不等式的性质与一元二次不等式
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
第21讲 不等式的基本性质
第21讲不等式的基本性质作者：刘族刚来源：《高中生学习·高三文综版》2014年第10期考情分析不等式的基本性质与一元二次不等式式不等式是高中数学的重要内容和基础内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具，也是高考考查的重点，在近几年高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重，考查内容中不仅有不等式的基本性质、二次不等式的求解、求证、恒成立问题，而且容易与集合问题、二次方程和二次函数、三角、数列、复数、立体几何、解析几何等进行综合，形成中档或难题.命题特点不等关系常伴随函数、数列、立体几何、解析几何或实际问题进行考查，高考中考查不等式的性质多以选择、填空形式出现.而对于一元二次不等式，一般采用以下两种形式考查：一是考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题，二是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题.1. 比较代数式（值）的大小例1 已知[x，y∈R]，比较[x2-xy+y2]和[x+y-1]的大小.解析 [（x2-xy+y2）-（x+y-1）] [=（x2-x）+（y2-y）-xy+1][=12（2x2-2x+2y2-2y-2xy+2）][=12（x2-2x+1+y2-2y+1+x2+y2-2xy）][=12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]].∵[（x-1）2≥0]，[（y-1）2≥0]，[（x-y）2≥0]，∴[12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]≥0].∴[x2-xy+y2≥x+y-1].点拨作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.2. 不等式性质的应用例2 对于实数[a ，b ，c]，判断以下命题的真假.（1）若[a>b]，则[ac>bc]；（2）若[ac2>bc2]，则[a>b]；（3）若[aab>b2]；（4）若[a|b|]；（5）若[a>b]，则[ab>1]；（6）若[a>b]且[1a>1b]，则[a>0 ，b（7）若[a>b]，则[a3>b3]；（8）若[a>b]，则[|a|>b].解析（1）因为[c]的符号不定，所以无法判定[ac]和[bc]的大小，故原命题为假命题.（2）因为[ac2>bc2]，所以[c≠0]，从而[c2>0]，故原命题为真命题.（3）①因为[aab.]②又[ab2].综合①②得[a2>ab>b2]，故原命题为真命题.（4）两个负实数，绝对值大的反而小.故原命题为真命题.（5）当[b≤0]时，[ab>1]不成立，故原命题为假命题.（6）因为[a>b，1a>1b，⇒a-b>0，1a-1b>0，⇒b-a0，]所以[ab又因[a>b]，所以[a>0，b（7）因为[y=x13]的函数在[R]上单调递增，故原命题为真命题.（8）因为[a≥a，a>b]，所以[a>b]，故原命题为真命题.点拨判定不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式时常用赋值法.3. 不等关系在实际问题中的应用例3 甲乙两车从[A]地沿同一路线到达[B]地，甲车一半时间的速度为[a]，另一半时间的速度为[b]；乙车用速度为[a]行走一半路程，用速度[b]行走另一半路程，若[a≠b]，试判断哪辆车先到达[B]地.解析设从[A]到[B]的路程为[S]，甲车用的时间为[t1]，乙车用的时间为[t2]，则[t12a+t12b=S，][∴t1=2Sa+b，t2=S2a+S2b=S2（1a+1b）]，[∵2Sa+b-S21a+1b=2Sa+b-（a+b）S2ab] [=4abS-（a+b）2S2ab（a+b）=-（a-b）2S2ab（a+b）所以甲车先到达[B]地.4. 二次不等式的解法例4 设不等式[x2-2ax+a+2≤0]的解集为[M]，如果[M⊆[1，4]]，求实数[a]的取值范围.解析 [M⊆[1，4]]有三种情况：其一是[M=∅]，此时[Δ0]与[Δ=0]，所以分三种情况计算[a]的取值范围.设[f（x）=x2-2ax+a+2]，∴[Δ=（-2a）2-（4a+2）=4（a2-a-2）=4（a+1）a-2）].（1）当[Δ（2）当[Δ=0]时，[a=-1]或[2].若[a=-1]，则[M=-1⊈][[1，4]].若[a=2]，则[M=2⊆[1，4]].（3）当[Δ>0]时，[a2].设方程[f（x）=0]的两根[x1，x2]，且[x1那么[M=[x1，x2]]，[M⊆[1，4]]，[⇔][1≤x10，]即[-a+3>0，18-7a>0，a>0，a2，]解得，[2综上，[M⊆[1，4]]时，[a]的取值范围是[（-1，187]].点拨本题表面上是解二次不等式，实质上是二次方程的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在.5. 二次不等式恒成立问题例5 设函数是定义在[（-∞，+∞）]上的增函数，如果不等式[f（1-ax-x2）解析 [∵f（x）]是增函数，[∴f（1-ax-x2）[⇔1-ax-x2[⇔x2+ax+1-a>0]对于任意[x∈[0，1]]恒成立.令[g（x）=x2+ax+1-a]，[x∈[0，1]]，所以原问题[⇔g（x）min>0].又[g（x）min=g（0）， a>0，g（-a2），-2≤a≤0，2， a即[g（x）min=1-a， a>0，-a24-a+1，-2≤a≤0，2， a点拨本题考查数学化归转化的数学思想：利用函数的单调性把原不等式问题转化为[1-ax-x2备考指南备考过程中，要求学生熟练掌握不等式的性质与二次不等式的基础知识方法，将数学各部分知识融会贯通，同时注重对解题方法的总结，领悟不等式作为一个工具在解决数学问题（包括实际问题）中的重要性.1. “差比较法”的依据[a>b⇔a-b>0]，其中变形是关键，常进行通分、因式分解、配方或分子（母）有理化等.2. 求代数式的范围时常用“待定系数法”，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围，这样才能确保范围不大不小.3. 一元二次不等式[ax2+bx+c>0][（a≠0）]的解集的确定受[a]的符号、[b2-4ac]的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象，数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为[ax2+bx+c>0（或0]）的形式，其对应的方程[ax2+bx+c=0]有两个不等实根[x1，x2（x10]），则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.4. “二次型”函数（不等式）中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；另外解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论，若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.限时训练1.设[a=0.512，b=0.914，c=log50.3]，则[a，b，c]的大小关系是（）A. [a>c>b]B. [c>a>b]C. [a>b>c]D. [b>a>c]2.已知函数[f（x）=x（1+a|x|）]. 设关于[x]的不等式[f（x+a）A.[1-52，0]B.[1-32，0]C. [1-52，0⋃0，1+32]D.[-∞，1-52]3.已知[aA. [a>ab>ab2]B. [ab2>ab>a]C. [ab>a>ab2]D. [ab>ab2>a]4、设变量[x，y]满足约束条件[x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0，]则目标函数[z=2x+3y+1]的最大值为（）A.11B.10C.9D.8.55. 已知[a，b∈R，且a>b]，则下列不等式中一定成立的是（）A. [ab>1]B.[a2>b2]C.[lg（a-b）>0]D. [（12）a6.已知不等式[f（x）=ax2-x-c>0]的解集为[{x-2[A] [B] [C] [D]7.在[R]上定义运算[⊗]：[x⊗y=x（1-y）].若不等式[（x-a）⊗（x-b）>0] 的解集是[（2，3）]，则[a+b=] （）A. [1]B. [2]C. [4]D. [8]8.如果[aA. [1aC. [-ab9. 已知不等式[ax2-bx-1≥0]的解集是[-12，-13]，则不等式[x2-bx-aA.（2，3）B. [（-∞，2）∪（3，+∞）]C. [（13，12）]D. [（-∞，13）∪（12，+∞）]10.关于[x]的不等式[x2-（a+1）x+aA.[（4，5）]B.[（-3，-2）⋃（4，5）]C.[（4，5]]D.[[-3，-2）⋃（4，5]]11.不等式[x2+x-212.若[113.若不等式[x2+ax+4≥0]对一切[x∈（0，1]]恒成立，则[a]的取值范围是________.14.已知[f（x）]是定义在[R]上的奇函数.当[x>0]时，[f（x）=x2-4x]，则不等式[f（x）>x]的解集用区间表示为________.15.甲厂以[x]千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求[1≤x≤10]），每小时可获得利润是[100（5x+1-3x）]元.（1）要使生产该产品[2]小时获得的利润不低于[3000]元，求[x]的取值范围；（2）要使生产[900]千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.16.已知[x，y]为正实数，满足[1≤lgxy≤2，3≤lgxy][≤4]，求[lg（x4y2）]的取值范围.17.解关于[x]的不等式[（1-ax）218.解关于[x]的不等式[ax2-（a+1）x+1。
一元二次不等式基础题50道加解析
一元二次不等式基础题50道加解析摘要：一、一元二次不等式的基本概念及性质1.一元二次不等式的定义2.一元二次不等式的性质二、一元二次不等式的解法1.因式分解法2.判别式法3.图像法三、一元二次不等式的应用1.实际问题中的应用2.数学问题中的应用四、一元二次不等式的拓展1.含有绝对值的一元二次不等式2.含有分式的一元二次不等式五、一元二次不等式题型解析1.传统题型解析2.创新题型解析正文：一、一元二次不等式的基本概念及性质1.一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0（或ax+bx+c<0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.一元二次不等式的性质（1）当a>0时，一元二次不等式ax+bx+c>0的解集为实数集；（2）当a<0时，一元二次不等式ax+bx+c>0的解集为空集；（3）一元二次不等式ax+bx+c<0的解集与ax+bx+c>0的解集相反。
二、一元二次不等式的解法1.因式分解法将一元二次不等式ax+bx+c>0（或ax+bx+c<0）进行因式分解，得到(x-x)(x-x)>0（或(x-x)(x-x)<0），其中x、x为方程ax+bx+c=0的两根。
根据因式分解结果，讨论不等式的解集。
2.判别式法求解一元二次方程ax+bx+c=0的判别式Δ=b-4ac，根据Δ的值判断方程的根的情况，从而确定一元二次不等式的解集。
3.图像法将一元二次不等式ax+bx+c>0（或ax+bx+c<0）对应的二次函数y=ax+bx+c的图像画在坐标系中，通过观察图像下方（或上方）的区域，确定不等式的解集。
三、一元二次不等式的应用1.实际问题中的应用将一元二次不等式应用于生活中的实际问题，如利润、速度、面积等问题，通过建立一元二次不等式模型，求解实际问题。
2.数学问题中的应用一元二次不等式在数学问题中的应用广泛，如不等式证明、最值问题、恒成立问题等。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
第二章 一元二次函数、方程和不等式(单元解读课件)
2.利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题 一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中 灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
能说明基本不等式的几何解释;能借助二次函数图象，说明二次函数与一元 二次方程、不等式的联系;能根据二次函数二次项系数和一元二次方程的根 画出二次函数图象，能够借助函数图象，求解一元二次不等式.
能将比较两个代数式大小的问题转化为两个代数式的差与0比大小的问题， 能将解方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0) 的问题转化为研究函数 y ax2 bx c ，当 自变量为何值时，函数值 y=0的问题，能将解不等式 ax2 bx c＞0 的问题 转化为研究函数 y ax2 bx c ，当自变量在什么范围时，函数值 y>0的 问题
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第二章 一元二次函数、 方程和不等式单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
1.能够理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2.能够掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现 实意义 4.能够借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 5.能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的 解集 6.能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数 的重要性.体会数学的整体性. 7.能够在本章的学习中，重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养
6.利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 “拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体 可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应 凑出定和或定积；
(2019)新版高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式性质
（2019新版）高中数学人教A 版必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式与不等式性质不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 考点一：列不等式例1：完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析：选D 据题意知，500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200，故选D.练习：某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y ≥380z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45解析：选D 由题中x 不低于95即x ≥95，y 高于380即y >380，z 超过45即z >45. 作业：1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速80 km/h 的路标； (2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h ，则v ≤80. (2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%.问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a<b；若a－b是零，则a＝b. 问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．比较两个实数a、b大小的依据考点二：比较两数(式)的大小例2：比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．x－12＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.解：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝()(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.练习：（1）若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是() A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5. （2）比较x3＋6x与x2＋6的大小．解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x2＋6＞0.∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.作业：2．（1）如果a ＞b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b)＝2b －2a ＝2(b －a)＜0. 答案：c －2b（2）已知a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，其中x ，y 均为正数，则a ，b 的大小关系为 ． 解：a ＝x 3+y 3，b ＝x 2y+xy 2，则a ﹣b ＝x 3+y 3﹣x 2y ﹣xy 2＝x 2（x ﹣y ）﹣y 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（x 2﹣y 2）＝（x ﹣y ）2（x+y ），x ，y 均为正数，所以（x ﹣y ）2≥0，x+y ＞0，所以（x ﹣y ）2（x+y ）≥0，即a ﹣b ≥0， 所以a ≥b ．故答案为：a ≥b ．例3：已知：﹣1＜b ＜0，a ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解：∵﹣1＜b ＜0，a ＜0，∴ab ＞0，b ＜0＜1．b 2＜1．∴ab ﹣ab 2＝ab （1﹣b ）＞0，ab 2﹣a ＝a （b 2﹣1）＞0．∴ab ＞ab 2＞a ．故选：D ．练习：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为 ．解：已知实数a 、x 满足x ＜a ＜0，由不等式的性质可得：x 2＞a 2＞0，ax ＞a 2＞0，x 2＞ax ＞0，所以x 2＞ax ＞a 2＞0，则a 2、x 2、ax 中的最大数为x 2，故答案为：x 2． 作业：3. 若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b ，a 2，b 2的大小．解：∵－1＜a ＜b ＜0，取11,,23a b =-=-则2211112,3,,.49a b a b =-=-== ∴a 2＞b 2＞1a ＞1b .考点三：不等式的性质 (1)对称性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：a>b ，b>c ⇒a>c ； (3)可加性：a>b ⇒a ＋c>b ＋c. (4)可乘性：⎭⎬⎫a>b c>0⇒ac>bc ；⎭⎬⎫a>b c<0⇒ac<bc ； (5)同向可加性：⎭⎬⎫a>b c>d ⇒a ＋c>b ＋d ；(6)同向同正可乘性：⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd ； (7)正数乘方性：a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2).例4：用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a＞b，c＜d，那么a﹣c b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac bd；（3）如果a＞b＞0，那么；（4）如果a＞b＞c＞0．那么．解：（1））如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd；（3）如果a＞b＞0，那么＜；（4）如果a＞b＞c＞0．那么＜．故答案为：＞，＜，＜，＜．练习：若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．D．﹣2a＜﹣2b 解：∵a，b，c∈R且a＞b，∴取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝﹣1可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，﹣2a＜﹣2b，故D正确．故选：D．作业：4.已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则ac＞bdD．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b ＝0时不成立，故选B.例5：（多选）对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，则＞解：若ac2＞bc2，则a＞b，A对，由不等式同向可加性，若a ＞b ，c ＞d ，则a +c ＞b +d ，B 对， 当令a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，d ＝﹣2，则ac ＝bd ，C 错， 令a ＝﹣1，b ＝﹣2，则，D 错．故选：AB ．练习：（多选）若b ＜a ＜0列结论正确的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C ．（）b ＜（）aD ．+＞2解：A ．∵b ＜a ＜0，∴﹣b ＞﹣a ＞0，∴b 2＞a 2，正确； B ．∵b ＜a ＜0，∴b 2＞ab ，正确； C ．∵，b ＜a ，∴，因此C 不正确；D ．∵b ＜a ＜0，∴，，∴，正确．故选：ABD ． 作业：5. （多选）若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 都成立的是（ ） A ．ab ≤1B ．+C ．a 2+b 2≥2D ．a 3+b 3≥3解：根据a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，取a ＝b ＝1，则BD 不成立，再取31,,22a b ==验证，故AC 正确．故选：AC ．考点四：利用不等式的性质求范围例6：已知2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，求2a+b 的取值范围． 解：∵2＜a ＜3．﹣2＜b ＜﹣1，∴4＜2a ＜6，∴2＜2a+b ＜5． 练习：设-1＜a ＜1，﹣3＜b ＜2，求23ba -的取值范围. 解析： -2＜2a ＜2， 21,33b -<<21,33b -<-<82 3.33ba -<-< 作业：6.已知1＜a ＜4,2＜b ＜8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围． 解：∵1＜a ＜4,2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是8＜2a ＋3b ＜32，a －b 的取值范围是－7＜a －b ＜2考点五：利用不等式的性质证明例7：已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c ＞eb －d.证明： ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c)＞b ＋(－d)＞0， 即a －c ＞b －d ＞0，∴0＜1a －c ＜1b －d ，又∵e ＜0，∴e a －c ＞eb －d .练习：已知a ＞b ，m ＞n ，p ＞0，求证：n －ap ＜m －bp.证明：∵a ＞b ，又p ＞0，∴ap ＞bp.∴－ap ＜－bp ，又m ＞n ，即n ＜m. ∴n －ap ＜m －bp. 作业：7．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0，∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，即b －a ab＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。
本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。
一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。
在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。
当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。
2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。
开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。
在计算中，根据具体问题选择合适的区间。
二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。
1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。
为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。
当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。
然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。
2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。
与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。
3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。
当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是指带有二次项的一元方程不等式，其形式可以描述为ax²+bx+c>0，ax²+bx+c<0，ax²+bx+c≥0或ax²+bx+c≤0等，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次不等式的过程与解一元二次方程类似，但要考虑不等号的影响。
1. 一元二次不等式的解集表示解一元二次不等式可以得到它的解集，解集可以表示为一个区间或者多个区间的并集。
例如，对于二次不等式x²-4x+3>0，可以通过求解二次方程x²-4x+3=0的根得到x的取值范围，在x的数轴上标出根的位置，并根据不等号的要求将数轴划分成不同的区间，得到解集。
2. 一元二次不等式的求解方法常用的解一元二次不等式的方法有图像法和代数法。
图像法是将二次不等式转化为对应的二次函数的图像来进行分析。
以一元二次不等式ax²+bx+c>0为例，可以画出函数y=ax²+bx+c的图像，然后根据不等式的要求找到函数图像位于y轴上方的部分，从而确定解集。
代数法是通过运用一些性质和方式来求解一元二次不等式。
例如，可以通过配方法将二次不等式转化为完全平方式，然后利用平方根性质得到解集。
3. 一元二次不等式的常见性质解一元二次不等式时，可以利用一些常见的性质来辅助求解。
（1）一元二次不等式的解具有对称性。
即，如果x是不等式的一个解，那么2a-x也是不等式的解。
（2）一元二次不等式的解具有平移性。
即，对于一元二次不等式ax²+bx+c>0，如果在不等式中同时增加或减小某个数d，那么不等式的解集也分别增加或减小该数d。
（3）一元二次不等式的解具有合并性。
即，如果一个区间内存在不等式的解，那么这个区间内所有的数都是不等式的解。
4. 一元二次不等式的应用一元二次不等式在数学、物理、经济等领域中具有广泛的应用。
例如，在最优化问题中，需要对一些条件进行限制，而这些限制往往可以通过一元二次不等式来表达。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
第二章一元二次函数、方程和不等式
<
������������.故该结论错误.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
课堂篇 探究学习
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不 等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采 用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题 中经常采用这种办法.
一二三四
课前篇 自主预习
3.做一做
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是
.
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.
答案:x2-1>2x-5
一二三四
课前篇 自主预习
三、重要不等式 1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系? 提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab. 2.填空 ∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(4)由1������
>
1������,可知1������
−
1 ������
=
������������-������������>0.因为
a>b,所以
b-a<0,于是
ab<0.
又因为 a>b,所以 a>0,b<0.故该结论正确.
(5)依题意取
a=-2,b=-1,则������������
=
1 2
,
������������=2,显然������������
2.1 等式性质与不等式性质
-1-
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1 不等式的性质与一元二次不等式 1、两个实数比较大小的方法
(1)作差法 a－b>0⇔a > ba－b＝0⇔a ＝ ba－b<0⇔a < b (a，b∈R)；(2)作商法 ab>1⇔a > bab＝1⇔a ＝ bab<1⇔a < b (a∈R，b>0)．
2、不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔
可乘性 错误!⇒ac>bc 注意c的符号 错误!⇒ac
同向可加性 错误!⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 错误!⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N＋)
可开方性 a>b>0⇒na>nb(n∈N＋) a，b同为正数
3、不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质：
①a>b，ab>0⇒1a<1b；②a<0b>0,0bd.；④0
(2)有关分数的性质： 若a>b>0，m>0，则，
①bab－ma－m(b－m>0)；②ab>a＋mb＋m；ab0)
4、“三个二次”的关系 2
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1
有两相等实根
x1＝x2＝－b2a 没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－b2a} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1
5、常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a{x|b
口诀：大于取两边，小于取中间．
选择题： 设a
A.1a>1b B.1a－b>1a C．|a|>－b D.－a>－b
解析 由题设得a1a不成立．
若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则( ) 3
A．a解析 易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log8164<1，∴a>b；bc＝5ln44ln5＝log6251024>1，∴b>c，即c
若a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( ) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|， 当b≥0时，a＋b<0成立， 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立．
下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 解析 由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，∴使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b＋1.
已知0A．M>N B．M解析 ∵00,1＋b>0,1－ab>0，∴M－N＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝2－2ab1＋a1＋b>0
已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( ) A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b 解析 ∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0，∴b>a，∴c≥b>a.
设a>2，A＝a＋1＋a，B＝a＋2＋a－2，则A，B的大小关系是( ) A．A>B B．A解析 A2＝2a＋1＋2a2＋a，B2＝2a＋a2－4，显然A2>B2
已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) 4
A．MN C．M＝N D．不确定 解析 M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0，∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.
已知x∈R，m＝(x＋1)(x2＋x2＋1)，n＝(x＋12)(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为( ) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m解析 m＝(x＋1)(x2＋x2＋1)＝(x＋1)(x2＋x－x2＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)，
n＝(x＋12)(x2＋x＋1)＝(x＋1－12)(x2＋x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－12(x2＋x＋1)， ∴m－n＝(x＋1)(x2＋x2＋1)－(x＋12)(x2＋x＋1)＝12(x2＋x＋1)－12x(x＋1)＝12>0. 则有x∈R时，m>n恒成立
已知a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)<0 C．cb20 解析 由c0，由b>c得ab>ac一定成立．
设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②acloga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是( ) A．① B．①② C．②③ D．①②③
解析 由不等式性质及a>b>1知1a<1b，
又c<0，∴ca>cb，①正确； 构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数， 又a>b>1，∴ac∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，知③正确．
设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由(a－b)·a2<0⇒a≠0且a5
由a设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，则2α－β3的取值范围是( ) A．(0，5π6) B．(－π6，5π6) C．(0，π) D．(－π6，π) 解析 由题设得0<2αβ3
若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于( ) A．(1,3) B．(－∞，－1) C．(－1,1) D．(－3,1) 解析 依题意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．
已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁RP)∩Q等于( ) A．[2,3] B．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C．(2,3] D．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 解析 依题意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|1
已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a<0的解集是( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.13，12 D.－∞，13∪12，＋∞ 解析 由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋－13＝ba，－12
×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)
若一元二次不等式2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( ) A．(－3,0] B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) 解析 2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，
则必有 2k<0，Δ＝k2－4×2k×－38<0，解之得－3
设a为常数，任意x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是( ) 6
A．(0,4) B．[0,4) C．(0，＋∞) D．(－∞，4) 解析 任意x∈R，ax2＋ax＋1>0，则必有 a>0，Δ＝a2－4a<0或a＝0，∴0≤a<4.
若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( ) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＞g(x) C．f(x)＜g(x) D．随x的值变化而变化 解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x)．
已知函数f(x)＝ x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，则不等式f(x)＞3的解集为________ 解析 由题意知 x≥0，x2＋2x＞3或 x＜0，－x2＋2x＞3，解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}
设函数f(x)＝ x2－4x＋6， x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( ) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析 由题意得 x≥0，x2－4x＋6>3或 x<0，x＋6>3，解得－33.
已知函数f(x)＝ x＋2， x≤0，－x＋2，x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为( ) A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－2,1] D．[－1,2] 解析 作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图像，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1]．
若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝，则实数a的取值范围是( ) A．{a|0