消费者最优

中级微观经济学第2讲

消费者最优：预算约束下最大化效用——选择“能买到的、最好的商品组合”——需求曲线

x 1 x

2

x 1*

x 2

第五章附录第73页：

消费者最优化模型：在价格p1，p2和收入M 已知的情况下消费多少x 1，x 2，使得效用 U(x 1, x 2)最大。 ),(21x x U MaxU =

M x x =+2211P P S.t.

构造拉格朗日函数：

)(),(221121M x P x P x x U L -+-=λ

对拉格朗日函数求偏导数：

)1.......(0/111=-??='P x U L x λ

)2.......(0/222=-??='P x U L x

λ )3.......(02211=-+='M x P x P L λ

这三个方程可以把三个未知数1x ，2x 和λ解出来：

),,(211

1M P P x x *=，),,(2122M P P

x x *

=； 由（1）式得到：1111///P MU P x U =??=λ 由（2）式得到：2222///P MU P x U =??=λ 即 λ==2211//P MU P MU 或2121//P P MU MU =

也就是满足相切条件的消费组合),(21**x x 使效用)

,(21x x U 最大。),,(2111M P P x x *=和),,(2122M P P x x *

=分别是商品1x ，2x 的需求函数

第2讲的内容提要：

效用最大就选择“买得到的商品组合中的最佳组合”

1.买得到的商品组合—预算约束（2）

2.要找到最佳，就必须能够排序—偏好、效用（3、4）

3.在预算集中选择最偏好的消费束—选择（5）

Ch2预算约束：买得到的商品组合

2.1预算线与预算集

商品：能够带来效用，有胜于无，Goods 而不是 Bads ；关键是理解什么是“不同的”的商品（时间、空间、自然状态、质量、宣传……）

经济物品（economic goods ）——稀缺

自由物品（free goods ） ——不稀缺 商品消费束：),(21x x X =

预算约束：M x P x P ≤+2211。

预算约束反映消费者受到经济环境的约束——稀缺性、可选择性。

预算集：能够买得到的消费束的集合，

预算线：费用正好等于m 的消费束的集合 M x P x P =+2211

12122)/(/x P P P M x -= （17页2.4） 预算线的斜率)/()/(2112P P dx dx -=是商品1的机会成本，21/P P 即是为了多得到1单位商品1，消费者必须放弃商品2的数量，也叫

经济交换率。市场价格，相对价格，相对稀缺 预算线的变动：

价格与收入同比例变动不会改变预算集

名义收入的变动

相对价格的变动

2.2税收、补贴与配给

从量税相当于提高了物品的价格()t P + 从价税相当于提高了物品的价格

()P t +1 总额税相当于降低了收入T M -

超额税提高了超额数量的价格()t P +（p23，图2.5） 从量补贴相当于降低了物品的价格)(S P - 从价补贴相当于降低了物品的价格P S )1(-

从价补贴：增加153元食品消费须放弃25元其他商品消费（p24图2.6-A ，

思考题，请画出以下两种情况的预算线： 1， 可以按照25/153的价格购买任意数量的食

品券（总额不超过153）,

2，只能购买一张面额153的食品券，价格是25元，

总额补贴：

M+；

收入S

x+（p24图2.6-B，可转卖、不可转售）实物1x

x≤（图2.4）

配给政策：供应1x

Ch3偏好：排序

消费者要在“负担得起的物品中找到最佳”，前提是能够比较不同商品组合的优劣，按照满足程度的高低，对消费集的商品进行排序。我们已经学过排序的工具——无差异曲线。

3.1无差异曲线

画出“性状良好、互补、替代、厌恶品、中性

品、餍足、离散、凹偏好、非严格凸偏好、带

状”的无差异曲线。

无差异曲线对消费束排序，是表示偏好的技术

工具；每个人对消费可行集的消费组合都有一

个稳定的排序（偏好），不同的无差异曲线形状

表示不同的偏好（排序）。

3.2偏好及其性质

表示排序的经济学概念就是——偏好；

偏好的表示：严格偏好，弱偏好，无差异，三

者的关系。

偏好是消费者的主观事物，是不可直接观测的。

假定偏好是稳定不变的。经济学并不研究所有

的偏好，有些偏好是“不合理”的，为了保证

偏好是理性的、是一致的，经济学对偏好做了以下假设：

1、完备性……能够比较，知道好坏。完备

性是说偏好关系在消费集上任何地方都有定义。

2、反身性……相同的东西一样好。

3、传递性……两两比较可以区分细微的差

别，没有“差不多”。（“老头子总是对的”）这三个假设是理性的全部内容，说一个人非理性，就是说他至少违背了上述三个假设中的一个。

现实中的人很难做到完全理性，因此，理性假设受到许多的质疑。为了应对这种挑战，有人辩护说跳楼、吸毒也是理性的吗？其实单说人是理性的，无助于解释人的行为现象，这种辩护既无助于对经济学理性人假设的捍卫，也是没有必要的。

理性是一个基本假设，只有理性的人才能做出最优选择。这样的人的行为才是可以被模型化（约束条件下最优化），并是可以预测的。或者说，经济学不解释非理性行为。虽然不同环境下的人都是理性的，但是其约束条件不同，选

择范围和机会成本也不同，行为千差万别。“经济学就是以理性为基础、通过考察约束条件来解释现象的。不从理性出发来解释社会现象的理论就不是经济学理论，反过来，从理性出发来观察和解释现象则都是经济学的理论，哪怕是这些现象与金钱和物质利益无关”。

面对各种质疑，理性可以理解为是竞争的结果：非理性的行为会在竞争中淘汰。理性人假设的合理性在于能够成功推断个体的竞争性行为。理性不包含偏好进步的含义：不能说读莎士比亚比读金庸更理性。

自利人假设与理性假设，合起来就是“经济人假设”

4、连续性：消费集是闭集，排除了有孔的消费集和间断的无差异曲线；

5、单调性：经济学研究稀缺的经济物品，多多益善，这就排除了负商品，排除了斜率为正的无差异曲线，等价与说无差异曲线向右下倾斜；越高的无差异曲线效用越高。

6、凸性：p36.其经济含义是假设平均消费比端

点消费更受喜欢，

2

1~x

x，2

1)

1(x

t

tx-

+偏

好于

1

x或2x；其数学含义是上优集是凸集

（集合概念，不是函数的凹和凸）；其几何含义是无差异曲线凸向原点，不能凹向原点；凸性假设允许直线段的无差异曲线；严格凸性则排除了线段部分，是“圆形”的，等价于说边际替代率是递减的。

之所以对偏好进行这些假设，是为了在经济上排除非理性的行为，和在数学上能够最优化，确保效用函数的存在，和最大化效用有内点解，排除了无解、角点解和边界解。

Ch4效用

无差异曲线是一种很好的排序工具。但是，如果对任意两个消费束进行比较时都要画出其所在的无差异曲线，很麻烦。对一个人来说，偏好是稳定的，也就是说对消费组合的排序是固定的，有没有一种方法，对可能消费的商品组合一一对应给予一个数值，这一列数字的大小次序与商品组合排序高低的次序刚好一样？（就像给玻璃瓶贴标签一样）有的，这个一一对应的方法就是效用函数。

4.1效用函数

效用函数就是通过为消费集内每个消费束指派

一个数字来对消费束进行排序的方法：1x 偏好

于2x 当且仅当)(1x U 大于等于

)(2x U ，也就是说，如果一个人偏好1x 强于2x ，那么为1x 指

派的数字)(1x U 必须大于为2x 指派的数字

)(2x U ，效用函数R X U :就是为消费束指派数字的（排序）方法。……一个例子。P43

指派数字的方法有很多，但是如果不同的方法对所有消费束给出了相同的排序，则这些不同的方法（函数）表示相同的偏好。也就是可以

用不同的效用函数表示相同的偏好，因而效用函数是不唯一的。效用函数的任何单调变换形成的函数依然表示相同的偏好。……例子，p43

效用（函数）数字的唯一目的在于对消费束排序，只要能够排序，就能做出最优的选择。因而对于选择来说，我们只需要知道偏好（更喜欢）哪一个消费束，并不需要知道效用具体有多大，任意两个消费束之间的数字差额是无关紧要的，没有任何经济含义。基数效用即便存在，也是一个不必要的（多余的）且未能证实的假设，它既不充分也不必要。

效用函数的存在性（是否能够合理排序）。当偏好是理性的（完备、反身、传递），连续的，单调的，那么效用函数就是存在的。画对角线—根据无差异曲线构造效用函数。

4.2效用函数、边际效用与边际替代率

效用函数与边际效用

),(21x x U U =

11/x U MU ??= ；22/x U MU ??=

但是，表示相同偏好的不同的效用函数得到的边际效用是不一样的。怎么办？我们发现表示相同的偏好的不同的效用函数的边际替代率竟然是相同的。

效用函数与边际替代率

0)/()/(2211=??+??=dx x U dx x U dU

21211212/)//()/(/MU MU x U x U dx dx MRS =????=-= 效用函数不唯一，因而边际效用函数也不唯一，效用函数单调变换会改变边际效用，从而无法在不同人之间利用边际效用的取值进行比较。 边际效用是有单位的，取决于效用单位的选择，但是边际替代率是交换比率，与效用单位无关。边际替代率是唯一的，单调变换不改变边际替代率。即使效用函数不同，但如果边际替代率相同，则两个效用函数表示相同的偏好。

边际效用递减的含义是0/)/(11

0/))//()/((121

边际效用递减并非是边际替代率递减的充分条件，习题四-5

4.3不同偏好的效用函数与无差异曲线

写出性状良好、替代、互补、拟线性、道格拉斯偏好的效用函数：

偏好—效用函数—无差异曲线—边际替代率 道格拉斯.../...),(...122121x K x x x x x U == 完全替代......),(...22221=+=x bx ax x x U 完全互补...)...,m in(),(...22121==x bx ax x x U 拟线性......)(),(...22121=+=x x x V x x U

偏好 =效用函数 =无差异曲线 =排序

经济语言=代数语言 =几何语言 =生活语言

Ch5选择：消费者最优（均衡）

),(21x x U MaxU =

M x P x P t S ≤+2211..

在预算线上意味着把钱花完，根据单调性假设，效用最大化的消费束一定满足预算约束等式，这也叫瓦尔拉斯定律。

5.1相切条件：

由无差异曲线：

21211212/)//()/(/MU MU x U x U dx dx MRS =????=-=由预算线：)/()/(2112P P dx dx -=；

即)/(/212112P P MU MU MRS ==

边际替代率：无差异曲线上的商品组合带给消费者相同的满足程度，因而告诉了我们一个消费者愿意进行的交换。1212/dx dx MRS -=，反映了消费者对商品1价值的主观评价，是用相对价格商品2的数量表示的边际支付意愿。 如果把第二种商品处理成货币收入，它就是商品1的最高边际支付价格，即保留价格。 凸向原点的的无差异曲线可以理解为边际支付

意愿递减（边际替代率递减）。

相切条件是在预算线上选择最优消费束： 边际替代率=经济交换率，边际替代率是对商品1的主观价值，经济交换率是商品1的机会成本。如果前者大于后者，增加持有该商品1，反之反是，相等时不再改变消费组合，达到最优，确定了最优的消费组合。

5.2货币的边际效用

λ==2211//P MU P MU 这也称为资源配置的等边际原则，收入支出的边际效用处处相等。 2211x P x P M +=

)1......(2211dx P dx P dM +=

)),(),,((),(2121M P x M P x U x x U U ==

λ

λλλλ==+=+=*??+*??=）式得）

由（1(//)(///////221122112211dM dM dM

dx P dx P dM

dx P dM dx P dM dx x U dM dx x U dM dU λ=dM dU /表示增加一单位支出带来效用的增量。

5.3最优化的解),,(21m P P x i 为马歇尔需求： 在一定价格和名义收入水平下的最优选择。 完全替代………………边界解

完全互补………………角点解

中性商品和厌恶品……边界解

离散商品………………角点解

凹偏好（极端） …… 边界解

非凸偏好………………多切点

非严格凸偏好…………多个解

科布-道格拉斯……… 内点解（p75附录）

从非凸偏好和凹偏好的解我们可以发现，满足相切条件并不一定有最大值。那什么条件能保证呢？对于函数),(21x x U

1、 满足二阶条件0,021*******>-

是凹函数，02

2、 满足二阶条件02212212212211<+-U U U U U U U

的函数是拟凹函数，满足约束条件的1x ，2x 也能使02

3、 假设偏好是严格凸的，是说无差异曲线的

上优集是严格凸集，等于说无差异曲线凸

向原点，也等价于说边际替代率递减，也

能推出02212212212211<+-U U U U U U U ，

也就是说，假设偏好是凸的，就等于假设了效用函数是拟凹函数，满足一阶条件的解就是最大值解，

偏好的连续性排除了离散商品；

偏好的单调性排除了除了预算约束不等式，以及中性商品和厌恶品；

偏好的凸性排除凹偏好；

偏好的严格凸性排除了角点解和多解的情况。

连续、单调、严格凸的偏好意味着效用函数存在最大值，是严格拟凹函数。相切条件只是一阶必要条件，其二阶充分条件就是要证明效用函数是严格拟凹函数，或者说要无差异曲线凸向原点。对偏好给予这么多严格的假设，就是为了保证效用函数是严格拟凹函数，为保证数学上或技术上最优化的内点解的存在和唯一。因此这些假设使得经济学为了数学而脱离现实成为“黑板经济学”。

估算效用函数：效用函数是看不见的，但是在某一价格和收入下的需求是可以观测的，根据道格拉斯效用函数参数的经济含义（支出份额，M d c c x P )]/([11+=，M d c d x P )]/([22+=，)/(d c c +与)/(d c d +分别表示购买1x 和2x 的支出份额）如果我们有很多在不同收入和价格下消费者的需求观测数据，我们可以估算出该参数，进而估算出效用函数。并运用这一效用函数来评估经济环境变化（如价格、收入、税收、补贴等政策因素变化）对消费者的影响。

5.2商品税与所得税p69

从量税：价格提高，M x P x t P =++2

211)(，政府税收*

1tx 所得税：收入降低，

*

-=+12211tx M x P x P ， 政府税收

*1tx 对于单个消费者来说，征收相同税额，所得税

优于从量税。 但是如果单个消费者不消费征税商品，那么他偏好从量税而不是所得税。

第2讲总结

消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。

买得到的组合——预算可行集——稀缺性

预算线的斜率——机会成本。

如何对可能消费的组合排序呢——偏好

无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序

更简便的排序是用效用函数，效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格

通过排序我们可以找到最佳的消费组合——选择最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。

但是并非满足相切条件的解是最优解。偏好必须是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的。