y )dy
在 [a, b]上可微, 且
' '
dБайду номын сангаас( x)
c( x)
f x ( x, y )dy f ( x, d ( x)) d ( x) f ( x, c( x))c ( x).
请结合复合函数及活动上限积分的求导法则完成证明
例1 :
求 lim
0
1
dx . 2 2 1 x
解:
dx 记I ( ) . 2 2 1 x 1 由于 ,1 , 都是和x的连续函数， 2 2 1 x 所以I ( )在 0处连续， 从而
1
0
lim
1
1 dx dx I (0) . 2 2 2 0 1 x 1 x 4
含参量积分一致收敛及其应用
含参量积分一致收敛及其应用1 引言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分, 又名反常积分. 在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件. 因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分, 这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛. 但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了. 在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序. 于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.1. 含参量的广义积分和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。
从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。
1.1无穷限广义积分的定义定义1：设f (x , y ) 为定义在D =[a , +∞)⨯I （I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如⎰+∞af (x , y ) dx 的积分称为含参变量y 的广义积分。
从定义形式决定研究内容：广义积分是否存在-----收敛性问题与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。
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525第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。
但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ⎰-2/022sin 1π，从形式可以看出，积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。
显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。
因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。
§1含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。
设),(y x f 在],[],[d c b a D ⨯=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。
考虑其积分dx y x f ba ⎰),(0，显然其与0y 有关，记为dx y x f y I ba⎰=),()(00，更一般，引入dx y x f y I ba⎰=),()(，称其为含参变量y 的积分。
注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。
更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。
为此，先研究含参量积分的分析性质。
526定理1：（连续性）设)(),(D C y x f ∈，则],[)(d c C y I ∈。
分析：在不能利用连续函数的性质得到连续性的情况下，需利用定义证明函数的连续性，这是处理这类问题的一般方法。
证明：任取],[0d c y ∈，取y ∆，使],[0d c y y ∈∆+，只须证：)()(lim 000y I y y I y =∆+→∆。
事实上，由于：dx y x f y y x f y I y y I ba|),(),(|)()(0000-∆+≤-∆+⎰（要使0)()(00→-∆+y I y y I ，只须),(),(00y x f y y x f -∆+充分小，形式上看：只须利用),(y x f 在0y 点的连续性，但实际不仅如此，更要用到一致连续性。
因为，仅仅利用),(y x f 在0y 点或（x,0y ）的连续性，对任意的ε，得到的0(,,)x y δδε=不仅与0,y ε有关，还与[,]x a b ∈有关，因而，不能保证在整个积分区间[a,b]上都有),(),(00y x f y y x f -∆+ε<；同时，在证明0()I y y 在点的连续性时，只允许0,)y δδε＝（。
） 由于)(),(D C y x f ∈，因而，f (x,y )在D 上一致连续，故，对任意的ε>0，存在()δδε=，使得当(,)(,)x y x y D ''''''∈、且||,||x x y y δδ''''-<-<时，成立|(,)(,)|f xy f x y b aε'''''-<-，因而，当||y δ∆<时，成立),(),(00y x f y y x f -∆+b aε<-，527故，dx y x f y y x f y I y y I ba|),(),(|)()(0000-∆+≤-∆+⎰ε<所以，()I y 在0y 点的连续性，由0y 的任意性得，],[)(d c C y I ∈。
注：结论表明：极限和积分运算可以换序：dx y x f dx y x f dx y x f ba y y babay y ⎰⎰⎰→→==),(lim ),(),(lim 000。
定理2：（可微性）设)(),(D C y x f ∈，(,)()y f x y C D ∈，则],[)(d c C y I '∈且⎰=b a y dx y x f dyy dI ),()(， 即微分与积分运算可以换序。
分析：证明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定义验证即可。
证明：任取],[0d c y ∈，及y ∆，使],[0d c y y ∈∆+，由中值定理，0000()()(,)(,)baI y y I y f x y y f x y dx yy+D -+D -=D D ò0(,)by af x y y dx q =+D ò，其中，[0,1]θ∈。
由定理1，则00000()()limlim (,)b y a y y I y y I y f x y y dx yθ∆→∆→+∆-=+∆∆⎰00l i m (,)b y a y f x y y dx θ∆→=+∆⎰⎰=bay dx y x f ),(0。
更进一步讨论变限的含参量积分，记⎰=)()(),()(y b y a dx y x f y F 。
定理3：若)(),(D C y x f ∈，],[)(),(d c C y b y a ∈，且528(),()a a y b a b y b ≤≤≤≤，则],[)(d c C y F ∈。
证明：任取],[0d c y ∈，取y ∆，使],[0d c y y ∈∆+，由于00()000()()()(,)a y a y y F y y F y f x y y dx +∆+∆-=+∆⎰00()00()[(,)(,)]b y a y f x y y f x y dx ++∆-⎰00()0()(,)b y y b y f x y y dx +∆++∆⎰。
由于)(),(D C y x f ∈，因而有界，不妨设 |(,)f x y M ≤，又],[)(),(d c C y b y a ∈且类似定理1 的证明得，对任意0ε>，存在0(,)y δε，当||y δ∆<时成立00()000()|(,)||()()|3a y a y y f x y y dx M a y y a y ε+∆+∆≤+∆-<⎰，00()00()|[(,)(,)]|b y a y f x y y f x y dx +∆-⎰00|(,)(,)|3ba f x y y f x y dx ε≤+∆-<⎰，00()000()|(,)||()()|3b y y b y f x y y dx M b y y b y ε+∆+∆≤+∆-<⎰，因而，00|()()|F y y F y ε+∆-<。
故，],[)(d c C y F ∈。
定理4：设)(,D C f f y ∈，且1(),()[,]a y b y C c d ∈，则1()[,]F y C c d ∈，且：⎰'-'+=')()()()),(()()),((),()(y b y a y y a y y a f y b y y b f dx y x f y F 。
证明：],[],,[00d c y y d c y ∈∆+∈∀，利用中值定理，存在529[0,1]i θ∈(1,2,3.i =)使得00()000()()()1(,)a y a y y F y y F y f x y y dxy y +∆+∆-=+∆∆∆⎰00()00()1[(,)(,)]b y a y f x y y f x y dx y++∆-∆⎰dx y y x f y y y b y b ⎰∆+∆+∆+)()(000),(1。
()0010100()()(()1(),)a y a y y f a y a y y y y yθθ-+∆=+-+∆+∆∆00()02()(,)b y y a y f x y y dx θ++∆⎰()0030300()()(()1(),)b y y b y f b y y b y y y yθθ+∆-++∆+-+∆∆00()0000000()0(,)((),)()((),)()b y y a y y f x y dx f b y y b y f a y y a y ''∆→+-⎰ . 定理得证。
上面讨论了含参量积分的连续性和可微性，从运算角度看，这些性质给出了两种运算间的可换序性，在相关的运算中有非常重要的作用（见后面的例子）。
下面的结论表明了含参量积分的积分运算的可换序性。
由此给出积分计算的一种新方法，为此，考虑由一个二元函数给出的两个含参量积分的形式，事实上，设D y x f ∈),(，则可引入两个含参量积分：⎰=d cdy y x f x J ),()(，⎰=badx y x f y I ),()(显然：],[)(],,[)(d c C y I b a C x J =∈，因而可积，考虑二者的积分。
530⎰⎰⎰⎰⎰==b adcb ad cba dy y x f dx dx dy y x f dx x J ),(]),([)(⎰⎰⎰⎰⎰==d cbad cb abadx y x f dy dy dx y x f dy y I ),(]),([)(分析这两个积分：被积函数都是),(y x f ，积分顺序不同，因而是函数),(y x f 在区域D 上的两个不同顺序的积分，也是后面多重积分理论中的累次积分。
自然要考虑这样的问题：二者是否相等，即：累次积分是否可换序。
定理5：（积分换序性），设)(),(D C y x f ∈，则⎰⎰⎰⎰=d cbabad cdx y x f dy dy y x f dx ),(),(。
即两个累次积分可以换序。
分析：采用一种特殊的方法：将其转化为证明两个函数相等，这是一个新的思想，要求掌握。
证明：记⎰⎰=ucbadx y x f dy u I ),()(1，⎰⎰=baucdy y x f dx u I ),()(2，下证：)()(21u I u I =，特别有)()(21d I d I =，为此，先证：)()(21u I u I '='。
由于⎰⎰⎰==ucucbady y I dx y x f dy u I )(),()(1，故：1()()(,)baI u I u f x u dx '==⎰。
同样，对)(2u I ，记⎰=ucdy y x f u x F ),(),(，则⎰=badx u x F u I ),()(2，故：⎰⎰=='bab au dx u x f dx u x F u I ),(),()(2， 因而 )()(21u I u I '='。