放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略

纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。

1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于

某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对

全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：

（1

）根式的放缩：

（2）在分式中放大或缩小分子或分母：

2111

(2)(1)(1)

k k k k k k <<≥+-；

真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，1

1n n n n -<+；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221

n n

n n +>-；（3

）应用基本不等式放缩：

222n n n n ++>+；（4）二项式定理放缩：如2121(3)n

n n -≥+≥；

（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-+

+-≥。

4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、

最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎

刃而解。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式

问题。裂项放缩法主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333n n n S a +=-?+，1,2,3,

n =。设2n

n n

T S =，

1,2,3,

n =，证明：

i i T =<

∑。

证明：易得12(21)(21),3n n

n S +=--1132311()2(21)(21)22121

n n n n n n T ++==-----，

11223

111

31131111

()()221212212121212121

n i i i n n i i T ++===-=-+-++

---------∑∑ =

113113()221212

n +-<-- 点评：此题的关键是将12(21)(21)

n n n

+--裂项成111

2121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-；（I ）求证：1n n T T +>；

（II ）求证：当2n ≥时，2n S 711

n +≥。证明：（I ）111111

1()23

2212

2n n T T n n n n n n

+-=

+++

-+++

+++++ 111

21221n n n =

+-+++10(21)(22)

n n =>++ ∴1n n T T +>．（

）

112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+

+-+1221122n n T T T T S --=++

+++

由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥

≥，又11217

,1,212T S T ===，

12211222n n n S T T T T S --∴=+++++21171711

(1)(1)112212

n n T T S n +≥-++=-++=

即当2n ≥时，2n S 711

n +≥。

点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成

1122

2222n n n n S S S S S S S ----+-+

+-+的和，从而找到了解题的突破口。 3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111

,,*21n n

x x n N x +=

=∈+，

证明：1112||()65n n n x x -+-≤?。

证明：当1n =时，1211

||||6

n n x x x x +-=-=，结论成立。当

n ≥时

，

易

知

11111

01,12,12

n n n n x x x x ---<<+<=

+111

115

(1)(1)(1)(1)212

n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+

1111||11|||

|11(1)(1)

n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=

++++211112122

212

||()||()||()55

565

n n n n n n x x x x x x ----≤

-≤-≤≤-=

点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。

例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ （1）用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111

...3333n n

T b b b b =++++

++++，求证：12n T < 解：(1)略

(2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++

又

n b n ≥ 132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈

迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *

,32

n n n N b +∴≤∈+ 23411

1111111

(2222222)

n n n T ++∴≤

++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳

法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！

5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特

别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：

（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。

（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。

点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。

6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。

例8在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，

22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．

（I ）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；

（II ）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（III ）设数列}1

{

a 的前n 项和为n S ，证明：24+<

n n S n ，*n N ∈．

略解：（I ）（II ）得33a =，492a =，56a =，68a =．???????+++=为偶数

为奇数n n n n n a n ,8

)2(,8

)

3)(1(2

证明：（III ）由（II ），得????

+++=为偶数为奇数

n n n n n a n ,)

2(8

,)3)(1(812

．显然，2114341111+?=<==a S ；当n 为偶数时，

42n n S n -

=+22211111148244466(2)(2)2n

n n n n ??++++++-?????+++?? 1111114824244646(2)(2)2n

n n n n n ????????<++++++-?? ? ? ?

?????+++????

???? 1111111

14824466822n n n n ??????????=-+-+-++--

? ? ? ???++?

????????? 11480222n n n ??=--

= ?++??

；当n 为奇数（3≥n ）时，14144(1)8422(1)2(1)(3)2

n n n n n n n

S S n a n n n n n ---=+-<+-

++-++++ 128

401(1)(3)2(1)(2)(3)n n n n n n n n n ??-=+-=-

. 综上所述，402n n S n -<+，即2

S n ，*n N ∈．

点评：此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。

7、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。

例9设函数2

()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．证明对任意的正整数n ，不等式

23111

ln 1n n n

??+>- ???都成立．

分析：欲证上述结论，直接作差比较23111ln 1()n n n

+--

???，无从下手；接着想到令23111()ln 1()g n n n n

=+-- ???，判断函数()(*)g n n N ∈的单调性，由于定义域为正整数，

不能用导数，只能计算(1)()g n g n +-，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令

(0)x n

=∈+∞，，判断函数32()[ln(1)](0)h x x x x x =--+>的单调性，如果在(0,)+∞单调，则函数()g n 也单调。

解

：

令

函

数

3232()[ln(1)]ln(1)

h x x x x x x x =--+=-++，则

13(1)()3211

x x h x x x x x +-'=-+=++．

∴当[)0x ∈+∞，

时，'()0h x >，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增， (0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立．

故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-．对任意正整数n 取1

(0)x n

∈+∞，，则有23111ln 1n n n

??+>- ???． 5、放缩法的策略以及精度的控制

例10已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111

,20(2)2

n n n a a S S n -=+=≥。（I ）数列1

{

S 是否为等差数列？并证明你的结论；（II ）求n S 和n a ；（III ）求证：222

212312

n S S S S +++

。简解：（1）（2）1

(1)12,12(2)2(1)

n n n S a n n n n ?=??

==??-≥-??；

（3）证法一：当1n =时，2

11142S =

<成立；当2211112,()441n n S n n n

≥=<--， 22

1231111

111111

[](1)441223

(1)44223

1n S S S S n n n n

++++<

++++

=+-+-+

-??-?-

111111(1)4422

n n +-=-< 综上所述，2222

1231

n S S S S ++++<

。证法二：2

22111111()441(21)(21)22121

n S n n n n n n =

<==--+--+ 2222

123111111111

(1)(1)2335

21212212

n S S S S n n n +++

-+-++

-=-<-++。点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将21

放大成2144n n -，需从

第二项起，要分类讨论；而方法二是将214n 放大成21

n -。明显241n -比244n n -大很

多，2141n -比2144n n -更接近21

。从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，

即放缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽

量缩小放缩度，提高放缩精度，避免运算上的麻烦。本文选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度，从中我们可以发现放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法。对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法，在平时或考试中遇到数列型不等式的证明问题，我们不能望题兴叹，也不能轻言放弃，更不能盲目瞎撞。多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要注意什么问题等等。只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。

2.2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）（本小题满分14分）已知函数()b

f x ax c x

=++ (a ＞0)的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (Ⅰ)用a 表示,b c ；

(Ⅱ)若()ln f x x ≥在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； (Ⅲ)证明：1+

12+13+…+1

n ＞()ln 1n ++()

21n n +)(n ≥1). 解：（Ⅰ） 2()b f x a x '=-，则有()()10

10f a b c f a b =++=???'=-=??，解得112b a c a =-??=-?

（Ⅰ）由（Ⅰ）知，1

()12a f x ax a x -=+

+- 令()1

()ln 12ln a g x f x x ax a x x

-=-=++--，[)1x ,∈+∞

则()10g =，()()()2

222

11111a a x x ax x a a a g x a x x x x -??

-- ?----??'=+-==

(ⅰ)当1

a <<时,11a a ->, 若11a

x a

-<<

,则()0g x '<,()g x 是减函数,所以()()10g x g <= 即()ln f x x <,故()ln f x x ≥在[)1,+∞上不恒成立. (ⅱ) 当1

a ≥

时,11a a -<,若1x >,则()0g x '>,()g x 是增函数,所以()()10g x g >= 即()ln f x x >,故当1x ≥时,()ln f x x ≥.综上所述,所求a 的取值范围为1

2,??+∞????

(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知,当1

a ≥时,有()ln f x x ≥, (1x ≥) 令12a =

,有11()ln 2f x x x x ??=-≥ ???且当1x >时, 11ln 2x x x ??

-> ??? 令1k x k +=

,有111111ln 112121k k k k k k k k ++??

??????<-=+-- ? ? ???++????????

即()111ln 1ln 21k k k k ??

+-<

+ ?+??

, 123k ,,,,n =

将上述n 个不等式依次相加得()()

11111

ln 122321n n n ??+<

+++++

?+?? 整理得()()

1111ln 123

21n n n n +

+++

>+++ 解法二: 用数学归纳法证明 (1) 当1n =时,左边1=,右边1

ln 214

<, 不等式成立. (2) 假设n k =时, 不等式成立, 就是()()

1111ln 123

21k k k k +

+++

>+++ 那么()()()()

11121ln 1ln 123

121121k k k k k k k k k ++

++++>+++=++++++ 由(Ⅱ)知,当1

a ≥

时,有()ln f x x ≥, (1x ≥)

令12a =

,有11()ln 2f x x x x ??

=-≥ ???

, (1x ≥) 令21k x k +=

+,有()()1212

ln ln 2ln 12121

k k k k k k k k +++??-≥=+-+ ?+++?? 所以()()()()21

ln 1ln 22122k k k k k k ++++

≥++++

即()()

1111ln 223

122k k k k k ++

++++>++++ 这就是说，当1n k =+时, 不等式也成立。

根据(1)和(2)，可知不等式对任何n N ∈都成立。解法三: 积分法数形结合

设()x

x g 1

，Ａ，Ｄ，Ｅ的横坐标为i ，Ｂ，Ｃ的横坐标为1+i ()n i ...3,2,1=则梯形ＡＢＣＤ的面积>曲边梯形ＡＢＣＤ即2111++i i >dx x i i ?+11

，即2

111++i i <()i i ln 1ln -+则 ()n i ...3,2,1=时有

221

>1ln 2ln -，23121+>2ln 3ln -．．．2

111++

n n 将上述各式叠加得到 ()1211...312121++++++n n >()1ln +n 则n 1...41312121+++++>()1ln +n －()

121+n

则整理得()()

11ln 123

21n n n n +

+++

>+++ ３.湖北省黄冈市2014年4月高三模拟考试理科数学试题（本小题满分14分）

设函数f (x )=x 2

+ln (x +1).

（1）求证：当x ∈(0，+∞)时f (x )>x 恒成立；

（2）求证：

122013

2015232014ln +++

<；

（3）求证：

()11112n

i i n sin n cos ln n i n =-??+<-+ ?+?

?∑. 【解】（1）设g (x )=x -f (x )= x -x 2

-ln (x +1).

则()2121211

x x

g x x x x --'=--=++ 当x >0时，g ′(x )<0，∴g (x )在(0，+∞)上递减，

∴g (x )

（2）由（1）知，x >0时，x -x 2

令1x n =(n ∈N*)，得21111ln n n n ??-<+ ???，∴2014

2014211111n n n n n ln n n n ====+??-< ??

?∑∑

即

222

122013

201523

2014

ln +++

<.………9′ （3）∵y =sinx 在[0，1]上单调递增，

∴

11011n

i i n sin

n sin sin sin

n n n n n =??

--??=+++ ????

???

∑ ()()1

11n sin xdx n cos x n cos <=-=-?………12′

又1

1y x

+在[0，1]上单调递减， ∴

111111

11212111111n

i n

n n n i n n n

n n n n =??

???? ?=+

+=++

+?? ?+??

+++

+???

???

∑

()1

1001

121n dx n ln x n ln x <=+=+?

∴

()11112n

i i n sin n cos ln n i n =-??+<-+ ?+?

?∑.………14′

2．湖北武昌区2014届高三上学期期末学业质量调研（本小题满分14分）

已知函数()ln()f x x a x =+-的最大值为0，其中a>0．

（I ）求a 的值；

（Ⅱ）若对任意的2[0,),()x f x kx ∈+∞≥有成立，求实数k 的最大值；（Ⅲ）证明

*12

ln(21)2()21

i n n N i =-+<∈-∑ 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()+∞-,a ，a

x a x a x x f +-+-=-+=

11)(．由0)(='x f ，得a a x ->-=1. 当a x a -<<-1时，()0/

>x f

；当a x ->1时，()0/

所以，)(x f 在a x -=1处取得最大值．

由题意知()011=+-=-a a f ，所以1=a ．…………………………………（4分）（Ⅱ）（1）当0≥k 时，由012ln )1(<-=f ，知0≥k 不合题意. （2）当0

则1

)

122(2111)(+++-=+-+=

'x k kx x kx x x g . 令0)(='x g ，得01=x ，121

12122->--=+-=k

k k x . ①当21-≤k 时，021

22≤+-

k x ，0)(>'x g 在),0(+∞∈x 上恒成立，因此)(x g 在),0[+∞上单调递增，从而总有0)0()(=≥g x g ，即2

)(kx x f ≥在),0[+∞上恒成立.

②当021<<-

k 时，02122>+-=k k x ，对于)212,0(k

k x +-∈，0)(<'x g ，因此)(x g 在)21

2,0(k

k +-上单调递减. 因此，当取)21

2,0(0k

k x +-∈时，0)0()(0=

00)(kx x f ≥不成立.故021<<-k 不合题意.

综上，k 的最大值为2

-. ……………………………………………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：2

1)1ln(x x x -≥-+对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.

即2

1)1ln(x x x ≤+-对任意的[0,+)x ∈∞恒成立.

取122-=

i x （),,3,2,1n i =，则2

)

12(2

)1122ln(122-≤+---i i i ，即

)12(2

)]12ln()12[ln(122-≤

--+--i i i i . 当1=n 时，23ln 2<-，不等式成立；

当2≥n 时，)12ln(1

)]12ln()12ln(122[11+--=-++--∑∑==n i i i i n

i n

i .

因为

121

321)12)(32(2)

12(22

---=--<-i i i i i ，所以)121

21(3ln 2)12ln(12221---+-<+--∑∑==i i n i n

i n

i 212113ln 2<--

+-=n . 综上，()212ln 122

<+--∑=n i n

i ． ………………………………………（14分）

奇巧积累:(1)??? ??+--=-<

=121121

2144

4412

2n n n n

(2)

)

1(1)1(1)1()1(212

+--=-+=+n n n n n n n C C n n

(3))2(1

11)1(1!11)!(!!11

≥--=-<

=+r r r r r r n r n r n n

C T

r r

r n r (4)2

)1(12311

2111)11(<-+

+?+?++<+n n n

(5)

n n

n 2

121)12(21--=- (6)

n n n -+<+22

(7))1(21)1(2--<<-+n n n

n n (8) n

n n n n n n 2)32(1

2)12(12

13211

221

?+-?+=

???? ??

+-+-

(9)

? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !

)1(1!1!)1(+-

=+n n n n

(11)

12121

21222)1212(21-++

-++=

--+

(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211

12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n

(12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(1112

--+????? ??+-

-=+-<

n n n n n n n n n n

n n

111211111

+--<-++?

??? ??+--=n n n n n n n

(13)

212132122)12(332)13(2221n

n n n n n n n n <-?>

-?>-?>?-=?=+

(14)

)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15)

)2(1)

1(1

≥--<+n n n n n ２.湖北省武汉市2014届高三四月调考试题已知函数2()ln(1)f x ax x =++．

（1）当1

a =-时，求函数()f x 的单调区间；

（2）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,

0x y x ≥??-≤?所表示的平面区域内，求实

数a 的取值范围．

（3）求证：12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)

n n

-+++??+

2（1）当14a =-时，21

()ln(1)4f x x x =-++（1x >-），

11(2)(1)

()212(1)

x x f x x x x +-'=-+=-++（1x >-），

由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >．

故函数()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(1,)+∞．

（2）因函数()f x 图象上的点都在0,

0x y x ≥??-≤?

所表示的平面区域内，则当[0,)x ∈+∞时，不等

式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，设2()ln(1)g x ax x x =++-（0x ≥），只需max ()0g x ≤即可．

由1()211g x ax x '=+

-+[2(21)]

x ax a x +-=

+，（ⅰ）当0a =时，()1

g x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递

减，故()(0)0g x g ≤=成立．

（ⅱ）当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以1

12x a

=-，

①若1102a -<，即12

a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在(0,)+∞上单

调递增，()g x 在[0,)+∞上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不满足条件；

②若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a -上单调递减，在区间1(1,)

-+∞上单调递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值，不满足条件．

（ⅲ）当0a <时，由[2(21)]

()1

x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，

∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立．

综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞．

（3）据（Ⅱ）知当0a =时，ln(1)x x +≤在[0,)+∞上恒成立（或另证ln(1)x x +≤在区间(1,)-+∞上恒成立），

又1

1211

2()(21)(21)2121

n n n

n n --=-++++， ∵1248

2ln{(1)(1)(1)[1]}233559(21)(21)

n n -+

++??+???++

1248

2ln(1)ln(1)ln(1)ln[1]233559

(21)(21)

n n -=++++++

++???++

12482233559(21)(21)n

n n -<++++???++ 1111111112[()()()()]2335592121

n n -=-+-+-++-++

四. 利用重要不等式放缩 1.均值不等式

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例7 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2

)1(2)1(2+<<+n S n n n

解析此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k

=+=

2121)1(+=++<

1∑∑==+<<∴n

k n n k k S k ，即.2

)1(22)1(2)1(2

+<++<<+n n n n S n n n

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2

b a ab +≤，若放成

1)1(+<+k k k 则得2

)1(2)3)(1()1(2

+>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n a a n a a a a a a n

n n

22111111++≤

++≤≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

2．利用有用结论

例9 求证.12)1

1()511)(31

1)(11(+>-+

+++n n 简析本题可以利用的有用结论主要有：

法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a b 可得

>-??122563412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n

n ?12)1

225

63412(2+>-??n n n 即.12)1

211()511)(311)(11(+>-++++n n

法 2 利用贝努利不等式

)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例

2121)1211(2-?

+>-+

k k (此处

121,2-==k x n )得 =-+∏?-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .121

21+=-+∏=n k k n k

注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：

证明.13)2

1()711)(411)(11(3+>-+++

+n n (可考虑用贝努利不等式3=n 的特例) 注：①上述不等式可加强为.3)1

1(2

<+≤n n

简证如下：

利用二项展开式进行部分放缩：.1111)11(221n n n n n n n n

C n C n C n a ++?+?+=+= 只取前两项有.2111=?+≥n

C a n n 对通项作如下放缩： .212211!111!111-=?≤<+-?-??=k k k n k n k n n n n n k n

C 故有.32/11)2/1(12122

12121111

12<--?+=+++++<--n n n a

八分项讨论

例19 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足

.1,)1(2≥-+=n a S n n n

（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8

711154<+++m

a a a （04年全国卷Ⅲ）

简析（Ⅰ）略，（Ⅱ） []

.)1(23

212

---+=

n n n a ；（Ⅲ）由于通项中含有n

)1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论：

当3≥n 且n 为奇数时1

2222223)121121(23112

2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )21

21(2322223123

212-----+?=+?

，于是 ①当4>m 且m 为偶数时=+++m

a a a 11154 )11()11(11654m m a a a a a +++++-

.87

8321)2

11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<

--m m ②当4>m

且m 为奇数时<+++m

a a a 1115

111+++++m m

a a a a （添项放缩）由①知

71111154<+++++m m a a a a 由①②得证。

2021年典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式欧阳光明（2021.03.07）所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证 143 ＜＋＜a b 。证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋ b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14 （a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14 （a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：证明：因为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++= +++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。

所以 a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（）二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证： 12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c +++＜2，故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4. 已知n ∈N*，求n 2n 131211＜…+ +++。证明：因为，则11213+ ++

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题惠州市华罗庚中学欧阳勇摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题主体：一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评：此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

用“放缩法”证明不等式的基本方法

2 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n a =n ，求证：k=1 例3、已知 a k n 证明：苕 1 V (k — 1)k(k + 1) _________ 二［+￡莖壬匹 ^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二学习必备欢迎下载用放缩法”证明不等式的基本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用放缩法”证明不等式的频率很高， ,对它的运用往往能体现出创造性。放缩法”它可以和很而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，例谈若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩 k 时就舍去了 2 -2，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f (x )= 一，求证：f (1) +f (2) + …+f (n ) 1 +4x f(n)=二=1--^A 1-丄 1 +4n 1+4 2 *2 1 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1— 2 21 2 22 2 2n +1 +1 +…=n + 丄一1 (n 迂 N *). 2 4 2n 2n '1 2 此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。女口它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点，有极大的迁移性多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标, 放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题, 1、添加或舍弃一些正项（或负项）放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。例1、已知 a n =2“ -1(n 亡 N ）.求证: n 1 2—3 a 2 a 3 + a n 证明：，— a k + 2k -1 =2^ 1 2 "2(22-1) _ 1 "2"3.2k +2k -2 >1-1.l^,k=1,2,..., n, 2 3 2k 玉+更+ +旦 a 2 a 3 「-1(1 +-+...+丄)」-丄(1二)「-1 , 2 3 2 22 2n 2 3 2n 2 3 2 3 a 2 a 3 + <-(n 迂 N *). a n + 2 证明：由需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可; 如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈）例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

放缩法证明不等式的基本策略

放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点能体现出创造性。放缩法”它可以和很多知识内容结合，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，些高考试题，例谈放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩）子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运用往往对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，否则就不能同向传递。下面结合一例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解 1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21

③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，，所以（2）因为，所以，所以； 2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈；（1）求证：数列{} 2n s 是等差数列；（2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+；（1）求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++；（1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<