专升本资料3(一元函数积分学)
四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）
总体要求
考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。
考试用时：120分钟
考试范围及要求
一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学
（一）不定积分
（成都理工大学13：理文科—1个选3分；） （成都理工大学14：理文科—1个选3分；）
（攀枝花学院13：理科——选择3分、解答两个12分；文科——选择3分、解答一个5分；）
1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。
（1） )(x F 是)(x f 的一个原函数 ?)()(x f x F ='
)(x F 是)(x f 的一个原函数 ?
C x F x d x f +=?)()(
（2） 不定积分的基本性质
①
)()(x f dx x f dx d
=?
， ② ?=dx x f dx x f d )()(， ③ ?+='C x F dx x F )()( ， ④ ?
+=C x F x F d )()]([．
例1 （攀枝花学院：理科——选择3分）设2
sec x 是()f x 的一个原函数，则 ()f x dx =?
.
A 、tan x C +
B 、tan tan x x x
C ++ C 、2sec x C +
D 、2sec tan x x C ++
例2 （攀枝花学院：文科——选择3分）1、若()f x '为连续函数，则
(2)f x dx '?等于.
（A ）
1
(2)2
f x C + （B ） ()f x C + （C ）(2)f x C + （D ） 2(2)f x C +
2. 熟练掌握基本的不定积分公式。 不定积分的基本公式是最基础的，是做一切积分题的前提，必须要能默写（13个+2个）
3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法（限于三角代换与简单的根式代换）
（1）第一类换元法：
=?dx x g )(?'dx x x f )()]([??
?=)]([)]([x d x f ?? （① 凑微分）
?=du u f )( （② 换元， 可以省略，写到草稿纸上）
C u F +=)( （③ 用积分公式，可以省略，写到草稿纸上）
C x F +=)]([? （④ 回代还原）
。 （2）第二类换元法：
主要解决：带有根式的函数的积分：n b ax +，二次式
令)(t x ?=，则dt t dx )(?'=
?x d x f )(?'=dt t t f )()]([???=dt t g )(C t G +=)(C x G +=-)]([1?
基本的三角代换：
①含有22x a -时，令t a x sin =，从而t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =． ②含有22a x +时，令t a x tan =，从而t a a x sec 22=+，tdt a dx 2
sec =．
③含有22a x -时，令t a x sec =，从而t a a x tan 22=-，dt t t a dx tan sec ?=．
4. 掌握不定积分的分部积分法。
主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。
?x d x f )(?=)]([)(x v d x u
?-?=)]([)()()(x u d x v x v x u
?'?-?=x d x u x v x v x u )()()()(
5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。 先将被积函数化为：整式+真分式。
再化部分分式：将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。
例1（成都理工大学13：理科、文科——选择题1个3分）已知()()f x dx F x C =+?，则
(32)f x dx +=?【 】
(A)(32)F x C ++ (B)1(32)2
F x C -++ (C)1(32)2
F x C ++ (D)2(32)F x C ++
例2（成都理工大学14：理科、文科——选择题1个3分）．若1
()2
x f x dx C x +=
+-?，则(cos )sin f x xdx ?=【 】
（A ）
cos 1cos 2x C x ++- （B ）cos 1cos 2x C x +-+- （C ）12x C x ++- （D ）sin 1
sin 2
x C x ++-
例3 (1)（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分）求下列积分 ①
2
e d x x x -?
； ②5
2
d (1)
x x x +?
；（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分）
③ dx x
?
（攀枝花学院13：文科——解答题1个5分） (1)（攀枝花学院14：理科——解答题1个6分）计算2tan x xdx ?
例4 求下列积分
① ?+x d x x 12
3 ； ② ?+---+x d x x x x x 2
25
3232 ； ③?-++-x d x x x x 222224； ④
?++x d x x x ))(1(122 ； ⑤?+++x d x x x 524
32
（二）定积分
1. 理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。
（1） 定义 ∑?
=→?=n
i i i b a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
（2）结论：
① 定积分与积分变量的无关： ?
??==b a
b a
b
a
du u f dt t f dx x f )()()(
②
?
=a a
dx x f 0)(，??
-=b
a
a
b
dx x f dx x f )()(， ?-=b
a a
b dx ，?=b
a
dx x f dx d 0)(
（4）函数可积的两个充分条件
① )(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上可积。
② )(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点?)(x f 在],[b a 上可积。
（5） 定积分的几何意义
① 在],[b a 上0)(≥x f ? A dx x f b a =?)(； ② 在],[b a 上0)(≤x f ?
A dx x f b a
-=?
)(；
③ 在],[b a 上)(x f 有正有负 ?
下上A A dx x f b a
-=?
)(
④ 由曲线)(x f y =、直线a x =、b x =及x 轴围成的图形的面积为：A ?
=
b a
dx x f |)(|
2. 掌握定积分的基本性质。
性质1 （运算性质） ①
=±?dx x g x f b a
)]()([±
?
b a
dx x f )(?
b a
dx x g )(； ② =?b
a
dx x kf )(k
?
b a
dx x f )( 。
性质2 （可加性）
???
+=b c
c a
b a
dx x f dx x f dx x f )()()(．
性质3 （可比性）在],[b a 上，)()(x g x f ≤? ≤?
b a
dx x f )(?b
a
dx x g )(
≤
?
b a
dx x f )(?
b
a
dx x f )(．
性质4（估值定理），≤-)(a b m ≤?
b a
dx x f )()(a b M -．M 与m 分别是函数)(x f 在],[b a 上的最大值
及最小值。
性质5 （定积分中值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在一点ξ，使得
))(()(a b f dx x f b
a
-=?
ξ （b a ≤≤ξ）
．
3. 了解变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导的方法。
① )()(x f dt t f dx d x a =?； ② [])()()(x x f dt t f dx
d x a ???'?=?）
（
③ [][])()()()()(11222
1
x x f x x f dt t f dx d x x '?-'?=???????）（）（
4. 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。
函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数?
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
分段函数、带绝对值符号的函数的积分： 可加性???+=b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
5. 掌握定积分的换元法和分部积分法，并会证明一些简单的积分恒等式。 （1）定积分的换元法
令)(t x ?=，则dt t dx )(?'=
当a x =时，α=t ；当b x =时，β=t
?
b a
x d x f )(?'?=βα
??t d t t f )()]([?=β
α
t d t g )(β
α)(t G =
（2）定积分的分部积分法
主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。
?
b a x d x f )([]?=b
a
x v d x u )()(
[]?-?=b
a
b
a x u d x v x v x u )()()()(
[]?'?-?-?=b
a
x d x u x v b v a u b v b u )()()()()()(
（3）重要结论
① 奇、偶函数在对称区间上的积分
当)(x f 在],[a a -上为奇函数时，
0)(=?-dx x f a a ；
当)(x f 在],[a a -上为偶函数时，
??
=-a
a a dx x f dx x f 0)(2)(．
② 周期函数的积分 dx x f dx x f T
T a a
??=+0
)()(
③ 正、余弦函数的 ]2
,
0[π
上的积分
?
?
=20
20
)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f
对 ?
=
20
cos π
xdx I n
n ?
=20
sin π
xdx n 有递推公式：21
--=
n n I n
n I =
1I 2
)(cos 20
π
π
=
?
dx x ； 1cos 20
11==
?
π
xdx I
当 n 为奇数时：322313223
11ΛΛ--?-=?--?-=n n n n I n n n n I n 当 n 为偶数时：2
214323121432
3
10π??--?-=?--?-=ΛΛ
n n n n I n n n n I n
6. 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。
?∞+a dx x f )(∞+=a x F )()()(a F F -∞+=． ?∞-b dx x f )(b x F ∞-=)()()(a F F -∞+=． ?
∞+∞
-dx x f )(∞+∞
-=)
(x F )()(∞--∞+=F F ．
其中： )(lim )(x F F x ∞
-→=-∞,)(lim )(x F F x ∞
+→=∞+．
例1 （成都理工大学13：理科、文科——选择3分）
广义积分
e +∞
?
=【 】
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) +∞
例2 （成都理工大学13：理科、文科——填空3分）
342
2
(cos sin )d π
π
θθθ-
+?
=
例3．（成都理工大学14：理科、文科—解答题8分）设函数223sin ,21
()4,110x x x x f x x x ?--≤<=?<
，
计算定积分7
132x f dx -??
???
?； 例4 （1）（攀大13：理科——填空3分）42
242
2sin 22x x x dx x x -??+ ?++??
?＝ . （2）（攀大14：理科——填空3分）3221
11
1
sec x dx x x -++=?
例5 （攀大13：理科——计算6分）
2
e d x x x -?
例6 计算 dx x x ?-π
53sin sin
例7 证明
(1)
??
=20
20)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f ；
(2)
dx x f dx x xf ??
=
π
π
π
)(sin 2)(sin ；由此计算?
+π
2
cos 1sin dx x
x
x ．
(3) ???-+=a
a a
dx x a f dx x f dx x f 0
20
)2()()(
(4)
??
-=-10
10
)1()1(dx x x dx x x m n n m
7. 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积，会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
（1）由曲线)(x f y = 及直线 a x =与b x = )(b a < 与x 轴所围成的曲边梯形面积A ．如图3—21
?=b
a
dx x f A |)(|
（2）由曲线)(x f y = 与)(x g y = 及直线a x =与b x = )(b a <所围成的图形面积A ．如图3—22
?-=b
a
dx x g x f A |)()(|．
（3） 由曲线)(y x ?=及直线c y =与d y = )(d c < 与y 轴所围成的曲边梯形面积。取y 作积分变量，其面积为A （如图3—23）．
?=d
c
dy y A |)(|?
（4）由曲线)(y x ?=与)(y x ψ=及直线c y =与d y = )(d c ? -= d c dy y y A |)()(|ψ? 求平面图形面积的步聚： ① 确定积分变量，确定积分区间； ② 在积分区间上任取一小区间，并在该小区间上找出所求的面积微元； ③ 写出面积的定积分表达式，并求计算结果。 （5） 设)(x f y =是],[b a 上的连续函数，由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体。 取x 为积分变量，∈x ],[b a ，在],[b a 任取区间],[dx x x +,过点x 作垂直于x 轴的平面，则截面是一个以|)(|x f 为半径的圆，圆面积为2 )]([x f π； 再过dx x +作垂直于x 轴平面，得另一截面，而夹在两个截面之间的小薄片的体积可以近似地看作为一个以|)(|x f 为底面半径，dx 为高的圆柱体的体积。 dx x f dV 2 )]([π=． dV 叫体积微元。把体积微元在],[b a 上求定积分，得到旋转体的体积： dx x f V b a 2 )]([? =π． （6）由曲线)(y x ?=及直线c y =、d y =与y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而得的旋转体（如图3—33）的体积为。 dy y V d c 2 )]([?=?π． 例1 ．（成都理工大学14：理科、文科——填空3分）由曲线2 01,,y x y x ===所围成的平 面图形绕直线1x =旋转一周所得旋转体的体积等于【 】 （A ） 6π （B ）3π （C ）56 π （D ）2π- 例3（攀大14：理科——解答6分）由曲线22y x x y ==及所围成平面图形绕y 轴旋转得到的立体体积。 例4（1）求抛物线2x y =和直线2+=x y 所围成的平面图形的面积。 （2）求由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成图形的面积。 （3）求由曲线22 2 =+y x 与2 x y =所围的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。 （4）求由曲线x y =2, y x =2 所围的平面图形分别绕x 轴和y 轴； 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图: 由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙ 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 第三章 一元函数积分学 一．不定积分 例1：设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?，求?dx x )(?（答案： C x x +-+1ln 2） 例2：已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数，求?dx x f x )('3（答案： C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2） 例3：设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ，求?dx x f )( 例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4 2 )1(= F ，若当0>x 时，有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ，求)(x f 。（答案：) 1(21)(x x x f += ） 例5：求? dx x x )1,,max(23 例6：求?dx e e x x 2arctan 二．定积分 例1：求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2：设)(x f 在]1,0[上连续，且 )(1 =?dx x f ，试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3：已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ，求??? ??+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21） 例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ，求?2 1 )(dx x f 的 值。（答案： 4 3 ） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6：求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证： 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-； 0)()2(0 =?T dx x f 求证：LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=? 习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一．原函数的概念 例1.下列等式成立色是（ ） ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2．下列写法是否有误，为什么？ ()1 .ln c dx e e x x +=?（c 为任意正常数） ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗？ ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5．求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2 π=x 时，这函数值为2，求 此函数. 解：因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-= 2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一） 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四） 同数学三 2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区 域；&型简单区域）一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法 儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 儿何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法 曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）； 全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克 斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1< 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法 第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础，要求在掌握基本积分法的基础上，更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系（互为逆运算） 3. 不定积分的性质 4．基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求，因 当时 ；当时 ； 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ，，， 二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法（凑微分法） ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若，则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数，且，又具有原函数，则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于，(其中，表示关于，的有理函数)，可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例 第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则 第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）多元函数微分学知识点梳理
一元函数微分学典型例题
用MATLAB算多元函数积分
一元函数微分学教案
第三章 一元函数积分学
多元函数微分学及应用(隐函数反函数)
一元函数微分学习题
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