新人教A版必修4高中数学2.4.1平面向量数量积的含义学案

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高中数学下学期 24平面向量的数量积教案新人教A版必修4 教案

【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
四、变式演练,深化提高
练习1:四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求.
五、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?
布置作业
课本P108习题2.4A组第1,2,3题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)力F所做的功W=Fs cosθ.
(2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量.
(3)W=F·s.
二、信息交流,揭示规律
1.数量积的概念
|a|·|b|cosθa·b
问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.
问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘。

高中数学 2.4平面向量的数量积教案1 新人教A版必修4

课题：平面向量的数量积（1）二．教学目标：1.理解平面向量数量积的概念；2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,]π；3.掌握两向量共线及垂直的充要条件；4.掌握向量数量积的性质。

三．教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四．教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法： ||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．（二）新课讲解： 1．向量的夹角：已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角。

当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0．3．数量积的几何意义：（1）投影的概念：如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是一负值；当90θ=时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -．（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

Aa b）Bb1B O1 1()B【练习】：①已知||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，则a b ⋅=10-；②已知||4b =，a 在b 上的投影是1||2b ，则a b ⋅= 8 ； ③已知||5a =，||4b =，32a b ⋅=-a 与b 的夹角θ=135．（3）数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a ba b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=．4．例题分析：例1．已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120，∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 122()362=⨯⨯-⨯=-．例2．已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =， ∵0a b c ++=， ∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+， ∴ABC ∆中，90C =， ∴tan 3A =，∴30A ∠=，60B ∠=，所以，3323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-．五．课后练习：课本119P 练习第2，3，4．补充：1．若非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，则a b ⋅= 0 ．六．课堂小结：1．向量数量积的概念； 2．向量数量积的几何意义； 3．向量数量积的性质。

人教版高中数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b = a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10. （2）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21.(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9.（4）（2a -b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2,（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .【例2】已知a 与b 的夹角为30°，且|a |=3,|b |=1,求向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦. 思路分析：利用cosθ=||||q p q p •确定p ,q 的夹角，必先求pq 及|p ||q |，而求|p|及|q|利用模长公式|p |2=p 2,|q |2=q 2.解：∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+•+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+•-b b a a ∴cosθ=77272||||==•q p q p . 温馨提示（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a |2=a 2及cosθ=||||b a b a •. （2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例3】已知|a |=4，|b |=3，a 与b 的夹角为120°，且c =a +2b ，d =2a +k b ，问当k 取何实数时，（1）c ⊥d;(2)c ∥d思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件.解：设c 与d 的夹角为θ，则由已知,得c ·d=（a +2b ）·（2a +k b ）=2a 2+（4+k ）a ·b +2k b 2=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k.|c |=|a +2b |=2244b b a a +•+ =2834120cos 344422=⨯+︒⨯⨯+. |d |=|2a +k b |=22244b k b ka a +•+ =2223120cos 34444⨯+︒⨯⨯•+⨯k k =.642492+-k k∴cosθ=.)64249(746||||2+-+=•k k k d c d c (1)要使c ⊥d ，只要cosθ=0,即6k+4=0,∴k=-32. (2)要使c ∥d ,只需cosθ=±1, 即)64249(72+-k =±(6k+4),解得k=4.综上，当k=-32时，c ⊥d ;当k=4时，c ∥d . 温馨提示两向量平行，夹角为0°或180°,故有a ·b =|a ||b |或a ·b =-|a ||b |.而两向量垂直，夹角为90°,所以a ·b =0,反之也成立.3.正确理解两向量夹角的定义【例4】 Rt △ABC 中，已知|AB|=3，|BC|=3，|CA|=23，求·+·+·的值.思路分析：只需求出向量AB 与BC ，BC 与CA ，CA 与AB 的夹角，利用数量积定义求解.解：∵∠A=∠C=45°, ∴与夹角为135°,与夹角为135°,与夹角为90°.∴·+·+· =BC ·CA +CA · =3×32·cos135°+32×3·cos135°=-18.温馨提示正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。

人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。

高中数学 2.4《平面向量的数量积》导学案新人教A版必修4

2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a . 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角. 新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b ca =c如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0 时投影为 |b |；当 = 180 时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a||4 cos =||||b a ba5 |a b | ≤ |a ||b |例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.课堂小结（略）作业（略）拓展提升1.已知向量(3,1)a r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b r r ，则b r （）A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1( .条件甲：0AC BC u u u r u u u r；条件乙：点C 的坐标是方程122y x 的解.则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知||22,||3,p q p u r r u r 与q r 的夹角为4，则以52,3a p q b p q r u r r r u r r 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为（）A.15B.15C.14D.164.把点(2,2)A 按向量(2,2) 平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC u u u r u u u r，则点C 的坐标为 .5.把函数5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象,且a b r r ,)1,1( c，4 c b ,则 b.6.不共线向量a r ，b r 的夹角为小于120o的角，且||1,||2a b r r ，已知向量2c a b r r r ，求||c r的取值范围.7. 已知向量,a b r r 满足||||1a b r r ，且||3|a kb ka b r r r r，其中0k .（1）试用k 表示a b r r ，并求出a b r r 的最大值及此时a r 与b r的夹角的值；（2）当a b r r 取得最大值时，求实数，使||a b r r的值最小，并对这一结果作出几何解释.8. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]222264x x x x a b xr r .（1）求a b r r 及；||a b r r；（2）求函数()()(||a b f x R a b r r r r 且0) 的最小值.参考答案例1 （略）例2 （略）例3 （略）例4解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.拓展提升1 提示：设(,)(0)b x y y r 33x y 221(0)x y y .2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC u u u r u u u r 2(1)(1)0x x y ,∴0AC BC u u u r u u u r 122 y x ，∴甲是乙的充要条件.3 提示：经验证，知以a b r r 为对角线时，其长度较短，6a b p q r r u r r.4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC u u u r u u u r，可求得点C的坐标为(0,2).5 )1,3( 提示：由函数 5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象，可得(1,3)a r；设(,)b m n r ，由a b r r 和4 c b得：304m n m n ，解之得3,1m n .6 解：2222|||2|||44||178cos c a b a a b b r r r r r r r （其中为a r 与b r 的夹角）.∵0120 o, ∴1cos 12, 13||5c r , ∴||c r 的取值范围为13,5).7解：（1）2221||3|()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k kr r r r r r r r r r . ∴111()42a b k k r r ,此时1cos 2 ，23 .∴21(0)4k a b k k r r ，a b r r 的最大值为12 ，此时a r 与b r 的夹角的值为23. （2）由题意，12a b r r ，故22213||1()24a b r r ，∴当12 时，||a b r r 的值最小，此时1||02a b b r r r ，这表明当1()2a b b r r r .8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222x x x x x xa b x r r ； 223333|||(cos cos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x xa b r r 3322(coscos sin sin )22cos 22cos 2222x x x xx x .（2）cos 21()(cos )2cos 2cos xf x x xx, ∵[,]64x , ∴1cos 2cos x x是减函数，①当0 时，()f x 的最小值为()04f；②当0 时，()f x 的最小值为()6f.综上，当0 时，()f x 的最小值为0；当0 时，()f x .。

高中数学必修四 2.4平面向量的数量积学案新人教A版必修4

2.4 向量的数量积1. 预习目标(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题．2. 预习提纲(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算．(2)阅读课本P76-80，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量积满足下列运算律；④a b ⋅的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件.(3)阅读课本P76-80例题.例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式a b ⋅=cos a b θ⋅．例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出b a -3、b a 2-这两个向量的坐标表示，在计算它们的数量积．例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角．例4用到了分类讨论的数学思想方法．3. 典型例题(1) 平面向量数量积的概念及几何意义向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握. 例1 已知||a =3，||4b =，a 与b 的夹角为32π，求： (1)a ·b ；(2))2()23(+⋅-；(3)22a b -；(4) ||-；(5) |3|a b -. 分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及a b ⋅，22,a b ，还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则. 解：(1) a b ⋅=6)21(43cos ||||-=-⨯⨯=⋅θ； 2222(2)(32)(2)3443||44||a b a b a a b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅- 394(6)41661=⨯+⨯--⨯=-；(3)22229167a b a b -=-=-=-；(4)222||()292a b a b a a b b -=-=-⋅+=-=；(5)|3|a b -229681a a b b =-⋅+=+=点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用22a a =.尤其是求解模问题是一般利用2a a =转化为求模的平方. 例2 (1)设|a |=12，|b |=9 ，a ⋅b =-542 求a 与b 的夹角θ；(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝4，||＝2．如果向量＋k 与5＋垂直，求实数k 的值；(3)已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求,a b 的夹角的大小．分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.解：(1)cos θ=||||a b a b ⋅⋅=22912254-=⨯- ∵0︒＜θ＜180︒ ∴θ=1350．(2)由题意a b ⋅=|a |⋅|b |cos120°=4×2×(-21)=-4， ∵(＋k )⊥(5＋)，∴(＋k b )⋅(5＋)=0，即 52＋(5k ＋1) a b ⋅＋k 2＝０，∴5||2＋(5k ＋1)⋅(-4)＋k ||2＝0， ∴5×16-(20k ＋4)＋4k =0，∴k =419． (3)因为3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，(3)(75)0(4)(72)0a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎪∴⎨-⋅-=⎪⎩，2222716150(1)73080(2)a ab b a a b b ⎧+⋅-=⎪⎨⎪+⋅+=⎩ (1)-(2)得：22a b b ⋅=(3)将(3)代入(1)得22a b =即a b =． 22112cos 2b a b a b bθ⋅∴=== 又∵0︒＜θ＜180︒ ， ∴θ=600．点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式cos a ba b θ⋅=，故应求两个整体a b ⋅与a b ⋅；(2)转化垂直条件建立参数k 的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质22a a =；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角范围．例3 已知向量a =(4，-2)，b ＝(6，-3)，记a 与b 的夹角为θ．求：(1)a b ⋅；(2)θ的大小；(3)|2a -3b |；(4)(2a -3b )⋅(a ＋2b )．分析：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，cos θ222221212121y x y x y y x x +⋅++解：(1)a b ⋅＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；(2)cos θ||||b a ⋅1=，又因为[]0,θπ∈，所以θ=0；(3)方法一：|2a －3b |=＝])3(6[9)]3)(2(64[12])2(4[42222-++--+⨯--+＝5512540536080==+-；方法二：232(4,2)3(6,3)(8,4)(18,9)(10,5)a b -=---=---=-|23a b -==(4)方法一：(2－3)⋅(＋2)=22＋⋅－62=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200．方法二：23a b -=(-10，5)，a ＋2b =(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8) (23a b -)⋅(＋2)=(-10，5)⋅(16，-8)= -160-40= -200．点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的范围．例4 在ABC ∆中,120,2,1,BAC AB AC ︒∠===D 是边BC 边上一点,DC =2DB ,求AD BC ⋅．分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为AB 与AC 的内积计算．思路二：建系利用坐标运算．解：方法一：1()()()()3AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅- =22118[2][121cos12024]333AC AB AC AB ο+⋅-=+⨯⨯-⨯=- 方法二：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ,(1,0)C ,(B -,(2,BC =,由13BD BC =,设(,)D x y ,则2133x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得D (13-) 28233AD BC ⋅=--=-． 4. 自我检测(1)已知63a =,1b =,9a b ⋅=-,则向量a 与向量b 的夹角θ＝．(2)已知4a =,5b =,当(1)//a b ；(2)a b ⊥；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．(3)已知(1,)a m =与(,4)b n =-共线，且(2,3)c =与b 垂直，则m +n 值为．(4)已知(3,2)a =--,(4,3)b =--,则3a 2－2a b ⋅等于． (5)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的心．三、课后巩固练习A 组 1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅= ．2．已知|a |＝|b |＝1，且(2a -b )⋅(3a －2b )＝8，则a 与b 的夹角为．3．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= ．4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则有下列命题： ①(a ⋅b )c －(c ⋅b )a ＝0 ； ②|a |－|b | < |a －b |； ③(b ⋅)a －(c ⋅a )b 与不垂直； ④(3a ＋2b )⋅(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2．这些命题中，是真命题的有．5．在△ABC 中，若AB ⋅AC <0，则△ABC 的形状一定是_________三角形．6．已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则b = ． 7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC =4, |CA |=5，则A B B C B CC A C A A B ⋅+⋅+⋅的值等于________． 8．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于________．9．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA⋅=⋅=⋅,则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的．(选用重心、外心、垂心、内心填空 ) 10．已知向量OA =(－1，2)，OB =(3，m)，且OA ⊥AB ，则m 的值为__ __．11．已知a +b =(2，-8)，a -b =(-8，16)，则a b ⋅＝______，a 与b 的夹角的余弦值是_______．12．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =_______． 13．已知向量(1,2)a =，(2,3)b =-．若向量c 满足()c a +∥b ，()c a b ⊥+，则c =______．14．已知点A (-2，-3)，B (19，4)，C (-1，-6)，则△ABC 的形状是是．15．设a ＝(x ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则x 的取值范围是．16．已知a =(-3，2)，b =(1，2)，c =a +k b ，d =3a －b ，若c //d ，则k =_____；若c ⊥d ，则k =__________．B 组17．已知1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且a ＝31e ＋22e ，b ＝－31e ＋42e ，求a b ⋅． 18．设|a |=2，|b |=1，且a 与b 的夹角为45︒，向量x =a +b ，y =a -b ，试求x 与y 的夹角的余弦值．19．已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋2b |的值．20．已知向量,的夹角为60°,且(＋3)⊥(7－5)，求证：(－4)⋅(7－2)＝0．21．设向量＝(3，1)，向量＝(－1，2)，向量⊥，向量//，若＋＝，求D 的坐标(其中O 为坐标原点)．D C A B22．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=， 4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为__________． 23．在平面四边形ABCD 中，若6AC =，4BD =，则()()A B D C A C B D +⋅+的值为．24. 如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是__ __.25．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，MD NC ⋅的值是____________． 26．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,AD =上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.27.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.C 组28．直角坐标系xOy 中，i,j 分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若2,3AB AC k =+=+i j i j ，则k 的可能值个数是．29．设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ⋅b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为．30．设a ，b ，c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a c b c -⋅-的最小值为．31．(1)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是．(2).在平行四边形ABCD 中,3A π∠=, 边,AB AD 的长分别为2、1. 若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值范围是_________ .32. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则a b = .33．如图，设向量a 与b 的夹角为60°，且|a |>|b |．是否存在满足条件的a ，b ，使|a +|＝2|a -b |？请说明理由．34．在直角ABC ∆中，已知BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角取何值时，BP CQ ⋅的取值最大？并求出这个最大值．。

人教版数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．1．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________叫做a 与b 的数量积(或内积)，其中θ是a 与b 的夹角记法记作a ·b ，即a ·b ＝|a||b |cos θ 规定零向量与任一向量的数量积为____投影 ____________(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影______________的乘积(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a 的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定 2．运算律交换律 a ·b ＝________ 结合律 (λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·________分配律(a ＋b )·c ＝________(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bca ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )．其中正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．向量数量积的性质垂直 a ⊥b ________共线同向 a·b ＝________a ·a ＝a 2＝|a |2 |a |＝a ·a反向a·b ＝________绝对值|a ·b |≤________符号a ·b ＞0θ∈________ a ·b ＝0 θ＝________a ·b ＜0θ∈________夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； (2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2； (3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )．【做一做3－1】在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________. 【做一做3－2】已知|a |＝7，则a ·a ＝__________. 【做一做3－3】已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1. 2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c 【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎡⎭⎫0，π2 π2 ⎝⎛⎦⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0. 【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】0cos θ＝a·b|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b；在向量的数乘中，若λa＝0，则λ＝0或a＝0；在实数的乘法中，若ab＝0，则a＝0或b＝0.在向量的数量积中，a·b＝b·c b＝0或a＝c或b⊥(a－c)；在向量的数乘中，λa＝λb(λ∈R) a＝b或λ＝0；在实数的乘法中，ab＝bc a＝c或b＝0.在向量的数量积中，(a·b)c≠a(b·c)；在向量的数乘中，(λm)a＝λ(m a)(λ∈R，m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c＝a(bc)．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a，b到原点的距离的积．题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(3a＋b)的值为__________．反思：已知向量a与b的夹角为θ，且|a|＝m，|b|＝n，求(x a＋y b)·(s a＋t b)，其中x，y，s，t，m，n∈R，且m＞0，n＞0，其步骤是：①先求a·b；②化简(x a＋y b)·(s a＋t b)＝xs|a|2＋(xt＋ys)a·b＋yt|b|2；③将a·b，|a|，|b|代入即可．题型二求向量的长度【例2】若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于()A．3 B．2 2 C．10 D.10反思：已知不共线的向量a与b，求|x a＋y b|(x，y∈R)时，其步骤是：①求a·b；②求|x a ＋y b|2＝x2|a|2＋2xy a·b＋y2|b|2；③求|x a＋y b|.题型三求两向量的夹角【例3】已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，求a与b的夹角θ.分析：求出a，b的数量积a·b，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值．反思：求向量a与b的夹角θ的步骤：(1)计算a·b，|a|，|b|；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |计算cos θ；(3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四证明两向量垂直【例4】已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )．分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零．反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五判断平面图形的形状【例5】在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】－8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29，∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12.又0≤θ≤π，∴θ＝π3.【例4】证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2. ∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2. ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12D ．23．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0， ∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0，所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |. 3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60. (2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.4 平面向量的数量积教案

θab数学学科必修4模块第二单元教学设计方案第七学时～第八学时:第二方案2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成问题：给θ一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角说明：（1）当θ＝０时，a 与b 同向；（2）当θ＝π时，a 与b 反向；教师引导学生，注意： 1.两向量必须同起点； 2.θ的取值范围； 3.数量积的定义公式形式； 4.注意特殊向量零让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）0与任何向量的数量积为向量定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1、e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2、a ⊥b ⇔a ⋅b = 03、 a ⋅a = |a |2或||a a a =4、cos θ =||||a ba b5、|a ⋅b | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？如何验证。

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案241平面向量数量积的物理背景及含义.doc

2. 4. 1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其儿何意义；2.掌握平而向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平而向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向暈垂貢的条件.教学重点：平回向量的数量积定义教学难点：平而向量数量积的定义及运算律的理解和平而向量数量积的应川教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：己知非零向量齐与'作0A = a 9 OB = b,则Z/ 0B= 0（ 0 W 乃）叫匂与b的夹角.说明：（1）〃 =0 时, 0 =兀时,(2)(3)(3)(4)JT〃=丝时,2注意在两向量的夹允定义，两向暈必须是同起点的•范围0。

£共180。

两向量共线的判定练习1•若沪(2, 3), 戻(4，T+y),且a// by则尸(C )A.6B.5C.7D.8A•-3 〃•一1 C. 1 D. 3B（l, 3）, CQ, 5）三点共线，则/的值为（B ）力做的功：W = |F|-|s|cos6, 0是尸与s的夹角.〃二、讲解新课：1.平而向量数量积（内积）的定义：己知两个非零向量a与b,它们的夹角是（）, 则数量|a| \b\cos。

叫a与的数量积，记作a・b,艮睛a-b- \a\\b\ cosO, 0 W 0W乃）・并规定0向量为任何向量的数暈积为0.•探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为止？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号山cos。

的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成"方；今后要学到两个向量的外积氷b,而"方是两个向屋的数量的积，书写时要严格区分.符号“・”在向量运算屮不是乘号，既不能省略,也不能用“ X ”代替.（3）在实数中，若麻0, Q. 5-Z F O,则H0；但是在数量积中，若曲0,且击0,不能推出E0.因为其中cosO有可能为0.(4)已知实数臼、b、c(/?^0),则ab=bc =>臼二c.但是a-b -方・c井如右图:a-b = | c?| | Z?| cosp = \b\ |0A|, b・c 二\ b\ \ c\cosa = | => a-b= b-c但日 H c(5)在实数中,W (a-Z?) c = a(b-c),但是(a-6) c h a(b-c)显然，这是因为左端是与C共线的向量，而右端是与臼共线的向量，而一般臼与c不共线.2.“投影”的概念：作图定X： 1*1 cosO叫做向量力在a方向上的投影•投影也是一个数量,不是向量;当e为锐角吋投影为正值；当e为钝角吋投影为负值；当&为直角吋投影为o；当e = o。

平面向量的数量积学案

平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。

掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。

3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。

4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。

三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。

b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。

c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。

3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。

b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。

c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。

4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。

b. a · b = |a| * |b| * cosθ。

5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。

b. |a| = √(a · a)。

四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。

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高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案
新人教A 版必修4
【学习目标】
1、理解平面向量数量积的含义，
2、掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；
3、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这
些性质和运算律解决有关问题。

【重点难点】
1、掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；
2、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这
些性质和运算律解决有关问题。

【学习内容】
问题情境导学
一、向量数量积的定义
【想一想】
(1)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？
(2)如果我们把上述公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表述？
【填一填】
(1)已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量_____叫做a
与b 数量积(或内积),记作b a ⋅即b a ⋅=________，
(2)规定零向量与任一向量的数量积为______________．
【思考】
向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
二、向量数量积的几何意义
【想一想】结合图形，你能作出θcos b 吗？
【填一填】
数量积的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的
投影___________的乘积．
【思考】
b 在a 方向上的投影θcos b 是个什么量？
三、向量数量积的性质
【想一想】
的夹角︒=0θ，︒90，︒180时，b a ⋅的结果怎样？当b a =时，b a ⋅的
结果又怎样？
【填一填】
设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．
(1)a ⊥b ⇔__________________；
(2)当a 与b 同向时，b a ⋅=________，当a 与b 反向时，
b a ⋅=________；
(3)a a ⋅=________或a a a ⋅=2a =；
(4)b
a b a ⋅=θcos ； (5) ||b a ⋅b a =．
【思考】
若b a ⋅0>，a 与b 的夹角是锐角吗？若b a ⋅0<，a 与b 的夹角是钝角吗？返过来呢？
四、向量数量积的运算律【想一想】
若c b a ，，，λ是实数，则下列运算律成立：
(1)a b b a ⋅=⋅；
(2))()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅；
(3)c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；
(4))()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅．若以上字母除λ外都是向量，以上运算律还成立吗？
【填一填】
(1)b a ⋅=________；
(2)=⋅b a )(λ________________))((R b a ∈⋅=λλ ；
(3)=⋅+c b a )(__________________．
【思考】
若c a b a ⋅=⋅，b 与c 一定相等吗？为什么？
课堂互动探究
【类型一】数量积的基本运算
例１、已知4=a ，5=b ，当①a //b ；②b a ⊥；③a 与b 的夹角为︒
135时，分别求a 与b 的数量积．
【类型二】与向量的模有关的问题
例2、已知向量a 、b 满足2=a ，3=b ，4=+b a 求 b a -．
【类型三】两向量的垂直与夹角问题
例3、已知3=a ，2=b ，向量a 、b 的夹角为︒60，=c b a 53+，b a m d 3-=，求当m 为何值时，d c 与垂直？
【课后作业与练习】
基础达标
(1)若2=a ，21
=b ，a 与b 的夹角为︒60，则b a ⋅为 (A)21 (B)4
1
(C)1 (D)2
(2)已知3=b ，a 在b 方向上的投影是32，则b a
⋅为
(A)31 (B)34 (C)3 (D)2 (3)已知10=a ，12=b ，且b a ⋅60-=，则a 与b 的夹角
(A)︒60 (B)︒120 (C)︒135 (D)︒150
(4)设a 与b 的模分别为4或3，夹角为︒60，则b a +等于
(A)37 (B)13 (C)37 (D)13
(5)已知a 、b 是非零向量，且满足a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b
的夹角是 (A)6
π (B)3π (C)32π (D)65π (6)若两个单位向量1e ，2e 夹角为3
2π，且向量2112e e b -=，21243e e b +=，则=⋅21b b ___________________．
(7)已知向量a 、b 满足b a ⋅，且
1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角是___________________．
(8) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，若b a c +=，且
a c ⊥，则
b a
的值为___________________．能力提升
(9)已知1=a ，b a ⋅2
1= ，21)()(=+⋅-b a b a ． ①求a 与b 的夹角θ；
②求b a +．
(10)在边长为1的正三角形ABC 中，设BD BC 2=， CE CA 3=，求BE AD ⋅．
(11)已知b a ⊥，且2=a ，1=b ，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得b t a )3(-+与b t a k +-垂直，试求k 的最小值．
(12) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，2=a ，4=b ，设)(R x b a x y ∈+= ，试求y 的最小值，并求出相应的x 值．。