八年级数学第二章一元一次不等式的解法

一元一次不等式的解法

【学习目标】

1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；

2.能够熟练解一元一次不等式；

3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.

【要点梳理】

要点一、一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503

x >是一个一元一次不等式．

要点进阶：

(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1.

(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．

要点二、一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.

要点进阶：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．

要点三、不等式的解及解集

1.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

2.不等式的解集：

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

要点进阶：

不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围

不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：

①解集中的每一个数值都能使不等式成立；

②能够使不等式成立的所有数值都在解集中

3.不等式的解集的表示方法

（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．

(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：

要点进阶：

借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．

注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．

【典型例题】

类型一、一元一次不等式的概念

例1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？

（1）0x > （2）1x

1-> （3）2x 2> （4）3y x ->+ （5）1x -=

类型二、解一元一次不等式

例2.求不等式

﹣≤的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．

举一反三：

【变式1】解不等式：2x ]2)14

x (

32[23<---

【变式2】代数式

的值不大于的值，求x 的范围．

例3.m 为何值时，关于x 的方程：

6151632x m m x ---=-的解大于1？

举一反三：

【变式】已知关于x 方程3

x 23m x 2x -=--

的解是非负数，m 是正整数，则=m ．

例4.若关于x ，y 的二元一次方程组

的解满足x ﹣y ＞﹣3.5，求出满足条件的m 的所有

正整数解．

类型二、不等式的解及解集

例5.若关于x 的不等式a x ≤只有三个正整数解，求a 的取值范围.

举一反三：

【变式】已知a x <的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是 ．

类型四、逆用不等式的解集

例6. 若关于x 的不等式n m x >的解集为53x <

，则关于x 的不等式0n 5m x )n m 2(>-+-的解集 ．

【巩固练习】

一、选择题

1．已知关于x 的不等式||(1)0m m x -≥是一元一次不等式，那么m 的值是( ) .

A ．m ＝1

B ．m ＝±1

C ．m ＝-1

D ．不能确定

2．由m n >得到22

ma na >，则a 应该满足的条件是（ ）.

A ．a ＞0

B ．a ＜0

C ．a ≠0

D ．a 为任意实数

3．已知125y x =-，223y x =-+，如果12y y <，则x 的取值范围是（ ）.

A ．x ＞2

B ．x ＜2

C ．x ＞-2

D ．x ＜-2

4．设a ，b 是常数，不等式+＞0的解集为x ＜，则关于x 的不等式bx-a ＜0的解集是（ ）

A ．x ＞

B ．x ＜-

C ．x ＞-

D ．x ＜

5．不等式＞﹣1的正整数解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

6.关于x 的不等式2a x 2≥+-的解集如图所示，则a 的值是（ ）.

A ．0

B ．2

C ． -2

D ．-4

二、填空题

7．不等式＞+2的解是 ．