因式分解的常用方法例题解析大全
初三数学因式分解法练习题解析
初三数学因式分解法练习题解析因式分解是初中数学中一个重要的概念和技巧，它在解决数学问题时具有重要作用。
本文将对初三数学因式分解法的练习题进行解析，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
题目一：将多项式4x^2+12x因式分解。
解析：首先，我们可以看到这个多项式4x^2+12x中存在一个公因式4x，将其提取出来，得到4x(x+3)。
这就是多项式的因式分解形式。
题目二：将多项式x^2-9因式分解。
解析：根据平方差公式，可以将x^2-9写为(x+3)(x-3)。
这样就完成了多项式的因式分解。
题目三：将多项式2x^2+6x-16因式分解。
解析：对于这种三项式，我们可以通过分解法或配方法进行因式分解。
首先，我们可以尝试用分解法进行因式分解。
观察该多项式的各项系数，可以发现它们都是2的倍数，所以我们可以将2提取出来，得到2(x^2+3x-8)。
接下来，我们需要找到一个括号里的两个数，它们相乘得到-8，相加得到3。
经过尝试，我们可以得到(x-1)(x+8)，所以最终的因式分解形式是2(x-1)(x+8)。
题目四：将多项式3x^2+5x-2因式分解。
解析：对于这种三项式，我们可以选择使用配方法进行因式分解。
首先，我们可以找到多项式的首项系数3，然后找到多项式的最后一项系数-2，它们的乘积是-6。
接下来，我们需要找到两个数，它们相乘得到-6，相加得到5。
经过尝试，我们可以得到3x^2+6x-x-2，进一步简化得到3x(x+2)-(x+2)。
观察可知，括号里的部分是相同的，所以我们可以将其提取出来，得到(x+2)(3x-1)。
因此，最终的因式分解形式是(x+2)(3x-1)。
题目五：将多项式x^3-125因式分解。
解析：这是一个立方差分的形式，根据立方差分公式可知，x^3-125可以写为(x-5)(x^2+5x+25)。
因此，最终的因式分解形式是(x-5)(x^2+5x+25)。
通过以上题目的解析，我们可以发现因式分解在解决数学问题中起着重要的作用。
因式分解的常用方法及应用及典型习题
因式分解的常用方法及应用暑期因式分解知识回顾：1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．2、提公因式法：公因式：多项式各项公共的因式．用提公因式法进行因式分解要注意下面几点： ⑴ 公因式要提尽；⑵ 将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正. 3、公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解． 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．例如：对下列各式因式分解：⑴22129abc a b -= . ⑵2(3)(3)x x +-+= .⑶32x xy -=___________．⑷227183x x ++= .在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.基础知识 示例剖析如果整式没有公因式可以提取，也无法直接用公式分解，则需要分组分解.分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组思路导航知识互联网题型一：因式分解——分组分解法分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.分组分解法的基本步骤： 1、将原式适当分组；2、讲分组后的式子分解因式，或“提”或“代”；3、将经过处理过的式子在分解因式，或“提”或“代”. 例如：()()()()ax by bx ayax bx ay by x a b y a b a b x y --+=-+-=-+-=-+重新分组提取公因式再提取公因式注意事项：降幂排序 首项为正拆开重组 瞄准方法【引例】 分解因式⑴22114x xy y -+- ⑵22a a b b +--【解析】 ⑴原式=22211111=1114222x xy y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()122224x y x y =-+-- ⑵原式=()()()()()()()22=1a b a b a b a b a b a b a b -+-+-+-=-++【例1】 ⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ）①()321m m m +--； ②()222496b a ac c -+-+； ③()()256152x y x xy +++； ④()()22x y mx my -++； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⑵因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（ ）A. ()()22148x xy y -+-B. ()22144x y xy --+ C. ()()221844xy x y +-+ D. ()221448x y xy -+- ⑶将多项式222221x xy y x y ++--+分解因式，正确的是（ ）A. ()2x y + B. ()21x y +- C. ()21x y ++ D. ()21x y --例题精讲典题精练⑷将多项式3222a a b ab a ++-分解因式，正确的是（ ）A. ()()21a ab a a b ++++ B. ()()11a a b a b +++- C. ()2221a a ab b ++- D. ()()22a ab a a ab a +++-【例2】 分解下列因式⑴1xy x y --+ ⑵22221a b a b --+⑶251539a m am abm bm -+- ⑷2221a b ab +--⑸222221a ab b c c -+--- ⑹3254222x x x x x --++-【例3】 分解因式⑴()()x x z y y z +-+ ⑵3322()()ax y b by bx a y +++⑶2222()()ab c d a d cd ---十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++. 若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过下面两个步骤：⑴将多项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式；⑵若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用十字相乘法分解．这个方法的要领可以概括成16个字“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”．【引例】 分解下列因式⑴256x x ++ ⑵256x x -+ ⑶256x x +- ⑷256x x --【解析】 ⑴(2)(3)x x ++ ⑵(2)(3)x x --；⑶(6)(1)x x +-； ⑷(6)(1)x x -+例题精讲思路导航题型二：因式分解——十字相乘法x 2x 3x -2 x -3 x 6x -1x -6x 1【例4】 分解因式：⑴2710x x ++ ⑵221024x xy y --⑶421336x x -+ ⑷221x x --⑸22232x xy y -- ⑹22121115x xy y --选主元法：在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．典题精练思路导航典题精练【例5】 请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：⑴()21x b x b -++ ⑵()2233kx k x k +-+-⑶22344883x xy y x y +-+-- ⑷(6114)(31)2a a b b b +++--【例6】 在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式44x y -因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式324x xy -，取2x =，2y =时，用上述方法产生的密码是：_______________（写出一种情况即可）．【例7】 如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形（注明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.aa b b bb b a b a ba典题精练题型三：因式分解的应用【例8】 如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，13，9，3的对面的数分别为a ，b ，c ，求222a b c ab bc ac ++---的值.训练1. 分解因式：⑴ ()()112x x y y xy -++-；⑵ ()22331x x x x +++-．⑶22222()()abx a b x a b -+--； ⑷222(1)mx m m x m m -++++．训练2. 分解因式：⑴2228146x xy y x y -----．⑵222382214x y z xy xz yz --+++训练3. 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．思维拓展训练(选讲)1393训练4. 已知ABC △三边a 、b 、c ，满足条件2222220a c a b ab b c c b ac -+-+-=，试判断ABC △的形状，并说明理由．题型一 因式分解——分组分解法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()2222ab c d cd a b +++.题型二 因式分解——十字相乘 巩固练习【练习2】 分解因式：⑴2216312m mn n --； ⑵1126724n n n x x y x y +---．【练习3】 多项式212x px ++可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是 （写出所有情况）.【练习4】 若多项式2x x m -+在整数范围内能分解因式，把你发现字母m 的取值规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示为 ．题型三 因式分解的应用 巩固练习【练习5】 一个矩形的面积为32a ab a -+，宽为a ，则矩形的长为_________. 复习巩固。
因式分解实例解析
因式分解实例解析
因式分解是数学中常见的一个概念，用于将一个多项式拆解成为更简单的几个因子相乘的形式。
在本文中，我们将通过一些实例来解析因式分解的过程和方法。
例1：因式分解二次多项式
给定一个二次多项式：x^2 + 5x + 6，我们希望将其因式分解。
解析：
首先，我们需要寻找两个乘积为6且加和为5的数，我们可以很容易地找到这两个数是2和3。
因此，我们可以将二次多项式分解为 (x + 2)(x + 3)。
例2：因式分解差平方多项式
给定一个差平方多项式：a^2 - b^2，我们希望将其因式分解。
解析：
根据差平方公式，我们知道 a^2 - b^2 可以分解为 (a + b)(a - b)。
因此，我们可以将差平方多项式分解为 (a + b)(a - b)。
例3：因式分解含有公因式的多项式
给定一个多项式：2x^2 + 6x，我们希望将其因式分解。
解析：
首先，我们可以看到这个多项式可以因式分解为公因式 2x，因此，我们可以将其分解为 2x(x + 3)。
总结：
通过以上实例的解析，我们可以看到，因式分解是将多项式拆
解为更简单的因子相乘的过程。
在因式分解时，我们需要寻找适合
的方法和技巧，例如找出乘积为给定常数且加和为给定系数的两个数，或者利用差平方公式等。
同时，我们还可以利用公因式进行因
式分解。
因式分解在数学中有着广泛的应用，在解题和简化计算过程中起到了重要的作用。
初中数学因式分解(精华例题)
初中因式分解的常用方法（例题详解）一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既能够是一个单项式，也能够是一个多项式．二、使用公式法.使用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能使用公式分解，但从“部分”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还能够怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内能够提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式能够提。
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接使用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然能够提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
分解因式的常见方法及例题
分解因式的常见⽅法及例题知识点1 因式分解的定义把⼀个多项式化成⼏个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反⽅向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以⽤整式乘法来检验.知识点2 提公因式法多项式m a+mb+mc中的各项都有⼀个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中⼀个因式是各项的公因式m，另⼀个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的⽅法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以⽤整式乘法检验其真伪.(2)不是因式分解，不满⾜因式分解的含义(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形⽽本题不恒等.(4)不是因式分解，是整式乘法.知识点3 公式法(1)平⽅差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平⽅差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平⽅公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.其中，a2±2a b+b2叫做完全平⽅式.即两个数的平⽅和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平⽅.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.点拨 (1)不正确，⽬前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平⽅式，不能进⾏分解.(3)不正确，x2-2x-1不是完全平⽅式，不能⽤完全平⽅公式进⾏分解，⽽且在有理数范围内也不能分解.知识点4 分组分解法(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2=(x+1)2-y2=(x+y+1)(x-y+1).把多项式进⾏适当的分组，分组后能够有公因式或运⽤公式，这样的因式分解⽅法叫做分组分解法.知识规律⼩结 (1)分组分解法⼀般分组⽅式不惟⼀.例如：将a m+a n+bm+bn因式分解，⽅法有两种：⽅法1：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).⽅法2：a m+a n+bm+bn=(a m+bm)+(a n+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(2)分组除具有尝试性外，还要具有⽬的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运⽤公式.例如：a m+a n+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运⽤公式.分组分解法是因式分解的基本⽅法，体现了化整体为局部，⼜统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组⽅法有：(1)按字母分组；(2)按次数分组；(3)按系数分组.例如：把下列各式因式分解.(1) a m+bm+a n+bn；(2)x2-y2+x+y；(3)2a x-5by+2a y-5bx.知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型⼆次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利⽤这个公式，可以把⼆次三项式因式分解，当p=q时，这个式⼦化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平⽅式，可以运⽤公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为⼆次三项式x2+3x+2的⼆次项系数是1，常数项2=1×2，⼀次项系数3=1+2，这是⼀个x2+(p+q)x+pq型式⼦.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)⼀、例题剖析本节基础知识的应⽤主要包括：(1)掌握⽤提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的⼆次三项式.例1 ⽤提公因式法将下列各式因式分解.(1)a x-a y； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36a by-12a bx+6a b； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题⾸先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)a x-a y=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(4)36a by-12a bx+6a b=6a b(6y-2x+1).(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).⼩结运⽤提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，⽽且每个括号不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(5)(6)⼩题需统⼀时，⾸先统⼀，尽可能使统⼀的个数少，减少统⼀计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统⼀成(y-x)，也可以把(y-x)统⼀成(x-y),但⽐较⽽⾔把(x-y)化成(y-x)⽐较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.(分析)本题旨在考查⽤完全平⽅公式分解因式.解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.(分析) ⼆次三项式x2+7x+10的⼆次项系数为1，常数项10=2×5，⼀次项系数7=2+5，所以这是⼀个x2+(p+q)x+pq型的式⼦，可以⽤x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进⾏因式分解.解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).⼩结对于x2+(p+q)x+pq型⼆次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q＞0，则p＞0，q＞0；若q+p＜0，则p＜0，q ＜0；②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值⼤的为正数，若p+q＜0,则绝对值⼤的为负数.例4 分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；(4)x2(x-y)+y2(y-x)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.(分析)本题旨在考查综合运⽤提公因式法和公式法分解因式.解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·(2b+2c)=4a(b+c).例5 利⽤分组分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；(3)(a x+by)2+(a y-bx)2；(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1.(分析) 分组分解法⼀般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个⽬的，⼀是分组后能出现公因式，⼆是分组后能应⽤公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和(4)题分组后能运⽤公式.解：(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-1=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).(3)(a x+by)2+(a y-bx)2=a2x2+2a bxy+b2y2+a2y2-2a bxy+b2x2=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)=(a2+b2)(x2+y2).(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1=(a2-2a b+b2)-(c2+2c+1)=(a-b)2-(c+1)2=[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)]=(a-b+c+1)(a-b-c-1).⼩结解因式分解题时，⾸先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列⼏种情况考虑：(1)如果是四项或四项以上，考虑⽤分组分解法；(2)如果是⼆次三项式或完全平⽅式，则考虑⽤x 2+(p+q)x+pq 型式⼦或完全平⽅公式分解因式；(3)如果是两项，则考虑能否⽤平⽅差公式分解因式.最后，直到每⼀个因式都不能再分解为⽌.例6 解⽅程组??=-=-②①.12,5422y x y x(分析)本题是⼀个⼆元⼆次⽅程组，就⽬前的知识⽔平来说，⽤代⼊消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个⽅程组有⼀个特点是⽅程x 2-4y 2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代⼊⽅程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原⽅程组就可以化成⼀个⼆元⼀次⽅程组⽽解出.解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③把②代⼊③中得x+2y=5，④∴原⽅程组化为=-=+②④,12,52y x y x②+④得2x=6，∴x=3.②-④得4y=4，∴y=1.∴原⽅程组的解为??==.1,3y x例7 若a ，b ，c 是三⾓形的三边，且满⾜关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三⾓形的形状.解：∵a2+b2+c2-a b-a c-bc=0，∴2a2+2b2+2c2-2a b-2a c-2bc=0.即(a2-2a b+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a c+a2)=0，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.由平⽅的⾮负性可知，∴a=b=c.∴这个三⾓形是等边三⾓形.例8 利⽤因式分解计算下列各题.(1)234×265-234×65； (2)992+198+1.(分析)主要应⽤提公因式法和公式法分解因式来计算.解：(1)234×265-234×65=234×(265-65)=234×200=46800.(2)992+198+1=992+2×99×1+1=(99+1)2=1002=10000.例9 若9x2+kxy+36y2是完全平⽅式，则k= .(分析) 完全平⽅式是形如：a2±2a b+b2即两数的平⽅和与这两个数乘积的2倍的和(或差).∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，∴±kxy=2·3x·6y=36xy.∴k=±36.例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- .(分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运⽤,即b a b a b a b a ba +-+=+-))((22=a -b(a +b ≠0).解:原式=65)65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-+++-+++-++ (20042003)20042003)(20042003(+-+=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004)=(-1)×(2004÷2)=-1002.例11 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个(分析) 若把x 2+kx+20在整数范围内因式分解，由式⼦x 2+(p+q)x+qq 考虑把20分解因数，20可分解为：20×1，(-20)×(-1)，10×2，(-10)×(-2)，5×4，(-5)×(-4)，所以k 可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k 可能取的值有6个，所以正确答案为D 项.例12 分解因式(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10.(分析)把x 4+x 2作为⼀个整体，⽤⼀个新字母代替，从⽽简化式⼦的结构. 解：令x 4+x 2=m ，则原式可化为(m-4)(m+3)+10=m 2-m-12+10=m 2-m-2=(m-2)(m+1)=(x 4+x 2-2)(x 4+x 2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).⼆、课堂练习分解因式.(1)(x+y)2-9y2； (2)a2-b2+a+b；(3)10b(x-y)2-5a(y-x)2； (4)(a b+b)2-(a+1)2；(5)(a2-x2)2-4a x(x-a)2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.（7）已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.（8）已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.三、课后练习1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平⽅式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( )A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= .7.利⽤因式分解计算：2224825210000= .8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.利⽤因式分解计算19992+1999-20002.12.解⽅程(65x+63)2-(65x-63)2=260.13.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满⾜关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三⾓形.14.当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最⼩值？并求出这个最⼩值.。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解的常用方法与技巧
因式分解的常用方法与技巧技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数。
【例】(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)技巧：y-x= -(x-y)原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小结：符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。
练习：分解因式：-a2-2ab-b2技巧二系数变换有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。
【例】分解因式4x2-12xy+9y2原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小结：系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。
练习：分解因式221439xy yx++技巧三指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。
【例】分解因式x4-y4技巧：把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。
原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小结：指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。
练习：分解因式a4-2a4b4+b4技巧四展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。
然后再分组。
【例1】a(a+2)+b(b+2)+2ab技巧：表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。
然后分组。
原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)小结：展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。
【例2】因式分解：。
技巧：将多项式展开后再重新组合，分组分解。
【例3】因式分解：。
解：。
练习：x(x-1)-y(y-1)技巧五拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。
《因式分解》知识梳理及经典例题
《因式分解》知识梳理及经典例题【知识梳理】1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
例：13ax +13bx =13x(a +b)因式分解，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
{系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a 3b 3c −8a 3b 2c 3+6a 4b 2c 2的公因式是 ．解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a 3b 3c,a 3b 2c 3,a 4b 2c 2都含有因式a 3b 2c ，故多项式的公因式是2a 3b 2c .②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a.逆用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)b.逆用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2c.逆用立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)（拓展）d.逆用立方差公式：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)（拓展）注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
初中数学因式分解解题方法及真题练习(含答案解析)
初中数学因式分解解题方法及真题练习（含答案解析）因式分解和整式乘法互为逆运算，是初中数学里最重要的恒等式之一。
因式分解，是初中数学的重头大戏。
如果因式分解没有学好，那么后面分式，一元二次方程等内容就非常的艰难。
很多初学的同学，觉得因式分解好难。
因为因式分解灵活多变，技巧性强。
但是，真正熟练掌握因式分解方法，原来因式分解一点都不难。
因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解。
因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵拆项法⑶添项法⑷公式法：⑸十字相乘法：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-x(2003淮安市中考题)x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2 (2003南通市中考题)解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)真题解析1．（2018?济宁）多项式4a﹣a3分解因式的结果是（）A．a（4﹣a2）B．a（2﹣a）（2+a）C．a（a﹣2）（a+2）D．a（2﹣a）2【分析与解】提公因式、平方差公式。
原式=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）。
选B。
注意：因式分解必须分解到不能再分解为止！2．（2018?安徽）下列分解因式正确的是（）A．﹣x2+4x=﹣x（x+4）B．x2+xy+x=x（x+y）C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）【分析与解】提公因式、完全平方公式。
专题14.3 因式分解(解析版)
专题14.3 因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法（1）提公因式法：找出最大公因式.（2）公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± 3.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab ﹣a ＝ ．【答案】a （b ﹣1）．【解析】提公因式a 即可．ab ﹣a ＝a （b ﹣1）．【点拨】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．【例题2】把多项式4a 2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）A ．（4a +1）（4a ﹣1）B ．（2a +1）（2a ﹣1）C ．（2a ﹣1）2D ．（2a +1）2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；4a 2﹣1＝（2a +1）（2a ﹣1），【点拨】本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。
【例题3】分解因式3x 2﹣27y 2＝ ．【答案】3（x +3y ）（x ﹣3y ）【解析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【例题4】分解因式：xy2﹣2xy+x＝．【答案】x（y﹣1）2．【解析】xy2﹣2xy+x，＝x（y2﹣2y+1），＝x（y﹣1）2．【点拨】提取公因式和完全平方公式结合。
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因式分解的基本方法概述
A.因式分解的一般步骤
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
B. 因式分解的基本方法
一．提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二．运用公式法：
（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；
(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；
(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；
(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；
三．分组分解法.
能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
【例题1】分解因式：ay ax y x ++-22
解：原式=)()(22ay ax y x ++-
=)())((y x a y x y x ++-+
=))((a y x y x +-+
【例题2】分解因式：2222c b ab a -+-
解：原式=222)2(c b ab a -+-
=22)(c b a --
=))((c b a c b a +---
【例题3】分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：原式=)5()102(bx by ay ax -+-
=)5()5(2y x b y x a ---
=)5)(2(y x b a --
解法二：原式=)510()2(by ay bx ax +-+-
=)2(5)2(b a y b a x ---
=)5)(2(y x b a --
四．十字相乘法.
一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解
由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成11
22a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就
得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分
解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
【例题1】分解因式：652
++x x
解：652++x x =32)32(2⨯+++x x
=)3)(2(++x x （二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=
分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
【例题2】分解因式：101132+-x x
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：101132+-x x =)53)(2(--x x
（三）二次项系数为1的齐次多项式
【例题3】分解因式：22128
8b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解：22128
8b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
【例题4】22672y xy x +-
解：原式=)32)(2(y x y x --
分解因式：
（1）224715y xy x -+
（2）862
2+-ax x a
（1）17836--x x
（2）22151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x
（4）344)(2+--+b a b a
五、换元法。
【例题1】分解因式（1）2005)12005(200522---x x
（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(22
=))(1(a x ax -+
=)2005)(12005(-+x x
（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=222)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652，则x A x x 2672+=++
∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x
【例题2】分解因式262234+---x x x x
观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x x
x x 设t x x =+1，则21222-=+t x
x ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x
=()()2522+-t t x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()
1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x
六．添项、拆项、配方法。
【例题1】分解因式（1）4323+-x x
解：原式=33123+-+x x
=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x
=)331)(1(2+-+-+x x x x
=2
)2)(1(-+x x
【例题2】3369-++x x x 解：原式=)1()1()1(3
69-+-+-x x x
=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x
=)111)(1(3363+++++-x x x x
=)32)(1)(1(362++++-x x x x x
七．待定系数法。
【例题】分解因式613622-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=+613231m n m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x。