八年级数学第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.解析版

三角形9级 全等三角形的经典模型（二）

三角形8级

全等三角形的经典模型（一） 三角形7级

倍长中线与截长补短

倍长中线与截长补短

漫画释义

满分晋级

2

倍长中线 与截长补短

定 义

示例剖析

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．

E

D

A

B

C

其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．

【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．

则CDE BDA △≌△，

∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．

知识互联网

例题精讲

思路导航

题型一：倍长中线

E

A

B

C

D

A

B

C

D

【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：

已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．

【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD

∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．

【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =

∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．

【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．

②、④正确．

延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BE

AEC BEF CE FE =??

∠=∠??=?

典题精练

A

B

C

D

E

D

C

B

A

∴EBF EAC ≌△△

∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =??

∠=∠??=?

∴FBC DBC ≌△△

∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．

③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．

⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．

N

M E

D C

B

A

E

D

C

B

A

【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，

使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．

【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE

交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．

F

C

A

E

B

D

【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG

∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，

∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，

∴BE BG =，∴AC BE =．

【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC

的关系．

N

A

B

C

D

M

P

Q Q P

M

D

C

B

A

【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．

易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形，

G

F

E

D

C

B

A F

E D C

B

A

又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．

定 义

示例剖析

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

D

C

B

A

在线段AB 上截取AD AC =

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

A

B C D

延长AC ，使得AD AB =

【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=?，求C

∠的大小．

（希望杯培训题）

D C B A

E

D C

B A

【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．

∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，

∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，

思路导航

例题精讲

题型二：截长补短

D C

B A

E

D

C

B A

D C

E

B

A

E D

C

B A

∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=?，80C AED ∠=∠=?

【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．

求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．

在ABD △和AED △中

AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =

∴ABD AED △≌△

∴BD ED =，B AED ∠=∠

又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =

∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，

∴AB BD AC +=．

方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，

∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠

∴AE DE =，

∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC

若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.

建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.

【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠． 典题精练

【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，

在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =． ∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．

又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，

∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．

图1

E A

B C

D

图2

E

A

B C

D

方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．

∵AB CD BD =-，∴ED CD =．

在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．

【探究对象】

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：

⑴过某一点作长边的垂线；

⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法： ⑴延长短边。

⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。

【变式一】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF =45°，求证：EF =DE +BF ．

D C

B

A

G

A

D B

C

E

F

F

E

C B

D

A

【解析】 延长CD 到点G ，使得DG =BF ，连接AG

由四边形ABCD 是正方形得：∠ADG =∠ABF =90°，AD =AB 又∵DG =BF

∴△ADG ≌△ABF （SAS ） ∴∠GAD =∠F AB ，∴AG =AF 由四边形ABCD 是正方形得

∠DAB =90°=∠DAF +∠F AB =∠DAF +∠GAD =∠GAF

∴∠GAE =∠GAF -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAE =∠F AE =45°

又∵AG =AF ，AE =AE ∴△EAG ≌△EAF （SAS ） ∴EF =GE =GD +DE =BF +DE

【变式二】正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF =45°，

请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？

G

F

E

C

B D

A

A

D

B

C

E

F

【解析】 数量关系为：EF =BF -DE ．理由如下：

在BC 上截取BG ，使得BG =DF ，连接AG 由四边形ABCD 是正方形得 ∠ADE =∠ABG =90°，AD =AB 又DE =BG

∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ∴∠EAD =∠GAB ，AE =AG 由四边形ABCD 是正方形得

∠DAB =90°

=∠DAG +∠GAB =∠DAG +∠EAD =∠GAE ∴∠GAF =∠GAE -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAF =∠EAF =45° 又∵AG =AE ，AF =AF ∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF =BF -BG =BF -DE

【变式三】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF =45°，

请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？

F E

C B

D

A

A

D

B

C E F

G

【解析】 数量关系为：EF =DE -BF .理由如下：

在DC 上截取DG ，使得DG =BF ，连接AG 由四边形ABCD 是正方形得 ∠ADG =∠ABF =90°，AD =AB 又∵DG =BF

∴△ADG ≌△ABF （SAS ） ∴∠GAD =∠F AB ，AG =AF 由四边形ABCD 是正方形得

∠DAB =90°

=∠DAG +∠GAB =∠BAF +∠GAB =∠GAF ∴∠GAE =∠GAF -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAE =∠F AE =45° 又∵AG =AF ，AE =AE ∴△EAG ≌△EAF （SAS ） ∴EF =EG =ED -GD =DE -BF

【变式四】正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF =60°，DB =DC ，

∠BDC =120°，请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？

G

A

B

D

C E

F

F

E C

D

B

A

【解析】 数量关系为：EF =BE +FC ，理由如下

延长AC 到点G ，使得CG =BE ，连接DG 由△ABC 是正三角形得：∠ABC =∠ACB =60° 又∵DB =DC ，∠BDC =120°，∴∠DBC =∠DCB =30° ∴

∠

DBE =

∠

ABC +

∠

DBC =60°+30°=90°，

∠ACD =∠ACB +∠DCB =60°

+30°=90° ∴∠GCD =180°-∠ACD =90°

∴∠DBE =∠DCG =90°

又∵DB =DC ，BE =CG ，∴△DBE ≌△DCG （SAS ） ∴∠EDB =∠GDC ， DE =DG

又∵∠DBC =120°=∠EDB +∠EDC =∠GDC +∠EDC =∠EDG ∴∠GDF =∠EDG -∠EDF =120-60°=60° ∴∠GDF =∠EDF =60° 又∵DG =DE ，DF =DF ∴△GDF ≌△EDF （SAS ） ∴EF =GF =CG +FC =BE +FC

【变式五】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD =15°，∠F AB =30°，

3AEF 的面积．

H G A

D

B

C

E

F

F

E C

B

D

A

【解析】延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG，过E作EH⊥AG

前面如变式一所证，

△ADG ≌△ABF，△EAG ≌△EAF

∠GAD=∠F AB=30°，S△EAG=S△EAF

在Rt△ADG中，∠GAD=30°，AD=3

∴∠AGD=60°，AG=2

设EH=x

在Rt△EGH中和Rt△EHA中

∵∠AGD=60°，∠HAE=45°

∴HG=

3

x，AH=x

AG=2=HG+AH=

3

x x

+，

∴EH=x=33

-

S△EAG=S△EAF =

1

2

EH?AG=3

-．

【例8】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN

绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

⑵当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证

明． （2017密云一模）

【解析】 ⑴图1中的结论仍然成立，即 BM DN MN +=．

证明：如图2，在MB 的延长线上截取BE =DN ，连结AE ． 易证 ABE ADN △≌△ （SAS ）． ∴AE =AN ；∠EAB =∠NAD ． 90,45BAD NAM ∠=∠=o o Q

∴45.BAM NAD ∠+∠=o

∴45.EAB BAM ∠+∠=o

∴EAM NAM ∠=∠．又AM 为公共边， ∴AEM ANM △≌△． ∴ME =MN ． ∴MN ME BE BM DN BM ==+=+

即 DN BM MN +=．

⑵猜想：线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系为：DN BM MN -= ． 证明：如图3，在DN 延长线上截取DE =MB ，连结A E ． 易证 ABM ADE △≌△（SAS ）． ∴AM =AE ；∠MAB =∠EAD ． 易证 AMN AEN △≌△（SAS ）． ∴MN EN = ．∵DN DE EN -=， ∴DN BM MN -=．

F

E N

A

B

D C

D C

B A

训练1. 已知AD 为ABC △的中线，ADB ∠、

ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．

F

E A

B D C

【解析】 延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ．

易证BND CFD △≌△，∴BN CF =， 又∵ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，

∴90EDF EDN ∠=∠=?，

利用SAS 证明EDN EDF △≌△，∴EN EF =， 在EBN △中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．

训练2. 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，

且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+ 【解析】 解一：（截长)作FH AE ⊥于点H

分别证明AFH AFD EFH EFC △≌△，△≌△， ∴AH AD HE EC ==， ∴AE AH HE CD EC =+=+

解二：（补短）延长AF BC ，交于点G

先证明ADF GCF △≌△，∴CG DA CD ==，G FAD ∠=∠， ∵DAF EAF ∠=∠，∴G EAF ∠=∠ ∴AE EG =，∴AE EC CG EC CD =+=+．

H

F

E

D

C B

A

G F

E D

C

B

A

训练3. 如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求

证：BC AC CD =+．

思维拓展训练(选讲)

F

E D

C

B A

D

C

B

A

F

E D

C

B A

【解析】 方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．

∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．

在ABD △与EBD △中

∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠

∵108A ∠=?， ∴108DEB ∠=∠?∴72DEC ∠=?． 又∵361854ADB ∠=?+?=?

∴72CDE ∠=?，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+

方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=?， ∴36ABC C ∠=∠=?． ∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．

∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=?．

∵1

2

ADB C ABC ∠=∠+∠，

∴54ADB ∠=?．又∵54FBD ∠=?

∴BF AB AC FD ===．∴AF CD =．∴BC AC CD =+．

训练4. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，

求证：AD 平分∠CDE ．

【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC 、AF .

∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF

∵AB =AE ，BC =EF ，∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF

∵BC +DE =CD ，∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ，∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .

C E

D

B A

A

B

D

E

F

C

题型一 倍长中线 课后演练

【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是

什么？

【解析】中线倍长，27AD <<

【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满

足90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

F

E

D

C

B

A

图 6

G E F

D

B

C A

【解析】如图，延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．

由AF FB =，有ADF BGF △≌△

∴3BG AD ==，ADF BGF ∠=∠，∴AD GB ∥

∴180GBE ACB ∠+∠=?，∴90GBE ∠=?,∴225GE GB EB =+=． 又DF FG =，EF DG ⊥，∴5DE GE ==．

题型二 截长补短 课后演练

【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除

外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )

N E B M A D

G

N

E

B M A D

【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，

∴GD MB = 又∵120ADM DMA +∠=o ∠，120DMA NMB +=o ∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==o ∠∠，

复习巩固

∴DGM MBN △≌△，∴DM MN =．

【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=?，AD 平

分BAC ∠，求证：AC CD AB +=． 【解析】 解法一：如图，过D 作DE AB ⊥于E ．

CD AC ⊥∵，12∠=∠， Rt Rt ACD AED ∴△≌△，

,CD DE AC AE ==∴． 又DE BE ⊥∵，45B ∠=?，

DEB ∴△为等腰直角三角形．有DE BE =，故

BE CD =．

AB AE BE AC CD =+=+∴．

解法二：如图，延长AC 到E ，使CE CD =．

90ECD ∠=?∵，45E ∠=?∴．

又12∠=∠∵，45E B ∠=∠=?，AD 公共，

ADE ADB ∴△≌△，有AE AB =．

故AB AC CE AC CD =+=+．

【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .

【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .

∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴ABM ADF △≌△

∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB CD ∥

∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM

∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .

2

1

D

C

B

A

E

E

A

B

C

D

1

2

F

E

D

C

B

A M

F E

D

C B

A D

C

B

A

测试1. 如图所示，已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD

上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB ． 【解析】 延长AD 到M ，使DM AD =，连结EM ，

利用SAS 证明ADC MDE △≌△， ∴3M ∠=∠，AC EM =， 又AC EF =，∴EM EF =， ∴1M ∠=∠，∴13∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴23∠=∠， ∴12∠=∠，∴EF ∥AB ．

测试2. 已知ABC △中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE

交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

A

B C

D

E

O

4

3

21O F E D C

B

A

【解析】 BE CD BC +=，

理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，

利用SAS 证得BEO △≌BFO △，∴12∠=∠，

∵60A ∠=?，∴1

901202

BOC A ∠=+∠=o o ，∴120DOE ∠=o ，

课后测

F

A C

D

E

B

321

M F A C

D E B