九年级数学下册第24章圆24.3圆周角23.3.1圆周角定理及其推论同步练习(含解析)沪科版
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角23.3.2圆内接四边形同步练习含解析沪科版
第 2 课时圆内接四边形知识点 1 圆内接多边形的看法1．以下说法正确的选项是 ( )A ．圆内接四边形是指四个极点都在这个圆内的四边形B ．圆内接多边形的各个极点在圆上或圆内C ．经过四边形各个极点的圆叫做这个四边形的内接圆D ．圆内接五边形是指五个极点都在这个圆上的五边形 2．以下多边形必定有外接圆的是 ( )A ．平行四边形B ．三角形C ．五边形D．六边形2圆内接四边形的性质24－ 3－ 20，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，若∠ A ＝ 70°，则∠ C 的度数是(图 24－ 3－20B ． 110°D． 130°4．如图 24－3－ 21，四边形 ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 的延长线上一点，若∠ BAD＝ 105°，则∠ DCE 的度数是 ()图 24－ 3－ 21A ． 115°B．105°C ． 100° D．95°5．2018·邵阳 如图 24－ 3－ 22 所示，四边形为⊙ O 的内接四边形， ∠＝ 120°，ABCDBCD则∠ BOD 的度数是 ()图 24－ 3－22A ． 80°B ． 120°C ． 100°D．90°6．2017·广东 如图 24－3－ 23，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，DA ＝ DC ，∠ CBE ＝50°，则∠DAC A ． 100°C ． 120°知识点 3．如图)图 24－ 3－23 A． 130°B．100°C． 65°D．50°7．教材例 2 变式如图 24－ 3－ 24，在圆内接四边形ABCD中，若∠ A，∠ B，∠ C的度数之比为 4∶ 3∶ 5，则∠D的度数是 ________．图 24－ 3－248．如图 24－ 3－ 25，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别订交于点E，F，若∠ A＝55°，∠E＝ 30°，则∠F＝ ________° .图 24－ 3－259．教材练习第 1 题变式如图24－3－26，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，若∠ABO ＋∠ ADO＝50°，则∠ BCD的度数是________．图 24－ 3－2610．教材习题 24.3 第 10 题变式已知：如图 24－ 3－ 27，⊙O1和⊙O2订交于A，B两点，经过点 A 的直线 CD与⊙ O1交于点 C、与⊙ O2交于点 D，经过点 B 的直线 EF与⊙ O1交于点 E、与⊙ O2交于点 F，连接 CE，DF.若∠ C＝110°，则∠ D的度数为________．图 24－ 3－2711．如图 24－ 3－ 28，四边形ABCD是圆内接四边形，AD，BC的延长线订交于点P，∠APB的均分线交 CD于点 E，交 AB于点 F.求证：∠ CEF＝∠ BFE.图 24－ 3－2812．如图 24－ 3－ 29，在圆内接四边形ABCD中， AD与 BC的延长线订交于点P，BD与 AC 订交于点 E.则图中的相似三角形有()图 24－ 3－29A．5 对B．4对C．3 对D．2对13．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，假如∠COD＝ 32°，那么∠B的度数为 ()A． 16°B． 32°C． 16°或 164° D ．32°或 148°14．教材练习第 2 题变式如图 24－3－ 30，四边形内接于⊙，是⊙O 的直径，ABCD O BCAD∥ BC， AC与 BD订交于点 P，若∠ ABD＝70°，则∠ ADC的度数是________．图 24－ 3－ 30︵︵15． 2017·盐城如图24－3－31，将⊙ O沿弦AB折叠，点C在 AmB上，点 D在AB上，若∠ACB＝70°，则∠ ADB＝________°.图 24－ 3－3116． 2017·凉山州如图24－3－32，已知四边形ABCD内接于半径为4 的⊙O中，且∠C ＝2∠A，则BD＝ ________．图 24－ 3－ 3217．如图 24－ 3－ 33，四边形ABCD内接于⊙ O，点 P在 BC的延长线上，且PD∥ AC.求证： PC·AB＝ AD·CD.图 24－ 3－3318．如图 24－ 3－ 34，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为 (0 ， 4) ，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙ C的半径及圆心C的坐标．图 24－ 3－3419．如图 24－ 3－ 35，在△ABC中，∠C＝ 60°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙ O的半径为2 3.(1) 求证：△CDE∽△CBA；(2)求 DE的长．图 24－ 3－3520．如图 24－ 3－ 36，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点 C，使得 CD＝ BD，连接 AC交⊙ O于点 F，连接 AE， DE， DF.(1) 求证：∠E＝∠C；(2) 若∠E＝55°，求∠BDF的度数；2︵(3)设 DE交 AB于点 G，若 DF＝4，cos B＝3， E是 AB的中点，求 EG· ED的值．图 24－ 3－36教师详解详析1．D2．B3．B[解析]依据圆内接四边形的对角互补，可得∠C＝ 180°－∠ A＝ 110°.4．B[解析]因为四边形 ABCD是圆内接四边形， E 是 BC延长线上一点，因此∠DCE是圆内接四边形 ABCD的外角，因此∠ DCE＝ 180°－∠ BCD＝∠ BAD＝ 105° .5．B[解析 ]∵四边形 ABCD为⊙ O的内接四边形，∴∠ A＝ 180°－∠ BCD＝ 60°，由圆周角定理得∠ BOD＝ 2∠ A＝ 120° .6．C1 [解析]∵∠ CBE＝ 50°，∴∠ D＝∠ CBE＝ 50° . ∵ DA＝ DC，∴∠ DAC＝∠ DCA＝2×(180 °－ 50° ) ＝ 65° .7． 120° [ 解析 ] ∵∠ A，∠ B，∠ C 的度数之比为4∶ 3∶ 5，∴设∠ A＝ 4x，则∠ B＝ 3x，∠ C＝ 5x.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝ 180°，即 4x＋5x＝ 180°，解得 x＝ 20°，∴∠ B＝ 3x＝60°，∴∠ D＝ 180°－ 60°＝ 120°.8． 409．130° [ 解析 ] 连接 AO，则∠ ABO＝∠ BAO，∠ ADO＝∠ DAO，∴∠ BAD＝∠ BAO＋∠DAO ＝∠ ABO＋∠ ADO＝ 50°，∴∠ BCD＝180°－ 50°＝ 130° .10． 70°[ 解析 ]连接AB，则∠ ABF＝∠ C＝110°，∴∠ D＝180°－110°＝70° .11．证明：∵ PF 均分∠ APB，∴∠ APF＝∠ BPE.又∵∠ CEF＝∠ ECP＋∠ BPE，∠ BFE＝∠ A＋∠ APF，∠ A＝∠ ECP，∴∠ CEF＝∠ BFE.12．B[ 解析 ]∵∠ BAE＝∠ CDE，∠ ABE＝∠ DCE，∴△ ABE∽△ DCE.∵∠ DAE＝∠ CBE，∠ ADE＝∠ BCE，∴△ ADE∽△ BCE.∵∠ P＝∠ P，∠ PAC＝∠ PBD，∴△ PAC∽△ PBD.∵∠ P＝∠ P，∠ PDC＝∠ PBA，∴△ PDC∽△ PBA.应选 B.13．D[ 解析 ]如图，∵△ OAC是等腰三角形，OD⊥ AC，∴ OD是∠ AOC的均分线，∴∠AOC＝ 2∠ COD＝ 64° .1①当点 B 在优弧 AC上时，由圆周角定理知，∠B＝2∠ AOC＝ 32°；②当点 B在如图点 E的地点时，由圆内接四边形的对角互补知，∠ E＝180°－∠ B＝148°.应选 D.14．100° [ 解析 ] 因为夹在两条平行弦之间的弧相等，∴∠ PBC ＝∠ PCB.又∵ BC 是⊙ O的直径，∠ ABD ＝ 70°，∴∠ APB ＝ 20°，则∠ PBC ＝∠ PCB ＝ 1∠ APB ＝ 10°，∴∠ ABC ＝80°， 2 ∴∠ ADC ＝ 100°.15．110 [ 解析 ] 如图，设点 D ′是点 D 折叠前的地点，连接 AD ′， BD ′，则∠ ADB ＝∠ AD ′B. 在圆内接四边形 ACBD ′中，∠ ACB ＋∠ AD ′B ＝ 180°，因此∠ AD ′B ＝ 180°－ 70°＝110°，因此∠ ADB ＝ 110° .16． 4 3 [ 解析 ] 连接 OD ， OB ，过点 O 作 OF ⊥ BD ，垂足为 F.∵ OF ⊥ BD ，∴ DF ＝ BF ，∠ DOF ＝∠ BOF. ∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴∠ A ＋∠ C ＝ 180° .∵∠ C ＝ 2∠A ，∴∠ A ＝ 60°， ∴∠ BOD ＝ 120°，∴∠ BOF ＝60° .∵ OB ＝ 4，∴ BF ＝OB · sin ∠ BOF ＝ 4× sin 60°＝ 2 3， ∴ BD ＝ 2BF ＝ 4 3. 17．证明：连接 BD.∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴∠ PCD ＝∠ DAB.又∵ PD ∥ AC ，∴∠ P ＝∠ ACB ＝∠ BDA ， ∴△ DPC ∽△ BDA ，∴ PC ∶ AD ＝CD ∶ AB ，即 PC ·AB ＝AD ·CD.18．解：∵∠ AOB ＝ 90°，∴ AB 为⊙ C 的直径．∵四边形 AOMB 是圆内接四边形，∠ BMO ＝ 120°， 依据圆内接四边形的对角互补获得∠ OAB ＝ 60°，∴∠ ABO ＝ 30° .∵点 A 的坐标为 (0 ，4) ，∴ OA ＝ 4，∴ AB ＝ 2OA ＝ 8，∴⊙ C 的半径为 4. 由勾股定理得 BO ＝ 4 3.如图，过点 C 作 CE⊥ y 轴，垂足为E，依据三角形的中位线定理得CE＝1BO＝ 23， AE2＝ OE＝2，∴圆心 C的坐标为 (－23，2) ．19．解： (1) 证明：∵四边形ABED为⊙ O的内接四边形，∴∠ CED＝∠ A( 或∠ CDE＝∠ B)．又∵∠ C＝∠ C，∴△ CDE∽△ CBA.(2)方法 1：连接 AE.DE CE由(1)得＝ .AB AC∵AB 是⊙ O的直径，∴∠AEB＝∠ AEC＝ 90° .在 Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°，DE CE1∴ ＝＝，∴ DE＝2 3.AB AC2方法 2：连接 DO， EO.∵AO＝ DO＝EO＝ BO，∴∠ CAB＝∠ ODA，∠ B＝∠ OEB.∵∠ A＋∠ B＝ 180°－∠ C＝ 120°，∴∠ ODA＋∠ OEB＝ 120° .∵∠ A＋∠ B＋∠ ADE＋∠ DEB＝ 360°，∴∠ ODE＋∠ OED＝ 360°－∠ A－∠ B－∠ ODA－∠ OEB＝ 360°－ 120°－ 120°＝ 120°，∴∠ DOE＝ 60°，∴△ ODE为等边三角形，∴DE＝ OB＝2 3.20．解： (1) 证明：如图，连接AD，∵AB 是⊙O的直径，∴∠ ADB＝ 90°，即 AD⊥ BC.又∵ CD＝ BD，∴AD垂直均分 BC，∴AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C.又∵∠ B＝∠ E，∴∠ E＝∠ C.(2)∵四边形 AEDF是⊙ O的内接四边形，∴∠ AFD＝ 180°－∠ E＝ 125°，∴∠ CFD＝ 180°－∠ AFD＝ 55°，∴∠ CFD＝∠ E.又∵∠ E ＝∠ C ＝ 55°，∴∠ BDF ＝∠ C ＋∠ CFD ＝ 110° .(3) 如图，连接 OE ， ∵∠CFD ＝∠ AED ＝∠ C ，∴ BD ＝ CD ＝DF ＝ 4.2 ∵在 Rt △ ABD 中， cos B ＝ ， BD ＝ 4，3∴ AB ＝ 6.︵∵ E 是 AB 的中点， AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AOE ＝ 90° .1∵ AO ＝ OE ＝2AB ＝ 3，∴ AE ＝3 2.︵∵ E 是 AB 的中点，∴∠ ADE ＝∠ EAB ，又∠ AEG ＝∠ DEA ， ∴△ AEG ∽△ DEA ，AE ED ∴ EG ＝ AE ，即 EG ·ED ＝ AE 2＝ 18.。
沪科版九年级下册数学 24.3 ：圆周角定理及其推论 (共18张PPT)
C
A
·O
B
1.如图，在⊙O中，AC为直径， ∠AOB和∠ACB分
别是 A⌒B 所对的圆心角和圆周角，你认为∠AOB 与∠ACB的大小具有什么关系？说出你的理由.
C O·
A
B
∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC． 又 ∠AOB=∠OCB+∠OBC ∴∠AOB=2∠OCB
丁E
B
（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？
如果同学丙、丁分别站在他靠墙
的位置D和E，他们的视角
（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙
的视角相同吗？
1.∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？
（1）∠ACB的顶点C在⊙O C
上，而 ∠AOB的顶点C在
⊙O内。
B
（2）两个角的大小不同。
O
A
2.你知道∠ACB这一类的角名字吗？
∠ACB=
1 2
AOB
；
∠ADB=
1 2
AOB
；
∠ ACB =∠ ADB .
图 2如3 .图1 . 1 0
⌒ 1.在一个圆中，并画出AB所对的圆周角能
画多少个？它们有什么关系？
2.在同圆和等圆中，如果两个弧 相等，它们所对的圆周角一定 相等吗？为什么？反过来呢？
推论1：
C
同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
A
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝ 100°.
C
.O
P
九年数学下册第24章圆243圆周角2431圆周角和圆心角弧的关系习题课件新版沪科版2
由(1)得△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∴△PAB≌△DAC.∴PB＝DC. ∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
︵ (3)当点 P 位于AB的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求
出最大面积． ︵
解：当点 P 为AB的中点时，四边形 APBC 的面积最大． 如图②，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E， 过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F. ∵△ABC 是等边三角形， ∴F 为 AB 的中点，且 CF 过圆心 O.
︵︵ 5．[中考·贵港]如图，AD 是⊙O 的直径，AC＝BD，∠AOC＝140°，
则圆周角∠BPC 的度数是( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
︵ 6．[中考·绍兴]如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上，AB
︵ ＝BC，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是( D ) A．60° B．45° C．35° D．30°
如图，过点 D 作 DH⊥AB，垂足为 H.
∵12AB·DH＝12BD·AE， ∴DH＝BDA·BAE＝111×06＝353， ∴BH＝ BD2－DH2＝454， ∴AH＝AB－BH＝10－454＝65，∴tan∠BAD＝DAHH＝121.
13．如图，⊙O 的半径为 1，A，P，B，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC＝∠CPB＝60°.
【答案】二
12．[中考·福建]如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB＝AC，AC ⊥BD，垂足为点 E，点 F 在 BD 的延长线上，且 DF＝DC， 连接 AF，CF.
(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；
︵︵ 证明：∵AB＝AC，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12(180°－∠BAC)＝90°－12∠BAC. ∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°－∠CAD， ∴12∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD.
【精品资料】九年级数学下册第24章圆24-3圆周角23-3-2圆内接四边形同步练习(含解析)沪科版
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知识点 1 圆内接多边形的概念
1．下列说法正确的是( )
A．圆内接四边形是指四个顶点都在这个圆内的四边形
B．圆内接多边形的各个顶点在圆上或圆内
C．经过四边形各个顶点的圆叫做这个四边形的内接圆
D．圆内接五边形是指五个顶点都在这个圆上的五边形
2．下列多边形一定有外接圆的是( )
A．平行四边形 B．三角形
C．五边形 D．六边形
知识点 2 圆内接四边形的性质
3．如图24－3－20，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是( )
A．100° B．110°
C．120° D．130°
4．如图24－3－21，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC的延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是( )。
2022年精品解析沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练试题(含答案及详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则∠APB 的度数是（ ）．A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°2、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A．26︒B．32︒C．52︒D．64︒3、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个4、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°5、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A．直径所对圆周角为90︒B．如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径C．直径是最长的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦6、下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．∠的度数为（）8、如图，四边形ABCD内接于O，如果它的一个外角64∠=，那么BODDCE︒A．20︒B．64︒C．116︒D．128︒AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后9、如图，在ABC中，90BAC︒∠=，8ABC︒∠=，30△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．⊥于点E，10、如图，AB是O的直径，O的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，OD ACOA=，则阴影部分的面积为（）∠=︒，215CABA ．53πB ．56πC ．512πD ．524π 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，6AB =，BC =，AC =ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到BA C ''△，点A 经过的路径为弧AA '，点C 经过的路径为弧CC '，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）2、如图，半圆O 中，直径AB ＝30，弦CD ∥AB ，CD 长为6π，则由CD 与AC ，AD 围成的阴影部分面积为_______．3、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．4、如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点．若∠APO =25°，则∠AOP =___________°．5、已知60°的圆心角所对的弧长l 是3.14厘米，则它所在圆的周长是______厘米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，将AC 边绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，得到线段AD ，连接BD 交AC 边于点E ，过点C 作CF BD ⊥于点F ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：D ACG ∠=∠；（2）如图2，当60α=︒时，求证：AG =；（3）如图3，当45α=︒时，请直接写出2222EF DF AG DG ++的值． 2、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.3、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．4、如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD OC ∥，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接BD ．求证：（1）EDA EBD △△；（2）ED BC AO BE ⋅=⋅．5、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD 交O 于点E ，4=AD ，5AB =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，根据旋转的性质得4BE BP ==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，则BPE ∆为等边三角形，得到4PE PB ==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，根据勾股定理的逆定理可得到APE ∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，即可得到APB ∠的度数．【详解】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，可将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，如图，连接EP ，4BE BP ∴==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，BPE ∴∆为等边三角形，4PE PB ∴==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA ∴=+，APE ∴∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，9060150APB ∴∠=︒+︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．2、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角， ∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．3、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．5、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A 选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90︒，A 选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.6、A【分析】中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．7、B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8、D【分析】由平角的性质得出∠BCD =116°，再由内接四边形对角互补得出∠A =64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD =2∠A =128°．【详解】∵64DCE ∠=︒∴18064116BCD ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 内接于O∴180********A BCD ∠=︒-∠=︒-︒=︒又∵2BOD A ∠=∠∴264128A ∠=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．9、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B ．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．10、B【分析】由垂径定理可知，AE =CE ，则阴影部分的面积等于扇形AOD 的面积，求出75AOD ∠=︒，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB 是O 的直径，OD 是半径，OD AC ⊥，∴AE =CE ，∴阴影CED 的面积等于AED 的面积，∴ΔCED AOE AOD S S S +=扇，∵90AEO ∠=︒，15CAB ∠=︒，∴901575AOE ∠=︒-︒=︒， ∴275253606AOD S ππ︒⨯⨯==︒扇； 故选：B【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．二、填空题1、27π65-## 【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC = ∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形， ∴1tan 2BC CAB AC ∠==， ∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==， ∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABDS AB DE =⨯⨯=， 245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，245936010CBCSππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形，9927662105ABDABA CBCS S S Sπππ''=-+=-+=-阴影扇形扇形，故答案为：2765π-．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．2、45π【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=12lr来求解．【详解】解：连接OC，OD，∵直径AB=30，∴OC=OD=130152⨯=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵CD长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=1615452ππ⨯⨯=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．3、六【分析】设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则60360n︒⋅=︒，由此即可得到答案．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴60360n︒⋅=︒，∴6n=，∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 4、65【分析】根据切线的性质得到OA ⊥AP ，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．【详解】解：∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴90APO AOP ∠+∠=︒，∵∠APO =25°，∴90902565AOP APO ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：65．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 5、18.84【分析】先根据弧长公式求得πr ，然后再运用圆的周长公式解答即可．【详解】解：设圆弧所在圆的半径为r 厘米， 则60 3.14180r π⨯=， 解得9.42r π=，则它所在圆的周长为229.4218.84r π=⨯=（厘米），故答案为：18.84．【点睛】本题主要考查了弧长公式、圆的周长公式等知识点，牢记弧长公式是解答本题的关键．三、解答题1、（1）见解析（2）见解析（3）23【分析】（1）由旋转的性质得AB =AD ，所以D ABD ∠=∠，再根据三角形内角和定理可证明ABD ACG ∠=∠即可得到结论；（2）连接EG ，根据ASA 证明ACG ≌ADE 得AG AE =，AEG △是等边三角形，从而得出DG CE =，再运用AAS 证明CEF △≌DGF △得EF GF =，由勾股定理可得出GE ，从而 可得结论；（3）证明BD 平分ABC ∠，作EM BC ⊥于点M ，根据勾股定理得2222222EF DF CE AE AG +===，代入求值即可．（1）∵AC 边绕着点A 逆时针旋转得到线段AD ，∴AD AC =．∵AB AC =，∴AD AB =．∴D ABD ∠=∠．∵CF BD ⊥，∴90CFE BAC ∠=∠=︒又90CFE CEF ECF ABE AEB AEB ∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，且∠AEB =∠CEF ∴ABD ACG ∠=∠．∴D ACG ∠=∠．（2）连接EG ．在ACG 和ADE 中，∵ACG DAC AD CAG DAE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACG ≌ADE （ASA ）．∴AG AE =．∴AD AG AC AE -=-，即DG CE =．在CEF △和DGF △中，∵ACG DCFE DFG CE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CEF △≌DGF △（AAS ）．∴EF GF =．∵CG BD ⊥，∴在Rt EFG 中，22222GE EF FG EF =+=，即GE =．∵60CAD ∠=︒，AG AE =，∴AEG △是等边三角形．∴AG GE ==．（3）222223EF DF AG DG +=+． ∵45CAD ∠=︒，90BAC ∠=︒，∴135BAD ∠=︒∵22.5D ABD ∠=∠=︒．∵45ABD CBD ∠+∠=︒，∴22.5CBD ∠=︒．∴BD 平分ABC ∠．作EM BC ⊥于点M ，∴EM AE CM ==．∴在Rt CEM 中，2222222CE CM EM EM AE =+==．∵ACG ≌ADE ，CEF △≌DGF △，∴AG AE =，DF CF =，DG CE =．∴在Rt CEF 中，22222CE EF CF EF DF =+=+，∵222222DG CE AE AG ===， ∴22222222223EF DF AG AG DG AG AG +==++． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．2、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析【分析】（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ），∴∠CAE =∠CBD ；②∵CF⊥AE，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，∴CF=DF，CF=BF，∴BD=2CF，又∵△CAE≌△CBD，∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE=BG，∵F是BD的中点，CD=CG，∴CF是△BDG的中位线，∴BG=2CF，∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．3、【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵A（-4，0），B（0，2），∴∴AB∵∠AMC =2∠AOC =120°，AC =∴=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-， 在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DO ，根据AD OC ∥，可证COD COB ∠=∠．从而可得()COD COB SAS ≅，90CDO CBO ∠=∠=︒，即可证明EDA DBE ∠=∠，故EDA EBD △△；（2）证明EOD ECB △△，可得ED OD BE BC=，即可证明ED BC AO BE ⋅=⋅． 【详解】证明：（1）连接DO ，如图：∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()COD COB SAS ≅，∴90CDO CBO ∠=∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，即90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴EDA BDO ∠=∠，∵OD OB =，∴BDO DBO ∠=∠，∴EDA DBO ∠=∠，即EDA DBE ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴~EDA EBD ；（2）由（1）知：90EDO EBC ∠=∠=︒，又∵E E ∠=∠，∴EOD ECB △△， ∴ED OD BE BC=， ∴ED BC OD BE ⋅=⋅，∵OD AO =，∴ED BC AO BE ⋅=⋅．【点睛】本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明COD COB ≅，从而得到90EDO ∠=︒．5、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长． 【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．。
沪科版九年级下册数学24.3：圆周角定理及其推论-课件-(共20张PPT)
B O·
B
C
AO·ຫໍສະໝຸດ A CO·C A（1） √
A
顶点（不2）在圆上 B
B 边AC（没3有）和圆相交
CC
O·
A O·
·O
A B
B
C
顶点不在圆上
（5）√
√ （6）
圆周角定理
合作探究 问题1 如图，点A、B、C、D都是☉O 上的点，请问图中哪些是 圆周角？哪些是圆心角?分别指出对应哪条弧？是同一条弧吗？
圆心角：∠BOC
x 60 °
B
x
D 20
°
E
30 °
A FC
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证：BD DE .
B
A
E DC
课堂小结
定义
1.顶点在圆上； 2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
圆
周
定理
角
同弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
明理由.
D
同弧所对的圆周角相等
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？ A B
E O
反过来，若∠A=∠B， 那么 等弧所对的圆周角相等
C
F
D
CD EF 成立吗？
圆周角定理推论
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等. A B
D
E
O
C
F
D
C1
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；
2
2
A
O
DAC1DOC
2
C
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第2课时圆内接四边形同步练习(含解析)沪科版(最新整理)
24.3第2课时圆内接四边形一、选择题1.如图K－8－1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠C的度数是( )图K－8－1A．100°B．110°C．120°D．130°2.如图K－8－2，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的度数是( )图K－8－2A．115°B．105°C．100°D．95°3.在圆内接四边形ABCD 中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，则∠D 的度数为( )A．67.5°B．135°C．112.5°D．45°4．2018·邵阳如图K－8－3 所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD 的度数是( )图K－8－3A．80°B．120°C．100°D．90°5.如图K－8－4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC 的度数为( )图K－8－4A．110°B．100°C．120°D．90°︵6.如图K－8－5，正方形ABCD 内接于⊙O，点E 在AD上，则∠AED 的度数为( )3 2A．100°B．120°C．135°D．150°7．2017·黄石如图 K－8－6，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，点O 为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O 的半径为( )图 K－8－66A. B.2 23C. D.2 38．2018·黄ft月考如图 K－8－7，以△ABC 的一边AB 为直径的圆交AC 边于点D，交BC边于点E，连接DE，BD 与AE 相交于点F，则sin∠CAE 的值为( )图 K－8－7DF CDA. B.AD ACEF DEC. D.AF AB二、填空题9.四边形ABCD 是某个圆的内接四边形，若∠A＝100°，则∠C＝°.10.如图K－8－8，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB 与CD 的位置关系是.链接听课例2归纳总结图 K－8－811.如图 K－8－9，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝°.2 312．2018·扬州如图 K－8－10，已知⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝．图 K－8－10三、解答题13．如图K－8－11 所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.︵︵求证：(1)AD＝CD；(2)AB 是⊙O 的直径．图 K－8－11︵14．2017·宿州月考如图 K－8－12，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点E 在AD上，连接BE 交AD 于点Q，若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E.求证：AQ＝BC.图 K－8－1215．如图 K－8－13 所示，AB 为⊙O 的直径，弦DA，BC 的延长线相交于点P，且BC＝PC.︵︵求证：(1)AB＝AP；(2)BC＝CD.图 K－8－13规律探究2017·望江县月考正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，E 是⊙O 上的一点．︵(1)如图K－8－14①，若点E 在AB上，F 是DE 上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE；2AE，(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE，BE，AE 之间满足等量关系：DE－BE＝请你说明理由；︵(3)如图 K－8－14②，若点E 在AD上，写出线段DE，BE，AE 之间的等量关系，请你说明理由.链接听课例2归纳总结图 K－8－14详解详析[课堂达标]1．[解析] D ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠C＋∠A＝180°，∴∠C＝180°－50°＝130°.故选 D.2．[解析] B 因为四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，所以∠DCE是圆内接四边形ABCD 的外角，所以∠DCE＝∠BAD＝105°.3．[解析] C ∵四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，∴设∠A＝2a，∠B＝3a，∠C＝6a，则2a＋6a＝180°，∴a ＝22.5°，∴∠B＝3a＝67.5°，∴∠D＝180°－∠B＝112.5°.故选 C.4．[解析] B ∵四边形ABCD 为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°.故选B.5．[解析] A ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC＝180°－∠B＝110°.6．[解析] C 连接AC，则四边形ACDE 是⊙O的内接四边形，∴∠AED＝180°－∠ACD＝135°.7．[解析] D 连接BD，OB，OD，过点O 作OE⊥BD于点E.∵⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠BOD＝120°.∵AB＝AD＝2，∴△ABD 是等边三角形，∴BD＝2，1 1∴DE＝ BD＝1，∠DOE＝∠BOD＝60°，2 2DE 2 3∴OD＝＝.故选 D.sin60° 38．[解析] D ∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∠CED＝∠CAB，∴△CE CD DECDE∽△CBA.又∵AB是直径，∴△ACE是直角三角形，∴sin∠CAE＝＝＝.AC CB AB 9．[答案] 8010．[答案] 平行11．[答案] 40[解析] ∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A＋∠E＝85°.∵∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°.∵∠BCD＝∠F＋∠CBF，∴∠F＝125°－85°＝40°.故答案为 40.{ )12．[答案] 2 ︵[解析]在优弧AmB 上任取一点D ，连接AD ，BD ，OB ，OA ，∵∠ACB＝135°，则∠ADB ＝45°，∠AOB＝90°，∴△OAB 为等腰直角三角形．∵OA＝OB ＝2，∴AB＝2 2.13. 证明：(1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC＝180°－∠B＝130°. ∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝25°，︵ ︵∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD ，∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝40°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB 是⊙O 的直径．︵14.证明：∵∠A，∠E 是BD 所对的圆周角，∴∠A＝∠E.∵∠CQD＝∠E，∴∠CQD＝∠A， ∴AB∥CQ.∵四边形 BCDE 是⊙O 的内接四边形， ∴∠EBC＋∠EDC＝180°.又∠AQB＋∠AQE＝180°，∠AQE＝∠EDC， ∴∠AQB＝∠EBC，∴BC∥AQ， ∴四边形 ABCQ 是平行四边形， ∴AQ＝BC.15. 证明：(1)连接 AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵BC＝PC ，∴AB＝AP.(2)连接 CD ，BD ，∵四边形 ACBD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠PAC＝∠CBD.∵AB＝AP ，AC⊥PB，∴∠PAC＝∠BAC. ∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＝∠CBD，︵ ︵∴BC＝CD ，∴BC＝CD.[素养提升]︵解：(1)证明：∵AE所对的圆周角是∠ADE 和∠ABE，∴∠ADE＝∠ABE.AD ＝AB ，在△ADF 和△ABE 中， ∠ADF＝∠ABE，DF ＝BE ， ∴△ADF≌△ABE(SAS)．2(2)由(1)得△ADF≌△ABE，∴AF＝AE，∠FAD＝∠EAB，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴△EAF 是等腰直角三角形，∴EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝2AE，即 DE－DF＝2AE，∴DE－BE＝2AE.(3)BE－DE＝2AE.理由如下：在 BE 上取点 F，使 BF＝DE，连接 AF.同理可证明△ADE≌△ABF，△EAF 是等腰直角三角形，∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF，EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝2AE，即 BE－BF＝2AE，∴BE－DE＝2AE.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
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24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
知识点 1 圆周角的定义
1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )
A B C D
图24－3－1
知识点 2 圆周角定理
2．如图24－3－2，CD是⊙O的直径，圆周角∠C和圆心角∠AOB所对的弧都是________，
∵OA＝OC，∴∠A＝________，∴∠AOB＝______∠C.
图24－3－2
3．如图24－3－3，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为( )
图24－3－3
A. 28° B．54°
C．18° D．36°
4．如图24－3－4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC和∠BOC互补，
则∠BAC的度数是( )
图24－3－4
A．40° B．50°
C．60° D．70°
5．如图24－3－5，在⊙O中，弦AC＝2 3，B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的
半径R＝________．
2
图24－3－5
6．2018·无锡 如图24－3－6，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，
且OA＝AB，则∠ABC＝________°.
图24－3－6
知识点 3 圆周角定理的推论
7．如图24－3－7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的一点，∠B＝30°，则∠
A
的度数为( )
图24－3－7
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．2018·盐城 如图24－3－8，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠
CAB
的度数为( )
图24－3－8
A．35° B．45° C．55° D．65°
9．如图24－3－9，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直于AB，D是⊙O上一点，且点D与
点C位于弦AB的两侧，连接AD，CD，OB，若∠BOC＝70°，则∠ADC＝________°.
图24－3－9
10．如图24－3－10，在⊙O中，AB︵＝CD︵，AB与CD相交于点E，∠DCB＝28°，求∠
AEC
3
的度数．
图24－3－10
11．2017·贵港 如图24－3－11，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是AC︵的中点，M是
半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )
图24－3－11
A．45° B．60° C．75° D．85°
12．如图24－3－12，⊙O的直径BD＝4，∠A＝60°，则BC的长为( )
图24－3－12
A.3 B．2 C．2 3 D．4 3
13．2018·咸宁 如图24－3－13，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是
∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )
图24－3－13
A．6 B．8 C．5 2 D．5 3
14．2017·北京 如图24－3－14，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD︵＝CD︵，若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝________°.
4
图24－3－14
15．2017·十堰 如图24－3－15，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交
⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5 2，则BC的长为________．
图24－3－15
16．如图24－3－16，半径为5的⊙A经过原点O和点C(0，4)，B是⊙A上一点，则tan
∠OBC为________．
图24－3－16
17．如图24－3－17，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，AB＝9，
AD＝6，求弦CD
的长．
图24－3－17
18．如图24－3－18，以⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC，交⊙O于点D，E.求证：
BD＝DE＝EC
.
5
图24－3－18
19．如图24－3－19，△ABC内接于⊙O，已知AB＝c，BC＝a，AC＝b，⊙O的半径为R.
(1)求证：asinA＝bsinB＝csinC＝2R；
(2)若a＝5，∠A＝60°，求⊙O的半径R.
图24－3－19
6
教师详解详析
1．C [解析] 根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角
叫做圆周角，即可求得答案．
2.AB︵ ∠C 2
3．D
4．C [解析] ∵∠BAC和∠BOC互补，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BAC＋2∠BAC＝180°，∴∠
BAC＝60°.故选C.
5.6 [解析] ∵∠ABC＝45°，∴∠O＝90°，
∴AC2＝AO2＋CO2，∴(23)2＝R2＋R2，
解得R＝6.
6．15 [解析] ∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝
60°.∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°－60°＝30°，∴∠ABC＝15°.
7．C [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.又∵∠B＝30°，∴∠A＝60°.故选C.
8．C [解析] 由圆周角定理得∠ABC＝∠ADC＝35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝55°.故选C.
9．35 [解析] 连接OA.∵OC⊥AB，∴AC︵＝BC︵，
∴∠AOC＝∠BOC，∴∠ADC＝12∠BOC＝35°.
10．解：∵AB︵＝CD︵，∴AB︵－BC︵＝CD︵－BC︵，
即AC︵＝BD︵，∴∠ABC＝∠DCB＝28°，
∴∠AEC＝∠ABC＋∠DCB＝56°.
11．D [解析] ∵B是AC︵的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝40°，∠AOB＝2∠BDC＝80°.又∵M
是OD上一点，∴∠ADB＝40°≤∠AMB≤∠AOB＝80°.则不符合条件的只有85°.
12．C [解析] ∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.
∵∠D＝∠A＝60°，∴sinD＝sin60°＝BC4，
∴BC＝4×32＝2 3.
13．B [解析] 如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∴AB＝AE2－BE2＝102－62＝8.
7
14．25 [解析] 连接CB，BD.∵AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝40°，∴∠CBA＝50°，∴∠CBD＝∠DBA＝12∠CBA＝25°，∴∠CAD＝∠CBD＝25°.
15．8 [解析] 连接AD，∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD＝5 2.
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝10，
∴BC＝102－62＝8.
16.2 2121 [解析] 作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝10，OC＝4，∴OD＝102－42＝2 21，
∴tan∠OBC＝tan∠ODC＝42 21＝2 2121.
17．解：连接BD，则∠ADB＝90°.
∵AB＝9，AD＝6，∴BD＝3 5.
∵sinA＝BDAB＝DEAD，∴DE＝2 5.
∴CD＝2DE＝4 5.
18．证明：如图，连接CD，BE.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝∠EBC＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE＝∠EBC，
∴BD︵＝DE︵＝EC︵，∴BD＝DE＝EC.
19．解：(1)证明：如图，作直径BD，连接CD.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD是直角，
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∴sinD＝BCBD.
∵∠D＝∠A，BC＝a，BD＝2R，∴asinA＝2R.
同理，作直径CE，可得bsinB＝2R，作直径AF，可得csinC＝2R，∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.
(2)由(1)知，asinA＝2R，当a＝5，∠A＝60°时，
2R＝5sin60°，∴R＝5 33.