初中数学综合课件第45课时 实验操作型问题

第1页 第45课时 实验操作型问题 (60分) 一、选择题(10分) 1．[2015·宁波]如图45－1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为 ( A ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题(10分) 2．[2017·中考预测]如图45－2①，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn＋1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称△ABC是好三角形，∠BAC为该三角形的好角．

图45－2 小丽发现好三角形折叠的次数不同，∠B与∠C的数量关系就不同．并作出展示： 第一种好三角形：如图②，沿AD折叠1次，点B与点C重合； 第二种好三角形：如图③，沿着AB1，A1B2经过2次折叠．

图45－1 第2页

(1)小丽展示的第一种好三角形中，∠B与∠C的数量关系是__∠B＝∠C__； (2)如果有一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是__∠B＝5∠C__. 【解析】 (1)∠B＝∠C； 如图②，沿AD折叠1次，点B与点C重合，则AB＝AC，故∠B＝∠C； (2)如答图，根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1 B1C＝∠A1A2B2， 根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C；

根据四边形的外角定理知，∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1 B1C＝∠BAC＋2∠B

－2∠C＝180°， 根据三角形的内角和定理知，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＝3∠C；

第2题答图 由小丽展示的第一种好三角形知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由小丽展示的第二种好三角形知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 如答图，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故可推得若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B＞∠C)之间的数量关系为∠B＝n∠C； 所以一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是∠B＝5∠C. 第3页

三、解答题(共30分) 3．(15分)[2015·宁波]在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数． (1)在图45－3的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；

图45－3 (2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值． 解：(1)如答图；

第3题答图 (2)三角形：a＝4，b＝6，S＝6； 平行四边形：a＝3，b＝8，S＝6； 菱形：a＝5，b＝4，S＝6； 任选两组数据代入S＝ma＋nb－1， 解得m＝1，n＝12.

4．(15分)[2016·十堰]如图45－4，将矩形纸片ABCD(AD第4页

＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F. (1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论； (2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．

第4题答图 解：四边形CEGF为菱形． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠GFE＝∠FEC， ∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕， ∴∠GEF＝∠FEC， ∴∠GFE＝∠FEG， ∴GF＝GE， ∵图形翻折后EC与GE完全重合， ∴GE＝EC， ∴GF＝EC， ∴四边形CEGF为菱形； (2)如答图①，当点F与点D重合时，CE取最小值， 由折叠的性质，得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°，

图45－4 第5页

∵∠ECD＝90°， ∴∠DEC＝45°＝∠CDE， ∴CE＝CD＝DG， ∵DG∥CE， ∴四边形CEGD是正方形， ∴CE＝CD＝AB＝3； 如答图②，当点G与点A重合时，CE取最大值， 由折叠的性质，得AE＝CE， ∵∠B＝90°， ∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2， ∴CE＝5， ∴线段CE的取值范围是3≤CE≤5. (30分) 5．(15分)(1)如图45－5①，在等边三角形ABC中，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边三角形AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN； (2)如图②，在等边三角形ABC中，M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由； (3)如图③，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 第6页

图45－5 解：(1)证明：∵△ABC，△AMN都是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACN； (2)结论∠ABC＝∠ACN仍成立． 理由： ∵△ABC，△AMN都是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°. ∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)； ∴∠ABC＝∠ACN； (3)∠ABC＝∠ACN. 理由： ∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN， ∴∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN， ∴ABAM＝ACAN.∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，

∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN. 6．(15分)[2015·南充]如图45－6，P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q. (1)求证：△APP′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ的大小； 第7页

(3)求CQ的长． 图45－6 解：(1)证明：由题意，可得∠DAB＝90°， ∴△ABP′是由△ADP顺时针旋转90°得到， 则AP＝AP′，∠PAP′＝90°， ∴△APP′是等腰直角三角形； (2)∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′＝45°，PP′＝2， 又∵BP′＝10，BP＝22， ∴PP′2＋BP2＝BP′2， ∴∠BPP′＝90°， ∵∠APP′＝45°， ∴∠BPQ＝180°－∠APP′－∠BPP′＝45°； (3)如答图，过点B作BE⊥AQ于点E，则△PBE为等腰直角三角形， ∴BE＝PE，BE2＋PE2＝PB2， ∴BE＝PE＝2，∴AE＝3， ∴AB＝AE2＋BE2＝13，则BC＝13， ∵∠BAQ＝∠EAB，∠AEB＝∠ABQ＝90°， ∴△ABE∽△AQB，

第6题答图 第8页

∴AEAB＝ABAQ，即313＝13AQ，∴AQ＝133， ∴BQ＝AQ2－AB2＝2313，

∴CQ＝BC－BQ＝133.

(20分) 7．(20分)[2016·资阳]在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图45－7①，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； (2)若∠DAF＝∠DBA， (Ⅰ)如图②，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由； (Ⅱ)当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.

图45－7 解：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD， ∵DF⊥AC， ∴∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝∠BAD＝45°， ∵∠C＝90°， ∴∠ABC＝45°， 第9页

∴AC＝BC； (2)(Ⅰ)AF＝BE. 理由：由旋转性质，得AD＝AB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠DAF＝∠DBA， ∴∠DAF＝∠ADB， ∴AF∥BD， ∴∠BAC＝∠ABD， ∵∠ABD＝∠FAD， 由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD， ∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝13×180°＝60°，

由旋转性质，得AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， 在△AFD和△BED中，

∠F＝∠BED＝90°，∠FAD＝∠EBD，AD＝BD， ∴△AFD≌△BED(AAS)， ∴AF＝BE； (Ⅱ)如答图，由旋转性质，得∠BAC＝∠BAD， ∵∠DBA＝∠DAF＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，

第7题答图