2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算理
高考数学一轮总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语教案 理 苏教版
高考数学一轮总复习第一篇集合与常用逻辑用语教案理苏教版第1讲集合及其运算知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系为属于或不属于关系，分别用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N＋)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质①并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.②交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.③补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.辨析感悟1．元素与集合的辨别(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√)(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(×)2．对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．(√)(5)(2013·浙江卷改编)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝{x|－2＜x≤1}．(√) (6)(2013·陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M＝{x|x＞1，或x＜－1}．(√)[感悟·提升]1．一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．2．两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6).学生用书第2页考点一集合的基本概念【例1】(1)(2013·江西卷改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________.(2)(2013·山东卷改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．解析 (1)由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解； 当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.(a ＝0不合题意舍去)． (2)x －y ∈{－2，－1,0,1,2}． 答案 (1)4 (2)5规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【训练1】 已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.解析 由已知得b a＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 014＋b2 014＝1.答案 1考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值．解 (1)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．【训练2】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．(2)(2014·郑州模拟)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为________．解析 (1)由题意知：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又A ⊆C ⊆B ，则集合C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)a ＝0时，B ＝{x |1≠0}＝∅⊆A ；a ≠0时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－1a ⊆A ，则－1a ＝－1或－1a ＝1，故a ＝0或a ＝1或－1. 答案 (1)4 (2){}－1，0，1考点三 集合的基本运算【例3】 (1)(2013·山东卷改编)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2，3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝________.(2)(2014·唐山模拟)若集合M ＝{y |y ＝3x}，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是________．①M ∪S ＝M ；②M ∪S ＝S ；③M ＝S ；④M ∩S ＝∅ 审题路线 (1)⎭⎪⎬⎪⎫A ∪B ＝{1，2，3}⇒3∈A ∁U B ＝{3，4}⇒A ∩∁U B ＝{3}；(2)先分别求出集合M ，S ，再判断各式． 解析 (1)由∁U (A ∪B )＝{4}知A ∪B ＝{1,2,3}． 又B ＝{1,2}，∴3∈A ，∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}． (2)M ＝{y |y ＞0}，S ＝{x |x ＞1}，故只有①正确． 答案 (1){3} (2)①规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn 图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．【训练3】 (1)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为________．(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)＜1}，则A ∩(∁U B )＝________.解析 (1)∁U A ＝{0,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故∁U B＝{x|x≤2，或x≥4}，从而A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤2}．答案(1){0,2,4} (2){x|－1≤x≤2}数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．创新突破1——与集合有关的新概念问题【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．解析法一(列表法) 因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x －y的取值如下表所示：yx－y1234 5x10－1－2－3－4 210－1－2－3 3210－1－2 43210－1 543210 10个，即B中的元素个数为10.法二(直接法) 因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10.答案10[反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．【自主体验】设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个．解析依题，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．答案 6基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·安徽卷改编)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}．则(∁R A)∩B＝________.解析因为A＝{x|x＞－1}，则∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案{－2，－1}2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则下列各式不正确的是________．①M⊆N；②N⊆M；③M∩N＝{2,3}；④M∪N＝{1,4}．解析由已知得M∩N＝{2,3}，故选①②④.答案①②④3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集个数有________．解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．答案 44．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A与B的关系是________．解析集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则B A.答案B A5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以A∩∁R B＝{x|1≤x ＜2}．答案{x|1≤x＜2}6．(2013·湖南卷)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________. 解析由集合的运算，可得(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案{6,8}7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．解析根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.答案 48．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．解析由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.答案－3二、解答题9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B. 解由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，(1)若B⊆A，求a的值；(2)若A⊆B，求a的值．解(1)A＝{0，－4}，①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得a＜－1；②当B 为单元素集时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意； ③当B ＝A 时，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上可知：a ≤－1或a ＝1.(2)若A ⊆B ，必有A ＝B ，由(1)知a ＝1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为________．解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素． 答案 32．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }，B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.答案 －1 13．设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )·(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论：①|S |＝1且|T |＝0；②|S |＝1且|T |＝1，③|S |＝2且|T |＝2；④|S |＝2且|T |＝3，其中不可能成立的是________．解析 取a ＝0，b ＝0，c ＝0，则S ＝{x |f (x )＝x 3＝0}，|S |＝1，T ＝{x |g (x )＝1≠0}，|T |＝0.因此①可能成立．取a ＝1，b ＝0，c ＝1，则S ＝{x |f (x )＝(x ＋1)(x 2＋1)＝0}，|S |＝1，T ＝{x |g (x )＝(x ＋1)(x 2＋1)＝0}，|T |＝1，因此②可能成立．取a ＝－1，b ＝0，c ＝－1，则S ＝{x |f (x )＝(x －1)(x 2－1)＝0}，|S |＝2，T ＝{x |g (x )＝(－x ＋1)·(－x 2＋1)＝0}，|T |＝2.因此③可能成立．对于④，若|T |＝3，则Δ＝b 2－4c ＞0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )也有3解，因此|S |＝2且|T |＝3不可能成立．故④不可能成立． 答案 ④ 二、解答题4．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1).第2讲 命题及其关系、充要条件知 识 梳 理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．辨 析 感 悟1．对四种命题的认识(1)(2012·湖南卷改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tanα≠1”．(×)(2)若原命题“若p 、则q ”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.(×)(3)命题“若x 2－3x ＋2＞0，则x ＞2或x ＜1”的逆否命题是“若1≤x ≤2，则x 2－3x ＋2≤0”．(√)2．对充分条件、必要条件的理解(4)给定两个命题p ，q .若p 是q 的充分不必要条件，则 綈p 是綈q 的必要不充分条件．(√) (5)“(2x －1)x ＝0”的充分不必要条件是“x ＝0”．(√) (6)在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充分不必要条件．(×)[感悟·提升]1．一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)把否命题错看成是命题的否定． 2．三个防范 一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中的关键词，如“≠”与“＝”，“＞”与“≤”，“且”与“或”，“是”与“不是”，“都不是”与“至少一个是”，“都是”与“不都是”等互为否定，如(3)．二是弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B ⇒A ，且A B ，如(5)；而“A 是B的充分不必要条件”则是指A ⇒B 且B A ，如(6)．三是注意题中的大前提，如(6).考点一 命题及其相互关系【例1】 已知：命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则①否命题是“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题；②逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．以上四个结论正确的是________．(填序号)解析 由f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝e x－m ≥0恒成立，∴m ≤1.∴命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 答案 ④规律方法 (1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例． (4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【训练1】 (2013·吉林白山二模)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________．答案 若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0考点二 充分条件、必要条件的判断【例2】 (1)(2013·福建卷改编)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的________条件．(2)(2013·济南模拟)如果a ＝(1，k )，b ＝(k,4)，那么“a ∥b ”是“k ＝－2”的________条件．解析 (1)当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0， 但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，不能确定x ＝2且y ＝－1， ∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件．(2)因为a ∥b ，所以1×4－k 2＝0，即4＝k 2，所以k ＝±2.所以“a ∥b ”是“k ＝－2”的必要不充分条件．答案 (1)充分而不必要 (2)必要不充分规律方法 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．【训练2】 已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x＜1，则綈p 是q 的________条件．解析 由x ＞1，得1x ＜1；反过来，由1x＜1，不能得知x ＞1，即綈p 是q 的充分不必要条件．答案 充分不必要考点三 充要条件的应用【例3】 (2014·无锡一中调研)已知函数f (x )＝ax －bx 2(a >0)． (1)当b >0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知bx 2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立， ∴Δ＝a 2－4b ≤0，又a >0，b >0，∴a ≤2b .(2)①先证充分性：∵b >1，a ≥b －1，∴对任意x ∈[0,1]， 有ax －bx 2≥(b －1)x －bx 2＝b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1， 即ax －bx 2≥－1；∵b >1，a ≤2b ，∴对任意x ∈[0,1]， 有ax －bx 2≤2bx －bx 2＝－(bx －1)2＋1≤1， 即ax －bx 2≤1，∴|f (x )|≤1成立，充分性得证； ②再证必要性：∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1， ∴f (1)≥－1，即a ≥b －1；∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，而b >1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ≤1，即a ≤2b ，必要性得证． 由①②可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立的充要条件是b －1≤a ≤2b . 规律方法 (1)涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．(2)①p 的充分不必要条件为q ，等价于p ⇐q ，qp ；②p 的必要不充分条件为q ，等价于p ⇒q ，q p .【训练3】 已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0.x 2－6x ＋8＜0.且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4，即2＜x ＜3，∴q 的解集为{x |2＜x ＜3}． 设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2＜x ＜3属于集合A ，即2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0.∴2＜x ＜3满足不等式a ＜9x －2x 2.∵当2＜x ＜3时，9x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－92x ＋8116－8116＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋818的值大于9且小于等于818，即9＜9x －2x 2≤818，∴a ≤9.1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提． 2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．思想方法1——等价转化思想在充要条件关系中的应用【典例】 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2， 解得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x ＞10或x ＜－2}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.故实数m 的取值范围是[9，＋∞)． 法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件， 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥ 10，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．[反思感悟] 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．【自主体验】1．(2013·山东卷改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q的________条件．解析 由q ⇒綈p 且綈p q 可得p ⇒綈q 且綈q p ，所以p 是綈q 的充分而不必要条件．答案 充分不必要2．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．①[1，＋∞)；②(－∞，1]；③[－1，＋∞)；④(－∞，－3]解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.答案 ①基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2012·重庆卷改编)命题“若p ，则q ”的逆命题是________． 解析 根据原命题与逆命题的关系可得：“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”． 答案 若q ，则p2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜33．(2014·南通调研)“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的________条件．解析 因为两直线平行，所以(a 2－a )×1－2×1＝0，解得a ＝2或－1. 答案 充分不必要4．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是________．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数5．A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的________条件．解析 由题意得，A ＝{x ∈R |x >2}，A ∪B ＝{x ∈R |x <0，或x >2}，C ＝{x ∈R |x <0，或x >2}，∴A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 答案 充分必要6．(2013·盐城调研)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.答案 充分不必要7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 28．(2014·扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0.∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：x 2－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a .∵p ⇒q ，qp ，∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－a ≤x ≤1＋a }． 故有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．解析 否命题既否定题设又否定结论．答案 若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数2．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件①a ＝－b ；②a ∥b ；③a ＝2b ；④a ∥b 且|a |＝|b |中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是________．解析 对于①，注意到a ＝－b 时，a |a |≠b|b |；对于②，注意到a∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于③，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于④，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |，综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b .答案 ③3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2. 答案 3或4 二、解答题4．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p綈q 等价于p ⇒q ，且q p .记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0|＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 则A B .从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知 识 梳 理1．简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀x”表示“对任意x”，含有全称量词的命题，称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．用符号“∃x”表示“存在x”，含有存在量词的命题称为存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：∃x∈M，p(x)．3．含有一个量词的命题的否定辨析感悟1．逻辑联结词的理解与应用(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(√)(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(×)2．对命题的否定形式的理解(3)(2013·山西四校联考改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√)(4)(2013·东北联考改编)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则綈p：∃n∈ N,2n≤1 000.(×)(5)(2013·四川卷改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则綈p：∃x∉A,2x∉B.(×)(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若x＋y≤0，则x，y 中至多有一个大于0.(×)[感悟·提升]1．一个区别 逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”． 2．两个防范 一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p 指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)．考点一 含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则p ∧q 为________，p ∨q 为________．(填“真”或“假”)解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．p ∨q 为假． 答案 假 假学生用书第7页规律方法 命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．【训练1】 (2013·湖北卷改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________． ①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q解析 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定． 答案 ①考点二 含有一个量词的命题否定【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 使x 3＋1＝0.解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．【训练2】 (1)(2013·江门、佛山模拟)已知命题p ：∃x ＞1，x 2－1＞0，那么綈p 是________．(2)命题：“对任意k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是________． 解析 (1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ＞1，x 2－1≤0.(2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根”．答案 (1)∀x ＞1，x 2－1≤0 (2)存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根考点三 含有量词的命题的真假判断【例3】 下列四个命题p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞log 12x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜log 13x . 其中真命题是________．解析 根据幂函数的性质，对∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故命题p 1是假命题；由于log 12x－log 13x ＝lg x －lg 2－lg x －lg 3＝lg x lg 2－lg 3lg 2lg 3，故对∀x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13x ，所以∃x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13 x ，命题p 2是真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1，log 12x ＞1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12x 不成立，命题p 3是假命题；∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1，log 13x ＞1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜log 13x ，命题p 4是真命题． 答案 p 2，p 4规律方法 对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.【训练3】 (2013·开封二模)下列命题中的真命题是________．①∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32；②∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1；③∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；④∀x ∈(0，π)，sin x >cos x .解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故①错误；当x <0时，y ＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故③错误；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x <cos x ，故④错误．答案 ②1．逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p ”，只是否定命题p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题【典例】 (12分)已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求a 的取值范围．[规范解答] ∵函数y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a ＞1. 不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，且a ＞0， ∴a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4.(5分)∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．(7分) ①当p 真，q 假时，{a |a ＞1}∩{a |a ≥4}＝{a |a ≥4}．(9分)②当p 假，q 真时，{a |0＜a ≤1}∩{a |0＜a ＜4}＝{a |0＜a ≤1}．(11分) 故a 的取值范围是{a |0＜a ≤1，或a ≥4}．(12分)[反思感悟] 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题模板 第一步：求命题p 、q 对应的参数的范围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的范围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 真q 假”或“p 假q 真”． 第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 【自主体验】(2014·泰州月考)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x是增函数， ∴3－2a ＞1，∴a ＜1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2).基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是________．。
高三数学一轮复习 第1单元 1.1 集合的概念与运算课件 理 新人教A版
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、 无序性 ． 2．集合的表示法：列举法、 描述法 、图示法．
提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合 于有限集，而描述法一般适合于无限集．
(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为 {1，1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号∈ 和 ∉ 表示．
结合思想方法的运用．
二、集合的运算 1．两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同
和混淆． 2．数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用
文氏图直观显示，例如若A⊆S，B⊆S，则全集S最多被四个集合A∩B，A∩(∁SB)， B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分；对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合 的运算．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a，
x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－ ] B.
C.
D．(－∞，－2]
解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－ ，或x＝－2，
既A＝ ≤－ .
. 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅，知a
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩 (Venn)图是( )
解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，则N M，故选B. 答案：B
2． 已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m的值组 成的集合是( ) A．{－1,2} B．{1，－ } C．{1,0，－ } D．{－1,0， } 解析：∵A∩B＝B，即B⊆A，若m＝0，B＝∅⊆A； 若m≠0，B＝{x|x＝－ }；由B⊆A得：－ ＝－1或－ ＝2， ∴m＝1或m＝－ .综上选C. 答案：C
高考数学人教版(鲁、京、津专版理)一轮复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语1.1
1 2 3 4 5
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一
集合的含义
(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中
) C.5 D.9
例1
元素的个数是 ( C A.1 B.3 解析 1；
当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时， x－y＝1； 当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时， x－y＝－1； 当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时， x－y＝1；
或
集 符
合
自然数集
N
正整数
整数
集 N*( 或N＋)
_______
集
Z
有理数集
Q
实数
集
R
__
___
___
___
答案
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
集合A中所有元素都在集
符号语言
______
A⊆B
Venn图
子集 合B中(即若x∈A，则
x∈B)
集合A是集合B的子集，
________
A B
(或B⊇A)
真子集 且集合B中至少有一个元
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.
根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5 个.
解析答案
3 －2 ____. (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为
解析 由题意得 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3， 3 则 m＝1 或 m＝－2，
当m＝1时， m＋2＝3且2m2＋m＝3， 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第3课时 逻辑联结词、全称量词与存在量词精品课件
【变式训练】 3.写出下列命题的否定形式： (1)有些三角形的三个内角都等于60°； (2)能够被3整除的整数，能够被6整除； (3)存在θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)是偶函数； (4)任意x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|＞0. 解析： (1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°. (2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除． (3)任意θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)都不是偶函数． (4)存在x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
3．(2010·广州三校联考)已知命题P：集合{x|x＝i2n＋1，n∈N，i为
虚数单位}只有3个真子集；Q：集合{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合{x|y＝＋1} 相等．则复合命题：①P或Q；②P且Q；③非P；④非Q中，真命题有
()
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： 命题P中的集合即为{i，－i}，只有2个元素，有3个真子
特称命题 “存在x∈A，p(x)”
①存在x∈A，使p(x)成立 ②至少有一个x∈A，使p(x) 成立 ③对有些x∈A，使p(x)成立 ④对某个x∈A，使p(x)成立 ⑤有一个x∈A，使p(x)成立
从近两年的高考题来看，常以逻辑联结词“或”“且”“非”为工 具，考查函数、数列、立体几何、解析几何等知识．主要以选择题、填 空题的形式出现，属于容易题．全称命题、特称命题的否定、真假的判 断及逻辑联结词是高考的热点，常与其他知识相结合命题，题型为选择 题，分值为5分，属容易题．尤其全称命题、特称命题为新课标新增内容， 在课改区高考中有升温的趋势，应引起重视．
∴对任意 x∈[0，π]，均有
1－cos 2
2x＝sin
x，因此
p3
是真命题．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算课件
(2)已知 a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则 a＋b 为(
)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
答案 C 解析 由已知得 a≠0，则ba＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a ＋b＝－1.故选 C.
1．若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个 数为 2n－1，非空真子集的个数为 2n－2.
2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆ (A∪B)，B⊆ (A∪B). 3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆ A，A∩B⊆ B. 4．A∩B＝A∪B⇔A＝B.
5．A⊆ B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇ (∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅. 6．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B).
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 集合的基本概念 例 1 (1)已知集合 A＝{0，1，2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元 素的个数是( ) A．1 B．3 C．5 D．9
答案 C
解析 当 x＝0 时，若 y＝0，则 x－y＝0；若 y＝1，则 x－y＝－1；若 y ＝2，则 x－y＝－2.同理可得，当 x＝1 时，x－y＝1，0，－1；当 x＝2 时，x －y＝2，1，0.综上，根据集合中元素的互异性，可知 B 中元素有－2，－1， 0，1，2，共 5 个．
6．(2021·福建泉州质量检测(三))已知集合 A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈ N*}，B＝{(x，y)|y＞x＋1}，则 A∩B 中元素的个数为( )
第1单元-集合与常用逻辑用语-数学(理科)-新课标课件
第一单元 集合与常用逻辑用语
第1讲 集合及其运算 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
单元网络
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核心导语
一、集合 1．关系——元素与集合之间是从属关系，集合与集合 之间是包含关系． 2．运算——认清集合的元素，通过图示法理解集合运 算的含义．学会用分类讨论法解决集合运算问题． 二、常用逻辑用语 1．命题——四种命题及其关系，特别是原命题与逆否 命题的等价性、逆命题与否命题的等价性． 2．充分、必要条件——p⇒q，p是q的充分条件，q是p 的必要条件．
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使用建议
2．教学指导 高考对该部分内容的要求不高，教师在引导学生复习该 部分时，切忌对各层次知识点随意拔高，习题一味求深、求 广、求难． 教学时，注意到如下几个问题：(1)集合主要是强调其工 具性和应用性，解集合问题时，要引导学生充分利用图示法 或数轴的直观性来帮助解题；(2)对“命题的逆命题、否命题 与逆否命题”只要求作一般性了解，重点关注必要条件、充 分条件、充要条件；(3)对逻辑联结词“或”“且”“非”的 含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述
合
并集
属于A_或___ 属于B的元 素组成的集
合
{x|x∈A__或_ _x∈B}
补集
全集U中 _不___属于A 的元素组成
的集合
{x|x∈U， x___∉_A}
记法 _A__∩_B__ __A_∪__B_ __∁_U_A__
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第1讲 集合及其运算
基
础 自
4.集合问题中的几个基本结论：
主 梳
(1)集合A是其本身的子集，即__A_⊆__A___；
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高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
Page 12
目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
高三一轮复习集合知识点和题型
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。
设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。
也就是说集合中的元素是不重复出现的。
集合中相同的元素只能算是一个。
（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。
特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。
如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。
知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。
还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。
数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。
（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。
知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 1 集合
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习第一章 集合与常用逻辑用语考点知识总结1 集合高考 概览本考点在高考中是必考知识点，常考题型为选择题，分值为5分，低难度考纲 研读1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 7．能使用Venn 图表达集合的关系及运算一、基础小题1．已知集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |2<x <5}，则A ∪B ＝( ) A ．(1，6) B ．(－2，5) C ．(2，3) D ．(3，5) 答案 B解析 A ＝{x |－2<x <3}，A ∪B ＝(－2，5).故选B.2．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 集合M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}，有2个．故选B. 3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <13，则(∁R P )∩N ＝()A ．{x |0<x <3}B ．{x |0<x ≤3}C ．{0，1，2，3}D ．{1，2，3} 答案 C 解析 由题意，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <13＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －33x >0＝{x |x >3或x <0}，则(∁R P )∩N ＝{x |0≤x≤3}∩N ＝{0，1，2，3}．故选C.4．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 答案 A解析 由已知得B ＝{(2，1)}，所以B 的子集有2个．故选A.5．已知集合A ＝{x |(x －2)(x ＋2)≤0}，B ＝{y |x 2＋y 2＝16}，则A ∩B ＝( ) A ．[－3，3] B ．[－2，2] C ．[－4，4] D ．∅ 答案 B解析 由题意，得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |－4≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}．故选B.6．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，A ∩(∁U B )＝{3}，则B ＝( )A ．{1，2}B ．{2，4}C ．{1，2，4}D ．∅ 答案 A解析 由∁U (A ∪B )＝{4}，得A ∪B ＝{1，2，3}．由A ∩(∁U B )＝{3}，得3∈A 且3∉B .现假设1∉B ，∵A ∪B ＝{1，2，3}，∴1∈A .又1∉A ∩(∁U B )＝{3}，∴1∉∁U B ，即1∈B ，矛盾．故1∈B .同理2∈B .故选A.7．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2}，则有( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝A D ．A ∩B ＝A 答案 C解析 A ＝{x |y ＝x 2－2}＝R ，B ＝{y |y ＝x 2－2}＝[－2，＋∞)，所以B ⊆A ，故A ∪B ＝A .故选C.8．已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－4≤x <12 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x <12且y ≥－4D ．∅ 答案 B解析 由题意，得M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，N ＝[－4，＋∞)，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，12.故选B.9.若集合U ＝R ，A ＝{1，2，3，4，5}，集合B ＝{x |0<x <4}，则图中阴影部分表示( )A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{4，5}D ．{1，4} 答案 C解析 集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |0<x <4}，图中阴影部分表示A ∩(∁U B )，又∁U B ＝{x |x ≥4或x ≤0}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选C.10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 由y ＝2x 与y ＝x ＋1的图象可知，两函数图象有两个交点，如图所示．∴A ∩B中元素的个数为2.故选B.11．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln (1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)≠∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)答案AB解析由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又∁U N＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁U N)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⊆/(∁U N).故选AB.12．(多选)已知集合A＝{0，1，2}，若A∩(∁Z B)≠∅(Z是整数集合)，则集合B可以为()A．{x|x＝2a，a∈A}B．{x|x＝2a，a∈A}C．{x|x＝a－1，a∈N}D．{x|x＝a2，a∈N}答案ABD解析由题意知，集合A＝{0，1，2}．{x|x＝2a，a∈A}＝{0，2，4}，则A∩(∁Z B)＝{1}≠∅，A满足题意；{x|x＝2a，a∈A}＝{1，2，4}，则A∩(∁Z B)＝{0}≠∅，B满足题意；{x|x＝a－1，a∈N}＝{－1，0，1，2，3，…}，则A∩(∁Z B)＝∅，C不满足题意；{x|x＝a2，a∈N}＝{0，1，4，9，16，…}，则A∩(∁Z B)＝{2}≠∅，D满足题意．故选ABD.二、高考小题13．(2022·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝() A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}答案 B解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}．故选B. 14．(2022·新高考Ⅱ卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3} 答案 B解析 由题意可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}．故选B.15．(2022·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5} 答案 B 解析 由已知得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4.故选B.16．(2022·全国乙卷)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z 答案 C解析 因为s ＝2n ＋1，n ∈Z ，当n ＝2k ，k ∈Z 时，s ＝4k ＋1，k ∈Z ；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，s ＝4k ＋3，k ∈Z ，所以TS ，S ∩T ＝T .故选C.17．(2022·天津高考)设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．{0}B ．{0，1，3，5}C ．{0，1，2，4}D ．{0，2，3，4} 答案 C解析 ∵A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，∴A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C＝{0，1，2，4}．故选C.18．(2022·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4} 答案 C解析 A ∪B ＝[1，3]∪(2，4)＝[1，4).故选C.19．(2022·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4 答案 B 解析 ∵A ＝{x |x2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，∴－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.20．(2022·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 C解析 由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以A ∩B 中的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个．故选C.三、模拟小题21．(2022·江苏镇江市第一中学高三上学期期初考试)已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈N }，集合B ＝{x |x 2＋x －6＝0}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{－3，2}C ．{－3，1}D ．{－3，0，1，2}答案 A解析集合A＝{x||x|≤2，x∈N}＝{0，1，2}，集合B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}．故选A.22．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知全集U＝R，设集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－1<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|x≤3} B．{x|－3≤x<1}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|1≤x≤3}答案 D解析由题意得，A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<1}，∴∁U B＝{x|x≥1}，∴A∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}．故选D.23．(2022·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)＝()A．∅B．M C．N D．R答案 B解析解法一：∵∁R M⊆N，∴M⊇∁R N，据此可得M∪(∁R N)＝M.故选B.解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁R M，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁R M⊆N，结合图形可得M∪(∁R N)＝M.故选B.24．(2022·河南南阳模拟)设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P ∪Q＝()A．{3，0} B．{3，0，1}答案 B解析 ∵P ∩Q ＝{0}，∴log 2a ＝0，∴a ＝1，从而b ＝0，∴P ∪Q ＝{3，0，1}．故选B.25．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪y ＝ x －4x －7，集合B ＝{3，4，5，6，7}，则A ∩B ＝( ) A ．(3，4) B ．{3，4} C ．[3，4] D ．{3，4，7} 答案 B解析 由x －4x －7≥0得⎩⎨⎧（x －4）（x －7）≥0，x ≠7，得x ≤4或x >7，所以A ＝{x |x ≤4或x >7}，因为B ＝{3，4，5，6，7}，所以A ∩B ＝{x |x ≤4或x >7}∩{3，4，5，6，7}＝{3，4}．故选B.26．(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知集合M ＝{x |1－a <x <2a }，N ＝(1，4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，2答案 C解析 因为M ⊆N ，而∅⊆N ，所以当M ＝∅时，2a ≤1－a ，则a ≤13；当M ≠∅时，M ⊆N ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a <2a ，1－a ≥1，2a ≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >13，a ≤0，a ≤2，无解．综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.故选C.27．(2022·湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪12<2x ＋1<16，B＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}答案 D 解析由题可知，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪12<2x ＋1<16，即2－1<2x ＋1<24，解得－2<x <3，又x ∈N ，所以A ＝{0，1，2}．因为1∈A ∩B ，则1∈B ，所以1－4＋m ＝0，解得m ＝3，所以B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}．故选D.28．(多选)(2022·江苏沭阳如东中学测试)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以为( )A ．15B ．0C ．3D ．13 答案 ABD解析 ∵x 2－8x ＋15＝0的两个根为3和5，∴A ＝{3，5}，∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{3}或B ＝{5}或B ＝{3，5}，当B ＝∅时，满足a ＝0即可，当B ＝{3}时，满足3a －1＝0，∴a ＝13，当B ＝{5}时，满足5a －1＝0，∴a ＝15，当B ＝{3，5}时，显然不符合条件，∴实数a 的值可以是0，13，15.故选ABD.29．(多选)(2022·山东滨州模拟)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中的真命题有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集 答案 AB解析 因为两个复数的和是复数，两个复数的差是复数，两个复数的积也是复数，所以集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集，A 正确；当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，B 正确；集合S ＝{0}显然是封闭集，但S 是有限集，C 错误；取S ＝{0}，T ＝{0，1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1不属于T ，故T 不是封闭集，D 错误．故选AB.30．(多选)(2022·湖南衡阳模拟)对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合M ，N ，定义集合M ⊗N ＝{x |f M (x )·f N (x )＝－1}．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{1，2，4}，则下列结论正确的是( )A ．1∈A ⊗B B ．2∈A ⊗BC ．4∉A ⊗BD ．A ⊗B ＝B ⊗A 答案 ACD解析 由题意知，f A (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈{2，4，6}，1，x ∉{2，4，6}，f B (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈{1，2，4}，1，x ∉{1，2，4}．当x ＝1时，f A (1)＝1，f B (1)＝－1，所以f A (1)f B (1)＝1×(－1)＝－1，故1∈A ⊗B ，A 正确；当x ＝2时，f A (2)＝－1，f B (2)＝－1，所以f A (2)f B (2)＝(－1)×(－1)＝1，故2∉A ⊗B ，B 错误；当x ＝4时，f A (4)＝－1，f B (4)＝－1，所以f A (4)f B (4)＝(－1)×(－1)＝1，故4∉A ⊗B ，C 正确；由定义及乘法的交换律可知，D 正确．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·江西南昌高三模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)求A ∩(∁U B )；(2)若集合C ＝{x |a ≤x ≤4a ，a >0}，满足C ∪A ＝A ，C ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意，得A ＝{x |－1≤x ≤5}，∁U B ＝{x |x <2或x >4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x <2或4<x ≤5}．(2)由C ∪A ＝A 得C ⊆A ，则⎩⎨⎧a ≥－1，4a ≤5，解得－1≤a ≤54.由C ∩B ＝B 得B ⊆C ，则11 / 11 ⎩⎨⎧a ≤2，4a ≥4，解得1≤a ≤2. 从而实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪1≤a ≤54. 2．(2022·云南师大附中月考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4，B ＝{x |x 2＋(b －a )x －ab ≤0}． (1)若A ＝B 且a ＋b <0，求实数a ，b 的值；(2)若B 是A 的子集，且a ＋b ＝2，求实数b 的取值范围． 解 (1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4＝{x |－1≤x ≤2}， ∵a ＋b <0，∴a <－b ，∴B ＝{x |(x －a )(x ＋b )≤0}＝{x |a ≤x ≤－b }，∵A ＝B ，∴a ＝－1，b ＝－2.(2)∵a ＋b ＝2，∴B ＝{－b ≤x ≤2－b }，∵B 是A 的子集，∴－b ≥－1且2－b ≤2，解得0≤b ≤1，即实数b 的取值范围为[0，1].。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1-4一元二次不等式与几类重要不等式的解法课件
() ()
解：(1)×； (2)√； (3)×； (4)×； (5)×.
不等式 2x2－x－3>0 的解集为
()
A. x|－1＜x＜32 C. x|x＜－1或x＞32
B. {x|x＜－3 或 x＞1} D. {x|x＜－1 或 x＞1}
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)－x2＋x>0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
()
(2)若二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(x1，x2)，则必有 a<0. (3)不等式 ax2＋bx＋c>0 恒成立，则 a>0 且 Δ<0.
() ()
(4)ax<b 的解集是ab，＋∞.
(2020 年江苏淮阴中学高二期末)不等式
x2－x－4 x－1 >1
的解集为
()
A. {x|x<－1 或 x>3}
B. {x|x<－1 或 1<x<3}
C. {x|－1<x<1 或 x>3}
D. {x|－1<x<1 或 1<x<3}
解：原不等式可化为x2－x－x－1 4－1>0，即x2－x－2x1－3>0，等价于(x＋1)(x－1)(x－3)>0.
(3)解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解：原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0(a∈R)， 即(ax－2)(x＋1)≥0(a∈R). 当 a＝0 时，原不等式可化简为 x＋1≤0， 原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当 a≠0 时，原不等式的解集由2a和－1 的大小决定，当 a>0 时，2a>－1；当－2<a<0 时， 2a<－1；当 a=－2 时，2a=－1；当 a<－2 时，2a>－1.
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第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算 理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ ) (5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ ) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )
1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 答案 D A．[1,3] B．[1,5] C．[3,5] D．[1，＋∞) 答案 C 解析 根据题意，得A＝{x|x2－6x＋5≤0}＝{x|1≤x≤5}， B＝{x|y＝x－3}＝{x|x≥3}，
所以A∩B＝{x|3≤x≤5}＝[3,5]． 3．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于( ) C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A 解析 因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 答案 D 解析 因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4； 当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10； 5．(2016·云南名校联考)集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x范围是____________． 答案 [2，＋∞) 解析 由A∩B＝A，知A⊆B， 从数轴观察得a≥2.
题型一 集合的含义 例1 (1)(2017·济南调研)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
答案 (1)B (2)0或98 解析 (1)当a＝0时，a＋b＝1,2,6； 当a＝2时，a＋b＝3,4,8； 当a＝5时，a＋b＝6,7,11.
(2)若a＝0，则A＝23，符合题意；
若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝98. 综上，a的值为0或98. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (1)(2016·临沂模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( ) A．－1∉A B．－11∈A C．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34∉A
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________. 答案 (1)C (2)2 解析 (1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.
(2)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，
所以a＋b＝0，得ba＝－1， 所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2. 题型二 集合的基本关系 的B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|x__________________． 答案 (1)B (2)[2 016，＋∞) (2)由x2－2 017x＋2 016<0，解得1故A＝{x|1又B＝{x|x
可得a≥2 016. 引申探究 本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________． 答案 (－∞，1] 解析 A＝{x|1
可得a≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为( )
A.13或－12 B．－13或12
C.13或－12或0 D．－13或12或0 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1____________． 答案 (1)D (2)(－∞，4] 解析 (1)由题意知A＝{2，－3}． 当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A； 当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝1a， 由B⊆A，可得1a＝－3或1a＝2， ∴a＝－13或a＝12. 综上，a的值为－13或12或0. (2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2； 当B≠∅时，若B⊆A，如图，
则 m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋1<2m－1，解得2综上，m的取值范围为(－∞，4]． 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于( )
A.－3，－32 B.－3，32
C.1，32 D.32，3 (2)(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)等于( ) A．[2,3] B．(－2,3] C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1
B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>32}，
得A∩B＝{x|32(2)由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}． ∴∁RQ＝(－2,2)．又P＝[1,3]， ∴P∪(∁RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 命题点2 利用集合的运算求参数 例4 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12 C．a≥－1 D．a>－1 A．0 B．1 C．2 D．4 答案 (1)D (2)D 解析 (1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
(2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． (1)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) (2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1围为( ) A．[－1,2) B．[－1,3] C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞) 答案 (1)C (2)D 解析 (1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C. (2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A. ①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠∅时，有 －3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1综上，m的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题 例5 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为( ) A．77 B．49 C．45 D．30